第 2章 线性方程组
2.1 高斯消元法
2.2 矩阵的秩
2.3 线性方程组解的判定
2.1 高斯消元法高斯消元法矩阵矩阵的初等变换高斯消元法
是求解线性方程组的一种基本方法。
其基本思想是通过消元变形，把方程组化成容易求解的同解方程组，
即得到能直接求出解或者能够直接判断其无解的同解方程组。
矩阵由 m× n个数 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 排成一个 m行 n列的矩阵数表称为 m× n矩阵，简称 矩阵,记作 A,B等。
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
ija
实矩阵 方阵 系数矩阵复矩阵 行矩阵 增广矩阵矩阵的初等变换矩阵的初等行 (列 )变换是对矩阵实行以下变换：
交换矩阵的两行 (列 )，
用一个非零数 k乘矩阵的某一行 (列 )，
用数 k乘以矩阵的某一行 (列 )加到另一行 (列 )上去，
jiji ccrr
ii kckr
初等行变换和初等列变换通称为 矩阵的初等变换
jiij kcckrr
高斯消元法矩阵 矩阵的初等变换消元变形，化成同解方程组。
数表
jiji ccrr
ii kckr
jiij kcckrr
阶梯矩阵和最简形
满足下列两个条件的矩阵称为 阶梯矩阵,
(1) 若有零行，则零行位于非零行的下方；
(2) 每个首非零元前面零的个数逐行增加。
首非零元为 1，且首非零元所在列的其它元都为零的梯矩阵，称为 最简阶梯矩阵,简称 最简形 。
任意 m× n阶矩阵 A总可以经过初等行变换化为阶梯形矩阵及最简形
一个矩阵的阶梯形一般不唯一，但它的最简形是唯一的。
判别最简形
1
0 1 0 1
0 0 1 1
0000
A
2
1 1 0 1
0 1 1 1
0000
A
3
1 0 0 1
0 1 0 1
0 1 1 1
A
4
1 1 0 1
0 0 1 1
0000
A
例 1.
用初等行变换将矩阵化成行阶梯矩阵和最简形
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
A
12
3 2
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
rr
r
A
23
31
41
2
3
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 5 5 3 6
0 3 3 4 3
rr
rr
rr
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 5 5 3 6
0 3 3 4 3
2
32
42
2
5
3
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 2 6
0 0 0 1 3
r
rr
rr
34
43 2
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
rr
rr
12
23
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
rr
rr
12
23
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
rr
rr
B= =C
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B是矩阵 A的阶梯矩阵
C是矩阵 A的最简形例 2,2 1 1 1
1 2 1 2
1 1 2 4
31
1 1 2 4
1 2 1 2
2 1 2 1
rr?
21
31 2
1 1 2 4
0 1 1 2
0 1 3 7
rr
rr
32
1 1 2 4
0 1 1 2
0 0 4 9
rr?
12
3
1
4
1 0 3 6
0 1 1 2
0 0 1 9 4
rr
r
13
23
3
1 0 0 3 4
0 1 0 1 4
0 0 1 9 4
rr
rr
用消元法解线性方程组例
1 2 3
1 2 3
1 2 3
21
22
24
x x x
x x x
x x x
解,(1) 写出增广矩阵，作初等变换
2 1 1 1
1 2 1 2
1 1 2 4
1 0 0 3 4
0 1 0 1 4
0 0 1 9 4
以 最后一个矩阵为增广矩阵的方程组为因此方程组有唯一解
(2) 根据最简形，写出方程组的解
1
2
3
3
4
1
4
9
4
x
x
x
矩阵与行列式
行 列式是一个数矩阵式一个长方形数表
方阵可以取行列式
2.2 矩阵的秩
K 阶子式矩阵的秩秩的求法基本定义
矩阵的 k阶子式在 m× n矩阵 A中选定 k行 k列 (k≤m,k≤n)，位于这 k行 k列交叉处的 个元素按照原来位置构成的 k阶行列式称为矩阵 A的一个 k阶子式 。
矩阵的秩若 m× n矩阵 A有一个 r阶子式 不为零，而所有的 r+1阶子式 (如果存在的话 )全为零，则称这个 r阶子式为矩阵 A的 最高阶子式,数 r为矩阵 A的 秩,记作 R(A)。
2k
rD
规定 零矩阵的秩为零 。
对 n阶方阵,
若,则 R(A)=n，称 A为 满秩矩阵 ；
若,则 R(A)<n，称 A为 降秩矩阵 。
由矩阵的秩的定义可知,
(1) R(A) ≤min {m,n}
(2) 若矩阵 A有一个 r阶子式不为零，则 R(A)≥r
(3) 若矩阵 A有一个 r+1阶子式不为零，则 R(A)≤r
)( ijaA?
0?ija
0?ija
求矩阵的秩的方法
1,利用定义
2,初等变换把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数即矩阵的秩 。
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩
阶梯矩阵与最简形的秩等于其非零行的个数例 1,求矩阵的秩
---通过定义求解
1 2 3
A 2 3 5
4 7 1
在 A中，容易看出一个 2阶子式 12 0
23?
A的 3阶子式只有一个 |A|，经计算可知 |A|=0
因此,R(A)=2
例 1,求矩阵的秩
---通过初等变化求解
1 2 0 2 5
2 5 1 1 8
0 3 3 4 1
3 6 0 7 2
A
1 2 0 2 5 1 2 0 2 5
0 1 1 3 2 0 1 1 3 2
0 0 0 5 5 0 0 0 1 1
0 0 0 13 13 0 0 0 0 0
R(A)=3
1 2 0 2 5
0 1 1 3 2
0 3 3 4 1
0 0 0 13 13
例 2,
A,x,y,z都不等于零
B,x,y,z互不相等
C,都不等于 -1
D,x=y=z
2
2
2
1 x x
A = 1 y y
1 z z
已知矩阵 A的秩为 3，则,—— B
例 3,已知矩阵的秩 R(A)=3
求方程组的未知系数 a
1 1 2 2 3
2 2 0 a 4
1 0 a 1 5
2 a 3 5 4
A
21
31
41
r 2r
rr
r 2r
1 1 2 2 3
0 0 - 4 a - 4 - 2
0 - 1 a - 2 - 1 2
0 a - 2 - 1 1 - 2
43
32
rr
rr
1 1 2 2 3
0 0 - 4 a - 4 - 2
0 - 1 a - 6 a - 5 0
0 a - 3 a - 3 0 0
25
34
cc
cc
1 3 2 2 1
0 - 2 a - 5 - 4 0
0 0 a - 5 a - 6 - 1
0 0 0 a - 3 a - 3
因 A的秩为 3，故 a=3
矩阵 A中划去一行得到矩阵 B，
问 R(A)与 R(B)的关系？
其次，设 R(A)=r,D为 A的 r阶非零子式,划去 A
中的第 i行得到 B：
若 D中不含有 A的第 i行的元素
若 D中含有 A的第 i行的元素首先,R(A) ≤R(B)
若 D中不含有 A的第 i行的元素：
D也是 B的一个 r阶非零子式，故有
R(B) ≥r；
若 D中含有 A的第 i行的元素：
将 D按这一行展开得到 r个 r-1阶子式，
因为 D≠0，则这 r个 r-1阶子式中至少有一个不为零，故 R(B) ≥r-1
R(A)-1≤R(B) ≤ R(A)
2.3 线性方程组解的判定非齐次线性方程组齐次线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 n n
2 1 1 2 2 2 2 n n
m 1 1 m 2 2 m n n
a x a x + a x 0
a x + a x + + a x = 0
a x + a x + a x = 0
1 1 1 1 2 2 1 n n 1
2 1 1 2 2 2 2 n n 2
m 1 1 m 2 2 m n n m
a x a x + a x b
a x + a x + + a x = b
a x + a x + a x = b
非齐次齐次非齐次线性方程组 Ⅰ 有解 的充要条件是
R (A )= R A
在有解的条件下，非齐次线性方程组 Ⅰ
有 唯一解 的充要条件是 R(A)=n
有 无穷解 的充要条件是 R(A)<n，此时
Ⅰ 的解中含有 n-R(A)个自由未知量齐次线性方程组 Ⅱ 的解的情况
Ⅱ 只有零解 的充要条件是 R(A)=n
Ⅱ 有非零解 的充要条件是 R(A)<n
在 m=n的情况下，
只有零解的充要条件是有非零解的充要条件是
ija0?
ija =0
例 1,求解齐次线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
x 2x 2x x 0
2x x 2x 2x 0
x x 4x 3x 0
解,对系数矩阵 A实行初等变换化为最简形
21
31
r 2r
rr
1 2 2 1 1 2 2 1
A 2 1 2 2 0 - 3 6 4
1 1 4 3 0 3 6 4
12r 2r
1 0 - 2 - 5 3
0 1 2 4 3
0 0 0 0
1 3 4
2 3 4
5
x 2 x x 0
3
4
x 2 x x 0
3
32
2
rr
r3
1 2 2 1
0 1 2 4 3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组因为 R(A)=2，则该方程的解中有两个自由未知量，令
1 1 2
2 1 2
31
42
5
x 2c c
3
4
x 2c c
3
xc
xc
3 1 4 2x c,x c
则得通解：
.,21 为任意实数其中 cc
例 2,求解非齐次方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x 2x 3x x 1
3x - x + 5x - 3x 2
2x + x + 2x - 2x 3
21
31
32
r 3 r
r 2 r
rr
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
A 3 1 5 3 2 0 5 - 4 0 - 1
2 1 2 2 3 0 0 0 0 2
解,对增广矩阵进行初等变换显然方程组无解
(1)
例 2,求解非齐次方程组解：
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x 0
x x + x 3 x 1
x x 2 x 3 x 1 2
对增广矩阵进行初等行变换
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
A 1 1 1 3 1 0 0 2 4 1
1 1 2 3 1 2 0 0 0 0 0
1 1 0 - 1 1 2
0 0 1 2 1 2
0 0 0 0 0
∵ R(A)=R(A)=2
∴ 有解，且有无穷多解
(2)
令,得通解：
2 1 4 2x c,x c
1 2 4
34
x x x 1 2
x 2 x 1 2
1 1 2
21
31
42
x c c 1 2
x = c
x = 2 c 1 2
x = c
由最简形得到同解方程组例 3,含参数的线性方程组
用消元法求解
当方程个数等于未知量个数时，考虑用克拉默法则求解
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
x x x 1
x x x
x x x
问 取何值时,无解 有唯一解 有无穷多个解
21
31
2
rr 2
rr
22
11
0 1 1
0 1 1 1
13
21
31
2
rr 2
rr
2 2 2rr
1 1 1 1 1
A 1 1 0 1 1-
1 1 0 1- 1 1?
消元法解,
1111
1 = 1 A 0 0 0 0
0000
() 当 时，
R ( A) R ( A) 1 < 3,
方程组有无穷多解
32
2
rr
2
11
0 1 1 (1 )
0 0 (1 ) ( 2 ) ( 1 ) (1 )
讨论,
1 1 2
21
32
1x c c
xc
xc
其通解：
2
1 2 3
2 R A R A 3
1 1 ( 1 )
x,x,x
2 2 2
当 时,( ) = ( ) =,方程组有唯一解:
2,R ( A ) r ( A )时 方程组无解
2
2
11
2 1 A 0 1 1
0 0 2 ( 1 )
() 当 时，
1)
2)
克拉默法则
2
11
D 1 1 ( 1 ) ( 2 )
11
系数行列式
1 1 2 D 0() 当 且 时，系数行列式,方程组有为一解
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 A 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
() 当 时，增广矩阵,
方程组有无穷多解
- 2 1 1 1 1 1 - 2 4
3 2 A 1 - 2 1 - 2 0 1 - 1 2
1 1 - 2 4 0 0 0 1
() 当 时，增广矩阵,
方程组无解例 4,求两个线性方程组的公共解
1 2 4
2 3 4
x 3 x 3 x 1
- 7 x 3 x + x - 3
已知方程组,
1 2 3
1 2 4
x 2 x + x 8
x x + x 5
求这两个方程组的公共解解：联立两个方程组
1 2 4
2 3 4
1 2 3
1 2 4
x 3 x 3 x 1
- 7 x 3 x + x 3
x 2 x + x 8
x x + x 5
1 2 3 4x 1,x 2,x 3,x 2解得：
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3
x x 2x 6
4x x x x 1
3x x x 3
已知方程组,（ ）
1 2 3 4
2 3 4
34
x 2x + m x x 5
4x x + nx - 11
x 2x t
（ ）
m,n,t能否找到适当的,使这两个方程组为同解方程组例：
解,先解方程组 (Ⅰ )
1 1 0 2 6 1 0 0 1 2
4 1 1 1 1 0 1 0 1 4
3 1 1 0 3 0 0 1 - 2 5
1 2 3 4x 2 c,x 4 c,x 5 2 c,x c
从而（ ）的通解为：
( ) c
t 5,n 2,m 1
要使 和( ) 同解，上述方程对任意 成立，
故得：
()
2 c 2 m c 5 m 5
2 c n c 0
5t
将 的通解代入( ) 得：
+ - =
+ =
-=
2.1 高斯消元法
2.2 矩阵的秩
2.3 线性方程组解的判定
2.1 高斯消元法高斯消元法矩阵矩阵的初等变换高斯消元法
是求解线性方程组的一种基本方法。
其基本思想是通过消元变形，把方程组化成容易求解的同解方程组，
即得到能直接求出解或者能够直接判断其无解的同解方程组。
矩阵由 m× n个数 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 排成一个 m行 n列的矩阵数表称为 m× n矩阵，简称 矩阵,记作 A,B等。
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
ija
实矩阵 方阵 系数矩阵复矩阵 行矩阵 增广矩阵矩阵的初等变换矩阵的初等行 (列 )变换是对矩阵实行以下变换：
交换矩阵的两行 (列 )，
用一个非零数 k乘矩阵的某一行 (列 )，
用数 k乘以矩阵的某一行 (列 )加到另一行 (列 )上去，
jiji ccrr
ii kckr
初等行变换和初等列变换通称为 矩阵的初等变换
jiij kcckrr
高斯消元法矩阵 矩阵的初等变换消元变形，化成同解方程组。
数表
jiji ccrr
ii kckr
jiij kcckrr
阶梯矩阵和最简形
满足下列两个条件的矩阵称为 阶梯矩阵,
(1) 若有零行，则零行位于非零行的下方；
(2) 每个首非零元前面零的个数逐行增加。
首非零元为 1，且首非零元所在列的其它元都为零的梯矩阵，称为 最简阶梯矩阵,简称 最简形 。
任意 m× n阶矩阵 A总可以经过初等行变换化为阶梯形矩阵及最简形
一个矩阵的阶梯形一般不唯一，但它的最简形是唯一的。
判别最简形
1
0 1 0 1
0 0 1 1
0000
A
2
1 1 0 1
0 1 1 1
0000
A
3
1 0 0 1
0 1 0 1
0 1 1 1
A
4
1 1 0 1
0 0 1 1
0000
A
例 1.
用初等行变换将矩阵化成行阶梯矩阵和最简形
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
A
12
3 2
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
rr
r
A
23
31
41
2
3
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 5 5 3 6
0 3 3 4 3
rr
rr
rr
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 5 5 3 6
0 3 3 4 3
2
32
42
2
5
3
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 2 6
0 0 0 1 3
r
rr
rr
34
43 2
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
rr
rr
12
23
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
rr
rr
12
23
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
rr
rr
B= =C
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B是矩阵 A的阶梯矩阵
C是矩阵 A的最简形例 2,2 1 1 1
1 2 1 2
1 1 2 4
31
1 1 2 4
1 2 1 2
2 1 2 1
rr?
21
31 2
1 1 2 4
0 1 1 2
0 1 3 7
rr
rr
32
1 1 2 4
0 1 1 2
0 0 4 9
rr?
12
3
1
4
1 0 3 6
0 1 1 2
0 0 1 9 4
rr
r
13
23
3
1 0 0 3 4
0 1 0 1 4
0 0 1 9 4
rr
rr
用消元法解线性方程组例
1 2 3
1 2 3
1 2 3
21
22
24
x x x
x x x
x x x
解,(1) 写出增广矩阵，作初等变换
2 1 1 1
1 2 1 2
1 1 2 4
1 0 0 3 4
0 1 0 1 4
0 0 1 9 4
以 最后一个矩阵为增广矩阵的方程组为因此方程组有唯一解
(2) 根据最简形，写出方程组的解
1
2
3
3
4
1
4
9
4
x
x
x
矩阵与行列式
行 列式是一个数矩阵式一个长方形数表
方阵可以取行列式
2.2 矩阵的秩
K 阶子式矩阵的秩秩的求法基本定义
矩阵的 k阶子式在 m× n矩阵 A中选定 k行 k列 (k≤m,k≤n)，位于这 k行 k列交叉处的 个元素按照原来位置构成的 k阶行列式称为矩阵 A的一个 k阶子式 。
矩阵的秩若 m× n矩阵 A有一个 r阶子式 不为零，而所有的 r+1阶子式 (如果存在的话 )全为零，则称这个 r阶子式为矩阵 A的 最高阶子式,数 r为矩阵 A的 秩,记作 R(A)。
2k
rD
规定 零矩阵的秩为零 。
对 n阶方阵,
若,则 R(A)=n，称 A为 满秩矩阵 ；
若,则 R(A)<n，称 A为 降秩矩阵 。
由矩阵的秩的定义可知,
(1) R(A) ≤min {m,n}
(2) 若矩阵 A有一个 r阶子式不为零，则 R(A)≥r
(3) 若矩阵 A有一个 r+1阶子式不为零，则 R(A)≤r
)( ijaA?
0?ija
0?ija
求矩阵的秩的方法
1,利用定义
2,初等变换把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数即矩阵的秩 。
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩
阶梯矩阵与最简形的秩等于其非零行的个数例 1,求矩阵的秩
---通过定义求解
1 2 3
A 2 3 5
4 7 1
在 A中，容易看出一个 2阶子式 12 0
23?
A的 3阶子式只有一个 |A|，经计算可知 |A|=0
因此,R(A)=2
例 1,求矩阵的秩
---通过初等变化求解
1 2 0 2 5
2 5 1 1 8
0 3 3 4 1
3 6 0 7 2
A
1 2 0 2 5 1 2 0 2 5
0 1 1 3 2 0 1 1 3 2
0 0 0 5 5 0 0 0 1 1
0 0 0 13 13 0 0 0 0 0
R(A)=3
1 2 0 2 5
0 1 1 3 2
0 3 3 4 1
0 0 0 13 13
例 2,
A,x,y,z都不等于零
B,x,y,z互不相等
C,都不等于 -1
D,x=y=z
2
2
2
1 x x
A = 1 y y
1 z z
已知矩阵 A的秩为 3，则,—— B
例 3,已知矩阵的秩 R(A)=3
求方程组的未知系数 a
1 1 2 2 3
2 2 0 a 4
1 0 a 1 5
2 a 3 5 4
A
21
31
41
r 2r
rr
r 2r
1 1 2 2 3
0 0 - 4 a - 4 - 2
0 - 1 a - 2 - 1 2
0 a - 2 - 1 1 - 2
43
32
rr
rr
1 1 2 2 3
0 0 - 4 a - 4 - 2
0 - 1 a - 6 a - 5 0
0 a - 3 a - 3 0 0
25
34
cc
cc
1 3 2 2 1
0 - 2 a - 5 - 4 0
0 0 a - 5 a - 6 - 1
0 0 0 a - 3 a - 3
因 A的秩为 3，故 a=3
矩阵 A中划去一行得到矩阵 B，
问 R(A)与 R(B)的关系？
其次，设 R(A)=r,D为 A的 r阶非零子式,划去 A
中的第 i行得到 B：
若 D中不含有 A的第 i行的元素
若 D中含有 A的第 i行的元素首先,R(A) ≤R(B)
若 D中不含有 A的第 i行的元素：
D也是 B的一个 r阶非零子式，故有
R(B) ≥r；
若 D中含有 A的第 i行的元素：
将 D按这一行展开得到 r个 r-1阶子式，
因为 D≠0，则这 r个 r-1阶子式中至少有一个不为零，故 R(B) ≥r-1
R(A)-1≤R(B) ≤ R(A)
2.3 线性方程组解的判定非齐次线性方程组齐次线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 n n
2 1 1 2 2 2 2 n n
m 1 1 m 2 2 m n n
a x a x + a x 0
a x + a x + + a x = 0
a x + a x + a x = 0
1 1 1 1 2 2 1 n n 1
2 1 1 2 2 2 2 n n 2
m 1 1 m 2 2 m n n m
a x a x + a x b
a x + a x + + a x = b
a x + a x + a x = b
非齐次齐次非齐次线性方程组 Ⅰ 有解 的充要条件是
R (A )= R A
在有解的条件下，非齐次线性方程组 Ⅰ
有 唯一解 的充要条件是 R(A)=n
有 无穷解 的充要条件是 R(A)<n，此时
Ⅰ 的解中含有 n-R(A)个自由未知量齐次线性方程组 Ⅱ 的解的情况
Ⅱ 只有零解 的充要条件是 R(A)=n
Ⅱ 有非零解 的充要条件是 R(A)<n
在 m=n的情况下，
只有零解的充要条件是有非零解的充要条件是
ija0?
ija =0
例 1,求解齐次线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
x 2x 2x x 0
2x x 2x 2x 0
x x 4x 3x 0
解,对系数矩阵 A实行初等变换化为最简形
21
31
r 2r
rr
1 2 2 1 1 2 2 1
A 2 1 2 2 0 - 3 6 4
1 1 4 3 0 3 6 4
12r 2r
1 0 - 2 - 5 3
0 1 2 4 3
0 0 0 0
1 3 4
2 3 4
5
x 2 x x 0
3
4
x 2 x x 0
3
32
2
rr
r3
1 2 2 1
0 1 2 4 3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组因为 R(A)=2，则该方程的解中有两个自由未知量，令
1 1 2
2 1 2
31
42
5
x 2c c
3
4
x 2c c
3
xc
xc
3 1 4 2x c,x c
则得通解：
.,21 为任意实数其中 cc
例 2,求解非齐次方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x 2x 3x x 1
3x - x + 5x - 3x 2
2x + x + 2x - 2x 3
21
31
32
r 3 r
r 2 r
rr
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
A 3 1 5 3 2 0 5 - 4 0 - 1
2 1 2 2 3 0 0 0 0 2
解,对增广矩阵进行初等变换显然方程组无解
(1)
例 2,求解非齐次方程组解：
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x 0
x x + x 3 x 1
x x 2 x 3 x 1 2
对增广矩阵进行初等行变换
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
A 1 1 1 3 1 0 0 2 4 1
1 1 2 3 1 2 0 0 0 0 0
1 1 0 - 1 1 2
0 0 1 2 1 2
0 0 0 0 0
∵ R(A)=R(A)=2
∴ 有解，且有无穷多解
(2)
令,得通解：
2 1 4 2x c,x c
1 2 4
34
x x x 1 2
x 2 x 1 2
1 1 2
21
31
42
x c c 1 2
x = c
x = 2 c 1 2
x = c
由最简形得到同解方程组例 3,含参数的线性方程组
用消元法求解
当方程个数等于未知量个数时，考虑用克拉默法则求解
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
x x x 1
x x x
x x x
问 取何值时,无解 有唯一解 有无穷多个解
21
31
2
rr 2
rr
22
11
0 1 1
0 1 1 1
13
21
31
2
rr 2
rr
2 2 2rr
1 1 1 1 1
A 1 1 0 1 1-
1 1 0 1- 1 1?
消元法解,
1111
1 = 1 A 0 0 0 0
0000
() 当 时，
R ( A) R ( A) 1 < 3,
方程组有无穷多解
32
2
rr
2
11
0 1 1 (1 )
0 0 (1 ) ( 2 ) ( 1 ) (1 )
讨论,
1 1 2
21
32
1x c c
xc
xc
其通解：
2
1 2 3
2 R A R A 3
1 1 ( 1 )
x,x,x
2 2 2
当 时,( ) = ( ) =,方程组有唯一解:
2,R ( A ) r ( A )时 方程组无解
2
2
11
2 1 A 0 1 1
0 0 2 ( 1 )
() 当 时，
1)
2)
克拉默法则
2
11
D 1 1 ( 1 ) ( 2 )
11
系数行列式
1 1 2 D 0() 当 且 时，系数行列式,方程组有为一解
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 A 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
() 当 时，增广矩阵,
方程组有无穷多解
- 2 1 1 1 1 1 - 2 4
3 2 A 1 - 2 1 - 2 0 1 - 1 2
1 1 - 2 4 0 0 0 1
() 当 时，增广矩阵,
方程组无解例 4,求两个线性方程组的公共解
1 2 4
2 3 4
x 3 x 3 x 1
- 7 x 3 x + x - 3
已知方程组,
1 2 3
1 2 4
x 2 x + x 8
x x + x 5
求这两个方程组的公共解解：联立两个方程组
1 2 4
2 3 4
1 2 3
1 2 4
x 3 x 3 x 1
- 7 x 3 x + x 3
x 2 x + x 8
x x + x 5
1 2 3 4x 1,x 2,x 3,x 2解得：
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3
x x 2x 6
4x x x x 1
3x x x 3
已知方程组,（ ）
1 2 3 4
2 3 4
34
x 2x + m x x 5
4x x + nx - 11
x 2x t
（ ）
m,n,t能否找到适当的,使这两个方程组为同解方程组例：
解,先解方程组 (Ⅰ )
1 1 0 2 6 1 0 0 1 2
4 1 1 1 1 0 1 0 1 4
3 1 1 0 3 0 0 1 - 2 5
1 2 3 4x 2 c,x 4 c,x 5 2 c,x c
从而（ ）的通解为：
( ) c
t 5,n 2,m 1
要使 和( ) 同解，上述方程对任意 成立，
故得：
()
2 c 2 m c 5 m 5
2 c n c 0
5t
将 的通解代入( ) 得：
+ - =
+ =
-=
