第四章 向量空间
4.1 n维向量
4.2 向量组的线性相关性
4.3 向量组的秩 4.4 n维向量空间
4.5 欧氏空间 Rn
4.6 线性方程组解的结构一,维向量的概念n
第一节 n 维向量二,维向量的线性运算n
n 维向量的加法和数乘运算规律向量加法,交换律、结合律数乘向量,结合律、分配律（数的分配、
向量的分配）
三、向量的运算规律
关于向量的加法有：
关于数与向量的乘法有：
)()( 0
0)(
1
)kl()l(k?
kk)(k
lk)lk(
向 量
)3(?n解析几何 线性代数既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组几何形象,可随意平行移动的有向线段代数形象,向量的坐 标 表 示 式
),,,( 21 nT aaaa
坐标系四、向量空间空 间
)3(?n解析几何 线性代数点空间,点的集合 向量空间,向量的集合坐标系代数形象,向量空间 中 的 平 面
dczbyaxzyxr T ),,(
几何形象,空间直线、曲线、空间平面或曲面
dczbyaxzyx),,(
),,( zyxP ),,( zyxr T?一 一 对 应若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
一、向量、向量组与矩阵第二节 向量组的线性相关性二、线性组合,线性表示
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
定义 1
.
,21
个线性组合的系数称为这，,mkkk?，称为向量组的一个向量
2211 mmkkk
线性组合
1 1 2 2 mmb k k k
12
12
,,,,,
,,,
m
m
Ab
k k k
给 定 向 量 组 和 向 量 如 果 存 在一 组 数,使
.
2211
有解即线性方程组
bxxx mm
的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab向量 能由向量组 线性表示 或线性表出,
b
A
定义 2
,),,(
),(
21
21
的秩。，
的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量
bB
A
Ab
m
m
定理 1
12
1 1 2 2
12
12
,,,
(,,,)
(,,,,)
m
mm
m
m
nn
x x x
A
A
维 向 量 可 由 维 向 量 组 线 性 表 示线 性 方 程 组 有 解矩 阵 的 秩 等 于 矩 阵的 秩,
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
A
使全为零的数如果存在不给定向量组定义 3
三、向量组的线性相关性及其重要结论则称向量组 是 线性相关 的，否则称它 线性无关,A
线性相关性的判定定理 2
.)A(.2
.)A(.1:
),,,,(A,,,,,2121
mRA
mRA
A mm
<
线性无关的充要条件是线性相关的充要条件是则记对于向量组
定理 3 线性相关的充要条件是向量组 )2(,,,21?mm
中至少有一个向量m,,,21?
.1 个向量线性表示可由其它?m
.,
,,,,:
,,,,,
1
21
且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组
A
bbB
A
m
m
定理 4
定理 2的三个推论：
推论 1
A n A
A
设 为 阶 方 阵,则 的 列 向 量 组 线 性 相 关 的充 要 条 件 是 的 行 列 式 等 于 零 。
推论 2
2
,
,,m
m n m n?
1当 时,个 维 向 量 组 成 的 向 量 组一 定 线 性 相 关 。
推论 3
1 1 2
2 1 2 1
12
21
,(,,,),( 1,2,,)
,(,,,,,,),( 1,2,,)
T
j j j r j
T
j j j r j r j n j
T a a a j m
T a a a a a j m
TT
TT
设 有 两 个 向 量 组,
若 向 量 组 线 性 无 关,则 向 量 组 也 线 性 无 关 ；
若 向 量 组 线 性 相 关,则 向 量 组 也 线 性 相 关 。
定义 设有两个向量组
mA,,,,21?,,,,,21 nB与若向量组 B中的向量均可由向量组 A线性表示,
则称 向量组 B可由向量组 A线性表示 ；
若向量组 A与向量组 B可以相互线性表示,
则称 向量组 A与向量组 B等价,
第三节 向量组的秩性质：反身性、对称性、传递性一、向量组等价的概念
,,iA?设有向量组定义;,,,,( 1 ) 210 线性无关向量组 rA;)(1 ( 2 ) 个向量线性相关若有中任意向量组?rA
.0 称为向量组的秩中所含向量的个数向量组 rA
的一个最大线性无关组是向量组则称向量组 AA 0
).(),,,,(,,,,2121 ARaaaRaaaA mm 的秩记作向量组二,向量组最大线性无关组与向量组的秩
.00 为向量的向量组的秩规定只含个向量中存在如果在向量组 rA
,,,,21 r满足
).( 简称最大无关组定义
:,则的一个最高阶非零子式是矩阵若 AD r
重要推论 (最大无关组的求法 )
最大无关组，列即是列向量组的一个所在的 rD r
.最大无关组行即是行向量组的一个所在的 rD r
三、矩阵的秩与向量组的秩间的关系
.
,
它的行向量组的秩也等于量组的秩矩阵的秩等于它的列向定理定理 若向量组 T1可由向量组 T2线性表示，则向量组 T
1的秩不超过向量组 T2的秩。
推论推论等价向量组的秩相等。
( ) m i n ( ),( )R A B R A R B?
四、一些重要结论定理
A B A B矩 阵 经 初 等 行 变 换 化 为 矩 阵,则 与的 任 何 对 应 的 列 向 量 构 成 的 列 向 量 组 有相 同 的 线 性 组 合 关 系 。
定理
1 2 2
21
:,,,:
,,,
m
n
TT
T
1
1
若 向 量 组 可 由 向 量 组线 性 表 示,则 线 性 相 关 。
推论
1 2 2
21
:,,,:
,,,
.
m
n
TT
T
mn
1
1
若 向 量 组 可 由 向 量 组线 性 表 示,且 线 性 无 关,
则推论若 两 个 线 性 无 关 向 量 组 等 价,则 它 们所 包 含 的 向 量 的 个 数 相 等 。
定义 设 是 维向量构成的非空集合，且满足nV
第四节 n 维向量空间一、向量空间的概念
( 1 ),,
( 2 )
VV
V k k V
对 有 ＋,
对,任 意 数 有,
V那么就称集合 是一个向量空间．
定义二、子空间
.21 的子空间是则称 VV
,,,2121 VVVV?若都是向量空间设
,是一个向量空间设 V
.,,,2)( 21 线性表示中任一向量都可由 rV
三、向量空间的基与维数;,,,)1( 21 线性无关r
定义 9
满足个向量若,,,,21 Vr r
,,,1 的一个基是则称向量组 Vr
,的维数称为 Vr
.维向量空间为并称 rV
四、向量在基下的坐标定义 10
12,,,m mV设 是 维 向 量 空 间 的 一 组 基
V对,有
1 1 2 2 mmx x x
12
1 2 1 2
,,,
,,,,,,
m
mm
x x x
x x x
T
那 么 组 合 系 数 构 成 的 向 量
（ ） 称 为 在 基下 的 坐 标 。
向量空间 V 的基确定之后,V 中向量在该基下的坐标是唯一的。
且有两个基的是线性空间及设
,
,,,,,,2121 nnn V
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
称此公式为基变换公式．
五、基变换公式与过渡矩阵
Pnn,,,,,,2121
基变换公式矩阵 称为由基 到基 的过渡矩阵．
,
,,,,,,
2121
中在基变换公式
Pnn
n,,,21? n,,,21?P
过渡矩阵 是可逆的．P
过渡矩阵 P就建立了向量空间 V中的两组基之间的关系作为过渡矩阵,P具有如下性质：
基变换公式（ 1）满足 的矩阵 P的第 j 列是 在基
j
12,,, 下 的 坐 标 。m
（ 2）由于基是线性无关的，因而 P是可逆矩阵。
而且 P－ 1是从的过渡矩阵。 1 2 1 2
,,,,,,mm到若两个基满足关系式
Pnn,,,,,,2121
六、坐标变换公式
,)',,','(
,,,
,),,,(
,,,,1
21
21
21
21
n
T
n
n
T
nn
xxx
xxx
V
下的坐标为在基为下的坐标在基中的元素设定理
则有坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
.
2
1
1
n
x
x
x
P
x
x
x
或
１．基变换公式
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
2211
22221122
12211111
Pnn,,,,,,2121
２．坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
或
.
'
'
'
2
1
12
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
回 顾向量组 向量空间概念极大无关组向量组的秩概念基维数子空间第五节 欧氏空间 Rn
定义 11 维向量设有 n
,,
2
1
2
1
nn
y
y
y
y
x
x
x
x
,2211 的内积与为称 yxyxyxyx nn
一、内积的定义及性质
,),( 2211 nn yxyxyxyx即
),( yx
记做：
定义了内积的向量空间 Rn 称为 欧几里得空间,简称欧氏空间 。
◆ 内积的运算性质
:,,,为实数维向量为其中?nzyx
),(),()1( xyyx?
),(),()2( yxyx
),(),(),()3( zyzxzyx
.0),(0,0),( )4( xxxxx 时有且当
（ 5）柯西 —— 施瓦茨性质
),)(,( yyxx?),( yx
2
定义 12
非负性.1
齐次性.2
三角不等式.3
,),( 22221 nT xxxxxxxx令
,或的维向量为称 xnx长度 范数向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 xxxx 时当时当;xx
.yxyx
二、向量的长度及性质
,),,,( 21 Tnxxxx设
,,11 为称时当 xx?单位向量
|||||||| ),(a r c c o s,0,02 yx yxyx时当
,的与维向量称为 yxn夹角定义 13
三、单位向量及 n维向量间的夹角
１ 正交的概念
２ 正交向量组的概念
.,0),( yxyx 与称向量时当? 正交
.,0,与任何向量都正交则若由定义知 xx?
四、正交向量组的概念及求法
,,,,)1( 21 均非零向量向量若 m
,,,,)2( 21 两两正交向量 m
.,,,21 是一个正交向量组则称向量组 m
４ 向量空间的正交基
,,,,)1( 21 的一个基是向量空间若 Vr
,,,,)2( 21 是一个正交向量组r
.,,,21 的一个正交基是向量空间则称 Vr
３ 正交向量组的性质线性无关.,,,则是一,,,维向量若
r
rn
21
21,个正交向量组组定理
５ 标准（规范）正交基定义,,,,)1( 21 的一个基是向量空间若 Veee r?
,,,,)2( 21 是一个正交向量组reee?
,,,,)3( 21 均是单位向量reee?
.,,,21 的一个规范正交基是向量空间则称 Veee r?
求规范正交基的方法 （ Schmidt正交化方法）
,,,,21 的一个基是向量空间设 Vr
.,,,21 这个基规范正交化这个问题叫做把 r
,,,,21 reeeV?正交基的一个与之等价的规范求定义
,
,1
正交矩阵为则称即满足阶方阵若
A
AAEAAAn TT
性质 (4) 为正交矩阵的 充要条件 是 的 列向量 都是单位向量且两两正交．
A A
五、正交矩阵
;1 1 TAA
;2 EAA T?
;3 单位向量的列向量是两两正交的A
,4 单位向量的行向量是两两正交的A
为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A
１,解向量
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
一、齐次线性方程组解的结构第六节 线性方程组解的结构
,,,,2211 是方程组的解若 nnxxx
n
T
n
2
1
21 ),,,(称为方程组的解向量、
２,齐次线性方程组 解的性质 及 解空间
,0,)1( 21 的解是若?Ax,021 的解也是则 Ax
,0)2( 的解是若?Ax?,0,的解也是则对 AxkRk?
,0,,,21 的解均为齐次线性方程组设向量?Axt;,,,)1( 21 线性无关向量组 t
.,,,0)2( 21 线性表示的任一解都可由 tAx
１,基础解系二、齐次线性方程组的基础解系及其求法如果
.0,,,21 的一个基础解系为则称向量组?Axt
１．齐次线性方程组基础解系的求法
00
00
10
01
1
111
rn,rr
rn,
bb
bb
~A
（ 1）对系数矩阵 进行初等行变换，将其化为行最简形
A
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
Ax
11
11111
0
由于令
.,,,
x
x
x
n
r
r
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
（ 2）得出,同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量．
rAR?
rn?
,
b
b
r
0
0
1
1
11
1
,
b
b
r
0
1
0
2
12
2
,
b
b
,
rn,r
rn,
rn
1
0
0
1
故
,
b
b
,,
b
b
,
b
b
x
x
rn,r
rn,
rrr
1
2
12
1
111
得为齐次线性方程组的一个基础解系,
rnrnkkkx
Ax
2211
0,的通解可表示为方程组此时
.0
,1)( 2121
的解为对应的齐次方程则的解都是及设
Ax
xbAxxx
１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
.11 rnrnkkx?
２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组 Ax=b的通解为
,0,,1 的一个基础解系是其中 Axrn
.的任意一个特解是方程组 bAx 定理 12
3．非齐次线性方程组通解的求法非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的 一个基础解系 ＋ 该非齐次线性方程组的 某个解（特解）,
4,与方程组 有解等价的命题bAx?;,,,21 线性表示能由向量组向量 nb;,,,,,,,2121 等价与向量组向量组 bnn
.
,,,,,,,2121
的秩相等与矩阵矩阵 bBA nn
线性方程组 有解bAx?
5．线性方程组的解法
(1)克莱姆法则
(2)初等变换法特点,只适用于系数行列式不等于零的方形线性方程组，计算量大，理论价值大于实用价值．
特点,适用于方程组无解、唯一解、无穷多解的各种情形，运算在一个矩阵中进行，计算简单，
是非常有效的方法．
(3) 基础解系法特点,解的结构清楚,计算简单,也是很好的方法,
有解0?Ax n)A(R <
个解向量此时基础解系中含有 ARn?
nBRAR
nBRAR <?,有无穷多解bAx?
BRAR?,无解bAx?
.有唯一解bAx?
6,线性方程组解的情况
一、向量组线性相关性的判定二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的计算与证明第四章典型问题返回习题解析：
所以用矩阵的初等变换可直接求得过渡矩阵Ｐ，具体方法是：
例如本题的初等行变换的求法为
101
010
432
341
432
321
121
101
020
2
1
341
432
321
111
001
111 1
p
)()( 321321 PE 初等行变换
202
111
432
200
110
001
020
111
321
020
110
111
541
432
321
111
001
111
101
010
432
100
010
001
101
111
432
100
110
001
例 17 设 是空间 的一个基，又
证明 和 也是 中的基；
求由基 到基 的过渡矩阵；
求由基 到基 的坐标变换公式
3R
321,,
323
322
11
2
53
323
212
3211
4
32
24
321,, 321,,
3R
321,,
321,,
321,,
321,,
解（１）只需证明 和 线形无关即可，
设即亦即由 线形无关得
321,,
321,,
0332211 xxx
0)2()53( 32332211 xxx
0)25()3( 33223211 xxxxx
321,,
025
03
0
32
32
1
xx
xx
x
（ 2）求由基 到基 的过渡矩阵；
321,, 321,,
（ 3）求由基 到基 的坐标变换公式
321,, 321,,
4.1 n维向量
4.2 向量组的线性相关性
4.3 向量组的秩 4.4 n维向量空间
4.5 欧氏空间 Rn
4.6 线性方程组解的结构一,维向量的概念n
第一节 n 维向量二,维向量的线性运算n
n 维向量的加法和数乘运算规律向量加法,交换律、结合律数乘向量,结合律、分配律（数的分配、
向量的分配）
三、向量的运算规律
关于向量的加法有：
关于数与向量的乘法有：
)()( 0
0)(
1
)kl()l(k?
kk)(k
lk)lk(
向 量
)3(?n解析几何 线性代数既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组几何形象,可随意平行移动的有向线段代数形象,向量的坐 标 表 示 式
),,,( 21 nT aaaa
坐标系四、向量空间空 间
)3(?n解析几何 线性代数点空间,点的集合 向量空间,向量的集合坐标系代数形象,向量空间 中 的 平 面
dczbyaxzyxr T ),,(
几何形象,空间直线、曲线、空间平面或曲面
dczbyaxzyx),,(
),,( zyxP ),,( zyxr T?一 一 对 应若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
一、向量、向量组与矩阵第二节 向量组的线性相关性二、线性组合,线性表示
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
定义 1
.
,21
个线性组合的系数称为这，,mkkk?，称为向量组的一个向量
2211 mmkkk
线性组合
1 1 2 2 mmb k k k
12
12
,,,,,
,,,
m
m
Ab
k k k
给 定 向 量 组 和 向 量 如 果 存 在一 组 数,使
.
2211
有解即线性方程组
bxxx mm
的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab向量 能由向量组 线性表示 或线性表出,
b
A
定义 2
,),,(
),(
21
21
的秩。，
的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量
bB
A
Ab
m
m
定理 1
12
1 1 2 2
12
12
,,,
(,,,)
(,,,,)
m
mm
m
m
nn
x x x
A
A
维 向 量 可 由 维 向 量 组 线 性 表 示线 性 方 程 组 有 解矩 阵 的 秩 等 于 矩 阵的 秩,
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
A
使全为零的数如果存在不给定向量组定义 3
三、向量组的线性相关性及其重要结论则称向量组 是 线性相关 的，否则称它 线性无关,A
线性相关性的判定定理 2
.)A(.2
.)A(.1:
),,,,(A,,,,,2121
mRA
mRA
A mm
<
线性无关的充要条件是线性相关的充要条件是则记对于向量组
定理 3 线性相关的充要条件是向量组 )2(,,,21?mm
中至少有一个向量m,,,21?
.1 个向量线性表示可由其它?m
.,
,,,,:
,,,,,
1
21
且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组
A
bbB
A
m
m
定理 4
定理 2的三个推论：
推论 1
A n A
A
设 为 阶 方 阵,则 的 列 向 量 组 线 性 相 关 的充 要 条 件 是 的 行 列 式 等 于 零 。
推论 2
2
,
,,m
m n m n?
1当 时,个 维 向 量 组 成 的 向 量 组一 定 线 性 相 关 。
推论 3
1 1 2
2 1 2 1
12
21
,(,,,),( 1,2,,)
,(,,,,,,),( 1,2,,)
T
j j j r j
T
j j j r j r j n j
T a a a j m
T a a a a a j m
TT
TT
设 有 两 个 向 量 组,
若 向 量 组 线 性 无 关,则 向 量 组 也 线 性 无 关 ；
若 向 量 组 线 性 相 关,则 向 量 组 也 线 性 相 关 。
定义 设有两个向量组
mA,,,,21?,,,,,21 nB与若向量组 B中的向量均可由向量组 A线性表示,
则称 向量组 B可由向量组 A线性表示 ；
若向量组 A与向量组 B可以相互线性表示,
则称 向量组 A与向量组 B等价,
第三节 向量组的秩性质：反身性、对称性、传递性一、向量组等价的概念
,,iA?设有向量组定义;,,,,( 1 ) 210 线性无关向量组 rA;)(1 ( 2 ) 个向量线性相关若有中任意向量组?rA
.0 称为向量组的秩中所含向量的个数向量组 rA
的一个最大线性无关组是向量组则称向量组 AA 0
).(),,,,(,,,,2121 ARaaaRaaaA mm 的秩记作向量组二,向量组最大线性无关组与向量组的秩
.00 为向量的向量组的秩规定只含个向量中存在如果在向量组 rA
,,,,21 r满足
).( 简称最大无关组定义
:,则的一个最高阶非零子式是矩阵若 AD r
重要推论 (最大无关组的求法 )
最大无关组，列即是列向量组的一个所在的 rD r
.最大无关组行即是行向量组的一个所在的 rD r
三、矩阵的秩与向量组的秩间的关系
.
,
它的行向量组的秩也等于量组的秩矩阵的秩等于它的列向定理定理 若向量组 T1可由向量组 T2线性表示，则向量组 T
1的秩不超过向量组 T2的秩。
推论推论等价向量组的秩相等。
( ) m i n ( ),( )R A B R A R B?
四、一些重要结论定理
A B A B矩 阵 经 初 等 行 变 换 化 为 矩 阵,则 与的 任 何 对 应 的 列 向 量 构 成 的 列 向 量 组 有相 同 的 线 性 组 合 关 系 。
定理
1 2 2
21
:,,,:
,,,
m
n
TT
T
1
1
若 向 量 组 可 由 向 量 组线 性 表 示,则 线 性 相 关 。
推论
1 2 2
21
:,,,:
,,,
.
m
n
TT
T
mn
1
1
若 向 量 组 可 由 向 量 组线 性 表 示,且 线 性 无 关,
则推论若 两 个 线 性 无 关 向 量 组 等 价,则 它 们所 包 含 的 向 量 的 个 数 相 等 。
定义 设 是 维向量构成的非空集合，且满足nV
第四节 n 维向量空间一、向量空间的概念
( 1 ),,
( 2 )
VV
V k k V
对 有 ＋,
对,任 意 数 有,
V那么就称集合 是一个向量空间．
定义二、子空间
.21 的子空间是则称 VV
,,,2121 VVVV?若都是向量空间设
,是一个向量空间设 V
.,,,2)( 21 线性表示中任一向量都可由 rV
三、向量空间的基与维数;,,,)1( 21 线性无关r
定义 9
满足个向量若,,,,21 Vr r
,,,1 的一个基是则称向量组 Vr
,的维数称为 Vr
.维向量空间为并称 rV
四、向量在基下的坐标定义 10
12,,,m mV设 是 维 向 量 空 间 的 一 组 基
V对,有
1 1 2 2 mmx x x
12
1 2 1 2
,,,
,,,,,,
m
mm
x x x
x x x
T
那 么 组 合 系 数 构 成 的 向 量
（ ） 称 为 在 基下 的 坐 标 。
向量空间 V 的基确定之后,V 中向量在该基下的坐标是唯一的。
且有两个基的是线性空间及设
,
,,,,,,2121 nnn V
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
称此公式为基变换公式．
五、基变换公式与过渡矩阵
Pnn,,,,,,2121
基变换公式矩阵 称为由基 到基 的过渡矩阵．
,
,,,,,,
2121
中在基变换公式
Pnn
n,,,21? n,,,21?P
过渡矩阵 是可逆的．P
过渡矩阵 P就建立了向量空间 V中的两组基之间的关系作为过渡矩阵,P具有如下性质：
基变换公式（ 1）满足 的矩阵 P的第 j 列是 在基
j
12,,, 下 的 坐 标 。m
（ 2）由于基是线性无关的，因而 P是可逆矩阵。
而且 P－ 1是从的过渡矩阵。 1 2 1 2
,,,,,,mm到若两个基满足关系式
Pnn,,,,,,2121
六、坐标变换公式
,)',,','(
,,,
,),,,(
,,,,1
21
21
21
21
n
T
n
n
T
nn
xxx
xxx
V
下的坐标为在基为下的坐标在基中的元素设定理
则有坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
.
2
1
1
n
x
x
x
P
x
x
x
或
１．基变换公式
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
2211
22221122
12211111
Pnn,,,,,,2121
２．坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
或
.
'
'
'
2
1
12
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
回 顾向量组 向量空间概念极大无关组向量组的秩概念基维数子空间第五节 欧氏空间 Rn
定义 11 维向量设有 n
,,
2
1
2
1
nn
y
y
y
y
x
x
x
x
,2211 的内积与为称 yxyxyxyx nn
一、内积的定义及性质
,),( 2211 nn yxyxyxyx即
),( yx
记做：
定义了内积的向量空间 Rn 称为 欧几里得空间,简称欧氏空间 。
◆ 内积的运算性质
:,,,为实数维向量为其中?nzyx
),(),()1( xyyx?
),(),()2( yxyx
),(),(),()3( zyzxzyx
.0),(0,0),( )4( xxxxx 时有且当
（ 5）柯西 —— 施瓦茨性质
),)(,( yyxx?),( yx
2
定义 12
非负性.1
齐次性.2
三角不等式.3
,),( 22221 nT xxxxxxxx令
,或的维向量为称 xnx长度 范数向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 xxxx 时当时当;xx
.yxyx
二、向量的长度及性质
,),,,( 21 Tnxxxx设
,,11 为称时当 xx?单位向量
|||||||| ),(a r c c o s,0,02 yx yxyx时当
,的与维向量称为 yxn夹角定义 13
三、单位向量及 n维向量间的夹角
１ 正交的概念
２ 正交向量组的概念
.,0),( yxyx 与称向量时当? 正交
.,0,与任何向量都正交则若由定义知 xx?
四、正交向量组的概念及求法
,,,,)1( 21 均非零向量向量若 m
,,,,)2( 21 两两正交向量 m
.,,,21 是一个正交向量组则称向量组 m
４ 向量空间的正交基
,,,,)1( 21 的一个基是向量空间若 Vr
,,,,)2( 21 是一个正交向量组r
.,,,21 的一个正交基是向量空间则称 Vr
３ 正交向量组的性质线性无关.,,,则是一,,,维向量若
r
rn
21
21,个正交向量组组定理
５ 标准（规范）正交基定义,,,,)1( 21 的一个基是向量空间若 Veee r?
,,,,)2( 21 是一个正交向量组reee?
,,,,)3( 21 均是单位向量reee?
.,,,21 的一个规范正交基是向量空间则称 Veee r?
求规范正交基的方法 （ Schmidt正交化方法）
,,,,21 的一个基是向量空间设 Vr
.,,,21 这个基规范正交化这个问题叫做把 r
,,,,21 reeeV?正交基的一个与之等价的规范求定义
,
,1
正交矩阵为则称即满足阶方阵若
A
AAEAAAn TT
性质 (4) 为正交矩阵的 充要条件 是 的 列向量 都是单位向量且两两正交．
A A
五、正交矩阵
;1 1 TAA
;2 EAA T?
;3 单位向量的列向量是两两正交的A
,4 单位向量的行向量是两两正交的A
为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A
１,解向量
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
一、齐次线性方程组解的结构第六节 线性方程组解的结构
,,,,2211 是方程组的解若 nnxxx
n
T
n
2
1
21 ),,,(称为方程组的解向量、
２,齐次线性方程组 解的性质 及 解空间
,0,)1( 21 的解是若?Ax,021 的解也是则 Ax
,0)2( 的解是若?Ax?,0,的解也是则对 AxkRk?
,0,,,21 的解均为齐次线性方程组设向量?Axt;,,,)1( 21 线性无关向量组 t
.,,,0)2( 21 线性表示的任一解都可由 tAx
１,基础解系二、齐次线性方程组的基础解系及其求法如果
.0,,,21 的一个基础解系为则称向量组?Axt
１．齐次线性方程组基础解系的求法
00
00
10
01
1
111
rn,rr
rn,
bb
bb
~A
（ 1）对系数矩阵 进行初等行变换，将其化为行最简形
A
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
Ax
11
11111
0
由于令
.,,,
x
x
x
n
r
r
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
（ 2）得出,同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量．
rAR?
rn?
,
b
b
r
0
0
1
1
11
1
,
b
b
r
0
1
0
2
12
2
,
b
b
,
rn,r
rn,
rn
1
0
0
1
故
,
b
b
,,
b
b
,
b
b
x
x
rn,r
rn,
rrr
1
2
12
1
111
得为齐次线性方程组的一个基础解系,
rnrnkkkx
Ax
2211
0,的通解可表示为方程组此时
.0
,1)( 2121
的解为对应的齐次方程则的解都是及设
Ax
xbAxxx
１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
.11 rnrnkkx?
２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组 Ax=b的通解为
,0,,1 的一个基础解系是其中 Axrn
.的任意一个特解是方程组 bAx 定理 12
3．非齐次线性方程组通解的求法非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的 一个基础解系 ＋ 该非齐次线性方程组的 某个解（特解）,
4,与方程组 有解等价的命题bAx?;,,,21 线性表示能由向量组向量 nb;,,,,,,,2121 等价与向量组向量组 bnn
.
,,,,,,,2121
的秩相等与矩阵矩阵 bBA nn
线性方程组 有解bAx?
5．线性方程组的解法
(1)克莱姆法则
(2)初等变换法特点,只适用于系数行列式不等于零的方形线性方程组，计算量大，理论价值大于实用价值．
特点,适用于方程组无解、唯一解、无穷多解的各种情形，运算在一个矩阵中进行，计算简单，
是非常有效的方法．
(3) 基础解系法特点,解的结构清楚,计算简单,也是很好的方法,
有解0?Ax n)A(R <
个解向量此时基础解系中含有 ARn?
nBRAR
nBRAR <?,有无穷多解bAx?
BRAR?,无解bAx?
.有唯一解bAx?
6,线性方程组解的情况
一、向量组线性相关性的判定二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的计算与证明第四章典型问题返回习题解析：
所以用矩阵的初等变换可直接求得过渡矩阵Ｐ，具体方法是：
例如本题的初等行变换的求法为
101
010
432
341
432
321
121
101
020
2
1
341
432
321
111
001
111 1
p
)()( 321321 PE 初等行变换
202
111
432
200
110
001
020
111
321
020
110
111
541
432
321
111
001
111
101
010
432
100
010
001
101
111
432
100
110
001
例 17 设 是空间 的一个基，又
证明 和 也是 中的基；
求由基 到基 的过渡矩阵；
求由基 到基 的坐标变换公式
3R
321,,
323
322
11
2
53
323
212
3211
4
32
24
321,, 321,,
3R
321,,
321,,
321,,
321,,
解（１）只需证明 和 线形无关即可，
设即亦即由 线形无关得
321,,
321,,
0332211 xxx
0)2()53( 32332211 xxx
0)25()3( 33223211 xxxxx
321,,
025
03
0
32
32
1
xx
xx
x
（ 2）求由基 到基 的过渡矩阵；
321,, 321,,
（ 3）求由基 到基 的坐标变换公式
321,, 321,,
