电阻电路 —— 静态、即时，激励响应
VCR为代数方程,响应仅由激励引起动态电路 —— 动态、过渡过程，激励响应 VCR为微分方程,响应与激励的全部历史有关
5 一阶电路分析
5-1 电容元件和电感元件
5-1-1 电容元件定义,如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由 q-u
平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。
代表积聚电荷、储存电场能的元件符号和特性曲线：
+ u(t) -
+ q(t) -i(t)
线性电容 —— 特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性电容。时不变 —— 特性曲线不随时间变化，否则为时变电容元件。
u
q 斜率为 C
线性时不变电容的特性线性非时变电容元件的数学表达式：
系数 C 为常量，为直线的斜率，
称为电容，表征积聚电荷的能力。
单位是法 [拉 ],用 F表示。
q(t)=Cu(t)
电容元件的电压电流关系
t
uC
t
Cu
t
qti
d
d
d
)(d
d
d)(
电容的电流与其电压对时间的变化率成正比。假如电容的电压保持不变，
则电容的电流为零。电容元件相当于开路 (i=0)。
1,电容是动态元件
2,电容是惯性元件当 i 有限时，电压变化率 必然有限；电压只能连续变化而不能跳变。 t
u
d
d
3,电容是记忆元件电容电压 u有“记忆”电流全部历史的作用。取决于电流 的值。
t diCtu )(1)(
),( t
t diCtu )(1)(
ttt diCdiC 00 )(1)(1
tt diCtu 0 )(1)( 0
1,T0 时刻电容的初始电压,
2,与 t >t0 后电流作用的结果。
电压电流参考方向关联时,电容吸收功率
t
uCtutitutp
d
d)()()()(
p 可正可负。当 p > 0 时，电容吸收功率（吞），储存电场能量增加；
当 p < 0时，电容发出功率（吐），电容放出存储的能量。
4,电容是 储能 元件任意时刻 t得到的总能量为某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电流值无关。电压的绝对值增大时，储能增加；减小时，储能减少。
)(
2
1)( 2 tuCtw
CC?
)]()([
2
1
)()(
)(
)(
)()()()(
22
)(
)(
CC
C
tu
u
C
C
t
C
t
CC
t
C
utuC
duuCd
d
du
uC
diudptw
C
C
当 C > 0 时,w( t )不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。
上式也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，因为电压的跃变要伴随储能的跃变，在电流有界的情况下
，是不可能造成电场能发生跃变和电容电压发生跃变的 。
例 1 C =4F,其 上电压如图 (b)，试求
iC(t),pC(t)和 wC(t),并画出波形。
)(
41
423
211
10
)()(
C
V
t
tt
tt
t
tutu
S
+
uC
-
+
uS
-
iC
C
uS
1
-1
1 2
3 4 t
(b)
解：
t
uCti
d
d)( C
C?
)(
40
424
214
10
A
t
t
t
t
)(
40
42)3(4
21)1(4
10
)()()(
C
W
t
tt
tt
t
titutp
CC
)(
42
42)3(2
21)1(2
10
)(
2
1
)(
2
2
2
C
J
t
tt
tt
t
tCutw
C
uS
1
-1
1 2
3 4 t
(b)
iC
4
-4
1 2
3 4 t
pC
4
-4 1 2 3 4 t
wC
2
0 1 2 3 4 t
)(
10
101
)()(C A
t
t
titi S
解：
例 2 C =2F，电流如图 (b)，初始电压 v
(0)=0.5V,试求 时电容电压,并画出波形。
0?t
+
uC
-
iS
iC
C
iS
0 1 t
(b)
1
)(5.05.0
)(
1
)0()(
0
Vt
di
C
utu
t
CCC
10 t
)(1
)(
1
)1()(
1
V
di
C
utu
t
CCC
1?t
uC
0 1 t
1
0.5
5-1-2 电感元件代表建立磁场、储存磁场能的元件定义,如果一个二端元件在任一时刻，
其磁链与电流之间的关系由平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。
)()( tit
线性电感 —— 特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性；非时变 —— 特性曲线不随时间变化，否则为时变电感元件。
符号和特性曲线：
i
斜率为 L
线性非时变电感的特性
+ -
(t)i(t) L
u (t)
线性非时变电感元件的数学表达式：
)()( tLit
系数 L为常量，直线的斜率，称为电感，表征产生磁链的能力。
单位是亨 [利 ],用 H表示。
电感元件的电压电流关系
t
iL
t
Li
ttu d
d
d
)(d
d
d)(
电感的电压与其电流对时间的变化率成正比。假如电感的电流保持不变，
则电感的电压为零。电感元件相当于短路 (u=0)。
1,电感是动态元件
2,电感是惯性元件
u 有限时，电流变化率 必然有限；
电流只能连续变化而不能跳变。 t
i
d
d
3.电感是记忆元件电感电流 i有“记忆”电压全部历史的作用。取决于电压 的值。
t duLti )(1)(
),( t
t duLti )(1)(
ttt duLduL 00 )(1)(1
tt duLti 0 )(1)( 0
1,t0 时刻电感的初始电流 ;
2,t> t0 后电压作用的结果,
电压电流参考方向关联时,电感吸收功率
t
tiLtititutp
d
)(d)()()()(
p 可正可负。当 p > 0 时，电感吸收功率 (吞 )，储存磁场能量增加；
当 p < 0时，电感发出功率 (吐 )，放出存储的磁场能量。
4,电感是 储能 元件任意时刻 t电感的总能量为某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电压值无关。电流的绝对值增大时，储能增加；减小时，储能减少。
w t L i tL L( ) ( )? 1
2
2
)]()([
2
1
)()(
)(
)(
)()()()(
22
)(
)(
LL
L
ti
i
L
L
t
L
t
L
t
L
itiL
diiLd
d
di
iL
diudptw
L
L
当 L > 0 时,w( t )不可能为负值，电感不可能放出多于它储存的能量，这说明电感是一种储能元件。
上式也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，因为电流的跃变要伴随储能的跃变，在电压有界的情况下
，是不可能造成磁场能发生跃变和电感电流发生跃变的 。
例 3 L=5?H，求电感电压 u(t),并画出波形图。
)(
40
4360 001024
3020 00
00
)(
3
A
st
stt
stt
t
ti
解：
t
i
t
iLtu
d
d105
d
d)( 6
)(
40
4330
3010
00
mV
st
st
st
t
例 4 L=5mH，求电感电流。并画出波形图。
L
+
uS
-
+
u
-
i
(a)
uS/mV
10
-10
0 1 2 3 t
(b)
解,当 0<t?1s时,u(t)=10mV，
A2)1( s1
A2A20d10102)0(
d)(
1
)(
0
22
it
tti
u
L
ti
t
t
时当
当 1s<t?2s时,u(t)=-10mV，
A0)2( s2
A24d101022d)(
1
)1()(
1
22
1
it
tu
L
iti
tt
时当
当 2s<t?3s时,u(t)=10mV，
根据以上结果，可画出电感电流的波形如图 (c) 。
A2)3( s3
A)2(2d101020d)(
1
)2()(
2
22
2
it
tv
L
iti
tt
时当
当 3s<t?4s时,u(t)=-10mV，
A0)4( s4
A28d)10(1022d)(
1
)3()(
3
22
3
it
tu
L
iti
tt
时当
u/mV
10
-10
0 1 2 3 t
(b)
iL
2
0 1 2 3 t
(c)
实际使用的电感线圈类型很多，可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作为电路模型。在工作频率很高时，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型
。
5-1-3 电容器和电感器的模型电容器除了标明容量外，还须说明它的工作电压，电解电容还须标明极性。漏电很小，工作电压低时，可用一个电容作为它的电路模型。当漏电不能忽略时
，需用一个电阻与电容的并联作为电路模型。工作频率很高时，还需要增加一个电感来构成它的电路模型电阻,电容和电感是三种最基本的电路元件 。 它们是用两个电路变量之间的关系来定义的：电压和电流间存在确定关系的元件是电阻元件；电荷和电压间存在确定关系的元件是电容元件；磁链和电流间存在确定关系的元件是电感元件 。 这些关系从下图可以清楚看到 。
t
t
tu
t
tq
ti
d
)(d
)(
d
)(d
)(
ψ
四个基本变量间定义的另外两个关系是四个基本电路变量之间的关系图
5－ 2 换路定则及初始值计算换路,电路元件连接方式或参数的突然改变。 +
uS
-
+
uC(0)
-
R
C
t=0
换路前瞬间 换路后
t=0 － t=0+
uC(0 － ),iL(0 － ) ； uC(0 +),iL(0 +)
初始 状态 ；初始 值状态,（某时刻）电容电压和电感电流
(0 +状态 )(0 － 状态 )
瞬态分析（动态分析）：分析动态电路从换路开始直至进入稳态全过程的电压及电流的变化规律。
分析步骤,
1 依据电路两类约束，以所求响应为变量，列换路后的微分方程；
2 找所须初始条件，解微分方程。
换路定则 (或 开闭定理 )：
1,若电容中电流不为无穷大，则电容电压不会跳变，即,uC(0 +)= uC(0 -)；
2,若电感中电压不为无穷大，则电感电流不会跳变，即,iL(0 +) ＝ i L(0 -) 。
说 明,
1,电路中无全电容回路 (C-C,uS -C)，
或 无全电感割集 (L-L,iS -L)；
2,只适合 uC和 iL,它们是联系换路前后的唯一纽带，其他变量可能会跳变；
３,实质是电荷守恒，磁链守恒。
元 件 电 容 电 感数学式 uC(0 +)= uC(0 -) iL(0 +)=i L(0 -)
qC(0 +)= qC(0 -)?L(0+)=? L(0 -)
等效图
t=0-
t=0+
+ uC(0-)=U0 -
C
+ U0 -
应用条件 iC有限 uL有限
L
iL(0-)=I0
I0
初始值的计算,
1,求换路前初始状态 uC(0－ ) 及 iL(0－ );
2,由换路定则，求 uC(0+ ) 及 iL(0+ ) ;
3,画 t=0+时的等效电路－－电容用电压等于 uC(0+ )的电压源替代；电感用 iL(0+ )
的电流源替代；
４,求待求电压和电流的初始值。
例５ 开关闭合已久,求电容初始值 uC(0+)
解：由于开关闭合已久，由直流电源驱动的电路中，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零，
电容相当于开路。得 t=0－ 等效图开关断开时，在电阻 R2和 R3不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，即：
S
21
2
CC )0()0( URR
Ruu
+
uC(0-)
-
+
US
-
R1
R2
R3
t=0－ 等效图
S
21
2
C )0( URR
Ru
例 6 开关闭合前电路已稳定,uS = 10V,
R1=30?,R2=20?,R3=40?。 求开关闭合时各电压、电流的初始值,
L
R1
R2
R3
+
vC
-
C t=0
+
uS
-
iL
解,(1)求初始状态 uC(0－ ) 及 iL(0－ )
由于 t<0时电路已稳定,电感看作短路
，电容看作开路，作 t=0-
等效图
R1
R2
R3
+
uC (0-)
-
t=0-图
+
uS
-
iL(0-)
V4)0()0( 2C Riu L
A2.0)0(
21
L
RR
ui S
R1
R2
R3
+
uC (0+)
-
t=0+图
+
uS
-
iL(0+)
+uL (0+)-
+u1 (0+)-
i2(0+)iC(0+)
i3(0+)
(2)由换路定则,
,作 t =0+等效图
A2000,)(i)(i LL
V4)0()0(C Cuu
(3)求初始值
A2.0)0()0(1 Lii
R1
R2
R3
+
4V
-
t=0+图
+
uS
-
0.2 A
+uL (0+)-
+u1 (0+)-
i2(0+)iC(0+)
i3(0+)
V6)0()0( 111 Riu
V4)0()0()0( 32 Cuuu
A2.0/)0()0( 222 Rvi
A1.0)0()0()0()0( 32LC iiii
0)0()0()0( 1L CS uuuu
A1.0/)0()0( 333 Rui
例 7 开关打开前电路已稳定,求初始值解,(1)求初始状态 uC(0－ ) 及 iL(0－ )
t
u
t
iiui CL
d
)0(d
d
)0(d),0(),0(),0(
1LC
和
1H
4?
+
uC
-
0.5F
t=0
+
10V
-
iL 2?
4?
i1
t<0时电路已稳定,电感看作短路，电容看作开路，作 t=0-等效图 4?
+
uC (0-)
-
t= 0-图
+
10V
-
iL(0-)
2?
4?
V10)0(Cu
A5
//
)0(
21
L
RR
ui S
(2)由换路定则,
,作 t =0+等效图 A5)0()0(L Lii
V10)0()0(C Cuu
0)0(10)0(L Cuu
A5.24/)0()0(1 Cui+
uC (0+)
-
t=0+图
+
10V
-
+ uL (0+) - iC(0+)
iL(0+)
2?
4?
i1(0+)i2(0+)
A5.25.25)0()0()0()0( 12LC iiii
A / s0)0(
d
)0(d L
L
u
t
i L
V / s5)0(
d
)0(d C
C
i
t
u C
例 8 原电路已稳定,uS = 10V,R1=2?,
R2=3?,C=0.1F,L=0.1H。 求开关打开时各电压、电流的初始值解,(1)求初始状态 uC(0－ ) 及
iL(0－ )
电路已稳定,电感看作短路，电容看作开路，作 t=0-等效图,
R1
R3
+
uC
- C
t=0
+
uS
-
iR1
L
+
uL
-
iCR2 iL
可得：
R1
R3
+
uC (0－ )
-
+
uS
-
iR1 (0－ )
+
uR2 (0－ )
-
R2
iL (0－ )
t= 0-图
A2
32
10)0(
21
L
RR
ui S
V632)0()0( 2LC Riu
(2)由换路定则,得：
A2)0()0(L Lii
V6)0()0(C Cuu
Aii C 2)0()0( L
(3) 作 t=0+等效图
(4)求初始值
R3
+
uC (0+ )
-
+
uR2 (0+ )
- R2
t= 0+图
iL (0+ )
iC (0+ )
V212)0()0( 3CR3 Riu
V632)0()0( 2LR2 Riu
V2)0()0()0()0( R3CR2L uuuu
思考,换路时，
电容电流、电感电压、电阻电流及电压有无跳变？
R3
+
uC (0+)
-
+
uR2 (0+)
- R2
t= 0+图
iL (0+ )
iC (0+)
例 9 图 (a)电路中的开关闭合已久,t=0时断开开关，试求开关转换前和转后瞬间的电容电压和电容电流。
解：图 (a)电路,t=0-时,电容电压为恒定值
,电容电流为 0,电容相当于开路 。 用分压公式得
V5102110)0()0(
21
2
C 2
RR
Ruu
R
电阻 R1和 R2的电流 i1(0-)=i2(0-)=10/2=5A
开关断开后如图 (b)。 电压源对电容不再起作用,由于 t=0时刻电容电流有界,电容电压不能跃变,由此得 V5)0()0(
CC uu
此时电容电流与电阻 R2的电流相同，可得
A515)0()0( 2C ii
电容电流由 iC(0-)=0A变化到 iC(0+)=-5A。电阻 R1的电流由 i1(0-)=5A变化到 i1(0+)=0A
5-3 一阶电路的零输入响应一阶电路,由一阶微分方程描述的电路零输入响应：没有外加激励时的响应。
仅由动态元件初始状态（内激励）引起
N
+
u
-
L
i
iSC
G0
+
u
-L
i
N
+
u
-
C
i
C
i
+
uoc
-
R0
+
u
-
开关转换前,电容电压已经达到 U0。
换路后如图 (b)所示 。 由换路定则得
0CC )0()0( Uuu
5-3-1 RC电路的零输入响应
0CR uu
电阻和电容的 VCR得：
t
uRCRiRiu
d
d C
CRR
代入上式得以下方程
)0(0dd CC tutuRC
这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为
tsKtu e)(
C?
+
uC
-
R
C
+
uR
-
iR
iC
(b)
由 KVL得：
01RCs
特征根：
RCs
1－?
称为电路的固有频率。于是电容电压变为
RC
t
Ktu e)(C
K是一个常量，由初始条件确定。当
t=0+ 时上式变为
KKu tRC
t
0C |e)0(
根据初始条件
0C )0( Uu
求得特征方程：
0UK?
)0( e )()(
)0(e
d
d
)(
)0( e)(
0
CR
0C
C
0C
t
R
U
titi
t
R
U
t
u
Cti
tUtu
RC
t
RC
t
RC
t
各电压电流均以相同的指数规律变化，
变化的快慢取决于 R和 C的乘积。
令? =RC,? 具有时间的量纲，故称它为 RC电路的 时间常数 。
最后得到图 (b)电路的零输入响应为电压的变化与时间常数的关系 。
t 0? 2? 3? 4? 5?
uc(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0
由于波形衰减很快，实际上只要经过 4
～ 5?的时间就可认为放电（瞬态）过程基本结束。
RC电路零输入响应的波形曲线有跳变)()(
CR titi 和时间常数在曲线上的意义
,切线与横轴交点（切距）
0? a a+? t
U0
0.368U0
uC(t)
衰减到原来值 36.8?所需的时间电阻在电容放电过程中消耗的总能量：
0
0
2
0
202
RR 2
1d)e(d)( CUtR
R
UtRtiW RC t＝
电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。
当?=RC变大时，电容放电过程会加长，
因为增加电容 C，就增加电容的初始储能；若增加电阻 R，放电电流就减小。
反之，时间常数小，则放电快。
例 10 已知 uC(0-)=6V。求 t>0的电容电压解,在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，则 V6)0()0(
CC uu
连接于电容两端的电阻等效为
k10k)3//68(oR
因此
)0(Ve6e)( 20 0C tUtu t
t
假如还要计算电容中的电流 iC(t)，则
mAe6.0e)20(6105
d
)(d)( 20206
C
ttC
t
tuCti
s05.0105
1051010
2
63
0
CR?
开关连接于 1端已很久，电感中的电流等于 I0,换路后的电路如图 (b)。在开关转换瞬间，由于电感电压有界，电感电流不能跃变，即 iL(0+)= iL(0-)= I0
5-3-2 RL电路的零输入响应列方程,
t
iLRi L
d
d
L
得到以下微分方程
0
L
L
)0(
00
d
d
Ii
ti
t
i
R
L
L
微分方程的通解为 )0(e)(
L
tKti tLR
Luu?R
代元件 VCR，得代入初始条件 iL(0+)=I0求得,0IK?
最后得到电感电流和电感电压为
)0(
d
d
)(
)0( ee)(
τ
0
0
L
L
τ
0
0L
teRIeRI
t
i
Ltu
tIIti
t
t
L
R
t
t
L
R
其中? =GL=L/R,具有时间的量纲，
称它为 RL电路的 时间常数 。
其波形如下图。结果表明,RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数? 。
例 11 开关 S1连 1端已很久,t=0时 S1倒向 2端，开关 S2也同时闭合。求 t?0时的
iL(t)和 uL(t)。
解：换路瞬间，电感电压有界，电感电流不能跃变，故 A1.0)0()0( LL ii
图 (b)电路的时间常数为
1 m ss102 0 02.0 3＝＝ RL?
电感电流和电感电压为
)0(V20
Ve101.02.0
d
d
)(
)0(mAe1.0e)(
0010
00103L
L
1000τ
0L
te
t
i
Ltu
tIti
t
t
t
t
一阶电路零输入响应 —— 各电压电流均从其初始值开始，按照指数规律衰减到零，一般表达式为
0,e)0()(
trtr
t
iziz τ
5-3-3 一阶电路零输入响应的一般公式
rzi(t)—— 一阶电路任意需求的零输入响应
rzi(0+)—— 响应的初始值
—— 时间常数例 12 已知 iL(0-)=1.5A,L=0.5H,求
i1(t)和 uL(t)。
解：（ 1）由换路定则，得：
A5.1)0()0( LL ii
+
uL
-
L
iL - 4i1 + i
1
5? 10?
（ 2）画 0+图，求初始值 i1(0+)和 uL(0+)。
+
uL ( 0+ )
-
- 4i1 ( 0+ ) + i1 ( 0+ )
5? 10?
1.5A网孔法，得：
A5.0)0(
05.15)0()105(
1
1
i
i
即：
V3)0(10)0(4)0( 11L iiu
（ 3）求时间常数：
先求等效电阻，用加压求流法
+
u
-
- 4i1 + i1
5? 10?
i
ii
iiiu
105
5
6104
1
111
消去 i1得：
22 eq
i
uRiu 即：
所以 s
R
L
4
1
2
5.0
0,Ae5.0)( 4 1 tti t
0,e)0()(
trtr
t
iziz
τ
（ 4）初始值和时间常数代入下式得结果
0,Ve3)( 4 ttu tL
5-4 一阶电路的零状态响应零状态响应：初始状态为零，仅由独立电源 (称为外激励或输入 )
引起的响应。
这里仅讨论一阶电路在直流激励下的零状态响应图示电路中的电容原来未充电,
uC(0-)=0。 换路时,由于电容电流有界,电 容 电 压 不 会 跃 变,
uC(0+)=uC(0-)=0
5-4-1 RC电路的零状态响应
iC
C
R
+
-
uC
+
-
US
t=0
以电容电压为变量，
列微分方程
0,dd SCC tUutuRC
这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解由两部分组成，即
)()()( CpChC tututu
iC
C
R
+
-
uC
+
-
US
换路后如右图
UCh(t)是与齐次微分方程相应的通解
，其形式与零输入响应相同，即
)0(ee)( Ch tAAtu RC
t
st通解：
uCp(t)是非齐次微分方程的特解 。 一般来说,它的模式与输入函数相同 。 对于直流激励的电路,它是一个常数,令
Ktu?)(Cp特解：
将它代入微分方程，求得
SUK?
因而完全解为
0,e)( S
C
tUAtu RC
t
式中的常数 A由初始条件确定。
SUA
UAu
得：
0)0( SC
得零状态响应为
)0()e1()e1()( τ SC tUUtu
t
S
RC
t
)0(ee
d
d)( τ S SC
C
t
R
U
R
U
t
uCti tRC t
波形图0.632US
US
US
零状态响应变化的快慢也取决于时间常数? =RC。 越大，充电过程越长。
电容电压的特解与激励形式相同 —— 强制响应分量。直流激励的一阶电路，它就是 t时的电容电压，即 UCp(t)=
UC(?) —— 稳态响应分量。
通解由激励引起，响应形式与激励无关
，反映电路自身特性 —— 固有响应分量或自然响应分量。有耗电路,t时这一分量趋于 0 —— 暂态响应分量。
电阻在电容充电过程中消耗的总能量：
0 0 222RR 21d)e(d)( SRC
t
S CUtR
R
UtRtiW ＝
结果表明：与充电结束时电容所储存的电场能量相同。充电效率 50?
图 (a)电路换路前已稳定，即 iL(0-)=0。
t=0时开关由 a倒向 b，如图 (b)。由于电感电压有界时，电感电流不能跃变，即
iL(0+)= iL(0-)=0。因此是零状态问题。
5-4-2 RL电路的零状态响应图 (b)电路列方程
)0(
d
d
SL
L tIi
t
i
R
L
这是常系数非齐次一阶微分方程。其解与
RC电路相似，即
S
S
LpLhL ee)()()( IBIBtititi
tt
L
R
=L/R是该电路的时间常数。常数 B由初始条件确定，即由下式
SIBIBii 即0)0()0( SLL
+
uL
-
L
iL
iR
R
IS
(b)
最后得 RL一阶电路的零状态响应为
)0(ee
d
d
)(
)0( )e1()e1()(
S
S
L
L
SL
tRIRI
t
i
Ltu
tIIti
t
t
L
R
t
S
t
L
R
波形曲线
uL(t)
0.632IS
直流激励下零状态电路的动态过程是动态元件的充电过程。一般表达式为
0),e1)(()( τ tvtu
t
CsCz
5-4-3 一阶电路电容电压、电感电流零状态响应的一般公式
uCzS(?),iLzS(?)—— 稳态值或终值
—— 时间常数
0),e1)(()(
titi
t
LL z s τ
例 13 图 (a)电路原已稳定，求 t?0的
uC(t),iC(t)及 i1(t)。
uC uCUOC
解：先求等效戴维南电路，得图 (b)，其中
V1 2 011 2 0ocU 3 0 01 8 01 2 0oR
当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，可得 V1 2 0)(
ocC Uu
)0(Ae4.0
d
d
)(
)0(V)e1(120)e1()(
4
4
10
3
1
C
C
10
3
1
τ
ocC
t
t
u
Cti
tUtu
t
t
t
图 (a)用 KCL可 得
)0(A,)e4.01()()(
410
3
1
CS1
ttiIti
t
s30010310300 46o sCR
例 14 图 (a)电路原已稳定，求 t? 0
的电感电流和电感电压。
解：换路后如图 (b)，开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即
0)0()0( LL ii
将图 (b)用诺顿等效电路代替，得到图 (c) 电路。
求得时间常数为
sRL 05.08 4.0
o
+
uL
-8?
iL
0.4H
1.5A
(c)
a
b
)0(V12ee205.14.0
d
d
)(
)0(A)e1(5.1)(
2020
20
L
t
t
i
Ltu
tti
ttL
L
t
因此例 15 图 (a)为一继电器延时电路模型。继电器参数,R=100?,L=4H，当线圈电流达到
6mA时，继电器动作，将触头接通。从开关闭合到触头接通时间称为延时时间。为改变延时时间，在电路中串联一个电位器，阻值从零到 900? 间变化。若 US=12V，试求电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围
US
解：开关闭合前，电路处于零状态，
iL(0-)=0。
由换路定则得,iL(0+)=iL(0-)=0。用图
(b)所示诺顿等效电路代替，其中
oW
scWo R
U
RR
UIRRR SS?
电感电流的表达式为
)e1()( τ
o
S
L
t
R
Uti
设 t0为延时时间，则有 mA6)e1()(
τ
o
S
0L
0
t
R
Uti
由此求得
S
0Lo
0
)(1ln
V
tiRt τ
当 Rw=0?时,?=0.04s
ms05.2
12
1061001n04.0 3
0?
lt
当 Rw=900?时,?=0.004s
ms77.2
12
1061 0 0 0
1n004.0
3
0?
lt
作业 10,p153
5-7
5-8
5-9（ c,d）
5-10
作业 11,p154
5-12
5-13(a)
5-14 （ d,e,f）
5-19
5-20
VCR为代数方程,响应仅由激励引起动态电路 —— 动态、过渡过程，激励响应 VCR为微分方程,响应与激励的全部历史有关
5 一阶电路分析
5-1 电容元件和电感元件
5-1-1 电容元件定义,如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由 q-u
平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。
代表积聚电荷、储存电场能的元件符号和特性曲线：
+ u(t) -
+ q(t) -i(t)
线性电容 —— 特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性电容。时不变 —— 特性曲线不随时间变化，否则为时变电容元件。
u
q 斜率为 C
线性时不变电容的特性线性非时变电容元件的数学表达式：
系数 C 为常量，为直线的斜率，
称为电容，表征积聚电荷的能力。
单位是法 [拉 ],用 F表示。
q(t)=Cu(t)
电容元件的电压电流关系
t
uC
t
Cu
t
qti
d
d
d
)(d
d
d)(
电容的电流与其电压对时间的变化率成正比。假如电容的电压保持不变，
则电容的电流为零。电容元件相当于开路 (i=0)。
1,电容是动态元件
2,电容是惯性元件当 i 有限时，电压变化率 必然有限；电压只能连续变化而不能跳变。 t
u
d
d
3,电容是记忆元件电容电压 u有“记忆”电流全部历史的作用。取决于电流 的值。
t diCtu )(1)(
),( t
t diCtu )(1)(
ttt diCdiC 00 )(1)(1
tt diCtu 0 )(1)( 0
1,T0 时刻电容的初始电压,
2,与 t >t0 后电流作用的结果。
电压电流参考方向关联时,电容吸收功率
t
uCtutitutp
d
d)()()()(
p 可正可负。当 p > 0 时，电容吸收功率（吞），储存电场能量增加；
当 p < 0时，电容发出功率（吐），电容放出存储的能量。
4,电容是 储能 元件任意时刻 t得到的总能量为某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电流值无关。电压的绝对值增大时，储能增加；减小时，储能减少。
)(
2
1)( 2 tuCtw
CC?
)]()([
2
1
)()(
)(
)(
)()()()(
22
)(
)(
CC
C
tu
u
C
C
t
C
t
CC
t
C
utuC
duuCd
d
du
uC
diudptw
C
C
当 C > 0 时,w( t )不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。
上式也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，因为电压的跃变要伴随储能的跃变，在电流有界的情况下
，是不可能造成电场能发生跃变和电容电压发生跃变的 。
例 1 C =4F,其 上电压如图 (b)，试求
iC(t),pC(t)和 wC(t),并画出波形。
)(
41
423
211
10
)()(
C
V
t
tt
tt
t
tutu
S
+
uC
-
+
uS
-
iC
C
uS
1
-1
1 2
3 4 t
(b)
解：
t
uCti
d
d)( C
C?
)(
40
424
214
10
A
t
t
t
t
)(
40
42)3(4
21)1(4
10
)()()(
C
W
t
tt
tt
t
titutp
CC
)(
42
42)3(2
21)1(2
10
)(
2
1
)(
2
2
2
C
J
t
tt
tt
t
tCutw
C
uS
1
-1
1 2
3 4 t
(b)
iC
4
-4
1 2
3 4 t
pC
4
-4 1 2 3 4 t
wC
2
0 1 2 3 4 t
)(
10
101
)()(C A
t
t
titi S
解：
例 2 C =2F，电流如图 (b)，初始电压 v
(0)=0.5V,试求 时电容电压,并画出波形。
0?t
+
uC
-
iS
iC
C
iS
0 1 t
(b)
1
)(5.05.0
)(
1
)0()(
0
Vt
di
C
utu
t
CCC
10 t
)(1
)(
1
)1()(
1
V
di
C
utu
t
CCC
1?t
uC
0 1 t
1
0.5
5-1-2 电感元件代表建立磁场、储存磁场能的元件定义,如果一个二端元件在任一时刻，
其磁链与电流之间的关系由平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。
)()( tit
线性电感 —— 特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性；非时变 —— 特性曲线不随时间变化，否则为时变电感元件。
符号和特性曲线：
i
斜率为 L
线性非时变电感的特性
+ -
(t)i(t) L
u (t)
线性非时变电感元件的数学表达式：
)()( tLit
系数 L为常量，直线的斜率，称为电感，表征产生磁链的能力。
单位是亨 [利 ],用 H表示。
电感元件的电压电流关系
t
iL
t
Li
ttu d
d
d
)(d
d
d)(
电感的电压与其电流对时间的变化率成正比。假如电感的电流保持不变，
则电感的电压为零。电感元件相当于短路 (u=0)。
1,电感是动态元件
2,电感是惯性元件
u 有限时，电流变化率 必然有限；
电流只能连续变化而不能跳变。 t
i
d
d
3.电感是记忆元件电感电流 i有“记忆”电压全部历史的作用。取决于电压 的值。
t duLti )(1)(
),( t
t duLti )(1)(
ttt duLduL 00 )(1)(1
tt duLti 0 )(1)( 0
1,t0 时刻电感的初始电流 ;
2,t> t0 后电压作用的结果,
电压电流参考方向关联时,电感吸收功率
t
tiLtititutp
d
)(d)()()()(
p 可正可负。当 p > 0 时，电感吸收功率 (吞 )，储存磁场能量增加；
当 p < 0时，电感发出功率 (吐 )，放出存储的磁场能量。
4,电感是 储能 元件任意时刻 t电感的总能量为某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电压值无关。电流的绝对值增大时，储能增加；减小时，储能减少。
w t L i tL L( ) ( )? 1
2
2
)]()([
2
1
)()(
)(
)(
)()()()(
22
)(
)(
LL
L
ti
i
L
L
t
L
t
L
t
L
itiL
diiLd
d
di
iL
diudptw
L
L
当 L > 0 时,w( t )不可能为负值，电感不可能放出多于它储存的能量，这说明电感是一种储能元件。
上式也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，因为电流的跃变要伴随储能的跃变，在电压有界的情况下
，是不可能造成磁场能发生跃变和电感电流发生跃变的 。
例 3 L=5?H，求电感电压 u(t),并画出波形图。
)(
40
4360 001024
3020 00
00
)(
3
A
st
stt
stt
t
ti
解：
t
i
t
iLtu
d
d105
d
d)( 6
)(
40
4330
3010
00
mV
st
st
st
t
例 4 L=5mH，求电感电流。并画出波形图。
L
+
uS
-
+
u
-
i
(a)
uS/mV
10
-10
0 1 2 3 t
(b)
解,当 0<t?1s时,u(t)=10mV，
A2)1( s1
A2A20d10102)0(
d)(
1
)(
0
22
it
tti
u
L
ti
t
t
时当
当 1s<t?2s时,u(t)=-10mV，
A0)2( s2
A24d101022d)(
1
)1()(
1
22
1
it
tu
L
iti
tt
时当
当 2s<t?3s时,u(t)=10mV，
根据以上结果，可画出电感电流的波形如图 (c) 。
A2)3( s3
A)2(2d101020d)(
1
)2()(
2
22
2
it
tv
L
iti
tt
时当
当 3s<t?4s时,u(t)=-10mV，
A0)4( s4
A28d)10(1022d)(
1
)3()(
3
22
3
it
tu
L
iti
tt
时当
u/mV
10
-10
0 1 2 3 t
(b)
iL
2
0 1 2 3 t
(c)
实际使用的电感线圈类型很多，可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作为电路模型。在工作频率很高时，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型
。
5-1-3 电容器和电感器的模型电容器除了标明容量外，还须说明它的工作电压，电解电容还须标明极性。漏电很小，工作电压低时，可用一个电容作为它的电路模型。当漏电不能忽略时
，需用一个电阻与电容的并联作为电路模型。工作频率很高时，还需要增加一个电感来构成它的电路模型电阻,电容和电感是三种最基本的电路元件 。 它们是用两个电路变量之间的关系来定义的：电压和电流间存在确定关系的元件是电阻元件；电荷和电压间存在确定关系的元件是电容元件；磁链和电流间存在确定关系的元件是电感元件 。 这些关系从下图可以清楚看到 。
t
t
tu
t
tq
ti
d
)(d
)(
d
)(d
)(
ψ
四个基本变量间定义的另外两个关系是四个基本电路变量之间的关系图
5－ 2 换路定则及初始值计算换路,电路元件连接方式或参数的突然改变。 +
uS
-
+
uC(0)
-
R
C
t=0
换路前瞬间 换路后
t=0 － t=0+
uC(0 － ),iL(0 － ) ； uC(0 +),iL(0 +)
初始 状态 ；初始 值状态,（某时刻）电容电压和电感电流
(0 +状态 )(0 － 状态 )
瞬态分析（动态分析）：分析动态电路从换路开始直至进入稳态全过程的电压及电流的变化规律。
分析步骤,
1 依据电路两类约束，以所求响应为变量，列换路后的微分方程；
2 找所须初始条件，解微分方程。
换路定则 (或 开闭定理 )：
1,若电容中电流不为无穷大，则电容电压不会跳变，即,uC(0 +)= uC(0 -)；
2,若电感中电压不为无穷大，则电感电流不会跳变，即,iL(0 +) ＝ i L(0 -) 。
说 明,
1,电路中无全电容回路 (C-C,uS -C)，
或 无全电感割集 (L-L,iS -L)；
2,只适合 uC和 iL,它们是联系换路前后的唯一纽带，其他变量可能会跳变；
３,实质是电荷守恒，磁链守恒。
元 件 电 容 电 感数学式 uC(0 +)= uC(0 -) iL(0 +)=i L(0 -)
qC(0 +)= qC(0 -)?L(0+)=? L(0 -)
等效图
t=0-
t=0+
+ uC(0-)=U0 -
C
+ U0 -
应用条件 iC有限 uL有限
L
iL(0-)=I0
I0
初始值的计算,
1,求换路前初始状态 uC(0－ ) 及 iL(0－ );
2,由换路定则，求 uC(0+ ) 及 iL(0+ ) ;
3,画 t=0+时的等效电路－－电容用电压等于 uC(0+ )的电压源替代；电感用 iL(0+ )
的电流源替代；
４,求待求电压和电流的初始值。
例５ 开关闭合已久,求电容初始值 uC(0+)
解：由于开关闭合已久，由直流电源驱动的电路中，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零，
电容相当于开路。得 t=0－ 等效图开关断开时，在电阻 R2和 R3不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，即：
S
21
2
CC )0()0( URR
Ruu
+
uC(0-)
-
+
US
-
R1
R2
R3
t=0－ 等效图
S
21
2
C )0( URR
Ru
例 6 开关闭合前电路已稳定,uS = 10V,
R1=30?,R2=20?,R3=40?。 求开关闭合时各电压、电流的初始值,
L
R1
R2
R3
+
vC
-
C t=0
+
uS
-
iL
解,(1)求初始状态 uC(0－ ) 及 iL(0－ )
由于 t<0时电路已稳定,电感看作短路
，电容看作开路，作 t=0-
等效图
R1
R2
R3
+
uC (0-)
-
t=0-图
+
uS
-
iL(0-)
V4)0()0( 2C Riu L
A2.0)0(
21
L
RR
ui S
R1
R2
R3
+
uC (0+)
-
t=0+图
+
uS
-
iL(0+)
+uL (0+)-
+u1 (0+)-
i2(0+)iC(0+)
i3(0+)
(2)由换路定则,
,作 t =0+等效图
A2000,)(i)(i LL
V4)0()0(C Cuu
(3)求初始值
A2.0)0()0(1 Lii
R1
R2
R3
+
4V
-
t=0+图
+
uS
-
0.2 A
+uL (0+)-
+u1 (0+)-
i2(0+)iC(0+)
i3(0+)
V6)0()0( 111 Riu
V4)0()0()0( 32 Cuuu
A2.0/)0()0( 222 Rvi
A1.0)0()0()0()0( 32LC iiii
0)0()0()0( 1L CS uuuu
A1.0/)0()0( 333 Rui
例 7 开关打开前电路已稳定,求初始值解,(1)求初始状态 uC(0－ ) 及 iL(0－ )
t
u
t
iiui CL
d
)0(d
d
)0(d),0(),0(),0(
1LC
和
1H
4?
+
uC
-
0.5F
t=0
+
10V
-
iL 2?
4?
i1
t<0时电路已稳定,电感看作短路，电容看作开路，作 t=0-等效图 4?
+
uC (0-)
-
t= 0-图
+
10V
-
iL(0-)
2?
4?
V10)0(Cu
A5
//
)0(
21
L
RR
ui S
(2)由换路定则,
,作 t =0+等效图 A5)0()0(L Lii
V10)0()0(C Cuu
0)0(10)0(L Cuu
A5.24/)0()0(1 Cui+
uC (0+)
-
t=0+图
+
10V
-
+ uL (0+) - iC(0+)
iL(0+)
2?
4?
i1(0+)i2(0+)
A5.25.25)0()0()0()0( 12LC iiii
A / s0)0(
d
)0(d L
L
u
t
i L
V / s5)0(
d
)0(d C
C
i
t
u C
例 8 原电路已稳定,uS = 10V,R1=2?,
R2=3?,C=0.1F,L=0.1H。 求开关打开时各电压、电流的初始值解,(1)求初始状态 uC(0－ ) 及
iL(0－ )
电路已稳定,电感看作短路，电容看作开路，作 t=0-等效图,
R1
R3
+
uC
- C
t=0
+
uS
-
iR1
L
+
uL
-
iCR2 iL
可得：
R1
R3
+
uC (0－ )
-
+
uS
-
iR1 (0－ )
+
uR2 (0－ )
-
R2
iL (0－ )
t= 0-图
A2
32
10)0(
21
L
RR
ui S
V632)0()0( 2LC Riu
(2)由换路定则,得：
A2)0()0(L Lii
V6)0()0(C Cuu
Aii C 2)0()0( L
(3) 作 t=0+等效图
(4)求初始值
R3
+
uC (0+ )
-
+
uR2 (0+ )
- R2
t= 0+图
iL (0+ )
iC (0+ )
V212)0()0( 3CR3 Riu
V632)0()0( 2LR2 Riu
V2)0()0()0()0( R3CR2L uuuu
思考,换路时，
电容电流、电感电压、电阻电流及电压有无跳变？
R3
+
uC (0+)
-
+
uR2 (0+)
- R2
t= 0+图
iL (0+ )
iC (0+)
例 9 图 (a)电路中的开关闭合已久,t=0时断开开关，试求开关转换前和转后瞬间的电容电压和电容电流。
解：图 (a)电路,t=0-时,电容电压为恒定值
,电容电流为 0,电容相当于开路 。 用分压公式得
V5102110)0()0(
21
2
C 2
RR
Ruu
R
电阻 R1和 R2的电流 i1(0-)=i2(0-)=10/2=5A
开关断开后如图 (b)。 电压源对电容不再起作用,由于 t=0时刻电容电流有界,电容电压不能跃变,由此得 V5)0()0(
CC uu
此时电容电流与电阻 R2的电流相同，可得
A515)0()0( 2C ii
电容电流由 iC(0-)=0A变化到 iC(0+)=-5A。电阻 R1的电流由 i1(0-)=5A变化到 i1(0+)=0A
5-3 一阶电路的零输入响应一阶电路,由一阶微分方程描述的电路零输入响应：没有外加激励时的响应。
仅由动态元件初始状态（内激励）引起
N
+
u
-
L
i
iSC
G0
+
u
-L
i
N
+
u
-
C
i
C
i
+
uoc
-
R0
+
u
-
开关转换前,电容电压已经达到 U0。
换路后如图 (b)所示 。 由换路定则得
0CC )0()0( Uuu
5-3-1 RC电路的零输入响应
0CR uu
电阻和电容的 VCR得：
t
uRCRiRiu
d
d C
CRR
代入上式得以下方程
)0(0dd CC tutuRC
这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为
tsKtu e)(
C?
+
uC
-
R
C
+
uR
-
iR
iC
(b)
由 KVL得：
01RCs
特征根：
RCs
1－?
称为电路的固有频率。于是电容电压变为
RC
t
Ktu e)(C
K是一个常量，由初始条件确定。当
t=0+ 时上式变为
KKu tRC
t
0C |e)0(
根据初始条件
0C )0( Uu
求得特征方程：
0UK?
)0( e )()(
)0(e
d
d
)(
)0( e)(
0
CR
0C
C
0C
t
R
U
titi
t
R
U
t
u
Cti
tUtu
RC
t
RC
t
RC
t
各电压电流均以相同的指数规律变化，
变化的快慢取决于 R和 C的乘积。
令? =RC,? 具有时间的量纲，故称它为 RC电路的 时间常数 。
最后得到图 (b)电路的零输入响应为电压的变化与时间常数的关系 。
t 0? 2? 3? 4? 5?
uc(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0
由于波形衰减很快，实际上只要经过 4
～ 5?的时间就可认为放电（瞬态）过程基本结束。
RC电路零输入响应的波形曲线有跳变)()(
CR titi 和时间常数在曲线上的意义
,切线与横轴交点（切距）
0? a a+? t
U0
0.368U0
uC(t)
衰减到原来值 36.8?所需的时间电阻在电容放电过程中消耗的总能量：
0
0
2
0
202
RR 2
1d)e(d)( CUtR
R
UtRtiW RC t＝
电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。
当?=RC变大时，电容放电过程会加长，
因为增加电容 C，就增加电容的初始储能；若增加电阻 R，放电电流就减小。
反之，时间常数小，则放电快。
例 10 已知 uC(0-)=6V。求 t>0的电容电压解,在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，则 V6)0()0(
CC uu
连接于电容两端的电阻等效为
k10k)3//68(oR
因此
)0(Ve6e)( 20 0C tUtu t
t
假如还要计算电容中的电流 iC(t)，则
mAe6.0e)20(6105
d
)(d)( 20206
C
ttC
t
tuCti
s05.0105
1051010
2
63
0
CR?
开关连接于 1端已很久，电感中的电流等于 I0,换路后的电路如图 (b)。在开关转换瞬间，由于电感电压有界，电感电流不能跃变，即 iL(0+)= iL(0-)= I0
5-3-2 RL电路的零输入响应列方程,
t
iLRi L
d
d
L
得到以下微分方程
0
L
L
)0(
00
d
d
Ii
ti
t
i
R
L
L
微分方程的通解为 )0(e)(
L
tKti tLR
Luu?R
代元件 VCR，得代入初始条件 iL(0+)=I0求得,0IK?
最后得到电感电流和电感电压为
)0(
d
d
)(
)0( ee)(
τ
0
0
L
L
τ
0
0L
teRIeRI
t
i
Ltu
tIIti
t
t
L
R
t
t
L
R
其中? =GL=L/R,具有时间的量纲，
称它为 RL电路的 时间常数 。
其波形如下图。结果表明,RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数? 。
例 11 开关 S1连 1端已很久,t=0时 S1倒向 2端，开关 S2也同时闭合。求 t?0时的
iL(t)和 uL(t)。
解：换路瞬间，电感电压有界，电感电流不能跃变，故 A1.0)0()0( LL ii
图 (b)电路的时间常数为
1 m ss102 0 02.0 3＝＝ RL?
电感电流和电感电压为
)0(V20
Ve101.02.0
d
d
)(
)0(mAe1.0e)(
0010
00103L
L
1000τ
0L
te
t
i
Ltu
tIti
t
t
t
t
一阶电路零输入响应 —— 各电压电流均从其初始值开始，按照指数规律衰减到零，一般表达式为
0,e)0()(
trtr
t
iziz τ
5-3-3 一阶电路零输入响应的一般公式
rzi(t)—— 一阶电路任意需求的零输入响应
rzi(0+)—— 响应的初始值
—— 时间常数例 12 已知 iL(0-)=1.5A,L=0.5H,求
i1(t)和 uL(t)。
解：（ 1）由换路定则，得：
A5.1)0()0( LL ii
+
uL
-
L
iL - 4i1 + i
1
5? 10?
（ 2）画 0+图，求初始值 i1(0+)和 uL(0+)。
+
uL ( 0+ )
-
- 4i1 ( 0+ ) + i1 ( 0+ )
5? 10?
1.5A网孔法，得：
A5.0)0(
05.15)0()105(
1
1
i
i
即：
V3)0(10)0(4)0( 11L iiu
（ 3）求时间常数：
先求等效电阻，用加压求流法
+
u
-
- 4i1 + i1
5? 10?
i
ii
iiiu
105
5
6104
1
111
消去 i1得：
22 eq
i
uRiu 即：
所以 s
R
L
4
1
2
5.0
0,Ae5.0)( 4 1 tti t
0,e)0()(
trtr
t
iziz
τ
（ 4）初始值和时间常数代入下式得结果
0,Ve3)( 4 ttu tL
5-4 一阶电路的零状态响应零状态响应：初始状态为零，仅由独立电源 (称为外激励或输入 )
引起的响应。
这里仅讨论一阶电路在直流激励下的零状态响应图示电路中的电容原来未充电,
uC(0-)=0。 换路时,由于电容电流有界,电 容 电 压 不 会 跃 变,
uC(0+)=uC(0-)=0
5-4-1 RC电路的零状态响应
iC
C
R
+
-
uC
+
-
US
t=0
以电容电压为变量，
列微分方程
0,dd SCC tUutuRC
这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解由两部分组成，即
)()()( CpChC tututu
iC
C
R
+
-
uC
+
-
US
换路后如右图
UCh(t)是与齐次微分方程相应的通解
，其形式与零输入响应相同，即
)0(ee)( Ch tAAtu RC
t
st通解：
uCp(t)是非齐次微分方程的特解 。 一般来说,它的模式与输入函数相同 。 对于直流激励的电路,它是一个常数,令
Ktu?)(Cp特解：
将它代入微分方程，求得
SUK?
因而完全解为
0,e)( S
C
tUAtu RC
t
式中的常数 A由初始条件确定。
SUA
UAu
得：
0)0( SC
得零状态响应为
)0()e1()e1()( τ SC tUUtu
t
S
RC
t
)0(ee
d
d)( τ S SC
C
t
R
U
R
U
t
uCti tRC t
波形图0.632US
US
US
零状态响应变化的快慢也取决于时间常数? =RC。 越大，充电过程越长。
电容电压的特解与激励形式相同 —— 强制响应分量。直流激励的一阶电路，它就是 t时的电容电压，即 UCp(t)=
UC(?) —— 稳态响应分量。
通解由激励引起，响应形式与激励无关
，反映电路自身特性 —— 固有响应分量或自然响应分量。有耗电路,t时这一分量趋于 0 —— 暂态响应分量。
电阻在电容充电过程中消耗的总能量：
0 0 222RR 21d)e(d)( SRC
t
S CUtR
R
UtRtiW ＝
结果表明：与充电结束时电容所储存的电场能量相同。充电效率 50?
图 (a)电路换路前已稳定，即 iL(0-)=0。
t=0时开关由 a倒向 b，如图 (b)。由于电感电压有界时，电感电流不能跃变，即
iL(0+)= iL(0-)=0。因此是零状态问题。
5-4-2 RL电路的零状态响应图 (b)电路列方程
)0(
d
d
SL
L tIi
t
i
R
L
这是常系数非齐次一阶微分方程。其解与
RC电路相似，即
S
S
LpLhL ee)()()( IBIBtititi
tt
L
R
=L/R是该电路的时间常数。常数 B由初始条件确定，即由下式
SIBIBii 即0)0()0( SLL
+
uL
-
L
iL
iR
R
IS
(b)
最后得 RL一阶电路的零状态响应为
)0(ee
d
d
)(
)0( )e1()e1()(
S
S
L
L
SL
tRIRI
t
i
Ltu
tIIti
t
t
L
R
t
S
t
L
R
波形曲线
uL(t)
0.632IS
直流激励下零状态电路的动态过程是动态元件的充电过程。一般表达式为
0),e1)(()( τ tvtu
t
CsCz
5-4-3 一阶电路电容电压、电感电流零状态响应的一般公式
uCzS(?),iLzS(?)—— 稳态值或终值
—— 时间常数
0),e1)(()(
titi
t
LL z s τ
例 13 图 (a)电路原已稳定，求 t?0的
uC(t),iC(t)及 i1(t)。
uC uCUOC
解：先求等效戴维南电路，得图 (b)，其中
V1 2 011 2 0ocU 3 0 01 8 01 2 0oR
当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，可得 V1 2 0)(
ocC Uu
)0(Ae4.0
d
d
)(
)0(V)e1(120)e1()(
4
4
10
3
1
C
C
10
3
1
τ
ocC
t
t
u
Cti
tUtu
t
t
t
图 (a)用 KCL可 得
)0(A,)e4.01()()(
410
3
1
CS1
ttiIti
t
s30010310300 46o sCR
例 14 图 (a)电路原已稳定，求 t? 0
的电感电流和电感电压。
解：换路后如图 (b)，开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即
0)0()0( LL ii
将图 (b)用诺顿等效电路代替，得到图 (c) 电路。
求得时间常数为
sRL 05.08 4.0
o
+
uL
-8?
iL
0.4H
1.5A
(c)
a
b
)0(V12ee205.14.0
d
d
)(
)0(A)e1(5.1)(
2020
20
L
t
t
i
Ltu
tti
ttL
L
t
因此例 15 图 (a)为一继电器延时电路模型。继电器参数,R=100?,L=4H，当线圈电流达到
6mA时，继电器动作，将触头接通。从开关闭合到触头接通时间称为延时时间。为改变延时时间，在电路中串联一个电位器，阻值从零到 900? 间变化。若 US=12V，试求电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围
US
解：开关闭合前，电路处于零状态，
iL(0-)=0。
由换路定则得,iL(0+)=iL(0-)=0。用图
(b)所示诺顿等效电路代替，其中
oW
scWo R
U
RR
UIRRR SS?
电感电流的表达式为
)e1()( τ
o
S
L
t
R
Uti
设 t0为延时时间，则有 mA6)e1()(
τ
o
S
0L
0
t
R
Uti
由此求得
S
0Lo
0
)(1ln
V
tiRt τ
当 Rw=0?时,?=0.04s
ms05.2
12
1061001n04.0 3
0?
lt
当 Rw=900?时,?=0.004s
ms77.2
12
1061 0 0 0
1n004.0
3
0?
lt
作业 10,p153
5-7
5-8
5-9（ c,d）
5-10
作业 11,p154
5-12
5-13(a)
5-14 （ d,e,f）
5-19
5-20
