~ ?yvD ?Dy
? 8 ?
<ls
~ ?yvD ?Dy
è
{
xx
x
y
ü
u×￥

à
??￥# p wL 1,
1
2
==
ABCD
b
SS
+∞→
= lim
dx
x
b
b
∫
+∞→
=
1
2
1
lim
)
1
1(lim
b
b
=
+∞→
1=
· u×1í? u×
?m
Baí kK￥<ls
~ ?yvD ?Dy
?l  
!f
)(xf  uW ),[ +∞a
 ?? |
ab>  ?TK
∫
+∞→
b
a
b
dxxf )(lim i5?N
K1f
)(xf í k uW ),[ +∞a
￥<l
s:T
∫
∞+
a
dxxf )( 
∫
∞+
a
dxxf )(
∫
+∞→
=
b
a
b
dxxf )(lim
?Ki
H?<ls
l ? ?K?i
H?<ls? ? 
∫
∞+
=
1
2
1
1 dx
x
S? è
~ ?yvD ?Dy
?
1
!f
)(xf  uW ],( b?∞
 ?? |
ba <  ?TK
∫
∞→
b
a
a
dxxf )(lim i5?N
K1f
)(xf í k uW ],( b?∞
￥<l
s:T
∫
∞?
b
dxxf )( 
∫
∞?
b
dxxf )(
∫
∞→
=
b
a
a
dxxf )(lim
?Ki
H?<ls
l ? ?K?i
H?<ls? ? 
~ ?yvD ?Dy
!f
)(xf  uW ),( +∞?∞
 ??
?T
<ls
∫
∞?
0
)( dxxf
∫
∞+
0
)( dxxf ?
l ?5
?

<ls-1f
)(xf í k uW
),( +∞?∞
￥<ls:T
∫
∞+
∞?
dxxf )( 
∫
∞+
∞?
dxxf )(
∫
∞?
=
0
)( dxxf
∫
∞+
+
0
)( dxxf
∫
∞→
=
0
)(lim
a
a
dxxf
∫
+∞→
+
b
b
dxxf
0
)(lim
Ki?<ls
l ? ?5?<ls? ? 
~ ?yvD ?Dy
?T
∫
+∞→
b
b
b
dxxf )(lim
i
∫
∞+
∞?
dx)x(f
^?
l ?$
è ?
∫
∞+
∞?
xdx
∫
+
+∞→
=
b
b
b
xdxlim
b
b
b
x
+
+∞→
2
2
1
lim
0)0(lim ==
+∞→b
1aí kK￥<ls
Lé

^ ?iμK
uW
?s￥Kb
∫
∞+
∞?
dxxf )(2a
l ??N?
∫
∞?
b
dxxf )(
∫
∞+
b
dxxf )(
D
]
H
l ?b
?
?
~ ?yvD ?Dy
dxx
b
b
∫
+
+∞→
0
lim
b
b
x
+
+∞→
=
0
2
2
1
lim
7
=
+∞→
2
2
1
lim b
b
dxx
∫
∞+
∴
0
? ?
dxx
∫
∞+
∞?
? ?b
yN
+∞=
~ ?yvD ?Dy
è 9
<ls,
1
arctan
0
2
dx
x
x
∫
∞?
+
dx
x
x
a
a
∫
+
=
∞→
0
2
1
arctan
lim
∫
∞→
=
0
arctanarctanlim
a
a
xxd
0
2
)(arctan
2
1
lim
a
a
x
∞→
=
2
)(arctan
2
1
lim a
a?∞→
=
8
2
π
=
3 e
T
~ ?yvD ?Dy
è 9
<ls
).0(
0
>
∫
∞+
pdtte
pt
3
∫
b
pt
dtte
0
∫
=
b
pt
)e
p
(td
0
1
∫

+
=
b
pt
b
pt
dte
p
e
p
t
0
0
1
b
pt
b
pt
e
pp
e
p
t
0
0
11
+
=

pbpb
e
pp
e
p
b

+
=
22
11
∫
∞+
0
dtte
pt
∫
+∞→
=
b
pt
b
dtte
0
lim
)
11
(lim
22
pbpb
b
e
pp
e
p
b

+∞→
+
=,
1
2
p
=
~ ?yvD ?Dy
è 9
<ls
.
1
2
∫
∞+
∞?
+ x
dx
3
∫
∞+
∞?
+
2
1 x
dx
∫
∞?
+
=
0
2
1 x
dx
∫
∞+
+
+
0
2
1 x
dx
∫
+
=
∞→
0
2
1
1
lim
a
a
dx
x
∫
+
+
+∞→
b
b
dx
x
0
2
1
1
lim
[]
0
arctanlim
a
a
x
∞→
=
[ ]
b
b
x
0
arctanlim
+∞→
+
a
a
arctanlim
∞→
= b
b
arctanlim
+∞→
+
.
22
π=
π
+
π
=
~ ?yvD ?Dy
∫
∞+
∞?
+
2
1 x
dx
[ ]
∞+
∞?
= arctan x
)
2
(
2
ππ
=
π=
63
~ ?yvD ?Dy
è 9
<ls
3
.
1
sin
1
2 2∫
∞+
π
dx
xx
∫
∞+
π
2
1
sin
1
2
dx
xx
∫
∞+
π
=
2
11
sin
x
d
x
∫
π
=
+∞→
b
b
x
d
x
2
11
sinlim
b
b
x
π
=
+∞→
2
1
coslim
=
+∞→
2
cos
1
coslim
π
b
b
.1=
~ ?yvD ?Dy
è X?
3
>
≤<
≤
=
2,1
20,
2
1
0,0
)(
x
xx
x
xf
dttf
x
∫
∞?
)(
dt
x
a
a
0lim
∫
∞→
=
k¨s
f
V
U,
,)( dttf
x
∫
∞?
H? 01
0
≤x
0=
dttf
x
∫
∞?
)(
dttfdttf
x
∫∫
+=
∞? 0
0
)()(
H? 202
0
≤< x
tdtdt
x
a
a
∫∫
+=
∞→
0
0
2
1
0lim
x
t
0
2
4
1
0+=
2
4
1
x=
~ ?yvD ?Dy
dttf
x
∫
∞?
)( dttfdttfdttf
∫∫∫
∞+
∞?
++=
2
2
0
0
)()()(
H? 23
0
>x
dttdtdt
x
a
a
1
2
1
0lim
2
2
0
0
∫∫∫
++=
∞→
x
tt
2
2
0
2
4
1
0 ++= 1?= x
,
2,1
20,
4
1
0,0
)(
2
>?
≤<
≤
=∴
∫
∞?
xx
xx
x
dttf
x
~ ?yvD ?Dy
è ￡
ü<ls
∫
∞+
1
1
dx
x
p
? 1>p
H
l ?
? 1≤p
H? ?,
￡
,1)1( =p
∫
∞+
1
1
dx
x
p
∫
∞+
=
1
1
dx
x
[ ]
∞+
=
1
ln x
,+∞=
,1)2( ≠p
∫
∞+
1
1
dx
x
p
∞+
=
1
1
1 p
x
p
>
<∞+
=
1,
1
1
1,
p
p
p
yN? 1>p
H<ls
l ? ′1
1
1
p

? 1≤p
H<ls? ?,
~ ?yvD ?Dy
è ￡
ü<ls
∫
∞+
a
px
dxe ? 0>p
H
l ?
? 0<p
H? ?,
￡
∫
∞+
a
px
dxe
∫
+∞→
=
b
a
px
b
dxelim
b
a
px
b
p
e
=
+∞→
lim
=

+∞→
p
e
p
e
pbpa
b
lim
<∞
>
=
0,
0,
p
p
p
e
ap
'? 0>p
H
l ?? 0<p
H? ?,
~ ?yvD ?Dy
?l  
!f
)(xf  uW ],( ba
 ??7
? a￥·
#×
=í? | 0>ε  ?TK
∫
+
+→
b
a
dxxf
ε
ε
)(lim
0
i5?NK1f
)(xf
 uW ],( ba
￥<ls:T
∫
b
a
dxxf )( 
∫
b
a
dxxf )(
∫
+
+→
=
b
a
dxxf
ε
ε
)(lim
0
?Ki
H?<ls
l ? ?K?i
H?<ls? ?
=aí?f
￥<ls
~ ?yvD ?Dy
?
1
!f
)(xf  uW ),[ ba
 ??
7? b￥P
#×
=í? | 0>ε  ?TK
∫
+→
ε
ε
b
a
dxxf )(lim
0
i5?NK1f
)(xf
 uW ),[ ba
￥<ls
:T
∫
b
a
dxxf )(
∫
+→
=
ε
ε
b
a
dxxf )(lim
0

?Ki
H?<ls
l ? ?K?i
H?<ls? ?
~ ?yvD ?Dy
!f
)(xf  uW ],[ ba
"? )( bcac << ? ?
?7? c￥
#×
=í? ?T
?<ls
∫
c
a
dxxf )(
∫
b
c
dxxf )( ?
l ?5?l
∫
b
a
dxxf )(
∫
=
c
a
dxxf )(
∫
+
b
c
dxxf )(
∫
+→
=
ε
ε
c
a
dxxf )(lim
0
∫
′
+
+→
′
+
b
c
dxxf
ε
ε
)(lim
0
?5ü?<ls
∫
b
a
dxxf )( ? ?
?l? C1 <? [
s?1 <s,
~ ?yvD ?Dy
è 9
<ls
3
).0(
0
22
>
∫
a
xa
dx
a
,
1
lim
22
0
+∞=
→
xa
ax
Q
ax =∴ 1$f
￥í kW?,
∫
a
xa
dx
0
22
∫
+→
=
ε
ε
a
xa
dx
0
22
0
lim
ε
ε
+→
=
a
a
x
0
0
arcsinlim
=
+→
0arcsinlim
0
a
a ε
ε
.
2
π
=
22
1
xa
y
=
~ ?yvD ?Dy
è ￡
ü<ls
∫
1
0
1
dx
x
q
? 1<q
H
l ??
1≥q
H? ?,
￡
,1)1( =q
∫
=
1
0
1
dx
x
[ ]
1
0
ln x=
,+∞=
,1)2( ≠q
∫
1
0
1
dx
x
q
1
0
1
1
=
q
x
q
<
>∞+
=
1,
1
1
1,
q
q
q
yN? 1<q
H<ls
l ? ′1
q?1
1

? 1≥q
H<ls? ?,
∫
1
0
1
dx
x
q
~ ?yvD ?Dy
è 9
<ls
3
.
ln
2
1
∫
xx
dx
∫
2
1
ln xx
dx
∫
+
+→
=
2
1
0
ln
lim
ε
ε
xx
dx
∫
+
+→
=
2
1
0
ln
)(ln
lim
ε
ε
x
xd
[ ]
2
1
0
)ln(lnlim
ε
ε
+
+→
= x
[ ]))1ln(ln()2ln(lnlim
0
ε
ε
+?=
+→
.∞=
#e<ls? ?,
~ ?yvD ?Dy
è 9
<ls
3
.
)1(
3
0 3
2
∫
x
dx
1=x
<?
∫
3
0
3
2
)1(x
dx
∫∫
+=
1
0
3
1 3
2
)1(
)(
x
dx
∫
1
0
3
2
)1(x
dx
∫
+→
=
ε
ε
1
0
0 3
2
)1(
lim
x
dx
3=
∫
3
1
3
2
)1(x
dx
∫
+
+→
=
3
1
0 3
2
)1(
lim
ε
ε
x
dx
,23
3
=
∫
∴
3
0
3
2
)1(x
dx
).21(3
3
+=
~ ?yvD ?Dy
è 9
<ls,
1
1
∫
x
dx
0=x <?
3 e
T
1
1
||ln
= x 000 =?=
∫∫
+→
=
1
0
1
0
lim
ε
ε x
dx
x
dx
Q
3
1
0
lnlim
ε
ε
x
+→
=
ε
ε
lnlim
0+→
=
+∞=
.
1
0
? ?
∫
∴
x
dx
.
1
1
? ?
∫
∴
x
dx
~ ?yvD ?Dy
í?f
￥<ls
<s 
í kK￥<ls
∫
∞+
∞?
dxxf )(
∫
∞?
b
dxxf )(
∫
∞+
a
dxxf )(
∫ ∫∫
+=
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(

?i ?
-
{
=?￥<?
∫
b
a
dxxf )(
tal2
~ ?yvD ?Dy
± I5
s ￥<?
^
'+?$
∫
1
0
1
ln
dx
x
x
~ ?yvD ?Dy
± I53s
s V
￥<?
^
∫
1
0
1
ln
dx
x
x
1,0 == xx
1
ln
lim
1
→
x
x
x
Q
,1
1
lim
1
==
→
x
x
1=∴ x
?
^<?,
∫
∴
1
0
1
ln
dx
x
x
￥<?
^
.0=x
~ ?yvD ?Dy
Ba A b5
a<ls
∫
∞+
1
p
x
dx
?@@@@@@@
H
l ? ?@@@@@@
H
? ?
a<ls
∫
1
0
q
x
dx
?@@@@@@@
H
l ? ?@@@@@@@
H?
?
a<ls
∫
∞+
2
)(ln
k
xx
dx
@@@@@@
H
l ?  @@@@@@@

H? ?
a<ls
∫
∞+
∞?
+
dx
x
x
2
1
@@@@
5
~ ?yvD ?Dy
a<ls =
∫
1
0
2
1 x
xdx
@@@@@@@@
a<ls
∫
∞?
x
dttf )( ￥+il
^@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
=a
Y/
ò<ls￥
l ?? ?T
l ?5 9
<ls￥′
a
∫
∞+
0
coshtdte
pt
 )1( >p  a
∫
∞+
∞?
++ 22
2
xx
dx

a
∫
∞+
0
dxex
xn

11 ?
n  a
∫
2
0
2
)1( x
dx

~ ?yvD ?Dy
a
∫
2
1
1x
xdx
 a
∫
∞+
+
0
22
)1(
ln
dx
x
xx

a
∫
1
0
ln xdx
n

?a p? 1′
Hk <ls )(
)(
ab
ax
dx
b
a
k
>
∫
l ?$? 1′
Hk ?<ls? ?$
1aX?
<
≤<
≤<∞?
=
x
xx
x
xf
2,1
20,
2
1
0,0
)( 
k¨s
f
V
U

∫
∞?
x
dttf )( 
~ ?yvD ?Dy
Baa 1,1 ≤> pp  a 1,1 ≥< qq  a 1,1 ≤> kk 
a? ? a aV? à
ü?? yx ￥°
LPH
wL )(xfy = à x
?m?￥

=aa
1
2
p
p
 a π a !n  a? ?
a
3
2
2  a a !)1( n
n

?a? 1<k
H
l ??
k
ab
k
1
)(
1
1
 ? 1≥k
H? ?
1a
<?
≤<
≤<∞?
=
∫
∞?
xx
xx
x
dttf
x
2,1
20,
4
1
0,0
)(
2

5s?