1、选择网孔电流并标注网孔电流的方向。
列写网孔电流方程的步骤：
2、按通式写出网孔电流方程。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该网孔所有电源电压 升 的代数和。
3、电路中含有 受控源 时应按独立源来处理；
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
3.含理想电流源支路的处理
引入电流源电压，增加网孔电流和电流源电流的关系方程。
例
RS
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
iS
U
_+
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 22111 )(
UiRRiR 34314 )(
32 iii S
电流源看作电压源列方程增补方程：
与电阻并联的电流源，可做电源等效变换
I
R
IS o
o
转换
+
_RIS
I
R
o
o
4.含受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路,可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制量用网孔电流表示 。
例
RS
R4 R
3
R1 R2
US +
_ 5U
_+
_
+
U
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 522111 )(
UiRRiR 534314 )(
受控电压源看作独立电压源列方程
33 iRU?
增补方程：
例 列网孔电流方程解 1
1
43
2_
+
_
+
U2
U3
233131 UiRiRR )(
3222 UUiR
035
354313
iR
iRRRiR
)(
134535 UUiRiR
111 iRU
增补方程：
Siii 21
124 gUii
R1
R4 R5
gU1R
3
R2
U1
_
+
+
_
U1 iS
3.5 回路电流法
(loop current method)
回路电流法适用于平面或非平面电路，比网孔法更具灵活性。回路法分析电路时，首先要确定一组基本回路，标定回路电流的绕行方向，其余步骤与网孔法类似。
1.回路电流法 以基本回路中的回路电流（即单连支电流）为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称网孔法解 2 回路 2选大回路
Sii?1
14 gUi?
134242111 )( UiRiRRRiR
0)( 4525432413 iRiRRRiRiR
)( 2111 iiRU
增补方程：
R1
R4 R5
gU1R
3
R2
U1
_
+
+
_
U1 iS
1
43
2
RS
R5
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
i
解 2 只让一个回路电流经过 R5支路
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
0321252111 iRRiRRRiR )()(
034321221141 iRRRRiRRiRR )()()(
i1
i3
i2
2ii?
特点
（ 1）减少计算量
（ 2）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻
选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,
该回路电流即 IS 。
RS
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
iSi
1
i3
i2
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
例
034321221141 iRRRRiRRiRR )()()(
Sii?2
为已知电流，实际减少了一方程例 求电路中电压 U，电流 I和电压源产生的功率。
＋
4V3A
2?
－
+
–I
U3?
1?
2A
2A
i1 i
4
i2
i3
Ai 21?
Ai 33?
Ai 22?
4436 3214 iiii
解
Ai 26/)41226(4
AI 1232
ViU 842 4
吸收）(84 4 WiP
3.6 节点电压法
(node voltage method)
选节点电压为未知量,则 KVL自动满足,
就无需列写 KVL 方程 。 各支路电流,电压可视为结点电压的线性组合,求出节点电压后,
便可方便地得到各支路电压,电流 。
基本思想：
以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。
1.结点电压法
列写的方程 节点电压法列写的是结点上的 KCL方程，独立方程数为：
与支路电流法相比,
方程数减少 b-(n-1)个 。)( 1?n
任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压 (位 ),方向为从独立节点指向参考节点 。
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足说明
uA-uB
uA u
B
2,方程的列写
iS1
uS
iS3
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
(1) 选定参考节点,
标明其余 n-1个独立节点的电压
1 3
2
iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
1 3
2
(2) 列 KCL方程：
iR出 =? iS入
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0
把支路电流用结点电压表示：
S2S1
n2n1n1 ii
R
uu
R
u
21
0
432
RuR uuR uu n2n3n2n2n1
-i3+i5=－ iS2
2
53
S
S i
R
uu
R
uu n3n3n2
整理，得：
S2S1n2n1 )( )( iiuRuRR
221
111
011111 3
3
2
4322
nuRuRRRuR nn1 )(
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为：
G11un1+G12un2 ＋ G13un3 = iSn1
5533
111
R
uiu
RRuR
S
S2n3n2 )()(
G21un1+G22un2 ＋ G23un3 = iSn2
G31un1+G32un2 ＋ G33un3 = iSn3
标准形式的结点电压方程等效电流源其中
G11=G1+G2 节点 1的自电导,等于接在 节点 1上所 有支路的电导之和 。
G22=G2+G3+G4 节点 2的自电导,等于接在节点 2上所有支路的电导之和 。
G12= G21 =-G2 节点 1与节点 2之间的互电导,等于接在节点 1与节点 2之间的所有支路的电导之和,为负值 。
自电导总为正，互电导总为负。
G33=G3+G5 节点 3的自电导,等于接在节点 3上所有支路的电导之和 。
G23= G32 =-G3 节点 2与节点 3之间的互电导,等于接在节点 1与节点 2之间的所有支路的电导之和,
为负值 。
iSn2=-iS2＋ uS/R5 流入节点 2的电流源电流的代数和 。
iSn1=iS1+iS2 流入节点 1的电流源电流的代数和 。
流入节点取正号，流出取负号。
1
n1
1 R
ui?
4
n2
R
ui?
4
3
n3n2
R
uui
3
2
n2n1
R
uui
2
5
S
R
uui n 3
5
由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电压,各支路电流可用节点电压表示：
一般情况
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导,等于接在节点 i上所有支路的电导之和
(包括电压源与电阻串联支路 )。 总为正 。
当电路不含受控源时,系数矩阵为对称阵 。
iSni — 流入节点 i的所有电流源电流的代数和 (包括由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导,等于接在节点 i与节点 j之间的所支路的电导之和,总为 负 。
节点法的一般步骤：
(1) 选定参考节点，标定 n-1个独立节点；
(2) 对 n-1个独立节点,以节点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个节点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 节点电压 表示 )；
试列写电路的节点电压方程。
(G1+G2+GS)U1-G1U2－ GsU3=USGS
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
－ GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－ USGS
例
Us
G3
G1
G4 G5
G2
+
_
2
3
1
GS
3,无伴电压源支路的处理 G3G1
G4 G5
G2+
_
Us 2
3
1
（ 1）以电压源电流为变量，增补节点电压与电压源间的关系
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_ 2
3
1I (G
1+G2)U1-G1U2 =I
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =－ I
U1-U3 = US
看成电流源增补方程
（ 2） 选择合适的参考点
G3
G1
G4 G5
G2+
_
Us 2 3
1
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路,可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制量用结点电压表示 。
(1)先 把受控源当作独立源看列方程；
(2) 用节点电压表示控制量。
列写电路的节点电压方程。
iS1
R1 R3
R2
gmuR2+ uR2 _
1
2 S1)( iuRuRR nn 2
1
1
21
111
1m2
31
1
1
2
)11(1 SRnn iuguRRuR
例
12 nR uu?
例 列写电路的节点电压方程。
1V
＋
＋
＋
＋
－
－
－
－
2?3?
2?
1?
5?
3?
4V
U
4U
3A
3
1
2
Vu n 41?
5
415.0)
23
15.01(
321
Uuuu
nnn
Auu nn 3205050 32 )..(.
注,与电流源串接的电阻不参与列方程增补方程：
U = Un3
例 求 U和 I 。
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1?
100V
20A
110V
＋
－
U
I
解 1 应用结点法。
3 12
Vu n 1001?
Vu n 2 1 01 1 01 0 02
205050 321 nnn uuu,.
Vu n 1 7 51 0 550203
VuU n 1 9 52013
AuI n 1 2 01902 /)(
解得：
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1?
100V
20A
110V
＋
－
U
I
解 2 应用回路法。
1
2
3
201?i
12012 ii
41 5 0
1 1 042
3
31
/
i
ii
12021 )( iiI
ViU 1 9 52011 0 02 3
解得：
割集 Q (Cut set )
Q是连通图 G中支路的集合，具有下述性质：
(1)把 Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。
(2)任意放回 Q 中一条支路，仍构成连通图。
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
割集,（ 1 9 6）（ 2 8 9）（ 3 6 8）（ 4 6 7）（ 5 7 8）
（ 3 6 5 8 7）（ 3 6 2 8） 是割集吗？
基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝ n-1
连支集合不能构成割集
a
b
例 求,Rab 解 1 连接等电位点对称线
a
b
2
3 RR
ab?
解 2 断开中点。
解 3 确定电流分布。
i
i/2
i1 i
2
4/21 iii
RiiiiRU ab 23)2422(
第 3章 电阻电路的一般分析
重点熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法回路电流法节点电压法
线性电路的一般分析方法
(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。
复杂电路的一般分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
（ 2） 元件的电压、电流约束特性。
（ 1） 电路的连接关系 —KCL,KVL定律。
方法的基础
(2) 系统性：计算方法有规律可循。
网络图论
B D
A
C
D
C
B
A
3.1 电路的图
1,电路的图
R4
R1 R3
R2
R5u
S
+ _
i
抛开元件性质一个元件作为一条支路
85 bn
元件的串联及并联组合作为一条支路
64 bn
6
5
4
3
2
1
7
8
5
4
3
2
1
6
有向图
(1) 图 (Graph) G={支路，节点 }
①
②
１
从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。
(2) 路径
（ 3）连通图 图 G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。
(3) 子图 若图 G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称 G1是 G的子图。
树 (Tree) T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通
(2)包含图 G所有节点
(3)不含闭合路径树支：构成树的支路 连支：属于图 G而不属于树 T的支路
2）树支的数目是一定的：
连支数：
不是树
1 nb t
)( 1 nbbbb tl
树特点 1）对应一个图有很多的树
回路 (Loop) L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足,(1)连通 (2)每个节点关联 2条支路
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3
1 2
4
57
8
不是回路回路
2）基本回路的数目是一定的，为连支数
)( 1 nbbl l
特点
1）对应一个图有很多的回路
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6 5
1
2
3
1
2
3
6
支路数＝树枝数＋连支数
＝结点数－ 1＋基本回路数结论
1 lnb
结点、支路和基本回路关系基本回路具有独占的一条连枝例
8
7
6
54
3 2
1
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。
8
7
6
5
8 6
4
3
8
2
4
3
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
0641 iii
6 5
4 3
21
4
3
2
1
1
4
3
2
0543 iii
0652 iii
0321 iii
41 2 3＋ ＋ ＋ ＝ 0
结论
n个结点的电路,独立的 KCL方程为 n-1个。
例：
回路 1（ 1,5,8）
回路 2（ 2,6,5）
回路 3（ 1,2,6,8）
1 5 8 0u u u
2 6 5 0u u u
1 2 6 8 0u u u u
利用,树,的概念寻找一个电路的独立回路组 。
1 2
34
58 6
7
2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数 =基本回路数 =b－ (n－ 1)
结论
n个结点,b条支路的电路,独立的
KCL和 KVL方程数为：
bnbn )()( 11
独立回路数：对于一个结点数为 n,支路数为 b的连通图,
其独立回路数为 （ b-n+1） 。
基本回路组是独立回路组。根据基本回路列出的 KVL方程组是独立方程。
3.3 支路电流法
(branch current method )
对于有 n个节点,b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有 b个。只要列出 b个独立的电路方程，便可以求解这 b个变量。
以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
1,支路电流法
2,独立方程的列写
（ 1）从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写 KCL方程
（ 2）选择基本回路列写 b-(n-1)个 KVL方程
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
例
0621 iii1
3
2
0654 iii
0432 iii
有 6个支路电流，需列写 6个方程。
KCL方程,
取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列 KVL写方程,
0132 uuu
0354 uuu
Suuuu 651结合元件特性消去支路电压得：
0113322 iRiRiR
0335544 iRiRiR
SuiRiRiR 665511
回路 1
回路 2
回路 3
1 2
3
支路电流法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程；
(元件特性代入 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。
支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和 KVL方程,所以方程列写方便,直观,但方程数较多,宜于在支路数不多的情况下使用 。
例 1.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
求各支路电流及电压源各自发出的功率。
解
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= 6
U=?US
7I1–11I2=70-6=64
1
270V 6V
7?
b
a
+
–
+
–
I1 I3I2
7? 11?
203
7110
0117
111
12 18
7116
01164
110
1
406
760
0647
101
2
AI 62 0 31 2 1 81
AI 22 0 34 0 62
AIII 426213
WP 4 2 070670
WP 12626
例 2.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
列写支路电流方程,(电路中含有理想电流源）
解 1.
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= U
7I1–11I2=70-U
a
1
270V 6A
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
增补方程,I2=6A
+
U
_
1
解 2.
70V 6A
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
a
由于 I2已知，故只列写两个方程节点 a,–I1+I3=6
避开电流源支路取回路：
7I1＋ 7I3=70
例 3.
节点 a,–I1–I2+I3=0
列写支路电流方程,(电路中含有受控源）
解
11I2+7I3= 5U
7I1–11I2=70-5U
增补方程,U=7I3
a
1
270V
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
+
5U
_
+
U_
有受控源的电路，方程列写分两步：
(1) 先将受控源看作独立源列方程；
(2) 将控制量用未知量表示,并代入 (1)中所列的方程,消去中间变量 。
3.4 网孔电流法
(loop current method)
基本思想 为减少未知量 (方程 )的个数,假想每个网孔中有一个网孔电流 。 各支路电流可用网孔电流的线性组合表示 。 来求得电路的解 。
1.网孔电流法 以网孔电流为独立、完备的待求变量，
对网孔回路列写 KVL方程分析电路的方法。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
网孔数为 2。 选图示的两个网孔,
支路电流可表示为：
122
2311
ll
ll
iii
iiii
网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，
流出一次，所以 KCL自动满足。因此网孔电流法是对独立回路列写 KVL方程，方程数为：
列写的方程与支路电流法相比,
方程数减少 n-1个 。
网孔 1,R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0
网孔 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得：
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
)( 1 nb
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
2,方程的列写
R11=R1+R2 网孔 1的自电阻。等于网孔 1中所有电阻之和。
观察可以看出如下规律：
R22=R2+R3 网孔 2的自电阻。等于网孔 2中所有电阻之和。
自电阻总为正 。
R12= R21= –R2 网孔 1、网孔 2之间的互电阻。
当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。
ul1= uS1-uS2 网孔 1中所有电压源电压的代数和。
ul2= uS2 网孔 2中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该回路方向一致时,取负号；反之取正号 。
R11il1+R12il2=uSl1
R12il1+R22il2=uSl2
由此得标准形式的方程：
对于具有 l=b-(n-1) 个网孔的电路，有,
其中,
Rjk:互电阻
+,流过互阻两个网孔电流方向相同
-,流过互阻两个网孔电流方向相反
0,无关
R11il1+R12il2+ …+R 1l ill=uSl1
…R21il1+R22il2+ …+R 2l ill=uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+R ll ill=uSll
Rkk:自电阻 (为正 )
例 1,用网孔电流法求解电流 i.
解 1 网孔有三个：
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
035252111 iRiRRRiR )(
035432514 iRRRiRiR )(
（ 1）不含受控源的线性网络
Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。
（ 2）当网孔电流均取顺（或逆时针方向时,Rjk均为负。
表明
32 iii
RS
R5
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
i
网孔法的一般步骤：
(1) 确定网孔电流及其绕行方向；
(2) 以网孔电流为未知量,列写其 KVL方程；
(3) 求解上述方程，得到 l 个网孔电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用网孔电流表示 )；
列写网孔电流方程的步骤：
2、按通式写出网孔电流方程。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该网孔所有电源电压 升 的代数和。
3、电路中含有 受控源 时应按独立源来处理；
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
3.含理想电流源支路的处理
引入电流源电压，增加网孔电流和电流源电流的关系方程。
例
RS
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
iS
U
_+
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 22111 )(
UiRRiR 34314 )(
32 iii S
电流源看作电压源列方程增补方程：
与电阻并联的电流源，可做电源等效变换
I
R
IS o
o
转换
+
_RIS
I
R
o
o
4.含受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路,可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制量用网孔电流表示 。
例
RS
R4 R
3
R1 R2
US +
_ 5U
_+
_
+
U
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 522111 )(
UiRRiR 534314 )(
受控电压源看作独立电压源列方程
33 iRU?
增补方程：
例 列网孔电流方程解 1
1
43
2_
+
_
+
U2
U3
233131 UiRiRR )(
3222 UUiR
035
354313
iR
iRRRiR
)(
134535 UUiRiR
111 iRU
增补方程：
Siii 21
124 gUii
R1
R4 R5
gU1R
3
R2
U1
_
+
+
_
U1 iS
3.5 回路电流法
(loop current method)
回路电流法适用于平面或非平面电路，比网孔法更具灵活性。回路法分析电路时，首先要确定一组基本回路，标定回路电流的绕行方向，其余步骤与网孔法类似。
1.回路电流法 以基本回路中的回路电流（即单连支电流）为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称网孔法解 2 回路 2选大回路
Sii?1
14 gUi?
134242111 )( UiRiRRRiR
0)( 4525432413 iRiRRRiRiR
)( 2111 iiRU
增补方程：
R1
R4 R5
gU1R
3
R2
U1
_
+
+
_
U1 iS
1
43
2
RS
R5
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
i
解 2 只让一个回路电流经过 R5支路
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
0321252111 iRRiRRRiR )()(
034321221141 iRRRRiRRiRR )()()(
i1
i3
i2
2ii?
特点
（ 1）减少计算量
（ 2）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻
选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,
该回路电流即 IS 。
RS
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
iSi
1
i3
i2
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
例
034321221141 iRRRRiRRiRR )()()(
Sii?2
为已知电流，实际减少了一方程例 求电路中电压 U，电流 I和电压源产生的功率。
＋
4V3A
2?
－
+
–I
U3?
1?
2A
2A
i1 i
4
i2
i3
Ai 21?
Ai 33?
Ai 22?
4436 3214 iiii
解
Ai 26/)41226(4
AI 1232
ViU 842 4
吸收）(84 4 WiP
3.6 节点电压法
(node voltage method)
选节点电压为未知量,则 KVL自动满足,
就无需列写 KVL 方程 。 各支路电流,电压可视为结点电压的线性组合,求出节点电压后,
便可方便地得到各支路电压,电流 。
基本思想：
以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。
1.结点电压法
列写的方程 节点电压法列写的是结点上的 KCL方程，独立方程数为：
与支路电流法相比,
方程数减少 b-(n-1)个 。)( 1?n
任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压 (位 ),方向为从独立节点指向参考节点 。
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足说明
uA-uB
uA u
B
2,方程的列写
iS1
uS
iS3
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
(1) 选定参考节点,
标明其余 n-1个独立节点的电压
1 3
2
iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
1 3
2
(2) 列 KCL方程：
iR出 =? iS入
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0
把支路电流用结点电压表示：
S2S1
n2n1n1 ii
R
uu
R
u
21
0
432
RuR uuR uu n2n3n2n2n1
-i3+i5=－ iS2
2
53
S
S i
R
uu
R
uu n3n3n2
整理，得：
S2S1n2n1 )( )( iiuRuRR
221
111
011111 3
3
2
4322
nuRuRRRuR nn1 )(
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为：
G11un1+G12un2 ＋ G13un3 = iSn1
5533
111
R
uiu
RRuR
S
S2n3n2 )()(
G21un1+G22un2 ＋ G23un3 = iSn2
G31un1+G32un2 ＋ G33un3 = iSn3
标准形式的结点电压方程等效电流源其中
G11=G1+G2 节点 1的自电导,等于接在 节点 1上所 有支路的电导之和 。
G22=G2+G3+G4 节点 2的自电导,等于接在节点 2上所有支路的电导之和 。
G12= G21 =-G2 节点 1与节点 2之间的互电导,等于接在节点 1与节点 2之间的所有支路的电导之和,为负值 。
自电导总为正，互电导总为负。
G33=G3+G5 节点 3的自电导,等于接在节点 3上所有支路的电导之和 。
G23= G32 =-G3 节点 2与节点 3之间的互电导,等于接在节点 1与节点 2之间的所有支路的电导之和,
为负值 。
iSn2=-iS2＋ uS/R5 流入节点 2的电流源电流的代数和 。
iSn1=iS1+iS2 流入节点 1的电流源电流的代数和 。
流入节点取正号，流出取负号。
1
n1
1 R
ui?
4
n2
R
ui?
4
3
n3n2
R
uui
3
2
n2n1
R
uui
2
5
S
R
uui n 3
5
由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电压,各支路电流可用节点电压表示：
一般情况
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导,等于接在节点 i上所有支路的电导之和
(包括电压源与电阻串联支路 )。 总为正 。
当电路不含受控源时,系数矩阵为对称阵 。
iSni — 流入节点 i的所有电流源电流的代数和 (包括由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导,等于接在节点 i与节点 j之间的所支路的电导之和,总为 负 。
节点法的一般步骤：
(1) 选定参考节点，标定 n-1个独立节点；
(2) 对 n-1个独立节点,以节点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个节点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 节点电压 表示 )；
试列写电路的节点电压方程。
(G1+G2+GS)U1-G1U2－ GsU3=USGS
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
－ GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－ USGS
例
Us
G3
G1
G4 G5
G2
+
_
2
3
1
GS
3,无伴电压源支路的处理 G3G1
G4 G5
G2+
_
Us 2
3
1
（ 1）以电压源电流为变量，增补节点电压与电压源间的关系
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_ 2
3
1I (G
1+G2)U1-G1U2 =I
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =－ I
U1-U3 = US
看成电流源增补方程
（ 2） 选择合适的参考点
G3
G1
G4 G5
G2+
_
Us 2 3
1
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路,可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制量用结点电压表示 。
(1)先 把受控源当作独立源看列方程；
(2) 用节点电压表示控制量。
列写电路的节点电压方程。
iS1
R1 R3
R2
gmuR2+ uR2 _
1
2 S1)( iuRuRR nn 2
1
1
21
111
1m2
31
1
1
2
)11(1 SRnn iuguRRuR
例
12 nR uu?
例 列写电路的节点电压方程。
1V
＋
＋
＋
＋
－
－
－
－
2?3?
2?
1?
5?
3?
4V
U
4U
3A
3
1
2
Vu n 41?
5
415.0)
23
15.01(
321
Uuuu
nnn
Auu nn 3205050 32 )..(.
注,与电流源串接的电阻不参与列方程增补方程：
U = Un3
例 求 U和 I 。
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1?
100V
20A
110V
＋
－
U
I
解 1 应用结点法。
3 12
Vu n 1001?
Vu n 2 1 01 1 01 0 02
205050 321 nnn uuu,.
Vu n 1 7 51 0 550203
VuU n 1 9 52013
AuI n 1 2 01902 /)(
解得：
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1?
100V
20A
110V
＋
－
U
I
解 2 应用回路法。
1
2
3
201?i
12012 ii
41 5 0
1 1 042
3
31
/
i
ii
12021 )( iiI
ViU 1 9 52011 0 02 3
解得：
割集 Q (Cut set )
Q是连通图 G中支路的集合，具有下述性质：
(1)把 Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。
(2)任意放回 Q 中一条支路，仍构成连通图。
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
割集,（ 1 9 6）（ 2 8 9）（ 3 6 8）（ 4 6 7）（ 5 7 8）
（ 3 6 5 8 7）（ 3 6 2 8） 是割集吗？
基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝ n-1
连支集合不能构成割集
a
b
例 求,Rab 解 1 连接等电位点对称线
a
b
2
3 RR
ab?
解 2 断开中点。
解 3 确定电流分布。
i
i/2
i1 i
2
4/21 iii
RiiiiRU ab 23)2422(
第 3章 电阻电路的一般分析
重点熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法回路电流法节点电压法
线性电路的一般分析方法
(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。
复杂电路的一般分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
（ 2） 元件的电压、电流约束特性。
（ 1） 电路的连接关系 —KCL,KVL定律。
方法的基础
(2) 系统性：计算方法有规律可循。
网络图论
B D
A
C
D
C
B
A
3.1 电路的图
1,电路的图
R4
R1 R3
R2
R5u
S
+ _
i
抛开元件性质一个元件作为一条支路
85 bn
元件的串联及并联组合作为一条支路
64 bn
6
5
4
3
2
1
7
8
5
4
3
2
1
6
有向图
(1) 图 (Graph) G={支路，节点 }
①
②
１
从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。
(2) 路径
（ 3）连通图 图 G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。
(3) 子图 若图 G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称 G1是 G的子图。
树 (Tree) T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通
(2)包含图 G所有节点
(3)不含闭合路径树支：构成树的支路 连支：属于图 G而不属于树 T的支路
2）树支的数目是一定的：
连支数：
不是树
1 nb t
)( 1 nbbbb tl
树特点 1）对应一个图有很多的树
回路 (Loop) L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足,(1)连通 (2)每个节点关联 2条支路
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3
1 2
4
57
8
不是回路回路
2）基本回路的数目是一定的，为连支数
)( 1 nbbl l
特点
1）对应一个图有很多的回路
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6 5
1
2
3
1
2
3
6
支路数＝树枝数＋连支数
＝结点数－ 1＋基本回路数结论
1 lnb
结点、支路和基本回路关系基本回路具有独占的一条连枝例
8
7
6
54
3 2
1
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。
8
7
6
5
8 6
4
3
8
2
4
3
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
0641 iii
6 5
4 3
21
4
3
2
1
1
4
3
2
0543 iii
0652 iii
0321 iii
41 2 3＋ ＋ ＋ ＝ 0
结论
n个结点的电路,独立的 KCL方程为 n-1个。
例：
回路 1（ 1,5,8）
回路 2（ 2,6,5）
回路 3（ 1,2,6,8）
1 5 8 0u u u
2 6 5 0u u u
1 2 6 8 0u u u u
利用,树,的概念寻找一个电路的独立回路组 。
1 2
34
58 6
7
2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数 =基本回路数 =b－ (n－ 1)
结论
n个结点,b条支路的电路,独立的
KCL和 KVL方程数为：
bnbn )()( 11
独立回路数：对于一个结点数为 n,支路数为 b的连通图,
其独立回路数为 （ b-n+1） 。
基本回路组是独立回路组。根据基本回路列出的 KVL方程组是独立方程。
3.3 支路电流法
(branch current method )
对于有 n个节点,b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有 b个。只要列出 b个独立的电路方程，便可以求解这 b个变量。
以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
1,支路电流法
2,独立方程的列写
（ 1）从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写 KCL方程
（ 2）选择基本回路列写 b-(n-1)个 KVL方程
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
例
0621 iii1
3
2
0654 iii
0432 iii
有 6个支路电流，需列写 6个方程。
KCL方程,
取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列 KVL写方程,
0132 uuu
0354 uuu
Suuuu 651结合元件特性消去支路电压得：
0113322 iRiRiR
0335544 iRiRiR
SuiRiRiR 665511
回路 1
回路 2
回路 3
1 2
3
支路电流法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程；
(元件特性代入 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。
支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和 KVL方程,所以方程列写方便,直观,但方程数较多,宜于在支路数不多的情况下使用 。
例 1.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
求各支路电流及电压源各自发出的功率。
解
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= 6
U=?US
7I1–11I2=70-6=64
1
270V 6V
7?
b
a
+
–
+
–
I1 I3I2
7? 11?
203
7110
0117
111
12 18
7116
01164
110
1
406
760
0647
101
2
AI 62 0 31 2 1 81
AI 22 0 34 0 62
AIII 426213
WP 4 2 070670
WP 12626
例 2.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
列写支路电流方程,(电路中含有理想电流源）
解 1.
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= U
7I1–11I2=70-U
a
1
270V 6A
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
增补方程,I2=6A
+
U
_
1
解 2.
70V 6A
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
a
由于 I2已知，故只列写两个方程节点 a,–I1+I3=6
避开电流源支路取回路：
7I1＋ 7I3=70
例 3.
节点 a,–I1–I2+I3=0
列写支路电流方程,(电路中含有受控源）
解
11I2+7I3= 5U
7I1–11I2=70-5U
增补方程,U=7I3
a
1
270V
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
+
5U
_
+
U_
有受控源的电路，方程列写分两步：
(1) 先将受控源看作独立源列方程；
(2) 将控制量用未知量表示,并代入 (1)中所列的方程,消去中间变量 。
3.4 网孔电流法
(loop current method)
基本思想 为减少未知量 (方程 )的个数,假想每个网孔中有一个网孔电流 。 各支路电流可用网孔电流的线性组合表示 。 来求得电路的解 。
1.网孔电流法 以网孔电流为独立、完备的待求变量，
对网孔回路列写 KVL方程分析电路的方法。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
网孔数为 2。 选图示的两个网孔,
支路电流可表示为：
122
2311
ll
ll
iii
iiii
网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，
流出一次，所以 KCL自动满足。因此网孔电流法是对独立回路列写 KVL方程，方程数为：
列写的方程与支路电流法相比,
方程数减少 n-1个 。
网孔 1,R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0
网孔 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得：
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
)( 1 nb
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
2,方程的列写
R11=R1+R2 网孔 1的自电阻。等于网孔 1中所有电阻之和。
观察可以看出如下规律：
R22=R2+R3 网孔 2的自电阻。等于网孔 2中所有电阻之和。
自电阻总为正 。
R12= R21= –R2 网孔 1、网孔 2之间的互电阻。
当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。
ul1= uS1-uS2 网孔 1中所有电压源电压的代数和。
ul2= uS2 网孔 2中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该回路方向一致时,取负号；反之取正号 。
R11il1+R12il2=uSl1
R12il1+R22il2=uSl2
由此得标准形式的方程：
对于具有 l=b-(n-1) 个网孔的电路，有,
其中,
Rjk:互电阻
+,流过互阻两个网孔电流方向相同
-,流过互阻两个网孔电流方向相反
0,无关
R11il1+R12il2+ …+R 1l ill=uSl1
…R21il1+R22il2+ …+R 2l ill=uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+R ll ill=uSll
Rkk:自电阻 (为正 )
例 1,用网孔电流法求解电流 i.
解 1 网孔有三个：
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
035252111 iRiRRRiR )(
035432514 iRRRiRiR )(
（ 1）不含受控源的线性网络
Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。
（ 2）当网孔电流均取顺（或逆时针方向时,Rjk均为负。
表明
32 iii
RS
R5
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
i
网孔法的一般步骤：
(1) 确定网孔电流及其绕行方向；
(2) 以网孔电流为未知量,列写其 KVL方程；
(3) 求解上述方程，得到 l 个网孔电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用网孔电流表示 )；
