第 13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
重点
3,非正弦周期电流电路的计算
1,非正弦周期函数分解为付里叶级数
13.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化例 1 半波整流电路的输出信号
)()( kTtftf
例 2 示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波计算机内的脉冲信号
T t
例 3
基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量高次谐波
)c o s ()(
1
10?
k
kkm tkAAtf
13.2 非正弦周期函数分解为付里叶级数
)c o s ()( 1110 tAAtf m
)2c o s ( 212 tA m
)c o s ( 1 nnm tnA
非正弦周期函数展开成付里叶级数：
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k
tkbtkatkA kkkkm 111 s i nc o s )c o s (
也可表示成：
k
k
k
kkmkkkmk
kkkm
a
b
AbAa
baA
aA
a r c t a n
s i n c o s
22
00
系数之间的关系为
2
0
11
2
0
11
0
00
)(s i n)(
1
)(c o s)(
1
)(
1
ttdktfb
ttdktfa
tdtf
T
aA
k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t)的展开式。
系数的计算：
利用函数的对称性可使系数的确定简化
（ 1）偶函数
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( kbtftf
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( katftf
（ 2）奇函数
（ 3）奇谐波函数
0 )2()( 22 kk baTtftf
t
f (t)
二．频谱用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，所得到的图形，称为 f(t)的频谱图。
幅度频谱：表示各谐波分量的振幅的频谱为幅度频谱。
相位频谱：把各次谐波的初相用相应线段依次排列的频谱为相位频谱。
例
0 kω1ω1 5ω14ω13ω12ω1 6ω1
由于各谐波的角频率是 ω1的整数倍，所以这种频谱是离散的，又称为线频谱。
kmA
t
T/2 T
Si
mI
周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
Tt
T
T
tI
ti S
2
0
2
0
)(
m
2
1)(1
0
2/
0
mT T
mSO
IdtI
TdttiTI
直流分量：
谐波分量,
2
0 ) (s i n)(
1 tdtktib
SK
K为偶数
K为奇数?
k
Itk
k
I
m
m 2
0
)c o s1( 0
0s in
1
)(c os)(
1
0
2
0
tk
k
I
tdtktia
m
Sk
si
的展开式为：
)5s i n513s i n31( s i n22 tttIIi mmS
t
t
t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波周期性方波波形分解基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波
)5s i n513s i n31( s i n22 tttIIi mmS
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si
5si
IS0
1si 3si 5si
等效电源
2020 0)(c o s 0)(s i n ttdkttdk
13.3 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
（ 1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。 k整数
（ 2） sin2,cos2在一个周期内的积分为?。
)(c o s )(s i n 20 220 2 ttdkttdk
（ 3） 三角函数的正交性
0)(s i ns i n
0)(c o sc o s
0)(s i nc o s
2
0
2
0
2
0
tdtptk
ttdptk
ttdptk
pk?
2,非正弦周期函数的有效值
)s i n ()(
1
0 k
k
k tkIIti
若则有效值,
)(s i n
1
)(
1
2
0
1
0
0
2
tdtkII
T
tdti
T
I
T
k
kk
T
21
2
2
0?
k
kIII
非正弦周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
利用三角函数的正交性得：
222120 IIII
结论
3,非正弦周期函数的平均值
T
AV dttiTI 0 )(
1
则其平均值定义为：
)c o s ()(
1
0 k
k
k tkIIti
若
4,非正弦周期交流电路的平均功率
T dtiuTP 01
)c o s ()(
1
0 uk
k
k tkUUtu
)c o s ()(
1
0 ik
k
k tkIIti
利用三角函数的正交性，得：
.,,,,,
)( c o s
210
1
00
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 IUIUIUP
结论
13.4 非正弦周期电流电路 的计算
1,计算步骤
（ 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法计算；
（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路,L相于短路。）
（ 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号 (正弦信号 )；
（ 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
2,计算举例例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
STI CLR m?28.6 A1 5 7 pF1 0 0 0 mH1 20,,、μ
t
T/2 T
Si
mI
R
LC
u
Si
解 （ 1）已知方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
2
2
t
tt
II
i mmS
sT
AI m
μ28.6
,μ157
代入已知数据：
直流分量 A5.78
2
1 5 7
20 μ
II m
A 10014.3 57.1221 mm II基波最大值
μA2051 15 mm II五次谐波最大值
r a d / s101028.6 14.322 66T角频率三次谐波最大值 AII
mm?3.333
1
13
A5.780SI
电流源 各频率的谐波分量为：
A10s i n1 0 0 61?ti s?
A103s i n31 0 0 63?ti s A105s i n5100 65?ti s
mV57.1105.7820 600SRIU
（ 2） 对 各种频率的谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
电容断路，电感短路,
A5.780SI
（ b)基波作用 ti
s 61 10s i n1 0 0?
k11010
k1
101 00 010
11
36
1
126
1
L
C
R
LC
u
Si
k50)( )()()( 1 RC LR XXXXjR jXjXRZ CL
CL
CL?
XL>>R
K Ω50)( 1Z
mV25 0 0 050210100(
6
111
）?ZIU
A10s i n1 0 0 61 μti s?
(c)三次谐波作用 ti
s
6
3 103s i n3
1 0 0
0
33
33
1 19.895.374)(
))(()3(
CL
CL
XXjR
jXjXRZ?
Ωk310103
33.0
101 0 00103
11
36
3
126
3
L
K
C
0
6
133 19.895.3742
103.33)3(ZIU
S
mV2.89247.12 0
(d)五次谐波作用 A105s i n
5
100 6
5?ti s
53.893.208)5( ))(()5(
55
55
1 CL
CL
XXjR
jXjXRZ?
Ω
Ω
k510105
)K(2.0
1010 00105
11
36
5
126
5
L
C
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5( 6
155
ZIU s
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV)53.895s i n (16 6.4
)2.893s i n (47.12
s i n50 0057.1
5310
t
t
t
uuuUu
mV57.10?U mV2.89
2
47.12
3
U?
mV25 0 0 01?U?
mV53.89
2
1 6 6.4
5
U
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
重点
3,非正弦周期电流电路的计算
1,非正弦周期函数分解为付里叶级数
13.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化例 1 半波整流电路的输出信号
)()( kTtftf
例 2 示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波计算机内的脉冲信号
T t
例 3
基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量高次谐波
)c o s ()(
1
10?
k
kkm tkAAtf
13.2 非正弦周期函数分解为付里叶级数
)c o s ()( 1110 tAAtf m
)2c o s ( 212 tA m
)c o s ( 1 nnm tnA
非正弦周期函数展开成付里叶级数：
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k
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也可表示成：
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k
k
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1
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T
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k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t)的展开式。
系数的计算：
利用函数的对称性可使系数的确定简化
（ 1）偶函数
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( kbtftf
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( katftf
（ 2）奇函数
（ 3）奇谐波函数
0 )2()( 22 kk baTtftf
t
f (t)
二．频谱用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，所得到的图形，称为 f(t)的频谱图。
幅度频谱：表示各谐波分量的振幅的频谱为幅度频谱。
相位频谱：把各次谐波的初相用相应线段依次排列的频谱为相位频谱。
例
0 kω1ω1 5ω14ω13ω12ω1 6ω1
由于各谐波的角频率是 ω1的整数倍，所以这种频谱是离散的，又称为线频谱。
kmA
t
T/2 T
Si
mI
周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
Tt
T
T
tI
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2
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直流分量：
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1 tdtktib
SK
K为偶数
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t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波周期性方波波形分解基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波
)5s i n513s i n31( s i n22 tttIIi mmS
t
T/2 T
Si
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等效电源
2020 0)(c o s 0)(s i n ttdkttdk
13.3 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
（ 1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。 k整数
（ 2） sin2,cos2在一个周期内的积分为?。
)(c o s )(s i n 20 220 2 ttdkttdk
（ 3） 三角函数的正交性
0)(s i ns i n
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2
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2,非正弦周期函数的有效值
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1
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若则有效值,
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T
I
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kIII
非正弦周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
利用三角函数的正交性得：
222120 IIII
结论
3,非正弦周期函数的平均值
T
AV dttiTI 0 )(
1
则其平均值定义为：
)c o s ()(
1
0 k
k
k tkIIti
若
4,非正弦周期交流电路的平均功率
T dtiuTP 01
)c o s ()(
1
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k
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)c o s ()(
1
0 ik
k
k tkIIti
利用三角函数的正交性，得：
.,,,,,
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210
1
00
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 IUIUIUP
结论
13.4 非正弦周期电流电路 的计算
1,计算步骤
（ 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法计算；
（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路,L相于短路。）
（ 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号 (正弦信号 )；
（ 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
2,计算举例例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
STI CLR m?28.6 A1 5 7 pF1 0 0 0 mH1 20,,、μ
t
T/2 T
Si
mI
R
LC
u
Si
解 （ 1）已知方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
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2
2
t
tt
II
i mmS
sT
AI m
μ28.6
,μ157
代入已知数据：
直流分量 A5.78
2
1 5 7
20 μ
II m
A 10014.3 57.1221 mm II基波最大值
μA2051 15 mm II五次谐波最大值
r a d / s101028.6 14.322 66T角频率三次谐波最大值 AII
mm?3.333
1
13
A5.780SI
电流源 各频率的谐波分量为：
A10s i n1 0 0 61?ti s?
A103s i n31 0 0 63?ti s A105s i n5100 65?ti s
mV57.1105.7820 600SRIU
（ 2） 对 各种频率的谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
电容断路，电感短路,
A5.780SI
（ b)基波作用 ti
s 61 10s i n1 0 0?
k11010
k1
101 00 010
11
36
1
126
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L
C
R
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u
Si
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CL
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6
111
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A10s i n1 0 0 61 μti s?
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CL
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133 19.895.3742
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mV2.89247.12 0
(d)五次谐波作用 A105s i n
5
100 6
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53.893.208)5( ))(()5(
55
55
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CL
XXjR
jXjXRZ?
Ω
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k510105
)K(2.0
1010 00105
11
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5
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5
L
C
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5( 6
155
ZIU s
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV)53.895s i n (16 6.4
)2.893s i n (47.12
s i n50 0057.1
5310
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