第 10章 含有耦合电感的电路
重点
1.互感、互感电压和同名端
2.含有互感电路的计算
3.空心变压器和理想变压器的电路模型
10.1 互感
1,互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、
电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
线圈 1中通入电流 i1时,在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux),同时,有部分磁通穿过临近线圈 2,这部分磁通称为互感磁通 。 两线圈间有磁的耦合 。
+ –u11 + –u21
i1
11
21
N1 N2
定义?,磁链 (magnetic linkage),? =N?
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时,?与 i 成正比,当只有一个线圈时,。为自感系数，单位亨称 H)( 111111 LiL
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和,
2121112111 iMiL
1212221222 iMiL
。为互感系数，单位亨、称 H)( 2112 MM
注 （ 1） M值与线圈的形状、几何位置、空间介质有关，与线圈中的电流无关，满足 M12=M21
（ 2） L总为正值,M值有正有负,
自磁链?11 = L1 i1,互磁链?21 = M21 i1，
22 = L2 i2,?12 = M12 i2
2,耦合系数 (coupling coefficient)
用耦合系数 k表示两个线圈磁耦合的紧密程度 。 1
21
d e f
LL
Mk
当 k=1 称全耦合,漏磁? s1 =?s2=0 即?11=?21,?22 =?12
1))((
2211
2112
2211
21
21
2
21
iLiL
MiMi
LL
M
LL
Mk一般有：
耦合系数 k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关互感现象 利用 ——变压器：信号、功率传递避免 ——干扰克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
当 i1为时变电流时,磁通也将随时间变化,从而在线圈两端产生感应电压 。
dddd 111111 tiLtu
当 i1,u11,u21方向与? 符合右手螺旋时,根据电磁感应定律和楞次定律：
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：
t
iM
tu d
d
d
d 121
21?
自感电压互感电压
3,耦合电感上的电压、电流关系在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
2212
2111
jj
jj
ILIMU
IMILU
两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，
否则取负。表明互感电压的正、负：
（ 1）与电流的参考方向有关。
（ 2）与线圈的相对位置和绕向有关。
注
t
i
L
t
i
Muuu
t
i
M
t
i
Luuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
22212
21
112111
4.互感线圈的同名端对自感电压,当 u,i 取关联参考方向,u,i与?符合右螺旋定则,其表达式为
dddd dd 111111111 tiLtΦNtΨu
上式 说明,对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的,只要参考方向确定了,其数学描述便可容易地写出,可不用考虑线圈绕向 。
i1
u11
对互感电压,因产生该电压的的电流在另一线圈上,
因此,要确定其符号,就必须知道两个线圈的绕向 。 这在电路分析中显得很不方便 。 为解决这个问题引入同名端的概念 。
t
iMu
t
iMu
d
d
d
d 1
3131
1
2121
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，
则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。
* *
同名端
i1
+ –u11 + –u21
11
0
N1 N2
+ –u31
N3
s
i2 i3△ △
注意：线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法：
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时,两个电流产生的磁场相互增强 。
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时,将会引起另一线圈相应同名端的电位升高 。
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
同名端的实验测定,i1
1'
2
2'
* *
R S
V
+
–
电压表正偏。 0,0
'22 dt
diMu
dt
di
如图电路，当闭合开关 S时,i增加，
当两组线圈装在黑盒里,只引出四个端线组,要确定其同名端,就可以利用上面的结论来加以判断 。
由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
t
iMu
d
d 1
21?
t
iMu
d
d 1
21
i1
* *
u21+ –
M
i1
* *
u21– +
M
注意：如果互感电压,+”极性端子与产生它的电流流进的端子为一对同名端时，互感电压前应取
,+”号，反之取,-”号。
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2
i1
*
*
L1 L2
+
_u1 +
_
u2
i2Mi1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
i1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M例写出图示电路电压、
电流关系式
10.2 含有耦合电感电路的计算
1,耦合电感的串联
（ 1） 顺接串联
t
i
LRi
t
i
MLLiRR
iR
t
i
M
t
i
L
t
i
M
t
i
LiRu
d
d
d
d
)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
MLLLRRR 2 2121
i
R
L
u
+
–
i M
* * u
2
+ –
R1 R2L1 L2
u1 +–
u+ –
去耦等效电路
（ 2） 反接串联
MLLLRRR 2 2121
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
)(21 21 LLM
互感不大于两个自感的算术平均值。
02 21 MLLL
i M
* * u
2
+ –
R1 R2L1 L2
u1 +–
u+ –
i
R
L
u
+
–
顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
4
反顺 LLM
全耦合时
21 LLM?
2
21
212121
)(
22
LL
LLLLMLLL
当 L1=L2 时,M=L
4M 顺接
0 反接
L=
互感的测量方法：
在正弦激励下,* *
1
U + –
R1 R2j? L1
+ –
+ –
j? L2
2
U
j? M
U
I?
)2(j)( 2121 IMLLωIRRU +–
I
1IR
1j ILω
j IMω
2IR
2j ILω
j IMω
1?U
2?U
U
I
1 IR
1j ILω? j IMω
2 IR
2j ILω
j IMω
1
U
2
U
U
相量图：
(a) 顺接 (b) 反接
（ 1） 同侧并联
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
0 2 )(
21
2
21?
MLL
MLLL
eq
i = i1 +i2
解得 u,i 的关系：
2,耦合电感的并联
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2
等效电感：
如全耦合,L1L2=M2 当 L1?L2,Leq=0 (物理意义不明确 )
L1=L2,Leq=L (相当于导线加粗，电感不变 )
（ 2） 异侧并联
*
*
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1
i = i1 +i2
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
解得 u,i 的关系：
等效电感：
0 2 )(
21
2
21?
MLL
MLLL
eq
3.耦合电感的 T型等效
（ 1） 同名端为共端的 T型去耦等效
**j?L
1
I
1
I 2
I
1 2
3
j?L2
j? M
21113
jj IMωILωU
12223
jj IMILU
21
III
j)(j
11 IMIMLω?
j)(j
22 IMIMLω?
j?(L1-M)
I
1
I 2
I
1 2
3
j?M
j?(L2-M)
（ 2） 异名端为共端的 T型去耦等效
*
*j?L
1
I
1
I 2
I
1 2
3
j?L2
j? M
j?(L1＋ M)
I
1
I 2
I
1 2
3
－ j?M
j?(L2＋ M)
21113
jj IMILU
12223
jj IMILU
21
III
j)(j
11 IMIMLω?
j)(j
22 IMIMLω?
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
* *
M i2i1
L1 L2u
+
–
u
+
–
j?(L1－ M)
I
1
I 2?I
j?M
j?(L2－ M)
j?(L1－ M)
1
I 2?I
j?M
j?(L2－ M)
4,受控源等效电路
2111
IMjILjU
1222
IMjILjU
* *
M i2i1
L1 L2u
+
–
u
+
–
j? L1
1?I 2?I
j? L2
+
– –
+
2
IMj? 1
IMj?
+
–
2
U
+
–
1?U
例 abL 求等效电感
M=3H
6H
2H
0.5H
4H
a
b
M=4H
6H
2H 3H
5H
a
b
M=1H
9H
2H
0.5H
7H
a
b
-3HLab=5H
4H3H
2H1Ha
b
3HLab=6H
解
5,有互感的电路的计算
(1) 有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的相量分析的方法均适用。
(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。
(3) 一般采用支路法和回路法计算。
列写下图电路的回路电流方程。例 1
M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
SUIIMjILjILjR )()( 3231111
21
3M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
13132222 )()( IkIIMjILjILjR
0)()(
)
1
(
2313
2211321
IIMjIIMj
ILjILjI
C
jLjLj
解例 2 求图示电路的开路电压。
1I?
)2( 313111
MLLjR
UI S
M12
+
_
+
_
SU? ocU?*
*
M23M31
L1 L2
L3
R1
)2(
)(
31311
3123123
131`311231120
MLLjR
UMMMLj
ILjIMjIMjIMjU
S
c
解 1
作出去耦等效电路,(一对一对消 ):
M12
*
*
M23M13
L1 L2
L3 *
*
M23M13
L1–M12 L2–M12
L3+M12
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
解 2
L1–M12 +M23 L2–M12 –M23
L3+M12 –M23
M13
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
R1 +
–
+
_
SU?
ocU?
1I?
)2( 313111
MLLjR
UI S
)2(
)(
31311
3123123
0 MLLjR
UMMMLjU S
c
10.4 变压器原理
* *
j? L1
1
I
2
I
j? L2
j? M
+
–S
U
R1 R2
Z=R+jX
变压器由两个具有互感的线圈绕在一个共同的芯子上构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。其芯子为铁磁材料，当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。
1,变压器电路模型原边回路副边回路
2,分析方法
（ 1） 方程法分析
* *
j? L1
1
I
2
I
j? L2
j? M
+
–S
U
R1 R2
Z=R+jX
S2111
j-) j( UIMILωR?
0)j(j 2221 IZLωRIMω
令 Z11=R1+j? L1,Z22=(R2+R)+j(? L2+X)
回路方程：
S2111
j- UIMIZ?
0j 2221 IZIM?
)(
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
22
2
11
1
S
in
)(
Z
MZ
I
UZ
11
2
22
11
S
22
22
2
11
S
2
)(
1j
)
)(
(
j
Z
M
Z
Z
UM
Z
Z
M
Z
UM
I
1?I
+
–
S
U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
2?I+
–
oc
U Z
22
11
2)(
Z
Mω
副边等效电路
（ 2） 等效电路法分析
ll
l
XR
XR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
M
Z
jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
Zl= Rl+j Xl
2
22
2
22
22
22
XR
RMωR
l
2
22
2
22
22
22
XR
XMωX
l
11in2,,0 ZZI 即副边开路当?
1?I
+
–
S
U
Z11
22
2)(
Z
ωM
副边对原边的引入阻抗。
引入电阻。 恒为正,表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。
引入电抗。 负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。
原边等效电路引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响 。 从物理意义讲,虽然原副边没有电的联系,但由于互感作用使闭合的副边产生电流,反过来这个电流又影响原边电流电压 。
从能量角度来说,
电源发出有功 P= I12(R1+Rl)
I12R1 消耗在原边； I12Rl 消耗在付边，由互感传输。
11
S
oc
j
Z
UMωU
11
2)(
Z
Mω 原边对副边的引入阻抗。
利用戴维宁定理可以求得 空心变压器副边的等效电路 。
副边开路时，
原边电流在副边产生的互感电压。
2?I+
–
oc
U Z
22
11
2)(
Z
Mω
副边等效电路
（ 3） 去耦等效法分析对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。
已知 US=20 V,原边引入阻抗 Zl=10–j10?.
求,ZX 并求负载获得的有功功率,
101010j4
22
22 j
ZZ MωZ Xl
Ω 8.9j2.010200 )1010(4101010 4 jjjjZ X
此时负载获得的功率,W101010 20 2 lR RPP ）（
引
W104,*
2
S
11 R
UPZZ
l
实际是最佳匹配：
解：
* *
j10?
2?I
j10?
j2
+
–S
U
10?
ZX
+
–
S
U
10+j10?
Zl=10–j10?
例 1
解
L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20?,R2=0.08?,
RL=42?,314rad/s,
V 01 1 5 osU?
.,,21 II求应用原边等效电路
Ω4.1 1 3 0j20j 1111 ω LRZ
Ω 85.18+08.42=j++= 2222 jω LRRZ L
8188422)1.24(3.4621.2411.46 146 o
2
22
2
.-jZXZ Ml?
1?I
+
–
S
U
Z11
22
2)(
Z
M?
例 2
* *
j? L1
1
I
2
I
j? L2
j? M
+
–S
U
R1 R2
RL
解 1
A)9.64(111.08.1884224.113020 0115 o
11
S
1
jjZZ
UI
l
应用副边等效电路
V
j
j
LjR
U
MjIMjU SOC
085.14
4.1 1 3 020
0115
146
11
1
85.18906.1 1 3 02 1 3 1 64.1 1 3 020 146)(
2
11
2
jjZ M?
AjjZ IMjI
1351.01.2411.46 1.252.1685.1808.42 9.64111.0146
22
1
2
解 2
2?I+
–
oc
U Z
22
11
2)(
Z
Mω
Ajj UI OC?
0353.008.42 085.1485.1808.425.182
例 3 全耦合互感电路如图，求电路初级端 ab间的等效阻抗。
* *
L1
a M
+
–S
U
b
L2
解 1 111 j LZ
222 j LZ
2
2
22
2)(
L
Mj
Z
MZ
l?
)1()1( 21
21
2
1
2
2
111
kLj
LL
M
Lj
L
M
jLjZZZ lab
解 2 画出去耦等效电路
L1－ M L2－ M
+
–
SU? M
a
b
)1(
)1(
)
)(
)//()(
2
1
21
2
1
2
2
21
2
2
1
21
kL
LL
M
L
L
MLL
L
MLM
ML
MLMMLL
ab
10.5 理想变压器
1 21 LLMk
1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。
（ 2）全耦合
（ 1）无损耗 线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。
（ 3）参数无限大
nLL
MLL
2121
,2,1
NN
,
但以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。
i1
1'
2
2'
N1 N2
221121
2.理想变压器的主要性能
（ 1）变压关系
1?k
dt
dN
dt
du
1
1
1
dt
dN
dt
du
2
2
2
nNNuu
2
1
2
1
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
*
*
n:1
+
_u1
+
_u2
理想变压器模型若
nNNuu
2
1
2
1
（ 2）变流关系 i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
dt
diM
dt
diLu 21
11
)()(1)( 2
10
1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t
考虑到理想化条件,1 21 LLMk
nLLL 21211 NN,
0
nL
L
L
M 1
1
2
1
)(1)(
21 tinti
若 i1,i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：
)(1)( 21 tinti?
n:1
理想变压器模型
（ 3）变阻抗关系
ZnIUnInUnIU 2
2
22
2
2
1
1 )(
/1
* *
1
I
2
I
+
–
2
U
+
–
1
U
n,1
Z
1
I
+
–
1
U n2Z
理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。注
（ b） 理想变压器的特性方程为代数关系,因此它是无记忆的多端元件 。
21 nuu?
21
1 i
ni
* *+
–
n,1
u1
i1 i2
+
–
u2
0)(1 11112211 niuniuiuiup
（ a） 理想变压器既不储能,也不耗能,在电路中只起传递信号和能量的作用 。
（ 4）功率性质表明：
例 1 已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。 为使R
L上获得最大功率,求理想变压器的变比 n。
n2RL
+
–
uS
RS
当 n2RL=RS时匹配，即
10n2=1000
n2=100,n=10,
* *
n,1
RL
+
–
uS
RS
应用变阻抗性质例 2
1
I
2
I
* * +
–2
U
+
–
1
U
1,10
50?
+
–
V010 o?
1?
.2?U求方法 1：列方程
101 21 UU
21 10 II
o11 0101UI?
050 22UI? 解得
V033.33 o2U
方法 2：阻抗变换
V0100
1010
o
S1oc
UUU
0,0 12 II
1
I
Ω2150)101( 2
+
–
1
U
+
–
V010 o?
1? V 0
3
10
2
1
2/11
010 oo
1
U?
V033.33
10
1
o
112
UU
n
U
方法 3：戴维南等效
1
I
2
I
* * +
–
oc
U
+
–
1
U
1,10
+
–
V010 o?
1?
:ocU?求求 Req：
Req=102?1=100?
戴维南等效电路：
+
–
2
U
+
–
V0100 o?
100?
50?
V033.3350501 0 0 01 0 0 o
o
2
U?
Req
* *
1,101?
例 4 已知图示电路的等效阻抗 Zab=0.25?,求理想变压器的变比 n。
解
102?n
+
–
1
U
1.5?
2
3?U
I
+
–
U?
应用阻抗变换外加电源得：
10)3( 221 nUIU
)105.1()3( 22 nUIU
21 UnU
130
10
2 n
InU
130 105.125.0
2
n
n
I
UZ
ab?
n=0.5 or n=0.25
Zab
* *
n,11.5?
10?
－
+
3 2U?
2U?
重点
1.互感、互感电压和同名端
2.含有互感电路的计算
3.空心变压器和理想变压器的电路模型
10.1 互感
1,互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、
电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
线圈 1中通入电流 i1时,在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux),同时,有部分磁通穿过临近线圈 2,这部分磁通称为互感磁通 。 两线圈间有磁的耦合 。
+ –u11 + –u21
i1
11
21
N1 N2
定义?,磁链 (magnetic linkage),? =N?
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时,?与 i 成正比,当只有一个线圈时,。为自感系数，单位亨称 H)( 111111 LiL
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和,
2121112111 iMiL
1212221222 iMiL
。为互感系数，单位亨、称 H)( 2112 MM
注 （ 1） M值与线圈的形状、几何位置、空间介质有关，与线圈中的电流无关，满足 M12=M21
（ 2） L总为正值,M值有正有负,
自磁链?11 = L1 i1,互磁链?21 = M21 i1，
22 = L2 i2,?12 = M12 i2
2,耦合系数 (coupling coefficient)
用耦合系数 k表示两个线圈磁耦合的紧密程度 。 1
21
d e f
LL
Mk
当 k=1 称全耦合,漏磁? s1 =?s2=0 即?11=?21,?22 =?12
1))((
2211
2112
2211
21
21
2
21
iLiL
MiMi
LL
M
LL
Mk一般有：
耦合系数 k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关互感现象 利用 ——变压器：信号、功率传递避免 ——干扰克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
当 i1为时变电流时,磁通也将随时间变化,从而在线圈两端产生感应电压 。
dddd 111111 tiLtu
当 i1,u11,u21方向与? 符合右手螺旋时,根据电磁感应定律和楞次定律：
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：
t
iM
tu d
d
d
d 121
21?
自感电压互感电压
3,耦合电感上的电压、电流关系在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
2212
2111
jj
jj
ILIMU
IMILU
两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，
否则取负。表明互感电压的正、负：
（ 1）与电流的参考方向有关。
（ 2）与线圈的相对位置和绕向有关。
注
t
i
L
t
i
Muuu
t
i
M
t
i
Luuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
22212
21
112111
4.互感线圈的同名端对自感电压,当 u,i 取关联参考方向,u,i与?符合右螺旋定则,其表达式为
dddd dd 111111111 tiLtΦNtΨu
上式 说明,对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的,只要参考方向确定了,其数学描述便可容易地写出,可不用考虑线圈绕向 。
i1
u11
对互感电压,因产生该电压的的电流在另一线圈上,
因此,要确定其符号,就必须知道两个线圈的绕向 。 这在电路分析中显得很不方便 。 为解决这个问题引入同名端的概念 。
t
iMu
t
iMu
d
d
d
d 1
3131
1
2121
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，
则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。
* *
同名端
i1
+ –u11 + –u21
11
0
N1 N2
+ –u31
N3
s
i2 i3△ △
注意：线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法：
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时,两个电流产生的磁场相互增强 。
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时,将会引起另一线圈相应同名端的电位升高 。
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
同名端的实验测定,i1
1'
2
2'
* *
R S
V
+
–
电压表正偏。 0,0
'22 dt
diMu
dt
di
如图电路，当闭合开关 S时,i增加，
当两组线圈装在黑盒里,只引出四个端线组,要确定其同名端,就可以利用上面的结论来加以判断 。
由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
t
iMu
d
d 1
21?
t
iMu
d
d 1
21
i1
* *
u21+ –
M
i1
* *
u21– +
M
注意：如果互感电压,+”极性端子与产生它的电流流进的端子为一对同名端时，互感电压前应取
,+”号，反之取,-”号。
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2
i1
*
*
L1 L2
+
_u1 +
_
u2
i2Mi1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
i1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M例写出图示电路电压、
电流关系式
10.2 含有耦合电感电路的计算
1,耦合电感的串联
（ 1） 顺接串联
t
i
LRi
t
i
MLLiRR
iR
t
i
M
t
i
L
t
i
M
t
i
LiRu
d
d
d
d
)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
MLLLRRR 2 2121
i
R
L
u
+
–
i M
* * u
2
+ –
R1 R2L1 L2
u1 +–
u+ –
去耦等效电路
（ 2） 反接串联
MLLLRRR 2 2121
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
)(21 21 LLM
互感不大于两个自感的算术平均值。
02 21 MLLL
i M
* * u
2
+ –
R1 R2L1 L2
u1 +–
u+ –
i
R
L
u
+
–
顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
4
反顺 LLM
全耦合时
21 LLM?
2
21
212121
)(
22
LL
LLLLMLLL
当 L1=L2 时,M=L
4M 顺接
0 反接
L=
互感的测量方法：
在正弦激励下,* *
1
U + –
R1 R2j? L1
+ –
+ –
j? L2
2
U
j? M
U
I?
)2(j)( 2121 IMLLωIRRU +–
I
1IR
1j ILω
j IMω
2IR
2j ILω
j IMω
1?U
2?U
U
I
1 IR
1j ILω? j IMω
2 IR
2j ILω
j IMω
1
U
2
U
U
相量图：
(a) 顺接 (b) 反接
（ 1） 同侧并联
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
0 2 )(
21
2
21?
MLL
MLLL
eq
i = i1 +i2
解得 u,i 的关系：
2,耦合电感的并联
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2
等效电感：
如全耦合,L1L2=M2 当 L1?L2,Leq=0 (物理意义不明确 )
L1=L2,Leq=L (相当于导线加粗，电感不变 )
（ 2） 异侧并联
*
*
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1
i = i1 +i2
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
解得 u,i 的关系：
等效电感：
0 2 )(
21
2
21?
MLL
MLLL
eq
3.耦合电感的 T型等效
（ 1） 同名端为共端的 T型去耦等效
**j?L
1
I
1
I 2
I
1 2
3
j?L2
j? M
21113
jj IMωILωU
12223
jj IMILU
21
III
j)(j
11 IMIMLω?
j)(j
22 IMIMLω?
j?(L1-M)
I
1
I 2
I
1 2
3
j?M
j?(L2-M)
（ 2） 异名端为共端的 T型去耦等效
*
*j?L
1
I
1
I 2
I
1 2
3
j?L2
j? M
j?(L1＋ M)
I
1
I 2
I
1 2
3
－ j?M
j?(L2＋ M)
21113
jj IMILU
12223
jj IMILU
21
III
j)(j
11 IMIMLω?
j)(j
22 IMIMLω?
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
* *
M i2i1
L1 L2u
+
–
u
+
–
j?(L1－ M)
I
1
I 2?I
j?M
j?(L2－ M)
j?(L1－ M)
1
I 2?I
j?M
j?(L2－ M)
4,受控源等效电路
2111
IMjILjU
1222
IMjILjU
* *
M i2i1
L1 L2u
+
–
u
+
–
j? L1
1?I 2?I
j? L2
+
– –
+
2
IMj? 1
IMj?
+
–
2
U
+
–
1?U
例 abL 求等效电感
M=3H
6H
2H
0.5H
4H
a
b
M=4H
6H
2H 3H
5H
a
b
M=1H
9H
2H
0.5H
7H
a
b
-3HLab=5H
4H3H
2H1Ha
b
3HLab=6H
解
5,有互感的电路的计算
(1) 有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的相量分析的方法均适用。
(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。
(3) 一般采用支路法和回路法计算。
列写下图电路的回路电流方程。例 1
M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
SUIIMjILjILjR )()( 3231111
21
3M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
13132222 )()( IkIIMjILjILjR
0)()(
)
1
(
2313
2211321
IIMjIIMj
ILjILjI
C
jLjLj
解例 2 求图示电路的开路电压。
1I?
)2( 313111
MLLjR
UI S
M12
+
_
+
_
SU? ocU?*
*
M23M31
L1 L2
L3
R1
)2(
)(
31311
3123123
131`311231120
MLLjR
UMMMLj
ILjIMjIMjIMjU
S
c
解 1
作出去耦等效电路,(一对一对消 ):
M12
*
*
M23M13
L1 L2
L3 *
*
M23M13
L1–M12 L2–M12
L3+M12
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
解 2
L1–M12 +M23 L2–M12 –M23
L3+M12 –M23
M13
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
R1 +
–
+
_
SU?
ocU?
1I?
)2( 313111
MLLjR
UI S
)2(
)(
31311
3123123
0 MLLjR
UMMMLjU S
c
10.4 变压器原理
* *
j? L1
1
I
2
I
j? L2
j? M
+
–S
U
R1 R2
Z=R+jX
变压器由两个具有互感的线圈绕在一个共同的芯子上构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。其芯子为铁磁材料，当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。
1,变压器电路模型原边回路副边回路
2,分析方法
（ 1） 方程法分析
* *
j? L1
1
I
2
I
j? L2
j? M
+
–S
U
R1 R2
Z=R+jX
S2111
j-) j( UIMILωR?
0)j(j 2221 IZLωRIMω
令 Z11=R1+j? L1,Z22=(R2+R)+j(? L2+X)
回路方程：
S2111
j- UIMIZ?
0j 2221 IZIM?
)(
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
22
2
11
1
S
in
)(
Z
MZ
I
UZ
11
2
22
11
S
22
22
2
11
S
2
)(
1j
)
)(
(
j
Z
M
Z
Z
UM
Z
Z
M
Z
UM
I
1?I
+
–
S
U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
2?I+
–
oc
U Z
22
11
2)(
Z
Mω
副边等效电路
（ 2） 等效电路法分析
ll
l
XR
XR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
M
Z
jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
Zl= Rl+j Xl
2
22
2
22
22
22
XR
RMωR
l
2
22
2
22
22
22
XR
XMωX
l
11in2,,0 ZZI 即副边开路当?
1?I
+
–
S
U
Z11
22
2)(
Z
ωM
副边对原边的引入阻抗。
引入电阻。 恒为正,表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。
引入电抗。 负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。
原边等效电路引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响 。 从物理意义讲,虽然原副边没有电的联系,但由于互感作用使闭合的副边产生电流,反过来这个电流又影响原边电流电压 。
从能量角度来说,
电源发出有功 P= I12(R1+Rl)
I12R1 消耗在原边； I12Rl 消耗在付边，由互感传输。
11
S
oc
j
Z
UMωU
11
2)(
Z
Mω 原边对副边的引入阻抗。
利用戴维宁定理可以求得 空心变压器副边的等效电路 。
副边开路时，
原边电流在副边产生的互感电压。
2?I+
–
oc
U Z
22
11
2)(
Z
Mω
副边等效电路
（ 3） 去耦等效法分析对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。
已知 US=20 V,原边引入阻抗 Zl=10–j10?.
求,ZX 并求负载获得的有功功率,
101010j4
22
22 j
ZZ MωZ Xl
Ω 8.9j2.010200 )1010(4101010 4 jjjjZ X
此时负载获得的功率,W101010 20 2 lR RPP ）（
引
W104,*
2
S
11 R
UPZZ
l
实际是最佳匹配：
解：
* *
j10?
2?I
j10?
j2
+
–S
U
10?
ZX
+
–
S
U
10+j10?
Zl=10–j10?
例 1
解
L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20?,R2=0.08?,
RL=42?,314rad/s,
V 01 1 5 osU?
.,,21 II求应用原边等效电路
Ω4.1 1 3 0j20j 1111 ω LRZ
Ω 85.18+08.42=j++= 2222 jω LRRZ L
8188422)1.24(3.4621.2411.46 146 o
2
22
2
.-jZXZ Ml?
1?I
+
–
S
U
Z11
22
2)(
Z
M?
例 2
* *
j? L1
1
I
2
I
j? L2
j? M
+
–S
U
R1 R2
RL
解 1
A)9.64(111.08.1884224.113020 0115 o
11
S
1
jjZZ
UI
l
应用副边等效电路
V
j
j
LjR
U
MjIMjU SOC
085.14
4.1 1 3 020
0115
146
11
1
85.18906.1 1 3 02 1 3 1 64.1 1 3 020 146)(
2
11
2
jjZ M?
AjjZ IMjI
1351.01.2411.46 1.252.1685.1808.42 9.64111.0146
22
1
2
解 2
2?I+
–
oc
U Z
22
11
2)(
Z
Mω
Ajj UI OC?
0353.008.42 085.1485.1808.425.182
例 3 全耦合互感电路如图，求电路初级端 ab间的等效阻抗。
* *
L1
a M
+
–S
U
b
L2
解 1 111 j LZ
222 j LZ
2
2
22
2)(
L
Mj
Z
MZ
l?
)1()1( 21
21
2
1
2
2
111
kLj
LL
M
Lj
L
M
jLjZZZ lab
解 2 画出去耦等效电路
L1－ M L2－ M
+
–
SU? M
a
b
)1(
)1(
)
)(
)//()(
2
1
21
2
1
2
2
21
2
2
1
21
kL
LL
M
L
L
MLL
L
MLM
ML
MLMMLL
ab
10.5 理想变压器
1 21 LLMk
1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。
（ 2）全耦合
（ 1）无损耗 线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。
（ 3）参数无限大
nLL
MLL
2121
,2,1
NN
,
但以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。
i1
1'
2
2'
N1 N2
221121
2.理想变压器的主要性能
（ 1）变压关系
1?k
dt
dN
dt
du
1
1
1
dt
dN
dt
du
2
2
2
nNNuu
2
1
2
1
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
*
*
n:1
+
_u1
+
_u2
理想变压器模型若
nNNuu
2
1
2
1
（ 2）变流关系 i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
dt
diM
dt
diLu 21
11
)()(1)( 2
10
1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t
考虑到理想化条件,1 21 LLMk
nLLL 21211 NN,
0
nL
L
L
M 1
1
2
1
)(1)(
21 tinti
若 i1,i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：
)(1)( 21 tinti?
n:1
理想变压器模型
（ 3）变阻抗关系
ZnIUnInUnIU 2
2
22
2
2
1
1 )(
/1
* *
1
I
2
I
+
–
2
U
+
–
1
U
n,1
Z
1
I
+
–
1
U n2Z
理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。注
（ b） 理想变压器的特性方程为代数关系,因此它是无记忆的多端元件 。
21 nuu?
21
1 i
ni
* *+
–
n,1
u1
i1 i2
+
–
u2
0)(1 11112211 niuniuiuiup
（ a） 理想变压器既不储能,也不耗能,在电路中只起传递信号和能量的作用 。
（ 4）功率性质表明：
例 1 已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。 为使R
L上获得最大功率,求理想变压器的变比 n。
n2RL
+
–
uS
RS
当 n2RL=RS时匹配，即
10n2=1000
n2=100,n=10,
* *
n,1
RL
+
–
uS
RS
应用变阻抗性质例 2
1
I
2
I
* * +
–2
U
+
–
1
U
1,10
50?
+
–
V010 o?
1?
.2?U求方法 1：列方程
101 21 UU
21 10 II
o11 0101UI?
050 22UI? 解得
V033.33 o2U
方法 2：阻抗变换
V0100
1010
o
S1oc
UUU
0,0 12 II
1
I
Ω2150)101( 2
+
–
1
U
+
–
V010 o?
1? V 0
3
10
2
1
2/11
010 oo
1
U?
V033.33
10
1
o
112
UU
n
U
方法 3：戴维南等效
1
I
2
I
* * +
–
oc
U
+
–
1
U
1,10
+
–
V010 o?
1?
:ocU?求求 Req：
Req=102?1=100?
戴维南等效电路：
+
–
2
U
+
–
V0100 o?
100?
50?
V033.3350501 0 0 01 0 0 o
o
2
U?
Req
* *
1,101?
例 4 已知图示电路的等效阻抗 Zab=0.25?,求理想变压器的变比 n。
解
102?n
+
–
1
U
1.5?
2
3?U
I
+
–
U?
应用阻抗变换外加电源得：
10)3( 221 nUIU
)105.1()3( 22 nUIU
21 UnU
130
10
2 n
InU
130 105.125.0
2
n
n
I
UZ
ab?
n=0.5 or n=0.25
Zab
* *
n,11.5?
10?
－
+
3 2U?
2U?
