1,电感、电容的外特性，功率和能量
重点,
第六章 储能元件
2,电感、电容的串、并联
6.1 电容元件 (capacitor)
电容器 _
q
+
q
在外电源作用下，两极板上分别带上等量异号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久地集聚下去，
是一种储存电能的部件。
1.定义电容元件 储存电能的元件。其特性可用 u～ q 平面上的一条曲线来描述
0?),( quf
q
u
常用的几种电容器任何时刻,电容元件极板上的电荷 q与电压 u 成正比 。 库伏特性 （ q ~ u 特性 ） 是过原点的直线 。
电路符号
2,线性定常电容元件
C
＋ －
u
+q -q
t a n uqCorCuq
C 称为电容器的电容,单位,F (法 )
(Farad，法拉 ),常用?F,p F等表示。
q
uO
单位
t
uC
t
qi
d
d
d
d
线性电容的电压、电流关系
C
＋ －u
i
u,i 取关联参考方向电容元件 VCR
的微分形式表明：
(1) i 的大小取决于 u 的变化率,与 u 的大小无关，
电容是动态元件；
(2) 当 u 为常数 (直流 )时,i =0。电容相当于开路，电容有隔断直流作用；
(3)实际电路中通过电容的电流 i为有限值，则电容电压 u
必定是时间的连续函数,
电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件
（ 1） 当 u,i为非关联方向时,上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
（ 2） 上式中 u(t0)称为电容电压的初始值,它反映电容初始时刻的储能状况,也称为初始状态 。
)( d
dd )(


t
t
t
t
tt
ξi
C
u
id ξ
C
ξi
C
ξi
C
tu
t
0
0
0
0
1
111
电容元件 VCR
的积分形式表明注
3,电容的功率和储能
t
uCuuip
d
d
(1)当电容充电,u>0,d u/d t>0，则 i>0,q?，
p>0,电容吸收功率。
(2)当电容放电,u>0,d u/d t<0，则 i<0,q?，
p<0,电容发出功率,
功率表明电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
u,i 取关联参考方向
（ 1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
（ 2）电容储存的能量一定大于或等于零。
从 t0到 t 电容储能的变化量：
)(2 1)(2 1)(21)(21 022022 tqCtqCtCutCuW C
0
2
1
2
1
2
1
2
1
ξ
2
1
22
0
222





)()(
)()()(d
d
d
)(
tq
C
tCu
CutCuCuξ
ξ
u
CuW
u
t
t
C
若
电容的储能表明例 ＋
－
)(tus C 0.5F
i求电流 i、功率 P (t)和储能 W (t)
21 t /s
2
0
u/V 电源波形解 uS (t)的函数表示式为,


st
stt
stt
t
tu
s
20
2142
102
00
)(



st
st
st
t
dt
du
Cti
s
20
211
101
00
)(
解得电流
21 t /s
1
i/A
-1



st
stt
stt
t
titutp
20
2142
102
00
)()()(
21 t /s
2
0
p/W
-2



st
stt
stt
t
tCutW
C
20
212
10
00
2
1
2
2
2
)(
)()(
21 t /s
1
0
WC/J
吸收功率释放功率


st
st
st
t
ti
20
211
101
00
)(
21 t /s
1
i/A
-1
若已知电流求电容电压，有
d0d )( 0 t ttξCξCtcust 00 2201111当

t
C tdutu 1 24150
11?)(
.
)()(st 21 当
t?2 当 t
C dutu 2 0050
12?
.
)()(
6.2 电感元件 (inductor)
i (t)
+ -u (t)
电感器把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感器，当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种储存磁能的部件
（ t)＝ N?(t)
1.定义电感元件储存磁能的元件。其特性可用?～ i 平面上的一条曲线来描述
0?),( if?
i
常用的几种电感器任何时刻,通过电感元件的电流 i与其磁链? 成正比 。
~ i 特性是过原点的直线
电路符号
2,线性定常电感元件
t a n )()( iLortLit
L 称为电感器的自感系数,L的单位,H (亨 )
(Henry，亨利 )，常用?H,m H表示。
iO
+ -u (t)
i L
单位
td
tdiL
td
dtu
)(
)(
线性电感的电压、电流关系
u,i 取关联参考方向电感元件 VCR
的微分形式表明：
(1) 电感电压 u 的大小取决于 i的变化率,与 i 的大小无关，电感是动态元件；
(2) 当 i为常数 (直流 )时,u =0。电感相当于短路；
(3)实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流 i
不能跃变，必定是时间的连续函数,
+ -u (t)
i L 根据电磁感应定律与楞次定律电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件
（ 1） 当 u,i为非关联方向时,上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
（ 2） 上式中 i(t0)称为电感电流的初始值,它反映电感初始时刻的储能状况,也称为初始状态 。
)( d
ddd )(


t
t
t
t
tt
ξu
L
i
ξu
L
ξu
L
ξu
L
ti
t
0
0
0
0
1
111
电感元件 VCR
的积分形式表明注
3,电感的功率和储能
i
t
iLuip
d
d
(1)当电流 增大,i>0,d i/d t>0，则 u>0,，
p>0,电感吸收功率。
(2)当电流减小,i>0,d i/d t<0，则 u<0,，
p<0,电感发出功率。
功率表明电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
u,i 取关联参考方向
（ 1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变；
（ 2）电感储存的能量一定大于或等于零。
从 t0到 t 电感储能的变化量：
)()()()( 022022 2 12 12121 tLtLtLitLiW L
0)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)ξ(
2
1
d
d
d
22
0)(
222





t
L
tLi
LitLiLiξ
ξ
i
LiW
i
t
t
L
若
电感的储能表明电容元件与电感元件的比较：
电容 C 电感 L
变量电流 i
磁链?
关系式电压 u
电荷 q
(1) 元件方程的形式是相似的；
(2) 若把 u-i,q-?,C-L,i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件,?,q等称为对偶元素。
* 显然,R,G也是一对对偶元素,
I=U/R? U=I/G
U=RI? I=GU
22
2
1
2
1
L
LiW
t
i
Lu
Li
L
d
d
结论
22
2
1
2
1
d
d
q
C
CuW
t
u
Ci
Cuq
C
（ 1） 两个线性电容并联,
t
uC
t
uCC
t
uC
t
uCiii
d
d
d
d)(
d
d
d
d
212121
6.3电容,电感的串联和并联
12 C C C
1、电容的串联和并联
（ 2） 两个线性电容串联：
ttt diCdiCdiCtututu )(1)(1)(1)()()(
21
21
其中
21
111
CCC 7)(7 21
21 －
CC
CCC

由此求得
2、电感的串联和并联
（ 1） 两个线性电感串联：
t
iL
t
iLL
t
iL
t
iLuuu
d
d
d
d)(
d
d
d
d
212121
其中
12 L L L
（ 2）两个线性电感并联：
其中
ttt duLduLduLtititi )(1)(1)(1)()()(
21
21
21
111
LLL )157( 21
21?
LL
LLL由此求得