第二章 逻辑代数基础
2.1 概述
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.4 逻辑代数的基本定理
2.5 逻辑函数及其表示方法
2.6 逻辑函数的化简方法
2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简
★
★
★
●只有 2种对立的逻辑状态时称二值逻辑。
●当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，
可以按照指定的某种因果关系进行推理运算，
即逻辑运算。
●用字母表示逻辑变量，每个逻辑变量的取值只有 0和 1两种可能,0和 1不表示大小，只表示逻辑状态。
2.1 概述与（ AND）或（OR）非（NOT）
2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑与（逻辑相乘）：只有决定事物结果的全部条件同时具备时，
结果才会发生。
逻辑或（逻辑相加）：在决定事物结果的诸条件中只要有任何一个满足，结果就会发生。
逻辑非（逻辑求反）：只要条件具备了，结果便不会发生；而条件不具备时，结果一定发生。
以 A,B表示开关的状态
=1表示开关合上,=0表示开关断开；
以 Y表示指示灯的状态
=1表示灯亮,=0表示灯不亮；
将开关闭合作为条件，以灯亮作为结果，则有。。。。
与（ AND）或（OR）非（NOT）
与（逻辑相乘）
条件同时具备，结果发生
Y=A AND B = A&B=A·B=AB
A B Y
0 0 0
0 1 0
10 0
11 1
真值表逻辑表达式图形符号或（逻辑相加）
条件之一具备，结果发生
Y= A OR B = A+B
A B Y
0 0 0
0 1 1
10 1
11 1
非（逻辑求反）
条件不具备，结果发生
YNOTAA
′
= =
A Y
0 1
10
几种常见的复合逻辑运算与非 或非 与或非
A B Y
0 0 1
0 1 1
101
110
A B Y
0 0 1
0 1 0
100
110
异或
A B Y
0 0 0
0 1 1
10 1
11 0
()YABABAB AB
′ ′′
=⊕= + = null
A B Y
0 0 1
0 1 0
10 0
11 1
同或 ()YABABAB AB
′ ′′
= =+ =⊕null
2.3.1 基本公式
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式序号公式序号公式
10 1′ = 0;0′ =1
1 0 A = 0 11 1 + A= 1
2 1 A = A 12 0 + A = A
3 A A = A 13 A + A = A
4 A A′ = 0 14 A + A′ = 1
5 AB = BA 15 A+B = B+A
6 A (B C)=(A B) C 16 A + (B +C) = (A + B) + C
7 A (B +C)=A B+A C 17 A + B C = (A +B)(A +C)
8 (A B) ′ = A′ + B′ 18 (A+ B) ′ = A′ B′
9 (A′ )′ = A
还原律
0和1互为求反变量与常量间的运算规则重叠律互补律交换律结合律分配律摩根定理 反演律公式的证明可以用列真值表法和公式推演法。
公式（ 17） A + B C = (A +B)(A +C) 的证明真值表法
ABC BC A+BC A+B A+C （ A+B） (A+C)
000 0 000 0
001 0 001 0
010 0 010 0
011 1 111 1
100 0 111 1
101 0 111 1
110 0 111 1
111 1 111 1
公式（ 17）A + B C = (A +B)(A +C) 的证明公式推演法左右
=+=
+++=
+++=
++=
BCA
BCCBA
BCACABA
CABA
)(
))((
1
2.3.2 若干常用公式序号 公 式
21 A + A B = A
22 A +A ′ B = A + B
23 A B + A B′ = A
24 A ( A + B) = A
25 A B + A′ C + B C = A B + A′ C
A B＋ A′ C + B CD = A B + A′ C
26 A (AB) ′ = A B′ ; A′ (AB)′ = A′
试证明以下公式的正确性
22
25
A +A′ B = A + B
A B＋A′C + BCD = AB + A′C
2.4 逻辑代数的基本定理
1.4.1 代入定理
1.4.2 反演定理
1.4.3 对偶定理
2.4.1 代入定理定理内容,在任何一个包含变量 A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有 A的位置，则等式仍然成立。
注意事项：需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先括号内，再乘法，最后加法。
A+BC = (A+B)(A+C)
代入定理应用举例——
A+B(CD) = (A+B)(A+CD)
= (A+B)(A+C)(A+D)
代入定理应用举例——
德,摩根定理：
试问：。。。
()?
ABCD
ABCD
′
=
′ ′′′
+ ++=
()A BAB
′ ′′
=+
BC B?以代 入
()()ABC A BC A B C
′ ′′′′′
= + = + +
2.4.2 反演定理定理内容：对任一逻辑式
0110
YY
+ +
′
若将,,,,
原变量 反变量，
反变量 原变量，
则注意事项：变换顺序是先括号，然后乘,最后加，不属于单个变量的上的反号保留不变。
important!
()YABCCD Y
′
=++已知,求反演定理应用举例——
利用了什么公式？
()()YABCCD
A CBCADBCD
AC BC AD
′′′′′′
= ++
′ ′′′′′′′′
=+++
′′ ′′ ′′
=++
((AB C) D) C YY
′′′ ′
= +++若，求
((( ) ) )YABCDC
′ ′ ′′ ′′ ′
解：依据反演定理直接写出
= +
反演定理应用举例——
()
Y( )
()
YAB
AB Y AB
AB AB
′
= +
′′′ ′′
=?=
′′′
+
ii
i
若,则依据反演定理，
故,=
说明了什么？
不属于单个变量的上的反号保留不变！
2.4.3 对偶定理定理内容：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
，，，,0110++
D
YY?逻辑式 对偶式
()
D
YABC
YABC
= +
=+
若则若要证明两个逻辑式相等,可以通过证明它们的对偶式相等来完成。
对偶定理应用举例——
序号公式序号公式
10 1′ = 0;0′ =1
1 0 A = 0 11 1 + A= 1
2 1 A = A 12 0 + A = A
3 A A = A 13 A + A = A
4 A A′ = 0 14 A + A′ = 1
5 AB = BA 15 A+B = B+A
6 A (B C)=(A B) C 16 A + (B +C) = (A + B) + C
7 A (B +C)=A B+A C 17 A + B C = (A +B)(A +C)
8 (A B) ′ = A′ + B′ 18 (A+ B) ′ = A′ B′
9 (A′ )′ = A
左右公式皆为对偶式
2.5.1 逻辑函数
Y=F(A,B,C,…) 若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量的取值确定以后，输出的取值也随之而定，输入 /输出之间是一种函数关系。
注：在二值逻辑中，输入 /输出都只有两种取值 0/1。
任何一件具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。
2.5 逻辑函数及其表示方法
2.5.2 逻辑函数的表示方法
真值表
逻辑式
逻辑图
波形图
卡诺图
硬件描述语言各种表示方法之间可以相互转换各种表示方法互相之间有几种转换？
真值表输入变量
A B C….
输出
Y
1
Y
2
….
遍历所有可能的输入变量的取值组合对应的输出值逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或 /非的运算式表示。
A B Y
0 0 0
0 1 1
101
110
这是什么逻辑关系的真值表？
()YABCD
′
= +如：
逻辑图用图形符号表示函数式中各变量之间的与/或 /非等逻辑关系，与逻辑电路的实现相对应。
波形图将输入变量所有可能的取值与对应的输出，按时间顺序排列起来画成波形。
卡诺图
硬件描述语言
VHDL (Very High Speed Integrated
Hardware Description Language )
Verilog HDL
举例：举重裁判电路
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
)CB(AY +?=
真值表电路图逻辑式逻辑图各种表示方法的相互转换真值表 逻辑式例：奇偶判别函数的真值表
A=0,B=1,C=1，使 A′ BC=1
A=1,B=0,C=1，使 AB′C=1
A=1,B=1,C=0，使 ABC′ =1
这三种取值的任何一种都使Y=1,
所以 Y=?
ABCY
000 0
001 0
010 0
011 1
100 0
101 1
110 1
111 0
Y A BC AB C ABC
′′′
= ++
真值表 逻辑式：
1,找出真值表中使 Y=1 的输入变量的取值组合
2,每组输入变量的取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量
3,将这些乘积项相加，即得 Y的逻辑式逻辑式 真值表把输入变量取值的所有组合逐一代入逻辑式中，求出Y，列表，即得真值表。
)CB(AY +?=
逻辑式 逻辑图将逻辑式中的 与/ 或/ 非等 运算符用图形符号代替，并按照运算顺序连接，就可得到逻辑图。
逻辑图 逻辑式从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。
()A B
′
+
B
′
()AB
′′′
+
A
′
(( ) ( ))AB A B
′ ′′′
+ ++
(( ) ( )) ( )( )AB A B ABA B
AB A B A B
′′′′ ′′
+ ++ =+ +
′′
=+=⊕
提问
在已讲述的 4种转换中，哪种表示方法是中介或者桥梁？
还有几种表示方法之间的转换如何进行？
最小项 m——
m是乘积项
包含 n个因子
n个变量均以原变量或者反变量的形式在
m中出现一次
2.5.3 逻辑函数的标准形式：
最小项之和 最大项之积
important!
最小项举例：
两变量 A,B的最小项
三变量 A,B,C的最小项
n变量有 2
n
个最小项
）4个（ =
′′′′
2
2ABBABABA,,,
）8个（ =
′′′′
′′′′′′′′
3
2ABCCABCBACBA
BCACBACBACBA
,,,
,,,
最小项的编号 （二变量）
最小项 使当前最小项为
1的变量取值对应的十进制数 编号
0 0 0 m
0
0 1 1 m
1
1 0 2 m
2
1 1 3 m
3
A B
A B
AB
AB
′ ′
′
′
最小项 使当前最小项为
1的变量取值对应的十进制数 编号
0 0 0 0 m
0
0 0 1 1 m
1
0 1 0 2 m
2
0 1 1 3 m
3
1 0 0 4 m
4
1 0 1 5 m
5
1 1 0 6 m
6
1 1 1 7 m
7
最小项的编号 （三变量）
ABC
CAB
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CBA
′
′
′′
′
′′
′′
′′′
提问
A,B,C,D四变量逻辑函数总共有（ ）个最小项，可记作（ ）？
A,B,C,D,E五变量逻辑函数总共有
（ ）个最小项，可记作（ ）？
16
m
0
~m
15
32
m
0
~m
31
最小项的性质
在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为 1
全体最小项之和为 1
任何两个最小项之积为 0
具有相邻性的两个最小项之和可以合并，
消去一对因子，只留下公共因子。
------相邻：仅一个因子（变量）不同的最小项，具有相邻性，如：
BACCBABCACBA
BCACBA
′
=+
′′
=
′
+
′′
′′′
)(
与逻辑函数的最小项之和的形式
例：
(,,)
1
()
(3,6,7)
Y A B C ABC BC
ABC BC
ABC BC A A
ABC ABC A BC
m
′
= +
′
=+
′′
=++
=++
=
∑
i
1A A
′
+=
1A A=i
∑ i
m
可将任何一个函数化为最小项之和的形式,即利用公式 和即
1( )( )( )AA AAA ABB ACC
′ ′′
= =+=+=+ii i i
例：
将逻辑函数展开为最小项之和的形式，要点是什么？
^_^ 缺啥补啥 !
(,,,)
() ( )
.....................................
....................................,( ) ( )
YABCD ABCD BCD BC
AB C D A A BCD B C D D
BCD BCD
A ABCD A ABCD
′ ′′′
=++
′′ ′ ′ ′ ′
=++ ++
′′′
′′ ′′ ′
+
最大项M
M是相加项
包含 n个因子
n个变量均以原变量或者反变量的形式在
M中出现一次
如：两变量 A,B的最大项
n变量有 2
n
个最大项
）4个（ =+
′
++
′′
+
′
2
2BABABABA,,,
最大项M 的编号 （三变量）
最大项 使当前最大项为 0的变量取值对应的十进制数编号
0 0 0 0 M
0
0 0 1 1 M
1
0 1 0 2 M
2
0 1 1 3 M
3
1 0 0 4 M
4
1 0 1 5 M
5
1 1 0 6 M
6
1 1 1 7 M
7
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
++
′
++
+
′
+
′
+
′
+
++
′
′
++
′
+
′
+
′
′
+
′
+
′
最大项的性质
在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为 0
全体最大项之积为 0
任何两个最大项之和为 1
只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和对于 n变量的逻辑函数，其最大项数目和最小项数目是相等的。
∑
=
i
mY
k
ki
Ym
≠
′
=
∑
()
k
ki
Ym
≠
′
=
∑
kk
ki ki
Ym M
≠≠
′
==
∏ ∏
任何一个逻辑函数都可以化为最大项之积的形式。 证明如下 ——
2.6 逻辑函数的化简方法
1、为何要化简？
2、化简的终极目标？
与－或逻辑式（最简）
与非－与非逻辑式（最简）
最简：包含的乘积项最少，每个乘积项的因子也最少。
1
2
Y ABC B C ACD
YACBC
′
=++
′
=+
3、如何化简？
公式法：反复应用基本公式和常用公式，
消去多余的乘积项和多余的因子。没有固定的步骤，也没有统一的规律。
● 并项法
● 吸收法
● 消项法
● 消因子法
● 配项法卡诺图法
2.6.1 公式化简法
Y ABD AB CD AC DE A
′ ′′
=+ + +
()( )( )A ABD A AB CD A AC DE
′ ′′
=+ ++ ++
AAA
A
=++
=
利用 A+AB=A,吸收法举例 1——
Y ABC B C ACD
′
= ++
BAC BC ACCD
′
= ++iii
BAC B C
′
=+
()CBA B
′
= +
()CB A
′
= +
BC AC
′
= +
利用消项法
ABACBCDABAC
′ ′
+ +=+
利用消因子法
A AB A B
′
+ =+
举例 2——
YABCACBC
′′
= ++
()CAB A BC
′ ′
= ++ii
()CA B BC
′
= ++
AC BC B C
′
= ++
AC C= +
C=
利用并项法
ABAB A
′
+ =
举例 3——
2.6.2 卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法——
实质：以图形的方式，表示逻辑函数的最小项之和
以 2
n
个小方块代表 n 变量的所有最小项，将它们排列成矩阵，并且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），所得到的图形称为 n变量最小项的卡诺图。
最小项的卡诺图
2变量的卡诺图 4个 3变量的卡诺图 8个
4变量的卡诺图
16个
5变量的卡诺图 32个用卡诺图表示逻辑函数
1,将函数化为最小项之和的形式
2,在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1，其余位置填入 0
3,任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入 1的那些最小项之和。
∑ i
m
逻辑函数
() () ()( )
(1,4,6,8,9,10,11,15)
Y A B C D A BD ACD AB
A BCD C C ABD B B ACD AB C C D D
m
′ ′′ ′ ′ ′
=+++
′′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
=++ +++++
=
∑
卡诺图逻辑函数等于卡诺图中填入1 的那些最小项之和逻辑函数 卡诺图已知
Y ABC ABC ABC ABC
′ ′′′ ′′
=+++
则用卡诺图化简逻辑函数
依据：具有相邻性的最小项可以合并，消去不同的因子。
在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图中直观地反映出来，几何位置的相邻与逻辑上的相邻是一致的。
合并最小项的原则——
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子，保留公共因子。
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子，保留公共因子。
八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子，保留公共因子。
A
′
卡诺图化简法的步骤
------将函数化为最小项之和的形式；
------用卡诺图表示该函数；
------找出可合并的最小项；
------选取化简后的乘积项，相加。
（乘积项数最少，每项因子最少）
卡诺图化简的原则
化简后的乘积项应包含函数式所有的最小项，即覆盖卡诺图中所有的 1
乘积项的数目最少，即圈数尽可能少
每个乘积项因子最少，即每个圈尽可能大例 1：
00 01 1 1 1 0
0
0111
1
1101
A
BC
方案一
00 01 1 1 1 0
0
0111
1
1101
A
BC
方案二化简结果不唯一 ！
CBCBCACACBAY
′
+
′
+
′
+
′
=),,(
CBCABA
′
+
′
+
′
CBBACA
′
+
′
+
′
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
例 2：
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1
AB
CD
Y ABC ABD AC D C D AB C A CD
′ ′′ ′ ′ ′
=+++++
A D
′
+
圈的数目与项的数目相符合例 3,已知卡诺图，求逻辑函数。
00 01 11 10
01001
010100
10010
101001
AB
CD
Y B D A BC D ABCD
′ ′′′
=+ +
例 4,用卡诺图化简逻辑函数。
00 01 11 10
00 1 1 0
10 1 1 0
A
BC
Y C ABC= +
YC=
用公式法也可以得到此结果例 5,用卡诺图化简逻辑函数。
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 1 1 1
11 0 0 1 1
10 0 0 1 1
AB
CD
YABCBCABCD
′ ′′
= ++
Y A BD BC AC
′
= ++
补充：一般通过合并卡诺图中的 1来求得化简结果；有时也可通过合并卡诺图中的 0先求出的化简结果，然后再将 求反而得到 。依据原理是——
Y
′
Y
′ Y
1,1
ik
iki
iki
YY m m
Ym Y m
≠
≠
′
+ =+=
′
=?=
∑∑
∑∑
适用于,
（ 1）当 0的数目远小于 1的数目时，
（ 2）当需要将函数化为最简的 与或非 式时。
约束项
任意项
无关项,约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。
恒等于0的最小项
2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简在输入变量的某些取值下，
函数值为1或为0均可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于1的最小项称为任意项。
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
在卡诺图中用×表示无关项，化简逻辑函数时，既可以认为该项是 1，也可以认为它是 0；
合理地利用无关项，可得更简单的化简结果
加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少，即使得矩形圈最大，矩形组合数最少；
加入的无关项，应与原有的尽可能多的最小项具有逻辑相邻性。
00 01 11 10
00 1
01 1
11
10 1
AB
CD
首先填入 1
Y ABCD ABCD ABCD
ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=0
′′′ ′ ′′′
=++
′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′
例1,
约束条件：
00 01 11 10
00 0 1x0
01 0 x10
11 x 0 xx
10 1x0 x
AB
CD
其次填入 0 和×
Y ABCD ABCD ABCD
AB CD+ A BC D+ ABC D + AB C D+ ABCD+ ABCD + AB CD =0
′′′ ′ ′′
=++
′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′
例1,
约束条件：
00 01 11 10
00 0 1x0
01 0 x10
11 x 0 xx
10 1x0 x
AB
CD
AD
′
AD
′
YADAD
′ ′
=+
根据需要，将部分
×视为 1，合并
Y ABCD ABCD ABCD
ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=0
′′′ ′ ′′
=++
′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′
例1,
约束条件：
5101112131415
2(,,,) (2,4,6,8)
:0
YABCD m
mm m m m m m
=
+ +++++=
∑
例,
约 束条件
00 01 11 10
00 0 0 0 1
01 1x 0 1
11 xx x x
10 1 0 xx
AB
CD
DCDBDAY
′
+
′
+
′
=
作业,P17 1.4 （ 2） 1.6 （ 2）
1.7 （ 2） 1.15 （ 6）
P58 2.3 （ a）（ b） 2.5 （ 1）
2.7 （ b）
2.8
2.10（ 2）（ 4） 2.12（ 2）
2.13（ 3） 2.15 （ 4）（5 ）（ 8）
2.18（ 2）（ 3）（ 6）（ 7） 2.19（ 3）（ 4）
2.22 （ 4） 2.23 （ 1）
第二章作业中易犯的错误——
1） 2.12 和 2.13
未理解题意，2.12应是标准的“与非门,、2.13应是标准的,或非门”,包括最后的形式也应该是标准的与非、或非，而不能是与门、或门；参考课本
P38例题2.5.8
部分同学将2.13错看为,与非门” ；
部分同学的结果虽然形式正确，但不是最简形式
（所用器件要最少）。可以先用卡诺图化成最简
“与或,式，再逐步化成,与非门”,,或非门” 。
2.1 概述
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.4 逻辑代数的基本定理
2.5 逻辑函数及其表示方法
2.6 逻辑函数的化简方法
2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简
★
★
★
●只有 2种对立的逻辑状态时称二值逻辑。
●当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，
可以按照指定的某种因果关系进行推理运算，
即逻辑运算。
●用字母表示逻辑变量，每个逻辑变量的取值只有 0和 1两种可能,0和 1不表示大小，只表示逻辑状态。
2.1 概述与（ AND）或（OR）非（NOT）
2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑与（逻辑相乘）：只有决定事物结果的全部条件同时具备时，
结果才会发生。
逻辑或（逻辑相加）：在决定事物结果的诸条件中只要有任何一个满足，结果就会发生。
逻辑非（逻辑求反）：只要条件具备了，结果便不会发生；而条件不具备时，结果一定发生。
以 A,B表示开关的状态
=1表示开关合上,=0表示开关断开；
以 Y表示指示灯的状态
=1表示灯亮,=0表示灯不亮；
将开关闭合作为条件，以灯亮作为结果，则有。。。。
与（ AND）或（OR）非（NOT）
与（逻辑相乘）
条件同时具备，结果发生
Y=A AND B = A&B=A·B=AB
A B Y
0 0 0
0 1 0
10 0
11 1
真值表逻辑表达式图形符号或（逻辑相加）
条件之一具备，结果发生
Y= A OR B = A+B
A B Y
0 0 0
0 1 1
10 1
11 1
非（逻辑求反）
条件不具备，结果发生
YNOTAA
′
= =
A Y
0 1
10
几种常见的复合逻辑运算与非 或非 与或非
A B Y
0 0 1
0 1 1
101
110
A B Y
0 0 1
0 1 0
100
110
异或
A B Y
0 0 0
0 1 1
10 1
11 0
()YABABAB AB
′ ′′
=⊕= + = null
A B Y
0 0 1
0 1 0
10 0
11 1
同或 ()YABABAB AB
′ ′′
= =+ =⊕null
2.3.1 基本公式
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式序号公式序号公式
10 1′ = 0;0′ =1
1 0 A = 0 11 1 + A= 1
2 1 A = A 12 0 + A = A
3 A A = A 13 A + A = A
4 A A′ = 0 14 A + A′ = 1
5 AB = BA 15 A+B = B+A
6 A (B C)=(A B) C 16 A + (B +C) = (A + B) + C
7 A (B +C)=A B+A C 17 A + B C = (A +B)(A +C)
8 (A B) ′ = A′ + B′ 18 (A+ B) ′ = A′ B′
9 (A′ )′ = A
还原律
0和1互为求反变量与常量间的运算规则重叠律互补律交换律结合律分配律摩根定理 反演律公式的证明可以用列真值表法和公式推演法。
公式（ 17） A + B C = (A +B)(A +C) 的证明真值表法
ABC BC A+BC A+B A+C （ A+B） (A+C)
000 0 000 0
001 0 001 0
010 0 010 0
011 1 111 1
100 0 111 1
101 0 111 1
110 0 111 1
111 1 111 1
公式（ 17）A + B C = (A +B)(A +C) 的证明公式推演法左右
=+=
+++=
+++=
++=
BCA
BCCBA
BCACABA
CABA
)(
))((
1
2.3.2 若干常用公式序号 公 式
21 A + A B = A
22 A +A ′ B = A + B
23 A B + A B′ = A
24 A ( A + B) = A
25 A B + A′ C + B C = A B + A′ C
A B＋ A′ C + B CD = A B + A′ C
26 A (AB) ′ = A B′ ; A′ (AB)′ = A′
试证明以下公式的正确性
22
25
A +A′ B = A + B
A B＋A′C + BCD = AB + A′C
2.4 逻辑代数的基本定理
1.4.1 代入定理
1.4.2 反演定理
1.4.3 对偶定理
2.4.1 代入定理定理内容,在任何一个包含变量 A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有 A的位置，则等式仍然成立。
注意事项：需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先括号内，再乘法，最后加法。
A+BC = (A+B)(A+C)
代入定理应用举例——
A+B(CD) = (A+B)(A+CD)
= (A+B)(A+C)(A+D)
代入定理应用举例——
德,摩根定理：
试问：。。。
()?
ABCD
ABCD
′
=
′ ′′′
+ ++=
()A BAB
′ ′′
=+
BC B?以代 入
()()ABC A BC A B C
′ ′′′′′
= + = + +
2.4.2 反演定理定理内容：对任一逻辑式
0110
YY
+ +
′
若将,,,,
原变量 反变量，
反变量 原变量，
则注意事项：变换顺序是先括号，然后乘,最后加，不属于单个变量的上的反号保留不变。
important!
()YABCCD Y
′
=++已知,求反演定理应用举例——
利用了什么公式？
()()YABCCD
A CBCADBCD
AC BC AD
′′′′′′
= ++
′ ′′′′′′′′
=+++
′′ ′′ ′′
=++
((AB C) D) C YY
′′′ ′
= +++若，求
((( ) ) )YABCDC
′ ′ ′′ ′′ ′
解：依据反演定理直接写出
= +
反演定理应用举例——
()
Y( )
()
YAB
AB Y AB
AB AB
′
= +
′′′ ′′
=?=
′′′
+
ii
i
若,则依据反演定理，
故,=
说明了什么？
不属于单个变量的上的反号保留不变！
2.4.3 对偶定理定理内容：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
，，，,0110++
D
YY?逻辑式 对偶式
()
D
YABC
YABC
= +
=+
若则若要证明两个逻辑式相等,可以通过证明它们的对偶式相等来完成。
对偶定理应用举例——
序号公式序号公式
10 1′ = 0;0′ =1
1 0 A = 0 11 1 + A= 1
2 1 A = A 12 0 + A = A
3 A A = A 13 A + A = A
4 A A′ = 0 14 A + A′ = 1
5 AB = BA 15 A+B = B+A
6 A (B C)=(A B) C 16 A + (B +C) = (A + B) + C
7 A (B +C)=A B+A C 17 A + B C = (A +B)(A +C)
8 (A B) ′ = A′ + B′ 18 (A+ B) ′ = A′ B′
9 (A′ )′ = A
左右公式皆为对偶式
2.5.1 逻辑函数
Y=F(A,B,C,…) 若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量的取值确定以后，输出的取值也随之而定，输入 /输出之间是一种函数关系。
注：在二值逻辑中，输入 /输出都只有两种取值 0/1。
任何一件具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。
2.5 逻辑函数及其表示方法
2.5.2 逻辑函数的表示方法
真值表
逻辑式
逻辑图
波形图
卡诺图
硬件描述语言各种表示方法之间可以相互转换各种表示方法互相之间有几种转换？
真值表输入变量
A B C….
输出
Y
1
Y
2
….
遍历所有可能的输入变量的取值组合对应的输出值逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或 /非的运算式表示。
A B Y
0 0 0
0 1 1
101
110
这是什么逻辑关系的真值表？
()YABCD
′
= +如：
逻辑图用图形符号表示函数式中各变量之间的与/或 /非等逻辑关系，与逻辑电路的实现相对应。
波形图将输入变量所有可能的取值与对应的输出，按时间顺序排列起来画成波形。
卡诺图
硬件描述语言
VHDL (Very High Speed Integrated
Hardware Description Language )
Verilog HDL
举例：举重裁判电路
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
)CB(AY +?=
真值表电路图逻辑式逻辑图各种表示方法的相互转换真值表 逻辑式例：奇偶判别函数的真值表
A=0,B=1,C=1，使 A′ BC=1
A=1,B=0,C=1，使 AB′C=1
A=1,B=1,C=0，使 ABC′ =1
这三种取值的任何一种都使Y=1,
所以 Y=?
ABCY
000 0
001 0
010 0
011 1
100 0
101 1
110 1
111 0
Y A BC AB C ABC
′′′
= ++
真值表 逻辑式：
1,找出真值表中使 Y=1 的输入变量的取值组合
2,每组输入变量的取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量
3,将这些乘积项相加，即得 Y的逻辑式逻辑式 真值表把输入变量取值的所有组合逐一代入逻辑式中，求出Y，列表，即得真值表。
)CB(AY +?=
逻辑式 逻辑图将逻辑式中的 与/ 或/ 非等 运算符用图形符号代替，并按照运算顺序连接，就可得到逻辑图。
逻辑图 逻辑式从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。
()A B
′
+
B
′
()AB
′′′
+
A
′
(( ) ( ))AB A B
′ ′′′
+ ++
(( ) ( )) ( )( )AB A B ABA B
AB A B A B
′′′′ ′′
+ ++ =+ +
′′
=+=⊕
提问
在已讲述的 4种转换中，哪种表示方法是中介或者桥梁？
还有几种表示方法之间的转换如何进行？
最小项 m——
m是乘积项
包含 n个因子
n个变量均以原变量或者反变量的形式在
m中出现一次
2.5.3 逻辑函数的标准形式：
最小项之和 最大项之积
important!
最小项举例：
两变量 A,B的最小项
三变量 A,B,C的最小项
n变量有 2
n
个最小项
）4个（ =
′′′′
2
2ABBABABA,,,
）8个（ =
′′′′
′′′′′′′′
3
2ABCCABCBACBA
BCACBACBACBA
,,,
,,,
最小项的编号 （二变量）
最小项 使当前最小项为
1的变量取值对应的十进制数 编号
0 0 0 m
0
0 1 1 m
1
1 0 2 m
2
1 1 3 m
3
A B
A B
AB
AB
′ ′
′
′
最小项 使当前最小项为
1的变量取值对应的十进制数 编号
0 0 0 0 m
0
0 0 1 1 m
1
0 1 0 2 m
2
0 1 1 3 m
3
1 0 0 4 m
4
1 0 1 5 m
5
1 1 0 6 m
6
1 1 1 7 m
7
最小项的编号 （三变量）
ABC
CAB
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CBA
′
′
′′
′
′′
′′
′′′
提问
A,B,C,D四变量逻辑函数总共有（ ）个最小项，可记作（ ）？
A,B,C,D,E五变量逻辑函数总共有
（ ）个最小项，可记作（ ）？
16
m
0
~m
15
32
m
0
~m
31
最小项的性质
在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为 1
全体最小项之和为 1
任何两个最小项之积为 0
具有相邻性的两个最小项之和可以合并，
消去一对因子，只留下公共因子。
------相邻：仅一个因子（变量）不同的最小项，具有相邻性，如：
BACCBABCACBA
BCACBA
′
=+
′′
=
′
+
′′
′′′
)(
与逻辑函数的最小项之和的形式
例：
(,,)
1
()
(3,6,7)
Y A B C ABC BC
ABC BC
ABC BC A A
ABC ABC A BC
m
′
= +
′
=+
′′
=++
=++
=
∑
i
1A A
′
+=
1A A=i
∑ i
m
可将任何一个函数化为最小项之和的形式,即利用公式 和即
1( )( )( )AA AAA ABB ACC
′ ′′
= =+=+=+ii i i
例：
将逻辑函数展开为最小项之和的形式，要点是什么？
^_^ 缺啥补啥 !
(,,,)
() ( )
.....................................
....................................,( ) ( )
YABCD ABCD BCD BC
AB C D A A BCD B C D D
BCD BCD
A ABCD A ABCD
′ ′′′
=++
′′ ′ ′ ′ ′
=++ ++
′′′
′′ ′′ ′
+
最大项M
M是相加项
包含 n个因子
n个变量均以原变量或者反变量的形式在
M中出现一次
如：两变量 A,B的最大项
n变量有 2
n
个最大项
）4个（ =+
′
++
′′
+
′
2
2BABABABA,,,
最大项M 的编号 （三变量）
最大项 使当前最大项为 0的变量取值对应的十进制数编号
0 0 0 0 M
0
0 0 1 1 M
1
0 1 0 2 M
2
0 1 1 3 M
3
1 0 0 4 M
4
1 0 1 5 M
5
1 1 0 6 M
6
1 1 1 7 M
7
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
++
′
++
+
′
+
′
+
′
+
++
′
′
++
′
+
′
+
′
′
+
′
+
′
最大项的性质
在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为 0
全体最大项之积为 0
任何两个最大项之和为 1
只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和对于 n变量的逻辑函数，其最大项数目和最小项数目是相等的。
∑
=
i
mY
k
ki
Ym
≠
′
=
∑
()
k
ki
Ym
≠
′
=
∑
kk
ki ki
Ym M
≠≠
′
==
∏ ∏
任何一个逻辑函数都可以化为最大项之积的形式。 证明如下 ——
2.6 逻辑函数的化简方法
1、为何要化简？
2、化简的终极目标？
与－或逻辑式（最简）
与非－与非逻辑式（最简）
最简：包含的乘积项最少，每个乘积项的因子也最少。
1
2
Y ABC B C ACD
YACBC
′
=++
′
=+
3、如何化简？
公式法：反复应用基本公式和常用公式，
消去多余的乘积项和多余的因子。没有固定的步骤，也没有统一的规律。
● 并项法
● 吸收法
● 消项法
● 消因子法
● 配项法卡诺图法
2.6.1 公式化简法
Y ABD AB CD AC DE A
′ ′′
=+ + +
()( )( )A ABD A AB CD A AC DE
′ ′′
=+ ++ ++
AAA
A
=++
=
利用 A+AB=A,吸收法举例 1——
Y ABC B C ACD
′
= ++
BAC BC ACCD
′
= ++iii
BAC B C
′
=+
()CBA B
′
= +
()CB A
′
= +
BC AC
′
= +
利用消项法
ABACBCDABAC
′ ′
+ +=+
利用消因子法
A AB A B
′
+ =+
举例 2——
YABCACBC
′′
= ++
()CAB A BC
′ ′
= ++ii
()CA B BC
′
= ++
AC BC B C
′
= ++
AC C= +
C=
利用并项法
ABAB A
′
+ =
举例 3——
2.6.2 卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法——
实质：以图形的方式，表示逻辑函数的最小项之和
以 2
n
个小方块代表 n 变量的所有最小项，将它们排列成矩阵，并且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），所得到的图形称为 n变量最小项的卡诺图。
最小项的卡诺图
2变量的卡诺图 4个 3变量的卡诺图 8个
4变量的卡诺图
16个
5变量的卡诺图 32个用卡诺图表示逻辑函数
1,将函数化为最小项之和的形式
2,在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1，其余位置填入 0
3,任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入 1的那些最小项之和。
∑ i
m
逻辑函数
() () ()( )
(1,4,6,8,9,10,11,15)
Y A B C D A BD ACD AB
A BCD C C ABD B B ACD AB C C D D
m
′ ′′ ′ ′ ′
=+++
′′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
=++ +++++
=
∑
卡诺图逻辑函数等于卡诺图中填入1 的那些最小项之和逻辑函数 卡诺图已知
Y ABC ABC ABC ABC
′ ′′′ ′′
=+++
则用卡诺图化简逻辑函数
依据：具有相邻性的最小项可以合并，消去不同的因子。
在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图中直观地反映出来，几何位置的相邻与逻辑上的相邻是一致的。
合并最小项的原则——
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子，保留公共因子。
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子，保留公共因子。
八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子，保留公共因子。
A
′
卡诺图化简法的步骤
------将函数化为最小项之和的形式；
------用卡诺图表示该函数；
------找出可合并的最小项；
------选取化简后的乘积项，相加。
（乘积项数最少，每项因子最少）
卡诺图化简的原则
化简后的乘积项应包含函数式所有的最小项，即覆盖卡诺图中所有的 1
乘积项的数目最少，即圈数尽可能少
每个乘积项因子最少，即每个圈尽可能大例 1：
00 01 1 1 1 0
0
0111
1
1101
A
BC
方案一
00 01 1 1 1 0
0
0111
1
1101
A
BC
方案二化简结果不唯一 ！
CBCBCACACBAY
′
+
′
+
′
+
′
=),,(
CBCABA
′
+
′
+
′
CBBACA
′
+
′
+
′
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
例 2：
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1
AB
CD
Y ABC ABD AC D C D AB C A CD
′ ′′ ′ ′ ′
=+++++
A D
′
+
圈的数目与项的数目相符合例 3,已知卡诺图，求逻辑函数。
00 01 11 10
01001
010100
10010
101001
AB
CD
Y B D A BC D ABCD
′ ′′′
=+ +
例 4,用卡诺图化简逻辑函数。
00 01 11 10
00 1 1 0
10 1 1 0
A
BC
Y C ABC= +
YC=
用公式法也可以得到此结果例 5,用卡诺图化简逻辑函数。
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 1 1 1
11 0 0 1 1
10 0 0 1 1
AB
CD
YABCBCABCD
′ ′′
= ++
Y A BD BC AC
′
= ++
补充：一般通过合并卡诺图中的 1来求得化简结果；有时也可通过合并卡诺图中的 0先求出的化简结果，然后再将 求反而得到 。依据原理是——
Y
′
Y
′ Y
1,1
ik
iki
iki
YY m m
Ym Y m
≠
≠
′
+ =+=
′
=?=
∑∑
∑∑
适用于,
（ 1）当 0的数目远小于 1的数目时，
（ 2）当需要将函数化为最简的 与或非 式时。
约束项
任意项
无关项,约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。
恒等于0的最小项
2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简在输入变量的某些取值下，
函数值为1或为0均可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于1的最小项称为任意项。
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
在卡诺图中用×表示无关项，化简逻辑函数时，既可以认为该项是 1，也可以认为它是 0；
合理地利用无关项，可得更简单的化简结果
加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少，即使得矩形圈最大，矩形组合数最少；
加入的无关项，应与原有的尽可能多的最小项具有逻辑相邻性。
00 01 11 10
00 1
01 1
11
10 1
AB
CD
首先填入 1
Y ABCD ABCD ABCD
ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=0
′′′ ′ ′′′
=++
′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′
例1,
约束条件：
00 01 11 10
00 0 1x0
01 0 x10
11 x 0 xx
10 1x0 x
AB
CD
其次填入 0 和×
Y ABCD ABCD ABCD
AB CD+ A BC D+ ABC D + AB C D+ ABCD+ ABCD + AB CD =0
′′′ ′ ′′
=++
′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′
例1,
约束条件：
00 01 11 10
00 0 1x0
01 0 x10
11 x 0 xx
10 1x0 x
AB
CD
AD
′
AD
′
YADAD
′ ′
=+
根据需要，将部分
×视为 1，合并
Y ABCD ABCD ABCD
ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=0
′′′ ′ ′′
=++
′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′
例1,
约束条件：
5101112131415
2(,,,) (2,4,6,8)
:0
YABCD m
mm m m m m m
=
+ +++++=
∑
例,
约 束条件
00 01 11 10
00 0 0 0 1
01 1x 0 1
11 xx x x
10 1 0 xx
AB
CD
DCDBDAY
′
+
′
+
′
=
作业,P17 1.4 （ 2） 1.6 （ 2）
1.7 （ 2） 1.15 （ 6）
P58 2.3 （ a）（ b） 2.5 （ 1）
2.7 （ b）
2.8
2.10（ 2）（ 4） 2.12（ 2）
2.13（ 3） 2.15 （ 4）（5 ）（ 8）
2.18（ 2）（ 3）（ 6）（ 7） 2.19（ 3）（ 4）
2.22 （ 4） 2.23 （ 1）
第二章作业中易犯的错误——
1） 2.12 和 2.13
未理解题意，2.12应是标准的“与非门,、2.13应是标准的,或非门”,包括最后的形式也应该是标准的与非、或非，而不能是与门、或门；参考课本
P38例题2.5.8
部分同学将2.13错看为,与非门” ；
部分同学的结果虽然形式正确，但不是最简形式
（所用器件要最少）。可以先用卡诺图化成最简
“与或,式，再逐步化成,与非门”,,或非门” 。
