第七章 气体一维高速流动
第一节 微弱扰动波的传播
第二节 气体一维定常等熵流动
第三节 气体一维定常等熵变截面管流
第四节 正激波前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，
即使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况下，可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。
例如空气的速度等于 50m/s，这数值比常温 20℃ 下空气中的声速 343m/s要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。
所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。
当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化，
以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。
气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基本的知识。
第一节 微弱扰动波的传播一,微弱扰动波的一维传播如图 7-1所示，在一个截面积为 A、足够长的直圆管中充满了静止的气体，将圆管左端的活塞以微小速度 向右轻微地推动一下，使活塞右侧的气体压强升高一个微小增量,
所产生的微弱压强扰动向右传播。活塞将首先压缩紧贴活塞的那一层气体，这层气体受压后，又传及下一层气体，这样依次一层一层地传下去，就在圆管中形成一个不连续的微弱的压强突跃，就是压缩波 mn，它以速度 向右推进。压缩波面 mn是受活塞微小推移的影响而被扰动过的气体与未被扰动过的静止气体的分界面。设在压缩波前未被扰动过的静止气体的压强为,密度为,温度为,波后已被扰动过的气体以与活塞的微小运动同样的微小速度 向右运动，其压强增高到,密度和温度也相应增加到 和 。
Vd
pd pd
p? T
Vd
pp d d? TT d?
图 7-1 微弱扰动波的一维传播显然，这是不定常流动。为了得到定常流动，可以设想观察者随波面 mn一起以速度 c向右运动。气体相对于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由 c降为
c-dv，而压强由 p升高到 p+dp，密度和温度由,增加到,。如 图 7-1(b)所示，取包围压缩波的控制面，根据连续性条件，在 时间内流入和流出该控制面的气体质量应该相等，即化简后，得
（ 7-1）
由于压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可以忽略不计。
于是对于控制面，根据动量定理，沿气体流动的方向，质量为 的气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力之和，即或
（ 7-2）
T
d? TT d?
td
tAVctAc d)d)(d(d
d
dd
cV
Ac?
Apppt cVctAc ])d[(d )]()d([d
pcV d1d
由式（ 7-1）和式（ 7-2）得由于是微弱扰动,远小于,即,所以
（ 7-3）
式（ 7-3）与物理学中计算声音在弹性介质中传播速度
（即声速）的拉普拉斯公式完全相同。可见气体中微弱扰动波的传播速度就是声速。
在式（ 7-3）的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质。不同介质的压缩性不同，压缩性小的扰动波传播速度高，压缩性大的扰动波传播速度低，因此声速值反映了流体可压缩性的大小。
式 (7-3)是声速的通用表达式，要计算某种流体中具有的声速值，尚需确定 和 的关系，以求出 的值。
d
dd12 pc
d? 1
d
d
d pc?
pd?d?ddp
由于微弱扰动波的传播过程进行得很迅速，与外界来不及进行热交换，而且其中的压强、密度和温度变化极为微小，所以这个传播过程可以近似地认为是一个可逆的绝热过程，即等熵过程。假定气体是热力学中的完全气体，
则根据等熵过程关系式 =常数和完全气体状态方程,可得代入式（ 7-3），得
（ 7-4）
p
RTp
RTppdd
RTpc
为绝热指数 为气体常数,J/(kg·K)
为热力学绝对温度,K
对于空气，,R= 287 J/(kg·K)。4.1
由式（ 7-4）可知，气体中的声速随气体的状态参数的变化而变化。于是在同一流场中，各点的状态参数若不同，则各点的声速也不同。所以声速指的是流场中某一点在某一瞬时的声速，称为当地声速。
在实际计算中，通常用气体速度 与当地声速 的比值来作为判断气体压缩性对流动影响的一个标准，即
（ 7-5）
称为马赫数，是一个无量纲数，也是气体动力学中一个重要参数。
我们常根据马赫数的大小,把气流分为亚声速流 <1，
跨声速流 ≈1，超声速流 1< <3和高超声速流 >3等几类。亚声速流动和超声速流动有许多显著的差别，我们将在以后各节中逐一介绍。
V c Ma
Ma
Ma
Ma Ma Ma
c
VMa?
二 微弱扰动波的空间传播前面讨论了微弱扰动波的一维传播，下面进一步讨论微弱扰动波在空间流场中的传播。
为了便于分析问题，假设流场中某点有一固定的扰动源，
每隔 1s发生一次微弱扰动，现在分析前 3s产生的微弱扰动波在空间的传播情况。由于不论流场是静止的还是运动的，
是亚声速的还是超声速的，都将对微弱扰动波在空间的传播情况产生影响，所以下面分四种情况来讨论。
1．静止流场 (V=0)
在静止流场中，扰动源产生的微弱扰动波以声速 c向四周传播，形成以扰动源所在位置为中心的同心球面波，微弱扰动波在 3s末的传播情况如图 7-2(a)所示。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动必将传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在静止气体中的传播是无界的。
2,亚声速流场 (V<c)
在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在 3s
末的传播情况如图 7-2(b)所示。由于扰动源本身以速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对速度不再是当地声速 c，而是这两个速度的矢量和。这样，球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播就不对称了。但是由于 V<c，所以微弱扰动波仍能逆流传播，相对气流传播的扰动波面是一串不同心的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在亚声速气流中的传播也是无界的。
图 7-2 微弱扰动波在静止气体中的传播返回 (1) (2) 返回 (3) (4)
3．声速流场（ v=c）
在声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在 3s末的传播情况如 图 7-2(c)所示。由图可见，由于 V=c，所以扰动波已不能逆流向上游传播，所有扰动波面是与扰动源相切的一系列球面。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩大，
但无论它怎样扩大，也只能在扰动源所在的垂直平面的下游半空间内传播，永远不可能传播到上游半空间。也就是说，微弱扰动波在声速气流中的传播是有界的。
4．超声速流场（ v>c）
在超声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在 3s末的传播情况如图 7-2(d)所示。由图可见，由于 v>c，所以相对气流传播的扰动波不仅不能向上游传播，反而被气流带向扰动源的下游，所有扰动波面是自扰动源点出发的圆锥面的一系列内切球面，这个圆锥面就是马赫锥。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩大，但也只能在马赫锥内传播，永远不会传播到马赫锥以外的空间。也就是说，微弱扰动波在超声速气流中的传播也是有界的，界限就是马赫锥。
马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角，称为马赫角，用 表示。由图 7-2(d)可以容易地看出，马赫角 与马赫数 之间的关系为
（ 7-6）
马赫角从 90° [这时相当于扰动源以声速 V=c流动的情况，
如图 7-2(c)所示 ] 开始，随着马赫数的增大而逐渐减小。由于圆锥顶就是扰动源，所以当物体以超声速运动时，它所引起的扰动不能传到物体的前面。马赫锥外面的气体不受扰动的影响，微弱扰动波的影响仅在马赫锥内部，即微弱扰动波不能向马赫锥外传播。这就说明了，为什么以超声速飞行的弹丸在附着于它头部的波未到达观察者的耳朵以前听不到声音的原故。
Ma
MaV
c 1s i n
上述关系也适用于气流流过一静止微小障碍物时的情况。假如气体以与上述扰动源的运动速度数值相等而方向相反的速度作等速直线运动，
则扰动源就成为静止微小障碍物，即图 7-2中的 3
点就是静止扰动源，而扰动源所发出的扰动波
（图中的各圆）不断地被气流以速度 -V带走。很明显，在 （即 ）的亚声速流动时，带走的各扰动波在一定时间后可达到空间中的任何一点。也就是说，扰动波不仅能顺流传播，而且也能逆流传播。但在 （即 ）的超声速流动时，带走的各扰动波只能在马赫锥内顺流传播，不能逆流传播，也就是说在超声速流动中的微弱扰动不能传播到整个空间。这就是超声速流动和亚声速流动的一个重要差别，从而使这两种流动的图形有着根本的不同。
cV? 1?Ma
cV? 1?Ma
第二节 气体一维定常等熵流动在讨论不可压缩流体流动时，应用连续性方程和伯努利方程就可以对许多问题求解。但是对于可压缩流体 ——
气体流动仅仅应用上面两个基本方程还不足以求解，因为由于气体密度的变化必然会引起热力学状态发生相应的变化。就是说在气流流动中，不仅它的力学状态在发生变化，
而且热力学状态也在随着改变。因此必须把热力学中的状态方程和过程方程一并考虑，才能解决气体流动问题。
本节将只讨论气体的一维定常等熵流动，即假定气体是完全气体，在流动过程中与外界无热交换，摩擦影响很小可以忽略不计。在一般情况下还认为各参数仅在一个方向上有显著的变化，而且变化是连续的、不随时间而变化，
这就是一维定常等熵流动。在许多实际流动问题中，例如气体在喷管、扩压管和短叶栅中的流动都可以近似地认为是一维定常等熵流动。
一、气体一维定常流动的基本方程
1．连续性方程由于气体的密度在流动中是发生变化的，所以它的连续性方程不能像不可压缩流体那样按体积流量来计算，而需要用质量流量来计算，即气体在流管中流动时，每单位时间内流过流管中任意两个有效截面的质量流量必定相等，
即
(7-7)
也可以把连续性方程写成微分形式，即对式 (7-7)取对数后微分，得
(7-8)
常数VA
AVAV
222111
0ddd AAVV
2．能量方程由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略不计。气体是一维定常流动，并令,,则欧拉运动微分方程可写成或
（ 7-9）
将式（ 7-9）沿流管（或流线）进行积分，得对于等熵流动，将等熵过程关系式 常数，代入上式，
得完全气体一维定常等熵流动的能量方程为
（ 7-10）
显然，这个方程只能用于可逆的绝热流动。
Vu? 0 wv
x
p
x
VV
d
d1
d
d
0d1d pVV?
常数2d
2Vp
p
常数 21
2Vp
热力学第一定律用于流体流动的能量关系式为在绝热流动的条件下，,上式可写成,积分可得能量方程的另一表达式
（ 7-11）
这个方程可用于可逆的绝热流动，也可用于不可逆的绝热流动，即式（ 7-11）在熵有增加（有摩擦或其他不可逆因素）的绝热流动中也是正确的。因为在与外界无热交换的绝热过程中，消耗于抵抗摩擦所作的功完全转换为热能，
该热能重又加入气流中，使气流中的熵增加。所以在绝热流动中总能量不变，摩擦损失的存在只会使气流中不同形式的能量重新分配，即一部分机械能不可逆地转化为热能，
因而能量方程（ 7-11）的形式不变。
VVhq ddd
0d?q 0dd VVh
常数 2
2V
h
对于完全气体，存在下列关系代入式（ 7-11），也可得到与式（ 7-10）同一形式的完全气体一维定常等熵流动的能量方程。现在来分析一下这个方程中各项的物理意义，可将式（ 7-10）改写成
（ 7-12）
根据热力学可知，对于完全气体上式第一项是单位质量气体所具有的内能 u，即
pp
cc
cp
R
c
Tch
Vp
pp
p 1
uTcpRcpcc cp VV
Vp
V
1
常数 21
2Vpp
而式（ 7-12）的后两项是单位质量气体的压强势能和动能。
所以完全气体一维定常等熵流动的能量方程的物理意义是：
在完全气体一维定常等熵流动中，气流流管任一有效截面
（或流线的任一点）上单位质量气体的压强势能、动能和内能之和保持不变。
由于,代入式（ 7-10）得到完全气体能量方程的又一个表达式
（ 7-13）
2cp?
常数
21
22 Vc
二、滞止参数在实际工程上，为了分析和计算流动问题方便起见，
常使用滞止参数这个概念，而且由于它比较容易测量，所以滞止参数得到广泛的应用。设想气体流过流管的两个有效截面时，在一个截面上完全滞止下来，也就是说，在这个截面上的气流速度等于零。则这个截面上的气流状态称为滞止状态，滞止状态下各相应参数称为滞止参数，分别以,,,等表示之。气体绕过一个物体时，在驻点处气流受到阻滞，速度等于零，这一点的气流状态也是滞止状态。在滞止状态下式（ 7-10）、式（ 7-11）和式（ 7-13）可写成
（ 7-14）
（ 7-15）
（ 7-16）
0p 0? 0T 0c
常数 00
0
0
2
1121 TcRT
pVp
p?
常数 0
2
2 h
Vh
常数 121
2
0
22
cVc
由式（ 7-14）和式（ 7-15）可知，在滞止状态下气流的动能全部转变为热能，可以用滞止焓 表示之，
它表示单位质量的气流所具有的总能量，称为总焓。
式（ 7-15）又可改写成
（ 7-17）
上式表明，滞止温度要比气流的温度 T高出,对于
J/（ kg·K）的空气，则高出
0
2
2 Tc
VT
p
00 Tch p?
pc
V
2
2
1 0 0 5?pc
2 0 1 0
2
0
VTTT
例如速度为 100m/s的空气流，滞止温度超过气流的温度约
5K，也即约 5℃ 。可见，将一个带小玻璃球的普通水银温度计或热电偶温度计放在气流中来测量气流的温度，读出的温度比气流的温度 T要高。但小玻璃球上驻点处的温度虽达到滞止温度，但其上的其他各点的温度升高要小一些，
所以普通水银温度计上读出的平均温度比滞止温度稍低一些。因此用任何静止温度计都不能直接测得气流的真实温度了，只有用与气流同样速度运动的温度计才能直接测得利用关系式 和 可将式（ 7-17）
改写为或
（ 7-18）对于等熵气流和
Rc p 1
RT
V
c
VMa
2
2
22
0
2
2
11 TMaT
20
2
11 Ma
T
T
100?
T
T
p
p
1
1
00
T
T
将式（ 7-18）代入上两式，得
（ 7-19）
（ 7-20）
这样，只要知道气流的滞止参数和 值，就可由式（ 7-
18）、式（ 7-19）和式（ 7-20）以及,求得流管内气流在某指定截面上的温度,压强,密度 和速度 。反之，若已知,,和 也可求得,滞止参数,和 。所以这三个公式是计算气体一维定常等熵流动问题的基本公式。
120
2
11
Ma
p
p
1
1
20
2
11
Ma
Ma
RT
VMa
22?
T?p
V T p V Ma
0T 0p 0?
第三节 气体一维定常等熵变截面管流一、气流速度与密度的关系由一维流动的运动微分方程式 （ 7-9）
得变形得
（ 7-21）
由式（ 7-21）和能量方程式（ 7-9）可看出：
（ 1）不管 Ma>1，或 Ma <l，只要 >0，则 <0,<0；
反之 <0，则 >0,>0。
这说明加速气流（ >0），必引起压强降低（ <0）和气体膨胀（ <0）；而减速气流（ <0），使压强增加
（ >0）和气体压缩（ >0），即气体流动伴随着密度的变化。亚声速气流和超声速气流都具有上述性质，但当 不同时,与 的变化值不同。
0d1d pVV?
dd
d
dd 2cpVV
V
VMa
V
V
c
V
c
VV dddd 2
2
2
2
Vd pd?d
Vd pd?d
Vd
Vd
pd
pd
d
d
V
Vdd
Ma
（ 2） Ma<l时密度相对变化量是小于速度的相对变化量，即 < 。
Ma>1时，密度的相对变化量大于速度的相对变化量，即 > 。
这种亚声速和超声速在变化数量上的差别，导致了亚声速和超声速在速度与通道截面形状关系上本质的差别。
d
V
Vd
d
V
Vd
二、气流速度与通道截面的关系由一维流动的运动微分方程（ 7-9），并利用和得以上两式与连续性方程的微分形式（ 7-8）各联立一次，
消去 和,得到气体的压强变化率和速度变化率与通道截面变化率的两个关系式，即
（ 7-22）
（ 7-23）
pMaM a cV
d
d2 pc?
0d1ddd 22 ppMaVVV pVV
0d1dddd1d 22 MaVVpVVV
VVdd
A
A
Ma
Ma
p
p d
1
d
2
2
A
A
MaV
V d
1
1d
2
（ 1） Ma<1，亚声速流动。 与 同号。而 与 异号。当压强降低时，通道截面积随着气流速度的增加而缩小，这就是亚声速喷管；当压强升高时，通道截面积随着气流速度的减小而扩大，这就是亚声速扩压管。这种现象与不可压缩流体的流动规律相类似。
（ 2） Ma>1，超声速流动。 与 异号，而 与 同号。当压强降低时，通道截面积随着气流速度的增加而扩大，这就是超声速喷管。这是由于超声速气体在压强下降时，密度剧烈减小、体积迅速增大，这时通道截面积必须扩大，才能使剧烈膨胀的加速气流通过。反之，当压强升高时，通道截面积随着气流速度的减小而缩小，这就是超声速扩压管。
由式（ 7-22）和式（ 7-23）可以得到三个重要结论：
p
pd
p
pd
AAd A
Ad
AAd A
Ad
V
Vd
VVd
（ 3） =1，这时 。从以上两种情况知道，当降压加速的气流由亚声速连续变为超声速时，通道截面先收缩后扩大，在最小截面（ ）处速度达到声速（ ），该最小截面称为临界截面，也称为喉部截面，简称喉部。当升压减速的气流由超声速连续地变为亚声速时，通道截面也是先收缩后扩大，在最小截面处速度达到声速。
在临界截面上的相应参数称为临界参数，分别以,和等表示之。可将 代入式（ 7-18）、式（ 7-19）和式（ 7-20），得到临界截面上气流的临界温度、临界压强和临界密度各与滞止温度、滞止压强和滞止密度之间的关系式
（ 7-24）
（ 7-25）
（ 7-26）
常用气体的物理性质见表 7-2。
Ma 0d?A
cV?0d?A
T?p
1?Ma
01
2 TT
0
1
1
2 pp
0
1
1
2?
表 7-1 气流参数变化与通道截面变化之间关系表 7-2 常用气体的物理性质（标准大气压强,20℃ ）
三、气体经渐缩喷管和缩放喷管的流动由上面可知，要使气流加速，当流速尚未达到当地声速时，喷管截面应逐渐收缩，直至流速达到当地声速时，
截面收缩到最小值，这种喷管称为渐缩喷管。渐缩喷管出口处的流速最大只能达到当地声速。要使气流从亚声速加速到超声速，必须将喷管做成先逐渐收缩而后逐渐扩大形（在最小截面处流速达到当地声速），这种喷管称为缩放喷管。缩放喷管是瑞典工程师拉伐尔（ de
Laval）在研制汽轮机时发明的，所以又称为拉伐尔喷管。
这种利用管道截面的变化来加速气流的几何喷管，在汽轮机、燃气轮机、喷气发动机和流量测量中被广泛地应用，本节以完全气体为对象，来讨论渐缩喷管和缩放喷管基本设计关系式。
1、渐缩喷管假定气体在等熵条件下从大容器中经渐缩喷管流出，如图 7-3所示。由于容器的容量很大，可近似地把容器中的气体速度看作是零（ ），即容器中的气体处于滞止状态（,,），而喷管出口截面上的气流参数为,和 。对 0-0,2-2截面列一维定常等熵流动的能量方程（ 7-10），得或
00?V
0p 0? 0T
2p 2? 2T
211
2
2
2
2
0
0 Vpp?
2
0
0
2
0
0
2 11
2
p
ppV
图 7-3 渐缩喷管将等熵过程关系式代入上式，得出口截面处的流速为或又,则出口截面上的马赫数为
（ 7-29）
2
2
0
0 pp?
或?
1
2
0
2
0
p
p
1
0
2
0
0
2 11
2
p
pp
V
1
1
2
1
2
0
2
2
2
p
pp
V
2
2
2
pc?
1
1
2
1
2
0
2
2
2
p
pp
Ma
222 AVq m
2A
通过喷管的质量流量式中 — 喷管出口截面积 。
将 和式 （ 7-27） 代入上式,得
(7-30）
1
0
2
02
p
p
1
0
2
0
0
2
1
0
2
0 11
2
p
pp
A
p
p
q m
1
0
2
2
0
2
0
0
20 1
2
p
p
p
pp
A
由上式可知,当气体的滞止参数和喷管的出口截面积保持不变时,质量流量 仅随压强比 而变化,由式 （ 7-30）
描绘出的 与 的关系曲线如图 7-4（ a） 所示 。mq 0
2pp
mq
0
2
p
p
图 7-4 气体流过渐缩喷管时流量与设计出口压强和环境压强的变化当气体经过设计成的渐缩喷管时，实际上质量流量随着 而变化,为喷管出口截面外的气流压强，
称为环境压强。 与 的关系曲线如 图 7-4（ b）
所示,与图 7-4（ a）中的 - 曲线相比，两者有明显的差异。从中我们得到如下结论：
mq
0
ambpp ambp
mq
0
amb
p
p
mq
（ 1） = =1到 最大值时对应的压强与相比,两曲线 ab完全吻合 。
0
2pp
0
amb
p
p mq
（ 2） =1时,=0,即当喷管的进,出口压强相等时,气体不流动,
出口马赫数 。
0
amb
p
p
mq
02?Ma
0
2pp
mq
（ 3） <l时,逐渐降低，出口马赫数 逐渐增加,沿曲线 ab逐渐增加，当出口截面上的流速增加到声速时，即时，流量达到最大值,此时的压强比 称为临界压强比 。
可由下法求得，即将 代入式（ 7-29），得临界压强比
（ 7-31）
也可通过直接对式（ 7-30）求导，并令 的方法求得。
再将式（ 7-31）代入式（ 7-30）和式（ 7-27）中，即分别得到临界流量,也就是最大流量 和临界速度 （也称为临界声速 ）,
（ 7-32）
（ 7-33）
0
amb
p
p
0
amb
p
p
2Ma
12?Ma
mq
mq 0
ambpp
12?Mamaxq
1
00
2
1
2
p
p
p
p
p 0
d
d
2
pqm
mq?V
c
maxmq
)1(2
1
002m a x 1
2?
pAqq mm
0
0
1
2
pcV
（ 4） 从 再继续降低，即 < 时，流量 保持不变，始终等于最大流量，如图 7-4（ b）中水平线 bc所示。这现象可作如下的解释：在渐缩喷管出口截面上的速度最大只能达到声速，所以气流在渐缩喷管内只能膨胀到 为止。
当环境压强小于 时，渐缩喷管出口截面上的压强 仍然保持为,故气流从 降低到环境压强的膨胀过程只能在喷管外进行。因此，气体通过喷管中的流量仍保持为最大流量，不再改变。
ambp?p
0
ambpp
mq
p
p
p?p
2p
2、缩放喷管缩放喷管可以使气流从亚声速加速到超声速。喷管收缩部分的作用与渐缩喷管完全一样，即在喷管的收缩部分，气流膨胀到最小截面处达到临界声速。而后，在扩张部分中继续膨胀，加速到超声速。缩放喷管出口截面上的气流速度（超声速）仍可用式（ 7-27）或式（ 7-28）求得，只需将出口截面上的设计压强 代入。这时通过喷管的流量由最小截面上的参数决定，因为在这里已经达到声速，流量为最大值
（ 7-34）
式中 —— 喷管的最小截面积，也称为喉部截面积或临界截面积。
2p
)1(2
1
00m a x 1
2?
pAq m
A
下面讨论当环境压强 与出口截面上的设计压强 不同时，
环境压强对气流的影响。假定 保持不变，而环境压强从 逐渐下降。
（ 1）当 = 时，气体在喷管内没有流动，如图 7-5中 OB
线所示。
（ 2）当 从 开始下降时，只要在最小截面上的压强 大于临界压强 。即 >,则在整个喷管内部是亚声速气流，如 图 7-5中 ODE曲线所示，这时的缩放喷管相当于文丘里管。
ambp 2p
0p
ambp 0p
ambp 0p
ambp 0p 1p
p 1p?p
图 7-5 缩放喷管内的压强和流量变化返回 (2)
返回 (4)
（ 3）如果环境压强 继续下降到使最小截面上的压强达到临界压强,则流量达到如式（ 7-34）所示的最大值这时在喷管扩张部分可能有两种流动状况：当 =
（ 为喷管中气流只在喉部达到声速其余全为亚声速时出口截面的压强）时，在整个喷管扩张部分中仍然都是亚声速气流，如图 7-5中 OCF曲线所示；而当环境压强等于喷管出口截面上的设计压强时，即 =,在整个喷管的扩张部分中都是超声速气流，如图 705中 OCJ曲线所示，即气流在缩放喷管内压强从 下降到 （即亚声速连续变到超声速）
的连续变化曲线。
ambp
p maxmq
ambp mp2
mp2
ambp 2p
2p0p
（ 4）当环境压强在 和 之间，即 > >,气流在扩张部分会出现压强的不连续变化，也就是形成一个所谓正激波，正激波的位置随着 的下降，从最小截面处移到喷管出口处,就是正激波移到喷管最小截面时的出口压强，气流通过正激波从超声速变成亚声速，一直到出口截面处，如图 7-5中 OCS1S2H线所示。
显然，对于缩放喷管，只要 ≤,不论环境压强 怎样变化，气流通过缩放喷管的流量将始终保持为最大流量，
这是由于喷管最小截面处的临界参数没有变化；当
> 时，流量将减小；当 = 时，流量等于零,
如 图 7-5的右图所示。
mp2 mp2
mp2
mp2
mp2
2p 2pambp
ambp
ambp ambp
ambp
ambp 0p
第四节 正 激 波一、正激波形成本节以气体中的微弱扰动波在直圆管中传播的情况为例来说明正激波形成的物理过程。
如 图 7-6所示，在一个充满静止气体的直圆管中，活塞向右作加速运动，活塞右侧的静止气体受压后被扰动形成一个压缩波向右移动，已被扰动的气体的压强从 升高到,设 - 是一个有限的压强量。为了分析方便起见，
假定把这个有限的压强增量看作是无数个无限小压强增量
dp的总和。于是，可认为在活塞右侧形成的压缩波是一系列微弱扰动波连接而成的。每一个微弱扰动波压强增加 dp。
当活塞开始运动时，第一个微弱扰动波以声速 传到未被扰动的静止气体中去，紧跟着第二个微弱扰动波以声速传到已被第一个微弱扰动波扰动过的气体中去。
1p
2p 2
p
1p
1c
2c
图 7-6 在圆管中正激波的形成过程显然，被第二个微弱扰动波扰动过的气体中的压强、密度和温度都比被第一个微弱扰动波扰动过的气体中的相应参数略大一些，根据,因此 >,也就是说第二个微弱扰动波的声速比第一个微弱扰动波的声速略快一些。与此相类似，第三个微弱扰动波又以比第二个略快一些的声速（ > ）向右传播,… 。如果在某一时刻波形如图 7-6
（ a）所示，经过一段时间后，后面的微弱扰动波一个一个追赶上前面的波，波形变得愈来愈陡，最后叠加成一个垂直于流动方向的具有压强不连续面的压缩波，这就是正激波，如图 7-6（ c）所示。气流通过激波除压强突跃地升高外，密度和温度也同样突跃地增加，而速度则下降。发生这种突跃地不连续变化是在与气体分子平均自由行程同一数量级（在空气中约 3× 10-4mm左右）内完成的，也可以说，各气流参数是在一个极小的激波厚度内连续地进行变化的。当然也可以认为，是在一个几何面上突然变化的；
这就是说，可以把激波看作是一个不连续的间断面，气流参数通过激波的变化是突跃的，不连续的。
RTc 2c 1c
3c 2c
二、正激波前后气流参数如 图 7-7所示，正激波前和正激波后各气流参数的下标分别为 1和 2。由于圆管的截面积不变，所以连续性方程可写成
（ a）
若忽略摩擦的影响，则动量方程可写成或 （ b）
气流通过激波时受到急剧地压缩，由于其时间极短，所产生的热量来不及外传，故使气流的熵增加。所以气流通过激波时的突跃压缩过程是一个不可逆的绝热过程。于是，气流在激波前后的总能量相等，并保持不变，对于完全气体能量方程可写成
（ c）
或
（ d）
式中临界声速 也保持不变。
2211 VV
)( 121121 VVVpp
22222111 VpVp
常数 02
2
2
1
2
1
22 TcTc
VTcV
ppp
常数
21
1
11212
2
0
0
2
2
2
2
1
1
2
1 cppVpV
c
图 7-7 正激波将气体状态方程应用与正激波前、后的状态，得
（ e）
将式（ b）的两边各除以式（ a）的两边，得
（ f）
由能量方程（ d）可得
（ g）
（ h）
将式（ g）和（ h）代入式（ f），简化后得由于,所以
（ 7-35）
这就是著名的普朗特公式，再由动量方程（ b）和连续性方程（ a）可知
)( 112212 TTRpp
2
12
2
2
22
1
1
1
V
VVpVp
2
1
2
1
1
1
1
2
1 Vcp
2
2
2
2
2
1
1
2
1 Vcp
2122112 cVVVVVV
12 VV?
221 cVV
1
22
11
2
22
2
1112 1 V
VVVVpp
由于激波是压缩波，即 >,因此 < 。所以由式（ 7-
35）可得重要结论：若正激波前是超音速流，则在正激波后必定是亚音速气流。
由于 和,则式（ b）可改写成所以 （ 7-36）
又由 代入式（ c）得
（ i）
再由于,所以式（ i）可写成
（ 7-37）
2p 1p 2V 1V
pc?2
c
VMa?
21122221122221 MapMapVVpp
2
2
2
1
1
2
1
1
Ma
Ma
p
p
RTMac M aV
22
2
211
2
1 2
1
2
1 TcRTMaTcRTMa
pp
Rc p 1
22
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
Ma
Ma
Mac
Mac
T
T
p
p
由状态方程和式（ a）
所以
（ 7-38）
现将式（ 7-36）和式（ 7-37）代入式（ 7-38）得或
1
2
11
22
11
22
21
12
1
2
RT
RT
Map
Map
Vp
Vp
p
p
T
T
2
11
22
1
2
Map
Map
T
T
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
Ma
Ma
Ma
Ma
Ma
Ma
422121221 2 1112 1 MaMaMaMa?
21222121221 2 1121 MaMaMaMaMa
02 11 21 Ma?
简化成或
（ 7-39）
式（ 7-39）最简单但无意义的解是,即上、下游的马赫数相等，无正激波存在的情况。式（ 7-39）的另一个解就是正激波前、后马赫数的关系式
（ 7-40）
02 1112 1 212122414221
MaMaMaMaMaMa
02 112 1 2122212122
MaMaMaMaMa
21 MaMa?
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2?
Ma
Ma
Ma
将式（ 7-40）代入式（ 7-36）和式（ 7-37），得
（ 7-41）
（ 7-42）
再将式（ 7-41）和式（ 7-42）代入式（ 7-38），得
（ 7-43）
式（ 7-40）至（ 7-43）表示正激波前、后各气流参数之比都是波前马赫数的函数。所以，当波前各气流参数已知时，就可以从这些公式求得波后各气流参数之值。
1
12 21
1
2
Ma
p
p
1
1
1
121 2
12
1
2
1
2
1
2
Ma
Ma
Ma
T
T?
21
2
1
2
1
1
2
1
12
Ma
Ma
V
V
第五节 应 用 举 例
【 例 7-1】 空气从大容器经喉部直径为 25mm的缩放喷管流向大气，设大容器中的计示压强和温度各为 690kPa和
40℃,大气压强 101.3kPa（ abs.）。若不计空气流过喷管时的损失，试求临界流速、出口流速、出口马赫数和出口截面的直径以及 。空气 J/（ kg·K），
1.4。
解析
【 例 7-2】 在亚声速飞行的飞机上，装有皮托管和静压管，
用来测量飞机的飞行速度。今测得大气的静压
0.75× 105Pa,气温 -10℃,动压 0.25× 105Pa。
试计算飞机的飞行速度。
解析
p?t
0p
mp2 287?R
pp0
【 例 7-3】 核爆炸产生的爆震波（激波）以 16000m/s的速度在静止的大气中传播，原来空气的压强为
1.0133× 105Pa，温度为 300K，试计算：
(1)激波相对静止空气的马赫数 ；
(2)激波后相对静止观察者的压强和温度的滞止值。
解析
【 解 】 空气的临界压强由式（ 7-25）
0.528× （ 690+101.3） =417.7（ kPa）
而 101.3kPa，于是,故采用缩放喷管。
空气的气体常数 J/（ kg·K），则
（ kg/m3）
临界流速由式（ 7-33）
（ m/s）
出口速度为返回 【 例 7-1】
*p
2p *2 pp?
287?R
81.8)402 7 3(2 8 7 10)3.1 0 16 9 0(
3
0
00?
RT
p?
3 2 481.8 10)3.1 0 16 9 0(08.108.1
3
0
0**
pcV
1
0
2
0
0
2 112 p
ppV
4.1
14.1
3
3.101690
3.101
1
81.8
10)3.101690(
14.1
4.1
2
528? （ m/s）
空气的定压比热 J/（ kg·K），则,由式（ 7-11）
所以 K=-99℃
出口马赫数为通过喷管的流量为
1005?pc Tch p?
200222
2
1
2 VTc
VTc
pp
)(2 202022 TTcVV p
00?V ])40273[(10052528 22 T
1742?T
2
1742874.1
528
2
2
2 c
VMa
)1(2
1
00
*
m a x 1
2?
pAqq m
)14.1(2
14.1
3
2
14.1
281.810)3.1 0 16 9 0(4.114.3
1 0 0 0
25
4
1
887.0? （ kg/s） 返回 【 例 7-1】
出口密度为
（ kg/m3）
出口截面积为
（ m2）
出口直径为
（ m） （ mm）
可由式（ 7-30）求得经试算，得 =0.909，则
0 2 9.2
1 7 42 8 7
103.1 0 1 3
2
2
2
RT
p?
000828.0528029.2 887.0
22
2 V
qA m
0 3 2 5.014.3 0 0 0 8 2 8.044 22Ad 5.32?
1
0
2
2
0
2
002 1
2
p
p
p
p
pAq mmm
4.1
14.1
0
24.1
2
0
23 81.810)3.1 0 16 9 0(
14.1
4.120 0 0 8 2 8.08 8 7.0
p
p
p
p mm
715.1
0
2
429.1
0
25.421
p
p
p
p mm
719)3.101690(909.02mp （ kPa）
返回 【 例 7-1】
【 解 】 如果不考虑空气的压缩性，把气流看作是密度 常数的不可压缩流体，则有
（ a）
（ m/s）
当地声速马赫数由上可知，气流速度较高，,需要考虑压缩性的影响，
为此，由式（ 7-19）
返回 【 例 7-2】
0
2
2 p
Vp
p
ppRTppV )(2)(2 0
0
5
5 1025.01075.0
)102 7 3(2 8 72
32.2 2 4?
)102 7 3(2 8 74.1 RTc?
07.325? （ m/s）
69.007.325 32.224 cVMa
120
2
11
Ma
p
p
2.0?Ma
利用牛顿二项式定理展开取前四项，并写成注意到 代入上式得
（ b） 返回 【 例 7-2】
2
220
2
1
!2
1
11
2
1
1
1?
MaMa
p
p
32
2
1
!3
2
1
1
11 Ma
642 48 )2(821 MaMaMa
4
22
0 24
2
4
1
2
MaMapMapp
p
V
c
VMa 2
2
22
4
22
0 24
2
4
1
2
MaMaVpp
对亚声速流动，,与式（ a）相比较，可见不考虑压缩性影响，计算的速度偏高。 时，式（ b）右边括号中的第三项以后可忽略不计。这样式（ b）写成或代入数值并化简得解得 （ m/s）
这就是飞机的飞行速度。飞行的马赫数为返回 【 例 7-2】
1?Ma
1?Ma
412
22
0
MaVpp?
RT
V
RT
pVpp
22
0 4
11
2
010213.010432.0 11264 VV
3.213?V
6 5 6.007.3 2 5 3.2 1 3 cVMa
【 解 】 （ 1）静止空气中的声速为
（ m/s）
于是激波相对静止空气的马赫数为
（ 2）激波后的压强，由式（ 7-41）得
Pa 返回 【 例 7-3】
2.3 4 73 0 004.2 8 74.111 RTc?
08.462.3471 6 0 0 0
1
11
c
VMa
1
1
1
2 2
112?
Mapp
52 10
6
108.46
6
70 1 3 3.1
81051.2
激波后的温度，由式（ 7-42）得
（ K）
激波后相对激波的风速，由式（ 7-43）得
（ m/s）
因此激波相对静止观察者的风速为
（ m/s）
返回 【 例 7-1】
)1(1
1
)1(21 2
12
1
2
1
212 MaMa
MaTT?
)108.46(
08.46
108.464.1
)14.1(
)14.1(21300 2
2
2
2
8.1 3 7 2 9 3?
2
1
2
1
1
2
1
12 )1(
)1(2
Ma
MaVVV
3.2 6 7
08.464.2
08.464.021 6 0 0
2
2
7.157323.2671600021 VVV 返回 【 例 7-3】
相对观察者的马赫数为最后，相对静止观察者的滞止温度和压强由式（ 7-18）和
（ 7-19）可得
（ K）
（ Pa）
需要说明的是，此结果与真实情形是不完全符合的，因空气在高温下已不能认为是理想气体，但定性说明了在极强的激波后面，气体的温度和压强是很高的。
12.2
8.1 3 7 2 9 304.2 8 74.1
7.1 5 7 3 2
22
RT
V
c
VMa
2
20 2
11 MaTT?
12
20 2
11?
Mapp
52 1061.2)12.22.01(8.1 3 7 2 9 3
95.328 103 6 8.2)12.22.01(1051.2
返回 【 例 7-3】
第一节 微弱扰动波的传播
第二节 气体一维定常等熵流动
第三节 气体一维定常等熵变截面管流
第四节 正激波前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，
即使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况下，可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。
例如空气的速度等于 50m/s，这数值比常温 20℃ 下空气中的声速 343m/s要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。
所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。
当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化，
以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。
气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基本的知识。
第一节 微弱扰动波的传播一,微弱扰动波的一维传播如图 7-1所示，在一个截面积为 A、足够长的直圆管中充满了静止的气体，将圆管左端的活塞以微小速度 向右轻微地推动一下，使活塞右侧的气体压强升高一个微小增量,
所产生的微弱压强扰动向右传播。活塞将首先压缩紧贴活塞的那一层气体，这层气体受压后，又传及下一层气体，这样依次一层一层地传下去，就在圆管中形成一个不连续的微弱的压强突跃，就是压缩波 mn，它以速度 向右推进。压缩波面 mn是受活塞微小推移的影响而被扰动过的气体与未被扰动过的静止气体的分界面。设在压缩波前未被扰动过的静止气体的压强为,密度为,温度为,波后已被扰动过的气体以与活塞的微小运动同样的微小速度 向右运动，其压强增高到,密度和温度也相应增加到 和 。
Vd
pd pd
p? T
Vd
pp d d? TT d?
图 7-1 微弱扰动波的一维传播显然，这是不定常流动。为了得到定常流动，可以设想观察者随波面 mn一起以速度 c向右运动。气体相对于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由 c降为
c-dv，而压强由 p升高到 p+dp，密度和温度由,增加到,。如 图 7-1(b)所示，取包围压缩波的控制面，根据连续性条件，在 时间内流入和流出该控制面的气体质量应该相等，即化简后，得
（ 7-1）
由于压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可以忽略不计。
于是对于控制面，根据动量定理，沿气体流动的方向，质量为 的气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力之和，即或
（ 7-2）
T
d? TT d?
td
tAVctAc d)d)(d(d
d
dd
cV
Ac?
Apppt cVctAc ])d[(d )]()d([d
pcV d1d
由式（ 7-1）和式（ 7-2）得由于是微弱扰动,远小于,即,所以
（ 7-3）
式（ 7-3）与物理学中计算声音在弹性介质中传播速度
（即声速）的拉普拉斯公式完全相同。可见气体中微弱扰动波的传播速度就是声速。
在式（ 7-3）的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质。不同介质的压缩性不同，压缩性小的扰动波传播速度高，压缩性大的扰动波传播速度低，因此声速值反映了流体可压缩性的大小。
式 (7-3)是声速的通用表达式，要计算某种流体中具有的声速值，尚需确定 和 的关系，以求出 的值。
d
dd12 pc
d? 1
d
d
d pc?
pd?d?ddp
由于微弱扰动波的传播过程进行得很迅速，与外界来不及进行热交换，而且其中的压强、密度和温度变化极为微小，所以这个传播过程可以近似地认为是一个可逆的绝热过程，即等熵过程。假定气体是热力学中的完全气体，
则根据等熵过程关系式 =常数和完全气体状态方程,可得代入式（ 7-3），得
（ 7-4）
p
RTp
RTppdd
RTpc
为绝热指数 为气体常数,J/(kg·K)
为热力学绝对温度,K
对于空气，,R= 287 J/(kg·K)。4.1
由式（ 7-4）可知，气体中的声速随气体的状态参数的变化而变化。于是在同一流场中，各点的状态参数若不同，则各点的声速也不同。所以声速指的是流场中某一点在某一瞬时的声速，称为当地声速。
在实际计算中，通常用气体速度 与当地声速 的比值来作为判断气体压缩性对流动影响的一个标准，即
（ 7-5）
称为马赫数，是一个无量纲数，也是气体动力学中一个重要参数。
我们常根据马赫数的大小,把气流分为亚声速流 <1，
跨声速流 ≈1，超声速流 1< <3和高超声速流 >3等几类。亚声速流动和超声速流动有许多显著的差别，我们将在以后各节中逐一介绍。
V c Ma
Ma
Ma
Ma Ma Ma
c
VMa?
二 微弱扰动波的空间传播前面讨论了微弱扰动波的一维传播，下面进一步讨论微弱扰动波在空间流场中的传播。
为了便于分析问题，假设流场中某点有一固定的扰动源，
每隔 1s发生一次微弱扰动，现在分析前 3s产生的微弱扰动波在空间的传播情况。由于不论流场是静止的还是运动的，
是亚声速的还是超声速的，都将对微弱扰动波在空间的传播情况产生影响，所以下面分四种情况来讨论。
1．静止流场 (V=0)
在静止流场中，扰动源产生的微弱扰动波以声速 c向四周传播，形成以扰动源所在位置为中心的同心球面波，微弱扰动波在 3s末的传播情况如图 7-2(a)所示。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动必将传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在静止气体中的传播是无界的。
2,亚声速流场 (V<c)
在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在 3s
末的传播情况如图 7-2(b)所示。由于扰动源本身以速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对速度不再是当地声速 c，而是这两个速度的矢量和。这样，球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播就不对称了。但是由于 V<c，所以微弱扰动波仍能逆流传播，相对气流传播的扰动波面是一串不同心的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在亚声速气流中的传播也是无界的。
图 7-2 微弱扰动波在静止气体中的传播返回 (1) (2) 返回 (3) (4)
3．声速流场（ v=c）
在声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在 3s末的传播情况如 图 7-2(c)所示。由图可见，由于 V=c，所以扰动波已不能逆流向上游传播，所有扰动波面是与扰动源相切的一系列球面。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩大，
但无论它怎样扩大，也只能在扰动源所在的垂直平面的下游半空间内传播，永远不可能传播到上游半空间。也就是说，微弱扰动波在声速气流中的传播是有界的。
4．超声速流场（ v>c）
在超声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在 3s末的传播情况如图 7-2(d)所示。由图可见，由于 v>c，所以相对气流传播的扰动波不仅不能向上游传播，反而被气流带向扰动源的下游，所有扰动波面是自扰动源点出发的圆锥面的一系列内切球面，这个圆锥面就是马赫锥。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩大，但也只能在马赫锥内传播，永远不会传播到马赫锥以外的空间。也就是说，微弱扰动波在超声速气流中的传播也是有界的，界限就是马赫锥。
马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角，称为马赫角，用 表示。由图 7-2(d)可以容易地看出，马赫角 与马赫数 之间的关系为
（ 7-6）
马赫角从 90° [这时相当于扰动源以声速 V=c流动的情况，
如图 7-2(c)所示 ] 开始，随着马赫数的增大而逐渐减小。由于圆锥顶就是扰动源，所以当物体以超声速运动时，它所引起的扰动不能传到物体的前面。马赫锥外面的气体不受扰动的影响，微弱扰动波的影响仅在马赫锥内部，即微弱扰动波不能向马赫锥外传播。这就说明了，为什么以超声速飞行的弹丸在附着于它头部的波未到达观察者的耳朵以前听不到声音的原故。
Ma
MaV
c 1s i n
上述关系也适用于气流流过一静止微小障碍物时的情况。假如气体以与上述扰动源的运动速度数值相等而方向相反的速度作等速直线运动，
则扰动源就成为静止微小障碍物，即图 7-2中的 3
点就是静止扰动源，而扰动源所发出的扰动波
（图中的各圆）不断地被气流以速度 -V带走。很明显，在 （即 ）的亚声速流动时，带走的各扰动波在一定时间后可达到空间中的任何一点。也就是说，扰动波不仅能顺流传播，而且也能逆流传播。但在 （即 ）的超声速流动时，带走的各扰动波只能在马赫锥内顺流传播，不能逆流传播，也就是说在超声速流动中的微弱扰动不能传播到整个空间。这就是超声速流动和亚声速流动的一个重要差别，从而使这两种流动的图形有着根本的不同。
cV? 1?Ma
cV? 1?Ma
第二节 气体一维定常等熵流动在讨论不可压缩流体流动时，应用连续性方程和伯努利方程就可以对许多问题求解。但是对于可压缩流体 ——
气体流动仅仅应用上面两个基本方程还不足以求解，因为由于气体密度的变化必然会引起热力学状态发生相应的变化。就是说在气流流动中，不仅它的力学状态在发生变化，
而且热力学状态也在随着改变。因此必须把热力学中的状态方程和过程方程一并考虑，才能解决气体流动问题。
本节将只讨论气体的一维定常等熵流动，即假定气体是完全气体，在流动过程中与外界无热交换，摩擦影响很小可以忽略不计。在一般情况下还认为各参数仅在一个方向上有显著的变化，而且变化是连续的、不随时间而变化，
这就是一维定常等熵流动。在许多实际流动问题中，例如气体在喷管、扩压管和短叶栅中的流动都可以近似地认为是一维定常等熵流动。
一、气体一维定常流动的基本方程
1．连续性方程由于气体的密度在流动中是发生变化的，所以它的连续性方程不能像不可压缩流体那样按体积流量来计算，而需要用质量流量来计算，即气体在流管中流动时，每单位时间内流过流管中任意两个有效截面的质量流量必定相等，
即
(7-7)
也可以把连续性方程写成微分形式，即对式 (7-7)取对数后微分，得
(7-8)
常数VA
AVAV
222111
0ddd AAVV
2．能量方程由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略不计。气体是一维定常流动，并令,,则欧拉运动微分方程可写成或
（ 7-9）
将式（ 7-9）沿流管（或流线）进行积分，得对于等熵流动，将等熵过程关系式 常数，代入上式，
得完全气体一维定常等熵流动的能量方程为
（ 7-10）
显然，这个方程只能用于可逆的绝热流动。
Vu? 0 wv
x
p
x
VV
d
d1
d
d
0d1d pVV?
常数2d
2Vp
p
常数 21
2Vp
热力学第一定律用于流体流动的能量关系式为在绝热流动的条件下，,上式可写成,积分可得能量方程的另一表达式
（ 7-11）
这个方程可用于可逆的绝热流动，也可用于不可逆的绝热流动，即式（ 7-11）在熵有增加（有摩擦或其他不可逆因素）的绝热流动中也是正确的。因为在与外界无热交换的绝热过程中，消耗于抵抗摩擦所作的功完全转换为热能，
该热能重又加入气流中，使气流中的熵增加。所以在绝热流动中总能量不变，摩擦损失的存在只会使气流中不同形式的能量重新分配，即一部分机械能不可逆地转化为热能，
因而能量方程（ 7-11）的形式不变。
VVhq ddd
0d?q 0dd VVh
常数 2
2V
h
对于完全气体，存在下列关系代入式（ 7-11），也可得到与式（ 7-10）同一形式的完全气体一维定常等熵流动的能量方程。现在来分析一下这个方程中各项的物理意义，可将式（ 7-10）改写成
（ 7-12）
根据热力学可知，对于完全气体上式第一项是单位质量气体所具有的内能 u，即
pp
cc
cp
R
c
Tch
Vp
pp
p 1
uTcpRcpcc cp VV
Vp
V
1
常数 21
2Vpp
而式（ 7-12）的后两项是单位质量气体的压强势能和动能。
所以完全气体一维定常等熵流动的能量方程的物理意义是：
在完全气体一维定常等熵流动中，气流流管任一有效截面
（或流线的任一点）上单位质量气体的压强势能、动能和内能之和保持不变。
由于,代入式（ 7-10）得到完全气体能量方程的又一个表达式
（ 7-13）
2cp?
常数
21
22 Vc
二、滞止参数在实际工程上，为了分析和计算流动问题方便起见，
常使用滞止参数这个概念，而且由于它比较容易测量，所以滞止参数得到广泛的应用。设想气体流过流管的两个有效截面时，在一个截面上完全滞止下来，也就是说，在这个截面上的气流速度等于零。则这个截面上的气流状态称为滞止状态，滞止状态下各相应参数称为滞止参数，分别以,,,等表示之。气体绕过一个物体时，在驻点处气流受到阻滞，速度等于零，这一点的气流状态也是滞止状态。在滞止状态下式（ 7-10）、式（ 7-11）和式（ 7-13）可写成
（ 7-14）
（ 7-15）
（ 7-16）
0p 0? 0T 0c
常数 00
0
0
2
1121 TcRT
pVp
p?
常数 0
2
2 h
Vh
常数 121
2
0
22
cVc
由式（ 7-14）和式（ 7-15）可知，在滞止状态下气流的动能全部转变为热能，可以用滞止焓 表示之，
它表示单位质量的气流所具有的总能量，称为总焓。
式（ 7-15）又可改写成
（ 7-17）
上式表明，滞止温度要比气流的温度 T高出,对于
J/（ kg·K）的空气，则高出
0
2
2 Tc
VT
p
00 Tch p?
pc
V
2
2
1 0 0 5?pc
2 0 1 0
2
0
VTTT
例如速度为 100m/s的空气流，滞止温度超过气流的温度约
5K，也即约 5℃ 。可见，将一个带小玻璃球的普通水银温度计或热电偶温度计放在气流中来测量气流的温度，读出的温度比气流的温度 T要高。但小玻璃球上驻点处的温度虽达到滞止温度，但其上的其他各点的温度升高要小一些，
所以普通水银温度计上读出的平均温度比滞止温度稍低一些。因此用任何静止温度计都不能直接测得气流的真实温度了，只有用与气流同样速度运动的温度计才能直接测得利用关系式 和 可将式（ 7-17）
改写为或
（ 7-18）对于等熵气流和
Rc p 1
RT
V
c
VMa
2
2
22
0
2
2
11 TMaT
20
2
11 Ma
T
T
100?
T
T
p
p
1
1
00
T
T
将式（ 7-18）代入上两式，得
（ 7-19）
（ 7-20）
这样，只要知道气流的滞止参数和 值，就可由式（ 7-
18）、式（ 7-19）和式（ 7-20）以及,求得流管内气流在某指定截面上的温度,压强,密度 和速度 。反之，若已知,,和 也可求得,滞止参数,和 。所以这三个公式是计算气体一维定常等熵流动问题的基本公式。
120
2
11
Ma
p
p
1
1
20
2
11
Ma
Ma
RT
VMa
22?
T?p
V T p V Ma
0T 0p 0?
第三节 气体一维定常等熵变截面管流一、气流速度与密度的关系由一维流动的运动微分方程式 （ 7-9）
得变形得
（ 7-21）
由式（ 7-21）和能量方程式（ 7-9）可看出：
（ 1）不管 Ma>1，或 Ma <l，只要 >0，则 <0,<0；
反之 <0，则 >0,>0。
这说明加速气流（ >0），必引起压强降低（ <0）和气体膨胀（ <0）；而减速气流（ <0），使压强增加
（ >0）和气体压缩（ >0），即气体流动伴随着密度的变化。亚声速气流和超声速气流都具有上述性质，但当 不同时,与 的变化值不同。
0d1d pVV?
dd
d
dd 2cpVV
V
VMa
V
V
c
V
c
VV dddd 2
2
2
2
Vd pd?d
Vd pd?d
Vd
Vd
pd
pd
d
d
V
Vdd
Ma
（ 2） Ma<l时密度相对变化量是小于速度的相对变化量，即 < 。
Ma>1时，密度的相对变化量大于速度的相对变化量，即 > 。
这种亚声速和超声速在变化数量上的差别，导致了亚声速和超声速在速度与通道截面形状关系上本质的差别。
d
V
Vd
d
V
Vd
二、气流速度与通道截面的关系由一维流动的运动微分方程（ 7-9），并利用和得以上两式与连续性方程的微分形式（ 7-8）各联立一次，
消去 和,得到气体的压强变化率和速度变化率与通道截面变化率的两个关系式，即
（ 7-22）
（ 7-23）
pMaM a cV
d
d2 pc?
0d1ddd 22 ppMaVVV pVV
0d1dddd1d 22 MaVVpVVV
VVdd
A
A
Ma
Ma
p
p d
1
d
2
2
A
A
MaV
V d
1
1d
2
（ 1） Ma<1，亚声速流动。 与 同号。而 与 异号。当压强降低时，通道截面积随着气流速度的增加而缩小，这就是亚声速喷管；当压强升高时，通道截面积随着气流速度的减小而扩大，这就是亚声速扩压管。这种现象与不可压缩流体的流动规律相类似。
（ 2） Ma>1，超声速流动。 与 异号，而 与 同号。当压强降低时，通道截面积随着气流速度的增加而扩大，这就是超声速喷管。这是由于超声速气体在压强下降时，密度剧烈减小、体积迅速增大，这时通道截面积必须扩大，才能使剧烈膨胀的加速气流通过。反之，当压强升高时，通道截面积随着气流速度的减小而缩小，这就是超声速扩压管。
由式（ 7-22）和式（ 7-23）可以得到三个重要结论：
p
pd
p
pd
AAd A
Ad
AAd A
Ad
V
Vd
VVd
（ 3） =1，这时 。从以上两种情况知道，当降压加速的气流由亚声速连续变为超声速时，通道截面先收缩后扩大，在最小截面（ ）处速度达到声速（ ），该最小截面称为临界截面，也称为喉部截面，简称喉部。当升压减速的气流由超声速连续地变为亚声速时，通道截面也是先收缩后扩大，在最小截面处速度达到声速。
在临界截面上的相应参数称为临界参数，分别以,和等表示之。可将 代入式（ 7-18）、式（ 7-19）和式（ 7-20），得到临界截面上气流的临界温度、临界压强和临界密度各与滞止温度、滞止压强和滞止密度之间的关系式
（ 7-24）
（ 7-25）
（ 7-26）
常用气体的物理性质见表 7-2。
Ma 0d?A
cV?0d?A
T?p
1?Ma
01
2 TT
0
1
1
2 pp
0
1
1
2?
表 7-1 气流参数变化与通道截面变化之间关系表 7-2 常用气体的物理性质（标准大气压强,20℃ ）
三、气体经渐缩喷管和缩放喷管的流动由上面可知，要使气流加速，当流速尚未达到当地声速时，喷管截面应逐渐收缩，直至流速达到当地声速时，
截面收缩到最小值，这种喷管称为渐缩喷管。渐缩喷管出口处的流速最大只能达到当地声速。要使气流从亚声速加速到超声速，必须将喷管做成先逐渐收缩而后逐渐扩大形（在最小截面处流速达到当地声速），这种喷管称为缩放喷管。缩放喷管是瑞典工程师拉伐尔（ de
Laval）在研制汽轮机时发明的，所以又称为拉伐尔喷管。
这种利用管道截面的变化来加速气流的几何喷管，在汽轮机、燃气轮机、喷气发动机和流量测量中被广泛地应用，本节以完全气体为对象，来讨论渐缩喷管和缩放喷管基本设计关系式。
1、渐缩喷管假定气体在等熵条件下从大容器中经渐缩喷管流出，如图 7-3所示。由于容器的容量很大，可近似地把容器中的气体速度看作是零（ ），即容器中的气体处于滞止状态（,,），而喷管出口截面上的气流参数为,和 。对 0-0,2-2截面列一维定常等熵流动的能量方程（ 7-10），得或
00?V
0p 0? 0T
2p 2? 2T
211
2
2
2
2
0
0 Vpp?
2
0
0
2
0
0
2 11
2
p
ppV
图 7-3 渐缩喷管将等熵过程关系式代入上式，得出口截面处的流速为或又,则出口截面上的马赫数为
（ 7-29）
2
2
0
0 pp?
或?
1
2
0
2
0
p
p
1
0
2
0
0
2 11
2
p
pp
V
1
1
2
1
2
0
2
2
2
p
pp
V
2
2
2
pc?
1
1
2
1
2
0
2
2
2
p
pp
Ma
222 AVq m
2A
通过喷管的质量流量式中 — 喷管出口截面积 。
将 和式 （ 7-27） 代入上式,得
(7-30）
1
0
2
02
p
p
1
0
2
0
0
2
1
0
2
0 11
2
p
pp
A
p
p
q m
1
0
2
2
0
2
0
0
20 1
2
p
p
p
pp
A
由上式可知,当气体的滞止参数和喷管的出口截面积保持不变时,质量流量 仅随压强比 而变化,由式 （ 7-30）
描绘出的 与 的关系曲线如图 7-4（ a） 所示 。mq 0
2pp
mq
0
2
p
p
图 7-4 气体流过渐缩喷管时流量与设计出口压强和环境压强的变化当气体经过设计成的渐缩喷管时，实际上质量流量随着 而变化,为喷管出口截面外的气流压强，
称为环境压强。 与 的关系曲线如 图 7-4（ b）
所示,与图 7-4（ a）中的 - 曲线相比，两者有明显的差异。从中我们得到如下结论：
mq
0
ambpp ambp
mq
0
amb
p
p
mq
（ 1） = =1到 最大值时对应的压强与相比,两曲线 ab完全吻合 。
0
2pp
0
amb
p
p mq
（ 2） =1时,=0,即当喷管的进,出口压强相等时,气体不流动,
出口马赫数 。
0
amb
p
p
mq
02?Ma
0
2pp
mq
（ 3） <l时,逐渐降低，出口马赫数 逐渐增加,沿曲线 ab逐渐增加，当出口截面上的流速增加到声速时，即时，流量达到最大值,此时的压强比 称为临界压强比 。
可由下法求得，即将 代入式（ 7-29），得临界压强比
（ 7-31）
也可通过直接对式（ 7-30）求导，并令 的方法求得。
再将式（ 7-31）代入式（ 7-30）和式（ 7-27）中，即分别得到临界流量,也就是最大流量 和临界速度 （也称为临界声速 ）,
（ 7-32）
（ 7-33）
0
amb
p
p
0
amb
p
p
2Ma
12?Ma
mq
mq 0
ambpp
12?Mamaxq
1
00
2
1
2
p
p
p
p
p 0
d
d
2
pqm
mq?V
c
maxmq
)1(2
1
002m a x 1
2?
pAqq mm
0
0
1
2
pcV
（ 4） 从 再继续降低，即 < 时，流量 保持不变，始终等于最大流量，如图 7-4（ b）中水平线 bc所示。这现象可作如下的解释：在渐缩喷管出口截面上的速度最大只能达到声速，所以气流在渐缩喷管内只能膨胀到 为止。
当环境压强小于 时，渐缩喷管出口截面上的压强 仍然保持为,故气流从 降低到环境压强的膨胀过程只能在喷管外进行。因此，气体通过喷管中的流量仍保持为最大流量，不再改变。
ambp?p
0
ambpp
mq
p
p
p?p
2p
2、缩放喷管缩放喷管可以使气流从亚声速加速到超声速。喷管收缩部分的作用与渐缩喷管完全一样，即在喷管的收缩部分，气流膨胀到最小截面处达到临界声速。而后，在扩张部分中继续膨胀，加速到超声速。缩放喷管出口截面上的气流速度（超声速）仍可用式（ 7-27）或式（ 7-28）求得，只需将出口截面上的设计压强 代入。这时通过喷管的流量由最小截面上的参数决定，因为在这里已经达到声速，流量为最大值
（ 7-34）
式中 —— 喷管的最小截面积，也称为喉部截面积或临界截面积。
2p
)1(2
1
00m a x 1
2?
pAq m
A
下面讨论当环境压强 与出口截面上的设计压强 不同时，
环境压强对气流的影响。假定 保持不变，而环境压强从 逐渐下降。
（ 1）当 = 时，气体在喷管内没有流动，如图 7-5中 OB
线所示。
（ 2）当 从 开始下降时，只要在最小截面上的压强 大于临界压强 。即 >,则在整个喷管内部是亚声速气流，如 图 7-5中 ODE曲线所示，这时的缩放喷管相当于文丘里管。
ambp 2p
0p
ambp 0p
ambp 0p
ambp 0p 1p
p 1p?p
图 7-5 缩放喷管内的压强和流量变化返回 (2)
返回 (4)
（ 3）如果环境压强 继续下降到使最小截面上的压强达到临界压强,则流量达到如式（ 7-34）所示的最大值这时在喷管扩张部分可能有两种流动状况：当 =
（ 为喷管中气流只在喉部达到声速其余全为亚声速时出口截面的压强）时，在整个喷管扩张部分中仍然都是亚声速气流，如图 7-5中 OCF曲线所示；而当环境压强等于喷管出口截面上的设计压强时，即 =,在整个喷管的扩张部分中都是超声速气流，如图 705中 OCJ曲线所示，即气流在缩放喷管内压强从 下降到 （即亚声速连续变到超声速）
的连续变化曲线。
ambp
p maxmq
ambp mp2
mp2
ambp 2p
2p0p
（ 4）当环境压强在 和 之间，即 > >,气流在扩张部分会出现压强的不连续变化，也就是形成一个所谓正激波，正激波的位置随着 的下降，从最小截面处移到喷管出口处,就是正激波移到喷管最小截面时的出口压强，气流通过正激波从超声速变成亚声速，一直到出口截面处，如图 7-5中 OCS1S2H线所示。
显然，对于缩放喷管，只要 ≤,不论环境压强 怎样变化，气流通过缩放喷管的流量将始终保持为最大流量，
这是由于喷管最小截面处的临界参数没有变化；当
> 时，流量将减小；当 = 时，流量等于零,
如 图 7-5的右图所示。
mp2 mp2
mp2
mp2
mp2
2p 2pambp
ambp
ambp ambp
ambp
ambp 0p
第四节 正 激 波一、正激波形成本节以气体中的微弱扰动波在直圆管中传播的情况为例来说明正激波形成的物理过程。
如 图 7-6所示，在一个充满静止气体的直圆管中，活塞向右作加速运动，活塞右侧的静止气体受压后被扰动形成一个压缩波向右移动，已被扰动的气体的压强从 升高到,设 - 是一个有限的压强量。为了分析方便起见，
假定把这个有限的压强增量看作是无数个无限小压强增量
dp的总和。于是，可认为在活塞右侧形成的压缩波是一系列微弱扰动波连接而成的。每一个微弱扰动波压强增加 dp。
当活塞开始运动时，第一个微弱扰动波以声速 传到未被扰动的静止气体中去，紧跟着第二个微弱扰动波以声速传到已被第一个微弱扰动波扰动过的气体中去。
1p
2p 2
p
1p
1c
2c
图 7-6 在圆管中正激波的形成过程显然，被第二个微弱扰动波扰动过的气体中的压强、密度和温度都比被第一个微弱扰动波扰动过的气体中的相应参数略大一些，根据,因此 >,也就是说第二个微弱扰动波的声速比第一个微弱扰动波的声速略快一些。与此相类似，第三个微弱扰动波又以比第二个略快一些的声速（ > ）向右传播,… 。如果在某一时刻波形如图 7-6
（ a）所示，经过一段时间后，后面的微弱扰动波一个一个追赶上前面的波，波形变得愈来愈陡，最后叠加成一个垂直于流动方向的具有压强不连续面的压缩波，这就是正激波，如图 7-6（ c）所示。气流通过激波除压强突跃地升高外，密度和温度也同样突跃地增加，而速度则下降。发生这种突跃地不连续变化是在与气体分子平均自由行程同一数量级（在空气中约 3× 10-4mm左右）内完成的，也可以说，各气流参数是在一个极小的激波厚度内连续地进行变化的。当然也可以认为，是在一个几何面上突然变化的；
这就是说，可以把激波看作是一个不连续的间断面，气流参数通过激波的变化是突跃的，不连续的。
RTc 2c 1c
3c 2c
二、正激波前后气流参数如 图 7-7所示，正激波前和正激波后各气流参数的下标分别为 1和 2。由于圆管的截面积不变，所以连续性方程可写成
（ a）
若忽略摩擦的影响，则动量方程可写成或 （ b）
气流通过激波时受到急剧地压缩，由于其时间极短，所产生的热量来不及外传，故使气流的熵增加。所以气流通过激波时的突跃压缩过程是一个不可逆的绝热过程。于是，气流在激波前后的总能量相等，并保持不变，对于完全气体能量方程可写成
（ c）
或
（ d）
式中临界声速 也保持不变。
2211 VV
)( 121121 VVVpp
22222111 VpVp
常数 02
2
2
1
2
1
22 TcTc
VTcV
ppp
常数
21
1
11212
2
0
0
2
2
2
2
1
1
2
1 cppVpV
c
图 7-7 正激波将气体状态方程应用与正激波前、后的状态，得
（ e）
将式（ b）的两边各除以式（ a）的两边，得
（ f）
由能量方程（ d）可得
（ g）
（ h）
将式（ g）和（ h）代入式（ f），简化后得由于,所以
（ 7-35）
这就是著名的普朗特公式，再由动量方程（ b）和连续性方程（ a）可知
)( 112212 TTRpp
2
12
2
2
22
1
1
1
V
VVpVp
2
1
2
1
1
1
1
2
1 Vcp
2
2
2
2
2
1
1
2
1 Vcp
2122112 cVVVVVV
12 VV?
221 cVV
1
22
11
2
22
2
1112 1 V
VVVVpp
由于激波是压缩波，即 >,因此 < 。所以由式（ 7-
35）可得重要结论：若正激波前是超音速流，则在正激波后必定是亚音速气流。
由于 和,则式（ b）可改写成所以 （ 7-36）
又由 代入式（ c）得
（ i）
再由于,所以式（ i）可写成
（ 7-37）
2p 1p 2V 1V
pc?2
c
VMa?
21122221122221 MapMapVVpp
2
2
2
1
1
2
1
1
Ma
Ma
p
p
RTMac M aV
22
2
211
2
1 2
1
2
1 TcRTMaTcRTMa
pp
Rc p 1
22
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
Ma
Ma
Mac
Mac
T
T
p
p
由状态方程和式（ a）
所以
（ 7-38）
现将式（ 7-36）和式（ 7-37）代入式（ 7-38）得或
1
2
11
22
11
22
21
12
1
2
RT
RT
Map
Map
Vp
Vp
p
p
T
T
2
11
22
1
2
Map
Map
T
T
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
Ma
Ma
Ma
Ma
Ma
Ma
422121221 2 1112 1 MaMaMaMa?
21222121221 2 1121 MaMaMaMaMa
02 11 21 Ma?
简化成或
（ 7-39）
式（ 7-39）最简单但无意义的解是,即上、下游的马赫数相等，无正激波存在的情况。式（ 7-39）的另一个解就是正激波前、后马赫数的关系式
（ 7-40）
02 1112 1 212122414221
MaMaMaMaMaMa
02 112 1 2122212122
MaMaMaMaMa
21 MaMa?
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2?
Ma
Ma
Ma
将式（ 7-40）代入式（ 7-36）和式（ 7-37），得
（ 7-41）
（ 7-42）
再将式（ 7-41）和式（ 7-42）代入式（ 7-38），得
（ 7-43）
式（ 7-40）至（ 7-43）表示正激波前、后各气流参数之比都是波前马赫数的函数。所以，当波前各气流参数已知时，就可以从这些公式求得波后各气流参数之值。
1
12 21
1
2
Ma
p
p
1
1
1
121 2
12
1
2
1
2
1
2
Ma
Ma
Ma
T
T?
21
2
1
2
1
1
2
1
12
Ma
Ma
V
V
第五节 应 用 举 例
【 例 7-1】 空气从大容器经喉部直径为 25mm的缩放喷管流向大气，设大容器中的计示压强和温度各为 690kPa和
40℃,大气压强 101.3kPa（ abs.）。若不计空气流过喷管时的损失，试求临界流速、出口流速、出口马赫数和出口截面的直径以及 。空气 J/（ kg·K），
1.4。
解析
【 例 7-2】 在亚声速飞行的飞机上，装有皮托管和静压管，
用来测量飞机的飞行速度。今测得大气的静压
0.75× 105Pa,气温 -10℃,动压 0.25× 105Pa。
试计算飞机的飞行速度。
解析
p?t
0p
mp2 287?R
pp0
【 例 7-3】 核爆炸产生的爆震波（激波）以 16000m/s的速度在静止的大气中传播，原来空气的压强为
1.0133× 105Pa，温度为 300K，试计算：
(1)激波相对静止空气的马赫数 ；
(2)激波后相对静止观察者的压强和温度的滞止值。
解析
【 解 】 空气的临界压强由式（ 7-25）
0.528× （ 690+101.3） =417.7（ kPa）
而 101.3kPa，于是,故采用缩放喷管。
空气的气体常数 J/（ kg·K），则
（ kg/m3）
临界流速由式（ 7-33）
（ m/s）
出口速度为返回 【 例 7-1】
*p
2p *2 pp?
287?R
81.8)402 7 3(2 8 7 10)3.1 0 16 9 0(
3
0
00?
RT
p?
3 2 481.8 10)3.1 0 16 9 0(08.108.1
3
0
0**
pcV
1
0
2
0
0
2 112 p
ppV
4.1
14.1
3
3.101690
3.101
1
81.8
10)3.101690(
14.1
4.1
2
528? （ m/s）
空气的定压比热 J/（ kg·K），则,由式（ 7-11）
所以 K=-99℃
出口马赫数为通过喷管的流量为
1005?pc Tch p?
200222
2
1
2 VTc
VTc
pp
)(2 202022 TTcVV p
00?V ])40273[(10052528 22 T
1742?T
2
1742874.1
528
2
2
2 c
VMa
)1(2
1
00
*
m a x 1
2?
pAqq m
)14.1(2
14.1
3
2
14.1
281.810)3.1 0 16 9 0(4.114.3
1 0 0 0
25
4
1
887.0? （ kg/s） 返回 【 例 7-1】
出口密度为
（ kg/m3）
出口截面积为
（ m2）
出口直径为
（ m） （ mm）
可由式（ 7-30）求得经试算，得 =0.909，则
0 2 9.2
1 7 42 8 7
103.1 0 1 3
2
2
2
RT
p?
000828.0528029.2 887.0
22
2 V
qA m
0 3 2 5.014.3 0 0 0 8 2 8.044 22Ad 5.32?
1
0
2
2
0
2
002 1
2
p
p
p
p
pAq mmm
4.1
14.1
0
24.1
2
0
23 81.810)3.1 0 16 9 0(
14.1
4.120 0 0 8 2 8.08 8 7.0
p
p
p
p mm
715.1
0
2
429.1
0
25.421
p
p
p
p mm
719)3.101690(909.02mp （ kPa）
返回 【 例 7-1】
【 解 】 如果不考虑空气的压缩性，把气流看作是密度 常数的不可压缩流体，则有
（ a）
（ m/s）
当地声速马赫数由上可知，气流速度较高，,需要考虑压缩性的影响，
为此，由式（ 7-19）
返回 【 例 7-2】
0
2
2 p
Vp
p
ppRTppV )(2)(2 0
0
5
5 1025.01075.0
)102 7 3(2 8 72
32.2 2 4?
)102 7 3(2 8 74.1 RTc?
07.325? （ m/s）
69.007.325 32.224 cVMa
120
2
11
Ma
p
p
2.0?Ma
利用牛顿二项式定理展开取前四项，并写成注意到 代入上式得
（ b） 返回 【 例 7-2】
2
220
2
1
!2
1
11
2
1
1
1?
MaMa
p
p
32
2
1
!3
2
1
1
11 Ma
642 48 )2(821 MaMaMa
4
22
0 24
2
4
1
2
MaMapMapp
p
V
c
VMa 2
2
22
4
22
0 24
2
4
1
2
MaMaVpp
对亚声速流动，,与式（ a）相比较，可见不考虑压缩性影响，计算的速度偏高。 时，式（ b）右边括号中的第三项以后可忽略不计。这样式（ b）写成或代入数值并化简得解得 （ m/s）
这就是飞机的飞行速度。飞行的马赫数为返回 【 例 7-2】
1?Ma
1?Ma
412
22
0
MaVpp?
RT
V
RT
pVpp
22
0 4
11
2
010213.010432.0 11264 VV
3.213?V
6 5 6.007.3 2 5 3.2 1 3 cVMa
【 解 】 （ 1）静止空气中的声速为
（ m/s）
于是激波相对静止空气的马赫数为
（ 2）激波后的压强，由式（ 7-41）得
Pa 返回 【 例 7-3】
2.3 4 73 0 004.2 8 74.111 RTc?
08.462.3471 6 0 0 0
1
11
c
VMa
1
1
1
2 2
112?
Mapp
52 10
6
108.46
6
70 1 3 3.1
81051.2
激波后的温度，由式（ 7-42）得
（ K）
激波后相对激波的风速，由式（ 7-43）得
（ m/s）
因此激波相对静止观察者的风速为
（ m/s）
返回 【 例 7-1】
)1(1
1
)1(21 2
12
1
2
1
212 MaMa
MaTT?
)108.46(
08.46
108.464.1
)14.1(
)14.1(21300 2
2
2
2
8.1 3 7 2 9 3?
2
1
2
1
1
2
1
12 )1(
)1(2
Ma
MaVVV
3.2 6 7
08.464.2
08.464.021 6 0 0
2
2
7.157323.2671600021 VVV 返回 【 例 7-3】
相对观察者的马赫数为最后，相对静止观察者的滞止温度和压强由式（ 7-18）和
（ 7-19）可得
（ K）
（ Pa）
需要说明的是，此结果与真实情形是不完全符合的，因空气在高温下已不能认为是理想气体，但定性说明了在极强的激波后面，气体的温度和压强是很高的。
12.2
8.1 3 7 2 9 304.2 8 74.1
7.1 5 7 3 2
22
RT
V
c
VMa
2
20 2
11 MaTT?
12
20 2
11?
Mapp
52 1061.2)12.22.01(8.1 3 7 2 9 3
95.328 103 6 8.2)12.22.01(1051.2
返回 【 例 7-3】
