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第三章 流体动力学基础
§ 1–1 描述流体运动的两种方法
§ 1–6 伯努利（ Bernoulli）方程的应用
§ 1–8 液体的空化和空蚀现象
§ 1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§ 1–2 流体运动的一些基本概念
§ 1–4 理想流体的运动微分方程
§ 1–3 流体运动的连续性方程
§ 1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
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流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。
本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。
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第一节 描述流体运动的两种方法连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。
由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量 (如速度、加速度等 )均应是空间点的坐标和时间的连续函数。
根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（ Lagrange）方法，另一种是欧拉（ Euler）方法。
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：
X=x (a,b,c,t)
y=y (a,b,c,t)
z=z (a,b,c,t) (3-1)
式中 a,b,c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的 a、
b,c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点,a、
b,c为常数，而 t为变量，则得到流体质点的运动规律。
对于某个确定的时刻,t为常数，而 a,b,c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称 a,b,c为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。
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将式 （ 3-1） 对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：
(3-2)
(3-3)
),,,( tcbautxu
),,,( tcbavtyv
),,,( tcbawtzw
),,,(2
2
tcbaat xtua xx
),,,(2
2
tcbaat ytva yy
),,,(2
2
tcbaat ztwa zz
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同样，流体的密度、压强和温度也可写成 a,b,c,的函数，即 ρ= ρ （ a,b,c,）,P=P (a,b,c,),t=t (a，
b,c,)。
欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（ x,y,z）和时间 t的函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和密度可表示为,u=u (x,y,z,t)
v=v (x,y,z,t) （ 3-4）
w=w (x,y,z,t)
式中,u,v,w分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量：
kwjviuV
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P=p (x,y,z,t)
Ρ=ρ（ x,y,z,t) (3-5)
式 （ 3-4） 中，当参数 x,y,z不变而改变时间 t，则表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数 t不变，
而改变 x,y,z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。
x,y,z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，
另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标 x,y,z也是流体质点位移的变量，它也是时间 t的函数：
x= x (t) y= y (t) z= z (t) (3-6)
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式 （ 3-6） 是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
（ 3-7）
现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在 dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别将式 （ 3-4） 中三个速度分量对时间取全导数，
并将式（ 3-7）代入，即可得流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量
t
xu
d
d?
tv d
dy?
tw d
dz?
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(3-8)
用矢量 表示加速度，即 。根据矢量分析的点积公式
（ 3-9）
式中 是矢量微分算子。
由式（ 3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成；第一部分是由于某一空间点上的流体质点
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
a
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
a
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
a
z
y
x
a? kajaiaa zyx
VVtVa
)(
kzjyix
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的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度，即式
（ 3-8） 中等式右端的第一项,,；第二部分是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加速度，即式 （ 3-8） 中等式右端的后三项,,等；
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。为了加深对当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速度的物理意义。如 图 3-1所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2比截面 1小，则截面 2的速度就要比截面 1的速度大。所以当流体质点从 1点流到 2
点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速
t
u
t
v
t
w
x
uu
y
uv
z
uw
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图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动
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度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。
应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，
空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式 (3-9)的形式，即
（ 3-10）
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，
如密度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。
称为全导数,称为当地导数,称为迁移导数。
) ()() (D ) D( Vtt?
tD
) D(
t?
) ( ) ()(V?
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由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三。一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便的。
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【 例 3-1】 已知用拉格朗日变量表示得速度分布为
u=(a+2)et-2,v=(b+2)et-2，且 t=0时,x=a,y=b。求（ 1）
t=3时质点分布；（ 2） a=2,b=2质点的运动规律；（ 3）
质点加速度。
【 解 】 根据 （ 3-2） 式得将上式积分，得上式中 c1,c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。
利用 t=0时,x=a,y=b得 c1=-2,c2=-2
2)2( teatx
2)2( tebty
12)2( cteax t
22)2( cteby t
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X=(a+2)et-2t-2
y=(b+2)et-2t-2
（ 1）将 t=3代入上式 得
X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8
（ 2） a=2,b=2时
x=4et-2t-2 y=4et-2t-2
(3)
tea
t
u )2(
teb
t
v )2(
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【 例 3-2】 在任意时刻，流体质点的位置是 x=5t2，其迹线为双曲线 xy=25。质点速度和加速度在 x和 y方向的分量为多少？
【 解 】 根据式 （ 3-7） 得由式 （ 3-8） 得
ttttxu 10)5(dddd 2
t
x
xxtt
v dd12525ddddy 2
322
1010
)5(
125
ttt
10 tua x
4
30
tt
va
y
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第二节 流体运动的一些基本概念在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于分析、研究问题，先介绍一些有关流体运动的基本概念。
一、定常流动和非定常流动根据流体的流动参数是否随时间而变化，可将流体的流动分为定常流动和非定常流动，现举例说明如下：如 图
3-2所示装置，将阀门 A和 B的开度调节到使水箱中的水位保持不变，则水箱和管道中任一点 (如 1点,2点和 3点等 )
的流体质点的压强和速度都不随时间而变化，但由于 1,2、
3各点所处的空间位置不同，故其压强和速度值也就各
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图 3-2 流体的出流
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图 3-2 流体的出流
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不相同。这时从管道中流出的射流形状也不随时间而变。
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数 (压强和速度等 )均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的流动，称为定常流动。现将阀门 A关小，则流入水箱的水量小于从阀门 B流出的水量，水箱中的水位就逐渐下降，
于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐减小，
射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流体质点的流动参数 (压强和速度等 )随时间而变化的流动，称为非定常流动。由上可见，定常流动的流场中，流体质点的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点坐标 x,y,z
的函数，而与时间 t无关，用 Φ表示任一流动参数（即 Φ可表示 u,v,w,p,ρ等），则
Φ= Φ (x,y,z) (3-11)
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由于是定常流动，故其流动参数对时间的偏导数等于零，即
（ 3-12）
因此，定常流动时流体加速度可简化成
（ 3-13）
由式 (3-13)可知，在定常流动中只有迁移加速度。例如 图 3-2中，当水箱的水位保持不变时,2点到 3点流体质点的速度减小，而 4点到 5点速度增加，都是由于截面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为均匀流动，
例如流体质点在等截面管道中的流动 (3点到 4点 )。
在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和风道中的流体流动都是定常流动。又如
0 t?
VVa )(
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火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时，
主蒸汽管道和给水管道中的流体流动也都是定常流动。可见研究流体的定常流动有很大的实际意义。
二、迹线与流线迹线是流场中某一质点运动的轨迹。例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。
迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线，其数学表达式为：
（ 3-14）
twzvyux dddd
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式 (3-14)就是迹线微分方程，是自变量。
流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线,如图 3-3所示。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。
1、流线的基本特性
(1)在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随
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图 3-3 流线的概念
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时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹线不相重合。
(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。
(4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。
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2、流线微分方程现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量,通过该点流线上的微元线段 。由流线的定义知，
空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即即上式又可写成
kwjviuV
kzjyixL dddd
0
d d d
k j i
d
zyx
v wu LV
0dd
0dd
0dd
zuxw
ywzv
xvyu
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（ 3-15）
式（ 3-15）就是流线的微分方程，式中时间 t是个参变量。
【 例 3-3】 有一流场，其流速分布规律为,u= -ky,v=
kx,w=0，试求其流线方程。
【 解 】 由于 w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为将两个分速度代入流线微分方程（ 3-15），得到即 xdx+ydy=0
积分上式得到 x2+y2=c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
),,,(
d
),,,(
d
),,,(
d
tzyxw
z
tzyxv
y
tzyxu
x
v
y
u
x dd?
x
y
y
x
k
d
k
d?
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三、流管、流束和总流在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。
如 图 3-4所示。因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出 (由于流线不能相交 )。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。
过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。当流束的横截面积趋近于零时，则流束达到它的极限 —— 流线。
在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面,如图 3-5所示。有效截面面积为无限小的流束
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和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的。
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流流动分为三类：
（ 1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（ 2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
（ 3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。
在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度称为湿周，用符号 χ表示。
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图 3-4 流管和流束
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图 3-5 有效截面
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总流的有效截面面积与湿周之比称为水力半径，用符号 Rh
表示，即关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道和管束的水力计算中常常用到。
四、流量和平均流速单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，
以 qv表示。其单位为 m3/s,m3/h等。
单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量,以
qm表示，其单位为 kg/s,t/h等。
由于微元流束有效截面上各点的流速 V是相等的，所以通过微元流束有效截面积为的体积流量 dqv和质量流量
dqm分别为,dqv=VdA (3-16)
dqm=ρVdA (3-17)
AR
h?
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由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束有效截面面积为的流体体积流量和质量流量分别由式 (3-
16)和式 (3-17)积分求得，即
(3-18)
(3-19)
以上计算必须先找出微元流束的速度 V在整个流束有效截面上的分布规律，这在大部分工程问题中是不能用解析法来确定的。在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
A
V AVq d
A
m AVq d?
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若以表示平均流速，按其定义可得：
(3-20)
(3-21)
五、一维、二维和三维流动一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是 x,y、
z三个坐标的函数，在流体力学中又称这种流动为三维流动。当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其流动参数在某些情况下，仅是 x,y两个坐标的函数，称这种流动为二维流动。是一个坐标的函数的流动，称为一维流动。
如 图 3-6所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点运动参数，如速度，即是半径 r的函数，又是沿轴
AVAVAVq
A AV
dd
A
qV V?
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图 3-6 管内流动速度分布
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线距离的函数，即,u=u (r,x)。显然这是二元流动问题。
工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值
u。就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种流动就叫一维流动，即,u=u (x)。
如 图 3-7所示的绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速度为例，可写成：
如 图 3-8所示的绕有限宽翼展的流动就是三维流动，三维流动的参数以速度为例，可写成：
六、均匀流和非均匀流根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同，
可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，
j ),(i ),( xxvyxuV
kzyxwzyxvzyxuV ),,(j ),,(i ),,(
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图 3-7 绕无限翼展的流动
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图 3-8绕有限翼展的流动
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否则称为非均匀流。由此定义可知在均匀流中，流线是彼此平行的直线，过水断面（有效截面）是平面。如在等直径的直管道内的水流都是均匀流 (图 3-9)。 注意在均匀流中各流线上的流速大小不定彼此相等．在非均匀流中，流线或者是不平行的直线，或者是曲线，如 图 3-10所示。一般非均匀流的过水断面（有效截面）是曲面。
非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓、急程度又可分为缓（渐）变流和急变流两种 （图 3-11） 。流速的大小和方向沿流线逐渐改变的非均匀流，称为缓（渐）
变流。显然，缓（渐）变流的流线的曲率半径 r较大，流线之间的夹角 β较小。因此，缓（渐）变流是一种流线几乎平行又近似直线的流动，其极限情况就是均匀流。缓
（渐）变流的有效截面可看作平面，但是缓（渐）变流各个过水断面的形状和大小是沿程逐渐改变的，各个过水断面上的流速分布图形也是沿程逐渐改变的。流速的大小和
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方向沿流线急剧变化的非均匀流，称为急变流。显然其流线之间的夹角较大，或者流线曲率半径较小，或者两者兼而有之。
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图 3-9 均匀流
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图 3-10 非均匀流
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急变流 缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流图 3-11 缓变流和急变流
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第三节 流体流动的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。
在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。
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一、直角坐标系下连续性微分方程式设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为
dx,dy和 dz，如 图 3-12所示。
假设微元平行六面体形心的坐标为 x,y,z，在某一瞬时 t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为 u,v,w，
流体的密度为 ρ。现讨论流体经六面体各面的流动情况。
先分析 x轴方向，由式 (3-4)和式 (3-5)可知,u和 ρ都是坐标和时间的连续函数，即 u=u (x,y,z,t)和 ρ = ρ (x，
y,z,t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在 d时间内，沿轴方向从左边微元面积 dydz流入的流体质量为
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图 3-12 流场中的微元平行六面体
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同理可得在 dt时间内从右边微元面积 dydz流出的流体质量为
(3-22)
上述两者之差为在 dt时间内沿 x轴方向流体质量的变化，
即
(3-23)
tzytzyxxutzyxx ddd,,,2d,,,2d
tzy
x
t
u
u
x
t
tzy
x
t
u
tzyxu
x
t
tzyx
ddd
2
d
2
d
ddd
2
d
),,,(
2
d
),,,(
tzyxtuuxt ddd2d2d?
tzyxuxtzyxxuxxu dddd)(ddddd
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同理可得，在 dt时间内沿 y轴和 z轴方向流体质量的变化分别为：
因此，在 dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
(3-24)
由于流体是作为连续介质来研究的，所以式 (3-24)所表示的六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此式 (3-24)应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。
设开始瞬时流体的密度为 ρ，经过 dt时间后的密度为
tzyxvy dddd)( tzyxwz dddd)(
tzyx
z
w
y
v
x
u dddd
ttttzyx d)d,,,(
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则可求出在 dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为
(3-25)
根据连续性条件，式 (3-24)和式 (3-25)应相等，经简化得到
(3-26)
式（ 3-26）为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。
若流体是定常流动，则,上式成为
(3-27)
式（ 3-27）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。
若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动 ρ均
tzyxtzyxzyxtt ddddddddddd
0?
z
w
y
v
x
u
t
0t?
0?
z
w
y
v
x
u
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为常数，故式 (3-27)成为
(3-28)
式（ 3-28）为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。
它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。
在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这种流动的流动参数（如速度、压强）只沿 x,y两个坐标轴方向发生变化，则式
（ 3-28）可以写成
(3-29)
由于在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适用的。
0 zwyvxu
0 yvxu
2009-7-28 51
二、微元流束和总流的连续性方程在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题，所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的变化，
而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一微元流束 (图 3-13)。 假定流体的运动是连续的、定常的，则微元流管的形状不随时间而改变。又根据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即
ρ1V1dA1= ρ2V2dA2= ρVdA=常数 （ 3-30）
式中 dA1,dA2— 分别为 1,2两个有效截面的面积,m2；
2009-7-28 52
图 3-13 流场中的微元流束
2009-7-28 53
V1,V2— 分别为 dA1和 dA2上的流速，也称为真实流速,m/s；
ρ1,ρ2— 分别为和处的流体密度,kg/m3。
对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对式（ 3-30）进行积分得
（ 3-31）
式中 A1 和 A2— 分别为总流 1和 2两个有效截面的面积,m2。
式（ 3-31）为一维流动积分形式总流的连续性方程。
设 和 是总流两个有效截面 l和 2上的平均流速，则式
（ 3-31）可写成
(3-32)
常数
AAA
AVAVAV ddd
21
222111
1V 2V
222111 AVAV
2009-7-28 54
式中 ρ1和 ρ2— 分别代表截面和上的平均密度,kg/m3。
式（ 3-32）表示当流动为可压缩流体定常流体动时，
沿流动方向的质量流量为一个常数。
对不可压缩均质流体常数，则式（ 3-32）成为
(3-33)
式（ 3-33）为不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程。该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。
2211 AVAV?
2009-7-28 55
【 例 3-4】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为） U=3（ x+y3),v=4y+z2,w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。
【 解 】 根据式（ 3-28）
所以故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的
3xu 4yv 2?
z
w
09 zwyvxu
2009-7-28 56
【 例 3-5】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为 u=x2siny,v=2xcosy，试分析该流动是否连续。
【 解 】 根据式（ 3-29）
所以故此流动是连续的。
yxxu sin2 yx
y
v s i n2
0)s i n2(s i n2 yxyxyvxu
2009-7-28 57
【 例 3-6】 有一输水管道，如 图 3-14所示。水自截面
1-1流向截面 2-2。测得截面 1-1的水流平均流速 m/s，
已知 d1=0.5m,d2=1m，试求截面 2-2处的平均流速 为多少？
【 解 】 由式（ 3-33）得
(m/s)
2?V
2V
2
22
2
11 44 dVdV
5.0
1
5.02 2
2
2
1
12
d
dVV
2009-7-28 58
图 3-14 输水管道
2009-7-28 59
第四节 理想流体的运动微分方程在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为 dx,dy和 dz，如 图 3-15所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为 x,y,z，压强为 p。
先分析 x方向的运动，在垂直于 x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的
2
d x
x
pp
2
d x
x
pp
2009-7-28 60
图 3-15 推导欧拉运动微分方程用图
2009-7-28 61
平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为
fx,fy和 fz,则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在轴方向的分量为 fxρ dxdydz
又流体微团的加速度在 x轴上的投影为,则根据牛顿第二定律得 x轴方向的运动微分方程将上式各项除以流体微团的流体质量 ρ dxdydz,化简后得：
同理
(3-34)
Dt
Du
Dt
Duzyxzyx
x
ppzyx
x
ppzyxf
x ddddd2
ddd
2
dddd
Dt
Du
x
pf
x
1
Dt
Dv
y
pf
y
1
Dt
Dw
z
pf
z
1
2009-7-28 62
这就是理想流体的运动微分方程，早在 1755年就为。
对于静止的流体 u=v=w=0，则由式（ 3-34）可以直接得出流体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式（ 2-3）。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。
如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方程写成如下形式
(3-35)
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
z
p
f
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
y
p
f
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
x
p
f
z
y
x
1
1
1
2009-7-28 63
在一般情况下，作用在流体上的质量力 fx,fy和 fz 是已知的，对理想不可压缩流体其密度 ρ为一常数。在这种情况下，式（ 3-35）中有四个未知数 u,v,w和 p，而式
（ 3-35）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程（ 3-28），就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。
2009-7-28 64
第五节 理想流体微元流束的伯努利方程一、理想流体微元流束的伯努利方程理想流体的运动微分方程（ 3-35）只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的定常流动；
(2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；
(3)质量力只有重力。
即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。
假定流体是定常流动，则有
，
0 t? 0 zwyvxu
2009-7-28 65
因此式 (3-35)可写成
(3-36)
假如流体微团沿流线的微小位移 ds在三个坐标轴上的投影为 dx,dy和 dz。现用 dx,dy和 dz分别乘以式（ 3-36）的第一式、第二式和第三式，则可得到
z
w
w
y
w
v
x
w
u
z
p
f
z
v
w
y
v
v
x
v
u
y
p
f
z
u
w
y
u
v
x
u
u
x
p
f
z
y
x
1
1
1
2009-7-28 66
(3-37)
由流线微分方程 （ 3-15） 有
udy=vdx
ydz=wdy (3-38)
wdx=udz
将式（ 3-38）代入式（ 3-37）中的对应项，则得
z
z
w
wz
y
w
vz
x
w
uz
z
p
zf
y
z
v
wy
y
v
vy
x
v
uy
y
p
yf
x
z
u
wx
y
u
vx
x
u
ux
x
p
xf
z
y
x
dddd
1
d
dddd
1
d
dddd
1
d
2009-7-28 67
(3-39)
将式（ 3-39）的三个方程相加，得到
(3-40)
由于式（ 3-40）中的 dx,dy和 dz是流体微团沿流线微小位移 ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。
wwz
z
w
wy
y
w
wx
x
w
wz
z
p
zf
vvz
z
v
vy
y
v
vx
x
v
vy
y
p
yf
uuz
z
u
uy
y
u
ux
x
u
ux
x
p
xf
z
y
x
ddddd
1
d
ddddd
1
d
ddddd
1
d
wwvvuu
z
z
p
y
y
p
x
x
p
zfyfxf zyx
ddd
ddd
1
)ddd(
2009-7-28 68
式（ 3-40)中的假设质量力只有重力,fx=0,fy=0,fz=-g，即 z轴垂直向上，
oxy为水平面。则式 (3-40)可写成又假设为不可压缩均质流体，即 ρ=常数，积分后得或
(3-41)
式（ 3-41）称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围
pzzpyypxxp dddd
2222 d
2
1)(d
2
1ddd Vwvuwwvvuu
0d21d1d 2 Vpzg?
常数 2
2Vp
gz?
常数 gVgpz 2
2
2009-7-28 69
是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若 1,2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（ 3-41）也可写成
(3-42)
在特殊情况下，绝对静止流体 V=0，由式 (3-41)可以得到静力学基本方程二、方程的物理意义和几何意义为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。
1、物理意义理想流体微元流束的伯努利方程式（ 3-41）中，左端
g
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
22
2
2
11
1
常数
g
pz
2009-7-28 70
前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即第一项 z表示单位重量流体所具有的位势能；第二项 p/(ρg)表示单位重量流体的压强势能；第三项 V2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为 m的物体以速度 V运动时，所具有的动能为
Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为 V2/(2g)即
(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。
2009-7-28 71
2、几何意义图理想流体微元流束的伯努利方程式（ 3-41）中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项
z表示单位重量流体的位置水头，第二项 p/(ρg)表示单位重量流体的压强水头，第三项 V2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度 V，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如 图 3-16所示。
因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线 (或微元流束 )上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。
2009-7-28 72
图 3-16 总水头线和静水头线
2009-7-28 73
第六节 伯努利（ Bernoulli）方程的应用理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算，下面以应用最广泛的皮托管和文特里流量计为例，介绍它们的测量原理和伯努利方程的应用。
一、皮托管在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，
要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如 图 3-17所示。
在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端
2009-7-28 74
VB A
Z Z
图 3-17 皮托管测速原理
2009-7-28 75
开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高 h。这是由于当液流流到测速管入口前的 A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点 A。驻点 A的压强 PA
称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如 B点）
的液体压强为 PB，速度为 V。应用伯努利方程于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有则
(3-43)
02
2
gpzgVgpz AB
g
V
g
p
g
ph BA
2
2
ghppv BA 22
2009-7-28 76
式（ 3-43）表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值 h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，
以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用式 (3-43)计算出的要小，因此，实际流速为
(3-44)
式中 ψ— 流速修正系数，一般由实验确定,ψ =0.97。
如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如 图 3-18所示，则用式 (3-43)，则得
（ 3-45）
ghV 2
)( 液液 ghpp BA
122
液液液液 ghhgV
2009-7-28 77
图 3-18 用皮托管和静压管测量气体流速
2009-7-28 78
考虑到实际情况，
(3-45a)
在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托 — 静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管，
其示意图如 图 3-19所示。图中 1点为总压测点,2点为静压测点，将总静压孔的通路分别连接于差压计的两端，则差压计的指示为总压和静压的差值，从而可由式 (3-43)求得测点的流速。皮托 -静压管的构造尺寸及使用时的连接方式如 图 3-20所示。
12
液液ghV
2009-7-28 79
图 3-19 皮托 -静压管
2009-7-28 80
图 3-20 皮托 -静压管构造及连接方式
2009-7-28 81
二、文特里 (Venturi)流量计文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如 图 3-21所示。
它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。
以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面 1-1,2-2的伯努利方程
(3-46)
由一维流动连续性方程
(3-47)
g
V
g
p
g
V
g
p
2020
2
22
2
11
2
1
2
1 VA
AV?
2009-7-28 82
图 3-21 文特里流量计原理图
2009-7-28 83
将式 (3-47)代入到式 (3-46)，整理得
(3-48)
由流体静力学
(3-49)
将式 (3-49)代入到式 (3-48)，则
(3-50)
式 (3-50)表明，若 ρ液,ρ,A2,A1已知，只要测量出
h液,就可以确定流体的速度。流量为：
(3-51)
])/(1[
)(2
2
12
21
2 AA
ppV
液液 ghpp )(21
])/(1[
)(2
2
12
2 AA
hgV
液液
])/(1[
)(2
4 212
2
222 AA
hgdVAq
V?
液液
2009-7-28 84
考虑到实际情况
(3-52)
式中 Cd为流量系数，通过实验测定。
文特里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔板，喷嘴等，其基本原理与文特里流量计基本相同，不再叙述。
三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速 (或流量 )和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点：
(1) 弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流
])/(1[
)(2
4 212
2
2 AA
hgdCqCq
dVdV?
液液实
2009-7-28 85
动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。
(2) 选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器，
有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，
因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面，
速度可以视为零来处理。
(3) 选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。
(4) 求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的 p1和 p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强,p1和 p2的问题与静力学中的处理完
2009-7-28 86
全相同。
(5) 有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上Ａ点的压强，又取同一有效截面上另一点Ｂ的速度。
【 例 3-7】 有一贮水装置如 图 3-22所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为 2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是 0.6个大气压强，试求当水管直径 d=12cm时，通过出口的体积流量
(不计流动损失 )。
【 解 】 当阀门全开时列 1-l,2-2截面的伯努利方程当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本
g
V
g
pp
g
pH aaa
2
6.000 22
2009-7-28 87
方程求出Ｈ值则代入到上式
（ m/s）
所以管内流量
（ m3/s）
aaa ppgHp 8.2
O)( m H289806 9 8 0 6 08.28.2 2 gpH a?
78.209 8 0 69 8 0 6 06.08.28 0 6.926.022
g
pHgV a
2 3 5.078.2012.07 8 5.04 222 Vdq V?
2009-7-28 88
图 3-22
2009-7-28 89
【 例 3-8】 水流通过如 图 3-23所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差 Δh=0.2m,h1=0.72m H2O，
管径 d1=0.1m，管嘴出口直径 d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量 qv。
【 解 】 首先计算 1-1断面管路中心的压强。因为 A-B为等压面，列等压面方程得：
则 (mH2O)
列 1-1和 2-2断面的伯努利方程
11Hg ghphg
1Hg1 ghhgp
272.02.06.131Hg1 hh
g
p
g
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
22
2
2
11
1
2009-7-28 90
由连续性方程：
将已知数据代入上式，得
（ m/s）
管中流量
（ m3/s）
2
1
2
21
d
dVV
g
V
g
V
2015216
1220 2222
1.1215 1676.192V
024.01.1205.044 2222 Vdq V
2009-7-28 91
图 3-23
2009-7-28 92
第七节 定常流动的动量方程和动量矩方程在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，
动量定理都能适用。
一、定常流动的动量方程将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量的时
2009-7-28 93
间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即设不可压缩流体在管中作定常流动，如 图 3-24所示。
取有效截面 1-1和 2-2之间的流段作为研究对象，两截面上的平均流速分别和，流段在质量力、两截面上的压强和管壁的作用力的作用下，经过 dt时间后从位置 1-2流到 1’-2’。
与此同时，流段的动量发生了变化，其变化等于流段在 1’-
2’和 1-2位置时的动量之差。由于定常流动中流管内各空间点的流速不随时间变化，因此 1’-2这部分流体（图中阴影部分）的动量没有改变。于是在 dt时间内流段的动量变化就等于 2- 2’段的动量和 1- 1’段的动量之差。
(3-53)
t VmVmF 12
12 dd)(d VtqVtqVm VV
2009-7-28 94
图 3-24 推导动量方程用图
2009-7-28 95
由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数 β
加以修正。根据实验测定值约为 1.02～ 1.05，近似于 l，所以为计算方便，在工程计算中通常取 β ＝ 1。于是上式可改写成
(3-54)
根据不可压流体一维流动总流的连续性方程，流过截面 1-1的流量和流过截面 2-2的流量相等，即或 （ 3-55）
方程 (3-55)就是不可压缩流体定常流动的动量方程
111222 dd)(d VtqVtqVm VV
VVV qqq 21
tFVmVVtq V d)(d)(d 1122
FVVq V )( 1122
2009-7-28 96
把上式写成分量形式为
(3-56)
管流的定常动量方程常用于求解作用在管道上的动水反力等问题。由式 (3-56)可知，在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管壁的作用力。由于动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较方便。应用时应注意，适当地选择控制面，完整地表达出控制体和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。
zV
yV
xV
Fwwq
Fvvq
Fuuq
)(
)(
)(
1122
1122
1122
2009-7-28 97
二、动量方程应用举例
【 例 3-9】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，
弯管两端与等直径管相连接处的断面 1-1上压力表读数
p1=17.6× 104Pa，管中流量 qv=0.1m3/s，若直径 d1=300㎜,
d2=200㎜,转角 Θ=600，如 图 3-25所示。求水对弯管作用力 F的大小
【 解 】 水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力
F。而 F与管壁对水的反作用力 R平衡。管道水平放置在
xoy面上，将 R分解成 Rx和 Ry两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，
坐标按图示方向设置。
1.根据连续性方程可求得：
2009-7-28 98
图 3-25
2009-7-28 99
(m/s)
(m/s)
2.列管道进、出口的伯努利方程则得：
(Pa)
42.1
3.0
41.0
4
2
2
1
1
d
q
v V
18.3
2.0
41.0
4
2
2
2
2
d
q
v V
g
v
g
p
g
v
g
p
22
2
22
2
11
2/)( 222112 vvpp
2/)18.342.1(1 0 0 0106.17 223
3102.17
2009-7-28 100
3.所取控制体受力分析进、出口控制面上得总压力：
（ kN）
（ kN）
壁面对控制体内水的反力 Rx,Ry，其方向先假定如图
(3-25)所示。
4.写出动量方程选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。
沿 x轴方向
43.123.04106.17 23111ApP
40.52.04102.17 23222ApP
)c o s(c o s 1221 vvqRPP Vx
2009-7-28 101
则
（ kN）
沿 y轴方向
（ kN）
管壁对水的反作用力
(kN)
水流对弯管的作用力 F与 R大小相等，方向相反。
三、定常流动的动量矩方程应用动量方程可以确定液流与边界之间总作用力的大小和方向，但不能给出作用力的位置。如要确定其位置，
c o s)c o s( 1212 PPvvqR Vx
5 6 8.060c o s43.1240.5)60c o s42.118.3(1.0
)s i n0(s i n 11 vqRP Vy
sinsin 11 vqPR Vy
88.1060s i n42.11.060s i n43.12
89.1088.10)568.0( 2222 yx RRR
2009-7-28 102
可参照力矩平衡方程求合力作用点的方法，用动量矩方程求得。水流通过水轮机或水泵等流体机械时是在叶片所形成的通道内，这时水流与叶片之间有力的作用，受水流作用的转轮叶片本身又绕一固定轴转动，在分析这类流动时也需要了解水流的动量矩变化与外力矩之间的关系。
在一般力学中，一个物体单位时间内对转动轴的动量矩的变化，等于作用于此物体上所有外力对同一轴的力矩之和，这就是动量矩定理。下面以水流通过泵叶轮的流动情况为例来进行分析，所得动量矩方程也适用于一般定常流动情况。
设有一水泵的叶轮如 图 2-26所示，液流从叶轮外周进入，入流的方向与圆周切线方向成一夹角 α1，其绝对速度为 υ1；液流从内周流出，出流方向与圆周切线方向成
2009-7-28 103
图 3-26 水泵叶轮
2009-7-28 104
夹角 α2，其绝对速度为 υ2。单位时间内进入叶轮液体的动量矩为液流在圆周切线方向上的动量乘以半径，即为；
单位时间内流出转轮的动量矩为
。动量矩的差即为液流作用于叶轮的力矩
M。即
（ 3-57）
如果液流通过叶轮而获得动量矩，即式（ 3-57）的左边为负值，则系叶轮加力于液流，如离心式水泵就是这样。
式 (3-57)为定常液流运动的动量矩方程。
)c o s( 111 rvq V
)c o s( 222 rvq V
)co sco s( 222111 vrvrqM V
2009-7-28 105
第八章 液体的空化和空蚀现象一、空化（气穴）
在标准大气压强下，水在 100℃ 开始沸腾，称为汽化；
当大气压强降低时（如在高原地区），水将在低于 100℃
的温度下开始沸腾汽化。这一现象表明：作用于水的绝对压强较低时，水可在较低温度下发生汽化。水在某一温度发生汽化时的绝对压强，称为饱和蒸汽压强，用 pv表示。
由伯努利方程可知，当总水头一定时，水流中某一有效截面上的位置水头和速度水头很大时，其相应的绝对压强就低，当压强降低到空气分离压 pg时，原先以气核形式
2009-7-28 106
（肉眼看不见）溶解在液体中的气体便开始游离出来，膨胀形成小气泡；当压强继续降低到液体在该温度下的饱和压强 pv时，液体开始汽化，产生大量的小气泡。并继续产生更多的小气泡。它们将汇集成较大的气泡，泡内充满着蒸汽和游离气体。这种由于压强降低而产生气泡的现象称为空化（气穴）现象。空化现象同外界空气掺入液体中形成的气泡有本质区别，它是液体的相变（由液态转化为汽态）现象。我们常用一个无量纲数来作为判断是否发生空化的标准，称为空化系数，用 δ表示。如果发生空化处液流的绝对压强为 p、密度为 ρ、截面平均流速为 υ、液体的饱和压强为 pv，则空化系数定义为
(3-58)
2
2
1 v
pp v
2009-7-28 107
显然，液流的压强越低或液体的饱和压强越高（液温越高），空化系数越小，发生空化的可能性越大。当 δ减小到某一数值 δi时，开始出现空化，便称 δi为初生空化系数
(也称临界空化系数 )。初生空化系数的大小与液体的种类、
液体中溶解气体的多少和液体的温度等因素有关，由实验确定。
一般情况下，水中溶解的气体不超过 2％，人们常常认为当 p=pv时开始出现空化，即初生空化系数 δ i=0。因此，
像离心水泵进水口和虹吸管最高管段的压强均应高于液体在该温度下的饱和压强，以防止空化和气蚀的发生。油中溶解的气体可达 6％～ 12％，因此当 p=pg时便会出现空化，
而 pg>pv，根据实验一般要取初生空化系数 δ i= 0.4。例如，
对于油压系统中的节流孔口，当 δ>0.4时，
2009-7-28 108
不会出现空化，当 δ<=0.4时，一般便会出现节流孔口空化。
二、空蚀（气蚀）
空化产生的气泡被液流带走。当液流流到下游高压区时，气泡内的蒸汽迅速凝结，气泡突然溃灭。气泡溃灭的时间很短，只有几百分之一秒，而产生的冲击力却很大，
气泡溃灭处的局部压强高达几个甚至几十兆帕，局部温度也急剧上升。大量气泡的连续溃灭将产生强烈的噪声和振动，严重影响液体的正常流动和流体机械的正常工作；气泡连续溃灭处的固体壁面也将在这种局部压强和局部温度的反复作用下发生剥蚀，这种现象称为空蚀（气蚀）。剥蚀严重的流体机械将无法继续工作。空蚀机理是尚在研究中的问题。主要说法有二：①认为气泡突然溃灭时，周围
2009-7-28 109
的流体快速冲向气泡空间，它们的动量在极短的时间内变为零，因而产生很大的冲击力，该冲击力反复作用在壁面上，形成剥蚀；②认为气泡在高压区突然溃灭时，将产生压强冲击波，此冲击波反复作用在壁面上，形成剥蚀。很可能这两种情况都存在。
第三章 流体动力学基础
§ 1–1 描述流体运动的两种方法
§ 1–6 伯努利（ Bernoulli）方程的应用
§ 1–8 液体的空化和空蚀现象
§ 1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§ 1–2 流体运动的一些基本概念
§ 1–4 理想流体的运动微分方程
§ 1–3 流体运动的连续性方程
§ 1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
2009-7-28 2
流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。
本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。
2009-7-28 3
第一节 描述流体运动的两种方法连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。
由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量 (如速度、加速度等 )均应是空间点的坐标和时间的连续函数。
根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（ Lagrange）方法，另一种是欧拉（ Euler）方法。
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
2009-7-28 4
的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：
X=x (a,b,c,t)
y=y (a,b,c,t)
z=z (a,b,c,t) (3-1)
式中 a,b,c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的 a、
b,c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点,a、
b,c为常数，而 t为变量，则得到流体质点的运动规律。
对于某个确定的时刻,t为常数，而 a,b,c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称 a,b,c为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。
2009-7-28 5
将式 （ 3-1） 对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：
(3-2)
(3-3)
),,,( tcbautxu
),,,( tcbavtyv
),,,( tcbawtzw
),,,(2
2
tcbaat xtua xx
),,,(2
2
tcbaat ytva yy
),,,(2
2
tcbaat ztwa zz
2009-7-28 6
同样，流体的密度、压强和温度也可写成 a,b,c,的函数，即 ρ= ρ （ a,b,c,）,P=P (a,b,c,),t=t (a，
b,c,)。
欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（ x,y,z）和时间 t的函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和密度可表示为,u=u (x,y,z,t)
v=v (x,y,z,t) （ 3-4）
w=w (x,y,z,t)
式中,u,v,w分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量：
kwjviuV
2009-7-28 7
P=p (x,y,z,t)
Ρ=ρ（ x,y,z,t) (3-5)
式 （ 3-4） 中，当参数 x,y,z不变而改变时间 t，则表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数 t不变，
而改变 x,y,z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。
x,y,z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，
另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标 x,y,z也是流体质点位移的变量，它也是时间 t的函数：
x= x (t) y= y (t) z= z (t) (3-6)
2009-7-28 8
式 （ 3-6） 是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
（ 3-7）
现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在 dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别将式 （ 3-4） 中三个速度分量对时间取全导数，
并将式（ 3-7）代入，即可得流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量
t
xu
d
d?
tv d
dy?
tw d
dz?
2009-7-28 9
(3-8)
用矢量 表示加速度，即 。根据矢量分析的点积公式
（ 3-9）
式中 是矢量微分算子。
由式（ 3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成；第一部分是由于某一空间点上的流体质点
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
a
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
a
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
a
z
y
x
a? kajaiaa zyx
VVtVa
)(
kzjyix
2009-7-28 10
的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度，即式
（ 3-8） 中等式右端的第一项,,；第二部分是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加速度，即式 （ 3-8） 中等式右端的后三项,,等；
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。为了加深对当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速度的物理意义。如 图 3-1所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2比截面 1小，则截面 2的速度就要比截面 1的速度大。所以当流体质点从 1点流到 2
点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速
t
u
t
v
t
w
x
uu
y
uv
z
uw
2009-7-28 11
图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动
2009-7-28 12
度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。
应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，
空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式 (3-9)的形式，即
（ 3-10）
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，
如密度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。
称为全导数,称为当地导数,称为迁移导数。
) ()() (D ) D( Vtt?
tD
) D(
t?
) ( ) ()(V?
2009-7-28 13
由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三。一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便的。
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【 例 3-1】 已知用拉格朗日变量表示得速度分布为
u=(a+2)et-2,v=(b+2)et-2，且 t=0时,x=a,y=b。求（ 1）
t=3时质点分布；（ 2） a=2,b=2质点的运动规律；（ 3）
质点加速度。
【 解 】 根据 （ 3-2） 式得将上式积分，得上式中 c1,c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。
利用 t=0时,x=a,y=b得 c1=-2,c2=-2
2)2( teatx
2)2( tebty
12)2( cteax t
22)2( cteby t
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X=(a+2)et-2t-2
y=(b+2)et-2t-2
（ 1）将 t=3代入上式 得
X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8
（ 2） a=2,b=2时
x=4et-2t-2 y=4et-2t-2
(3)
tea
t
u )2(
teb
t
v )2(
2009-7-28 16
【 例 3-2】 在任意时刻，流体质点的位置是 x=5t2，其迹线为双曲线 xy=25。质点速度和加速度在 x和 y方向的分量为多少？
【 解 】 根据式 （ 3-7） 得由式 （ 3-8） 得
ttttxu 10)5(dddd 2
t
x
xxtt
v dd12525ddddy 2
322
1010
)5(
125
ttt
10 tua x
4
30
tt
va
y
2009-7-28 17
第二节 流体运动的一些基本概念在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于分析、研究问题，先介绍一些有关流体运动的基本概念。
一、定常流动和非定常流动根据流体的流动参数是否随时间而变化，可将流体的流动分为定常流动和非定常流动，现举例说明如下：如 图
3-2所示装置，将阀门 A和 B的开度调节到使水箱中的水位保持不变，则水箱和管道中任一点 (如 1点,2点和 3点等 )
的流体质点的压强和速度都不随时间而变化，但由于 1,2、
3各点所处的空间位置不同，故其压强和速度值也就各
2009-7-28 18
图 3-2 流体的出流
2009-7-28 19
图 3-2 流体的出流
2009-7-28 20
不相同。这时从管道中流出的射流形状也不随时间而变。
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数 (压强和速度等 )均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的流动，称为定常流动。现将阀门 A关小，则流入水箱的水量小于从阀门 B流出的水量，水箱中的水位就逐渐下降，
于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐减小，
射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流体质点的流动参数 (压强和速度等 )随时间而变化的流动，称为非定常流动。由上可见，定常流动的流场中，流体质点的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点坐标 x,y,z
的函数，而与时间 t无关，用 Φ表示任一流动参数（即 Φ可表示 u,v,w,p,ρ等），则
Φ= Φ (x,y,z) (3-11)
2009-7-28 21
由于是定常流动，故其流动参数对时间的偏导数等于零，即
（ 3-12）
因此，定常流动时流体加速度可简化成
（ 3-13）
由式 (3-13)可知，在定常流动中只有迁移加速度。例如 图 3-2中，当水箱的水位保持不变时,2点到 3点流体质点的速度减小，而 4点到 5点速度增加，都是由于截面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为均匀流动，
例如流体质点在等截面管道中的流动 (3点到 4点 )。
在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和风道中的流体流动都是定常流动。又如
0 t?
VVa )(
2009-7-28 22
火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时，
主蒸汽管道和给水管道中的流体流动也都是定常流动。可见研究流体的定常流动有很大的实际意义。
二、迹线与流线迹线是流场中某一质点运动的轨迹。例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。
迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线，其数学表达式为：
（ 3-14）
twzvyux dddd
2009-7-28 23
式 (3-14)就是迹线微分方程，是自变量。
流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线,如图 3-3所示。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。
1、流线的基本特性
(1)在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随
2009-7-28 24
图 3-3 流线的概念
2009-7-28 25
时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹线不相重合。
(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。
(4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。
2009-7-28 26
2、流线微分方程现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量,通过该点流线上的微元线段 。由流线的定义知，
空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即即上式又可写成
kwjviuV
kzjyixL dddd
0
d d d
k j i
d
zyx
v wu LV
0dd
0dd
0dd
zuxw
ywzv
xvyu
2009-7-28 27
（ 3-15）
式（ 3-15）就是流线的微分方程，式中时间 t是个参变量。
【 例 3-3】 有一流场，其流速分布规律为,u= -ky,v=
kx,w=0，试求其流线方程。
【 解 】 由于 w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为将两个分速度代入流线微分方程（ 3-15），得到即 xdx+ydy=0
积分上式得到 x2+y2=c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
),,,(
d
),,,(
d
),,,(
d
tzyxw
z
tzyxv
y
tzyxu
x
v
y
u
x dd?
x
y
y
x
k
d
k
d?
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三、流管、流束和总流在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。
如 图 3-4所示。因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出 (由于流线不能相交 )。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。
过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。当流束的横截面积趋近于零时，则流束达到它的极限 —— 流线。
在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面,如图 3-5所示。有效截面面积为无限小的流束
2009-7-28 29
和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的。
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流流动分为三类：
（ 1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（ 2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
（ 3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。
在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度称为湿周，用符号 χ表示。
2009-7-28 30
图 3-4 流管和流束
2009-7-28 31
图 3-5 有效截面
2009-7-28 32
总流的有效截面面积与湿周之比称为水力半径，用符号 Rh
表示，即关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道和管束的水力计算中常常用到。
四、流量和平均流速单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，
以 qv表示。其单位为 m3/s,m3/h等。
单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量,以
qm表示，其单位为 kg/s,t/h等。
由于微元流束有效截面上各点的流速 V是相等的，所以通过微元流束有效截面积为的体积流量 dqv和质量流量
dqm分别为,dqv=VdA (3-16)
dqm=ρVdA (3-17)
AR
h?
2009-7-28 33
由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束有效截面面积为的流体体积流量和质量流量分别由式 (3-
16)和式 (3-17)积分求得，即
(3-18)
(3-19)
以上计算必须先找出微元流束的速度 V在整个流束有效截面上的分布规律，这在大部分工程问题中是不能用解析法来确定的。在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
A
V AVq d
A
m AVq d?
2009-7-28 34
若以表示平均流速，按其定义可得：
(3-20)
(3-21)
五、一维、二维和三维流动一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是 x,y、
z三个坐标的函数，在流体力学中又称这种流动为三维流动。当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其流动参数在某些情况下，仅是 x,y两个坐标的函数，称这种流动为二维流动。是一个坐标的函数的流动，称为一维流动。
如 图 3-6所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点运动参数，如速度，即是半径 r的函数，又是沿轴
AVAVAVq
A AV
dd
A
qV V?
2009-7-28 35
图 3-6 管内流动速度分布
2009-7-28 36
线距离的函数，即,u=u (r,x)。显然这是二元流动问题。
工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值
u。就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种流动就叫一维流动，即,u=u (x)。
如 图 3-7所示的绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速度为例，可写成：
如 图 3-8所示的绕有限宽翼展的流动就是三维流动，三维流动的参数以速度为例，可写成：
六、均匀流和非均匀流根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同，
可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，
j ),(i ),( xxvyxuV
kzyxwzyxvzyxuV ),,(j ),,(i ),,(
2009-7-28 37
图 3-7 绕无限翼展的流动
2009-7-28 38
图 3-8绕有限翼展的流动
2009-7-28 39
否则称为非均匀流。由此定义可知在均匀流中，流线是彼此平行的直线，过水断面（有效截面）是平面。如在等直径的直管道内的水流都是均匀流 (图 3-9)。 注意在均匀流中各流线上的流速大小不定彼此相等．在非均匀流中，流线或者是不平行的直线，或者是曲线，如 图 3-10所示。一般非均匀流的过水断面（有效截面）是曲面。
非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓、急程度又可分为缓（渐）变流和急变流两种 （图 3-11） 。流速的大小和方向沿流线逐渐改变的非均匀流，称为缓（渐）
变流。显然，缓（渐）变流的流线的曲率半径 r较大，流线之间的夹角 β较小。因此，缓（渐）变流是一种流线几乎平行又近似直线的流动，其极限情况就是均匀流。缓
（渐）变流的有效截面可看作平面，但是缓（渐）变流各个过水断面的形状和大小是沿程逐渐改变的，各个过水断面上的流速分布图形也是沿程逐渐改变的。流速的大小和
2009-7-28 40
方向沿流线急剧变化的非均匀流，称为急变流。显然其流线之间的夹角较大，或者流线曲率半径较小，或者两者兼而有之。
2009-7-28 41
图 3-9 均匀流
2009-7-28 42
图 3-10 非均匀流
2009-7-28 43
急变流 缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流图 3-11 缓变流和急变流
2009-7-28 44
第三节 流体流动的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。
在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。
2009-7-28 45
一、直角坐标系下连续性微分方程式设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为
dx,dy和 dz，如 图 3-12所示。
假设微元平行六面体形心的坐标为 x,y,z，在某一瞬时 t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为 u,v,w，
流体的密度为 ρ。现讨论流体经六面体各面的流动情况。
先分析 x轴方向，由式 (3-4)和式 (3-5)可知,u和 ρ都是坐标和时间的连续函数，即 u=u (x,y,z,t)和 ρ = ρ (x，
y,z,t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在 d时间内，沿轴方向从左边微元面积 dydz流入的流体质量为
2009-7-28 46
图 3-12 流场中的微元平行六面体
2009-7-28 47
同理可得在 dt时间内从右边微元面积 dydz流出的流体质量为
(3-22)
上述两者之差为在 dt时间内沿 x轴方向流体质量的变化，
即
(3-23)
tzytzyxxutzyxx ddd,,,2d,,,2d
tzy
x
t
u
u
x
t
tzy
x
t
u
tzyxu
x
t
tzyx
ddd
2
d
2
d
ddd
2
d
),,,(
2
d
),,,(
tzyxtuuxt ddd2d2d?
tzyxuxtzyxxuxxu dddd)(ddddd
2009-7-28 48
同理可得，在 dt时间内沿 y轴和 z轴方向流体质量的变化分别为：
因此，在 dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
(3-24)
由于流体是作为连续介质来研究的，所以式 (3-24)所表示的六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此式 (3-24)应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。
设开始瞬时流体的密度为 ρ，经过 dt时间后的密度为
tzyxvy dddd)( tzyxwz dddd)(
tzyx
z
w
y
v
x
u dddd
ttttzyx d)d,,,(
2009-7-28 49
则可求出在 dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为
(3-25)
根据连续性条件，式 (3-24)和式 (3-25)应相等，经简化得到
(3-26)
式（ 3-26）为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。
若流体是定常流动，则,上式成为
(3-27)
式（ 3-27）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。
若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动 ρ均
tzyxtzyxzyxtt ddddddddddd
0?
z
w
y
v
x
u
t
0t?
0?
z
w
y
v
x
u
2009-7-28 50
为常数，故式 (3-27)成为
(3-28)
式（ 3-28）为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。
它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。
在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这种流动的流动参数（如速度、压强）只沿 x,y两个坐标轴方向发生变化，则式
（ 3-28）可以写成
(3-29)
由于在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适用的。
0 zwyvxu
0 yvxu
2009-7-28 51
二、微元流束和总流的连续性方程在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题，所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的变化，
而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一微元流束 (图 3-13)。 假定流体的运动是连续的、定常的，则微元流管的形状不随时间而改变。又根据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即
ρ1V1dA1= ρ2V2dA2= ρVdA=常数 （ 3-30）
式中 dA1,dA2— 分别为 1,2两个有效截面的面积,m2；
2009-7-28 52
图 3-13 流场中的微元流束
2009-7-28 53
V1,V2— 分别为 dA1和 dA2上的流速，也称为真实流速,m/s；
ρ1,ρ2— 分别为和处的流体密度,kg/m3。
对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对式（ 3-30）进行积分得
（ 3-31）
式中 A1 和 A2— 分别为总流 1和 2两个有效截面的面积,m2。
式（ 3-31）为一维流动积分形式总流的连续性方程。
设 和 是总流两个有效截面 l和 2上的平均流速，则式
（ 3-31）可写成
(3-32)
常数
AAA
AVAVAV ddd
21
222111
1V 2V
222111 AVAV
2009-7-28 54
式中 ρ1和 ρ2— 分别代表截面和上的平均密度,kg/m3。
式（ 3-32）表示当流动为可压缩流体定常流体动时，
沿流动方向的质量流量为一个常数。
对不可压缩均质流体常数，则式（ 3-32）成为
(3-33)
式（ 3-33）为不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程。该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。
2211 AVAV?
2009-7-28 55
【 例 3-4】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为） U=3（ x+y3),v=4y+z2,w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。
【 解 】 根据式（ 3-28）
所以故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的
3xu 4yv 2?
z
w
09 zwyvxu
2009-7-28 56
【 例 3-5】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为 u=x2siny,v=2xcosy，试分析该流动是否连续。
【 解 】 根据式（ 3-29）
所以故此流动是连续的。
yxxu sin2 yx
y
v s i n2
0)s i n2(s i n2 yxyxyvxu
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【 例 3-6】 有一输水管道，如 图 3-14所示。水自截面
1-1流向截面 2-2。测得截面 1-1的水流平均流速 m/s，
已知 d1=0.5m,d2=1m，试求截面 2-2处的平均流速 为多少？
【 解 】 由式（ 3-33）得
(m/s)
2?V
2V
2
22
2
11 44 dVdV
5.0
1
5.02 2
2
2
1
12
d
dVV
2009-7-28 58
图 3-14 输水管道
2009-7-28 59
第四节 理想流体的运动微分方程在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为 dx,dy和 dz，如 图 3-15所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为 x,y,z，压强为 p。
先分析 x方向的运动，在垂直于 x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的
2
d x
x
pp
2
d x
x
pp
2009-7-28 60
图 3-15 推导欧拉运动微分方程用图
2009-7-28 61
平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为
fx,fy和 fz,则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在轴方向的分量为 fxρ dxdydz
又流体微团的加速度在 x轴上的投影为,则根据牛顿第二定律得 x轴方向的运动微分方程将上式各项除以流体微团的流体质量 ρ dxdydz,化简后得：
同理
(3-34)
Dt
Du
Dt
Duzyxzyx
x
ppzyx
x
ppzyxf
x ddddd2
ddd
2
dddd
Dt
Du
x
pf
x
1
Dt
Dv
y
pf
y
1
Dt
Dw
z
pf
z
1
2009-7-28 62
这就是理想流体的运动微分方程，早在 1755年就为。
对于静止的流体 u=v=w=0，则由式（ 3-34）可以直接得出流体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式（ 2-3）。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。
如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方程写成如下形式
(3-35)
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
z
p
f
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
y
p
f
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
x
p
f
z
y
x
1
1
1
2009-7-28 63
在一般情况下，作用在流体上的质量力 fx,fy和 fz 是已知的，对理想不可压缩流体其密度 ρ为一常数。在这种情况下，式（ 3-35）中有四个未知数 u,v,w和 p，而式
（ 3-35）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程（ 3-28），就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。
2009-7-28 64
第五节 理想流体微元流束的伯努利方程一、理想流体微元流束的伯努利方程理想流体的运动微分方程（ 3-35）只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的定常流动；
(2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；
(3)质量力只有重力。
即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。
假定流体是定常流动，则有
，
0 t? 0 zwyvxu
2009-7-28 65
因此式 (3-35)可写成
(3-36)
假如流体微团沿流线的微小位移 ds在三个坐标轴上的投影为 dx,dy和 dz。现用 dx,dy和 dz分别乘以式（ 3-36）的第一式、第二式和第三式，则可得到
z
w
w
y
w
v
x
w
u
z
p
f
z
v
w
y
v
v
x
v
u
y
p
f
z
u
w
y
u
v
x
u
u
x
p
f
z
y
x
1
1
1
2009-7-28 66
(3-37)
由流线微分方程 （ 3-15） 有
udy=vdx
ydz=wdy (3-38)
wdx=udz
将式（ 3-38）代入式（ 3-37）中的对应项，则得
z
z
w
wz
y
w
vz
x
w
uz
z
p
zf
y
z
v
wy
y
v
vy
x
v
uy
y
p
yf
x
z
u
wx
y
u
vx
x
u
ux
x
p
xf
z
y
x
dddd
1
d
dddd
1
d
dddd
1
d
2009-7-28 67
(3-39)
将式（ 3-39）的三个方程相加，得到
(3-40)
由于式（ 3-40）中的 dx,dy和 dz是流体微团沿流线微小位移 ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。
wwz
z
w
wy
y
w
wx
x
w
wz
z
p
zf
vvz
z
v
vy
y
v
vx
x
v
vy
y
p
yf
uuz
z
u
uy
y
u
ux
x
u
ux
x
p
xf
z
y
x
ddddd
1
d
ddddd
1
d
ddddd
1
d
wwvvuu
z
z
p
y
y
p
x
x
p
zfyfxf zyx
ddd
ddd
1
)ddd(
2009-7-28 68
式（ 3-40)中的假设质量力只有重力,fx=0,fy=0,fz=-g，即 z轴垂直向上，
oxy为水平面。则式 (3-40)可写成又假设为不可压缩均质流体，即 ρ=常数，积分后得或
(3-41)
式（ 3-41）称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围
pzzpyypxxp dddd
2222 d
2
1)(d
2
1ddd Vwvuwwvvuu
0d21d1d 2 Vpzg?
常数 2
2Vp
gz?
常数 gVgpz 2
2
2009-7-28 69
是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若 1,2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（ 3-41）也可写成
(3-42)
在特殊情况下，绝对静止流体 V=0，由式 (3-41)可以得到静力学基本方程二、方程的物理意义和几何意义为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。
1、物理意义理想流体微元流束的伯努利方程式（ 3-41）中，左端
g
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
22
2
2
11
1
常数
g
pz
2009-7-28 70
前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即第一项 z表示单位重量流体所具有的位势能；第二项 p/(ρg)表示单位重量流体的压强势能；第三项 V2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为 m的物体以速度 V运动时，所具有的动能为
Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为 V2/(2g)即
(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。
2009-7-28 71
2、几何意义图理想流体微元流束的伯努利方程式（ 3-41）中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项
z表示单位重量流体的位置水头，第二项 p/(ρg)表示单位重量流体的压强水头，第三项 V2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度 V，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如 图 3-16所示。
因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线 (或微元流束 )上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。
2009-7-28 72
图 3-16 总水头线和静水头线
2009-7-28 73
第六节 伯努利（ Bernoulli）方程的应用理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算，下面以应用最广泛的皮托管和文特里流量计为例，介绍它们的测量原理和伯努利方程的应用。
一、皮托管在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，
要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如 图 3-17所示。
在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端
2009-7-28 74
VB A
Z Z
图 3-17 皮托管测速原理
2009-7-28 75
开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高 h。这是由于当液流流到测速管入口前的 A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点 A。驻点 A的压强 PA
称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如 B点）
的液体压强为 PB，速度为 V。应用伯努利方程于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有则
(3-43)
02
2
gpzgVgpz AB
g
V
g
p
g
ph BA
2
2
ghppv BA 22
2009-7-28 76
式（ 3-43）表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值 h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，
以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用式 (3-43)计算出的要小，因此，实际流速为
(3-44)
式中 ψ— 流速修正系数，一般由实验确定,ψ =0.97。
如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如 图 3-18所示，则用式 (3-43)，则得
（ 3-45）
ghV 2
)( 液液 ghpp BA
122
液液液液 ghhgV
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图 3-18 用皮托管和静压管测量气体流速
2009-7-28 78
考虑到实际情况，
(3-45a)
在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托 — 静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管，
其示意图如 图 3-19所示。图中 1点为总压测点,2点为静压测点，将总静压孔的通路分别连接于差压计的两端，则差压计的指示为总压和静压的差值，从而可由式 (3-43)求得测点的流速。皮托 -静压管的构造尺寸及使用时的连接方式如 图 3-20所示。
12
液液ghV
2009-7-28 79
图 3-19 皮托 -静压管
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图 3-20 皮托 -静压管构造及连接方式
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二、文特里 (Venturi)流量计文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如 图 3-21所示。
它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。
以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面 1-1,2-2的伯努利方程
(3-46)
由一维流动连续性方程
(3-47)
g
V
g
p
g
V
g
p
2020
2
22
2
11
2
1
2
1 VA
AV?
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图 3-21 文特里流量计原理图
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将式 (3-47)代入到式 (3-46)，整理得
(3-48)
由流体静力学
(3-49)
将式 (3-49)代入到式 (3-48)，则
(3-50)
式 (3-50)表明，若 ρ液,ρ,A2,A1已知，只要测量出
h液,就可以确定流体的速度。流量为：
(3-51)
])/(1[
)(2
2
12
21
2 AA
ppV
液液 ghpp )(21
])/(1[
)(2
2
12
2 AA
hgV
液液
])/(1[
)(2
4 212
2
222 AA
hgdVAq
V?
液液
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考虑到实际情况
(3-52)
式中 Cd为流量系数，通过实验测定。
文特里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔板，喷嘴等，其基本原理与文特里流量计基本相同，不再叙述。
三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速 (或流量 )和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点：
(1) 弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流
])/(1[
)(2
4 212
2
2 AA
hgdCqCq
dVdV?
液液实
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动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。
(2) 选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器，
有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，
因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面，
速度可以视为零来处理。
(3) 选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。
(4) 求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的 p1和 p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强,p1和 p2的问题与静力学中的处理完
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全相同。
(5) 有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上Ａ点的压强，又取同一有效截面上另一点Ｂ的速度。
【 例 3-7】 有一贮水装置如 图 3-22所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为 2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是 0.6个大气压强，试求当水管直径 d=12cm时，通过出口的体积流量
(不计流动损失 )。
【 解 】 当阀门全开时列 1-l,2-2截面的伯努利方程当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本
g
V
g
pp
g
pH aaa
2
6.000 22
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方程求出Ｈ值则代入到上式
（ m/s）
所以管内流量
（ m3/s）
aaa ppgHp 8.2
O)( m H289806 9 8 0 6 08.28.2 2 gpH a?
78.209 8 0 69 8 0 6 06.08.28 0 6.926.022
g
pHgV a
2 3 5.078.2012.07 8 5.04 222 Vdq V?
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图 3-22
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【 例 3-8】 水流通过如 图 3-23所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差 Δh=0.2m,h1=0.72m H2O，
管径 d1=0.1m，管嘴出口直径 d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量 qv。
【 解 】 首先计算 1-1断面管路中心的压强。因为 A-B为等压面，列等压面方程得：
则 (mH2O)
列 1-1和 2-2断面的伯努利方程
11Hg ghphg
1Hg1 ghhgp
272.02.06.131Hg1 hh
g
p
g
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
22
2
2
11
1
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由连续性方程：
将已知数据代入上式，得
（ m/s）
管中流量
（ m3/s）
2
1
2
21
d
dVV
g
V
g
V
2015216
1220 2222
1.1215 1676.192V
024.01.1205.044 2222 Vdq V
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图 3-23
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第七节 定常流动的动量方程和动量矩方程在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，
动量定理都能适用。
一、定常流动的动量方程将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量的时
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间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即设不可压缩流体在管中作定常流动，如 图 3-24所示。
取有效截面 1-1和 2-2之间的流段作为研究对象，两截面上的平均流速分别和，流段在质量力、两截面上的压强和管壁的作用力的作用下，经过 dt时间后从位置 1-2流到 1’-2’。
与此同时，流段的动量发生了变化，其变化等于流段在 1’-
2’和 1-2位置时的动量之差。由于定常流动中流管内各空间点的流速不随时间变化，因此 1’-2这部分流体（图中阴影部分）的动量没有改变。于是在 dt时间内流段的动量变化就等于 2- 2’段的动量和 1- 1’段的动量之差。
(3-53)
t VmVmF 12
12 dd)(d VtqVtqVm VV
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图 3-24 推导动量方程用图
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由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数 β
加以修正。根据实验测定值约为 1.02～ 1.05，近似于 l，所以为计算方便，在工程计算中通常取 β ＝ 1。于是上式可改写成
(3-54)
根据不可压流体一维流动总流的连续性方程，流过截面 1-1的流量和流过截面 2-2的流量相等，即或 （ 3-55）
方程 (3-55)就是不可压缩流体定常流动的动量方程
111222 dd)(d VtqVtqVm VV
VVV qqq 21
tFVmVVtq V d)(d)(d 1122
FVVq V )( 1122
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把上式写成分量形式为
(3-56)
管流的定常动量方程常用于求解作用在管道上的动水反力等问题。由式 (3-56)可知，在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管壁的作用力。由于动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较方便。应用时应注意，适当地选择控制面，完整地表达出控制体和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。
zV
yV
xV
Fwwq
Fvvq
Fuuq
)(
)(
)(
1122
1122
1122
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二、动量方程应用举例
【 例 3-9】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，
弯管两端与等直径管相连接处的断面 1-1上压力表读数
p1=17.6× 104Pa，管中流量 qv=0.1m3/s，若直径 d1=300㎜,
d2=200㎜,转角 Θ=600，如 图 3-25所示。求水对弯管作用力 F的大小
【 解 】 水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力
F。而 F与管壁对水的反作用力 R平衡。管道水平放置在
xoy面上，将 R分解成 Rx和 Ry两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，
坐标按图示方向设置。
1.根据连续性方程可求得：
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图 3-25
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(m/s)
(m/s)
2.列管道进、出口的伯努利方程则得：
(Pa)
42.1
3.0
41.0
4
2
2
1
1
d
q
v V
18.3
2.0
41.0
4
2
2
2
2
d
q
v V
g
v
g
p
g
v
g
p
22
2
22
2
11
2/)( 222112 vvpp
2/)18.342.1(1 0 0 0106.17 223
3102.17
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3.所取控制体受力分析进、出口控制面上得总压力：
（ kN）
（ kN）
壁面对控制体内水的反力 Rx,Ry，其方向先假定如图
(3-25)所示。
4.写出动量方程选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。
沿 x轴方向
43.123.04106.17 23111ApP
40.52.04102.17 23222ApP
)c o s(c o s 1221 vvqRPP Vx
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则
（ kN）
沿 y轴方向
（ kN）
管壁对水的反作用力
(kN)
水流对弯管的作用力 F与 R大小相等，方向相反。
三、定常流动的动量矩方程应用动量方程可以确定液流与边界之间总作用力的大小和方向，但不能给出作用力的位置。如要确定其位置，
c o s)c o s( 1212 PPvvqR Vx
5 6 8.060c o s43.1240.5)60c o s42.118.3(1.0
)s i n0(s i n 11 vqRP Vy
sinsin 11 vqPR Vy
88.1060s i n42.11.060s i n43.12
89.1088.10)568.0( 2222 yx RRR
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可参照力矩平衡方程求合力作用点的方法，用动量矩方程求得。水流通过水轮机或水泵等流体机械时是在叶片所形成的通道内，这时水流与叶片之间有力的作用，受水流作用的转轮叶片本身又绕一固定轴转动，在分析这类流动时也需要了解水流的动量矩变化与外力矩之间的关系。
在一般力学中，一个物体单位时间内对转动轴的动量矩的变化，等于作用于此物体上所有外力对同一轴的力矩之和，这就是动量矩定理。下面以水流通过泵叶轮的流动情况为例来进行分析，所得动量矩方程也适用于一般定常流动情况。
设有一水泵的叶轮如 图 2-26所示，液流从叶轮外周进入，入流的方向与圆周切线方向成一夹角 α1，其绝对速度为 υ1；液流从内周流出，出流方向与圆周切线方向成
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图 3-26 水泵叶轮
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夹角 α2，其绝对速度为 υ2。单位时间内进入叶轮液体的动量矩为液流在圆周切线方向上的动量乘以半径，即为；
单位时间内流出转轮的动量矩为
。动量矩的差即为液流作用于叶轮的力矩
M。即
（ 3-57）
如果液流通过叶轮而获得动量矩，即式（ 3-57）的左边为负值，则系叶轮加力于液流，如离心式水泵就是这样。
式 (3-57)为定常液流运动的动量矩方程。
)c o s( 111 rvq V
)c o s( 222 rvq V
)co sco s( 222111 vrvrqM V
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第八章 液体的空化和空蚀现象一、空化（气穴）
在标准大气压强下，水在 100℃ 开始沸腾，称为汽化；
当大气压强降低时（如在高原地区），水将在低于 100℃
的温度下开始沸腾汽化。这一现象表明：作用于水的绝对压强较低时，水可在较低温度下发生汽化。水在某一温度发生汽化时的绝对压强，称为饱和蒸汽压强，用 pv表示。
由伯努利方程可知，当总水头一定时，水流中某一有效截面上的位置水头和速度水头很大时，其相应的绝对压强就低，当压强降低到空气分离压 pg时，原先以气核形式
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（肉眼看不见）溶解在液体中的气体便开始游离出来，膨胀形成小气泡；当压强继续降低到液体在该温度下的饱和压强 pv时，液体开始汽化，产生大量的小气泡。并继续产生更多的小气泡。它们将汇集成较大的气泡，泡内充满着蒸汽和游离气体。这种由于压强降低而产生气泡的现象称为空化（气穴）现象。空化现象同外界空气掺入液体中形成的气泡有本质区别，它是液体的相变（由液态转化为汽态）现象。我们常用一个无量纲数来作为判断是否发生空化的标准，称为空化系数，用 δ表示。如果发生空化处液流的绝对压强为 p、密度为 ρ、截面平均流速为 υ、液体的饱和压强为 pv，则空化系数定义为
(3-58)
2
2
1 v
pp v
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显然，液流的压强越低或液体的饱和压强越高（液温越高），空化系数越小，发生空化的可能性越大。当 δ减小到某一数值 δi时，开始出现空化，便称 δi为初生空化系数
(也称临界空化系数 )。初生空化系数的大小与液体的种类、
液体中溶解气体的多少和液体的温度等因素有关，由实验确定。
一般情况下，水中溶解的气体不超过 2％，人们常常认为当 p=pv时开始出现空化，即初生空化系数 δ i=0。因此，
像离心水泵进水口和虹吸管最高管段的压强均应高于液体在该温度下的饱和压强，以防止空化和气蚀的发生。油中溶解的气体可达 6％～ 12％，因此当 p=pg时便会出现空化，
而 pg>pv，根据实验一般要取初生空化系数 δ i= 0.4。例如，
对于油压系统中的节流孔口，当 δ>0.4时，
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不会出现空化，当 δ<=0.4时，一般便会出现节流孔口空化。
二、空蚀（气蚀）
空化产生的气泡被液流带走。当液流流到下游高压区时，气泡内的蒸汽迅速凝结，气泡突然溃灭。气泡溃灭的时间很短，只有几百分之一秒，而产生的冲击力却很大，
气泡溃灭处的局部压强高达几个甚至几十兆帕，局部温度也急剧上升。大量气泡的连续溃灭将产生强烈的噪声和振动，严重影响液体的正常流动和流体机械的正常工作；气泡连续溃灭处的固体壁面也将在这种局部压强和局部温度的反复作用下发生剥蚀，这种现象称为空蚀（气蚀）。剥蚀严重的流体机械将无法继续工作。空蚀机理是尚在研究中的问题。主要说法有二：①认为气泡突然溃灭时，周围
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的流体快速冲向气泡空间，它们的动量在极短的时间内变为零，因而产生很大的冲击力，该冲击力反复作用在壁面上，形成剥蚀；②认为气泡在高压区突然溃灭时，将产生压强冲击波，此冲击波反复作用在壁面上，形成剥蚀。很可能这两种情况都存在。
