第六章 粘性流体的一维定常流动第一节 黏性流体总流的伯努利方程第二节 黏性流体的两种流动型态第三节 流动损失分类第四节 圆管中流体的层流流动第五节 圆管中流体的紊流流动第六节 沿程阻力系数的实验研究第七节 非圆形截面管道沿程损失的计算第八节 局部损失的计算第九节 管 道 水 力 计 算第十节 水击现象在第三章中，通过对理想流体运动的基本规律的讨论，
得到了流场中任一空间点上、任一时刻流体微团的压强和速度等流动参数之间的关系式，但在推导流体微团沿流线运动的伯努利方程中，仅局限于微元流束的范围内。而在工程实际问题中要研究实际流体在整个流场中的运动，其中大量的是在管道和渠道中的流动问题。所以除了必须把所讨论的范围从微元流束扩展到整个流场（如管道）外，
还需考虑黏性对流体运动的影响，实际流体都具有黏性，
在流动过程中要产生摩擦阻力，为了克服流动阻力以维持流动，流体中将有一部分机械能不可逆地损失掉。由此可见，讨论黏性流体流动的重点就是讨论由于黏性在流动中所造成的阻力问题，即讨论阻力的性质、产生阻力的原因和计算阻力的方法。
第一节 黏性流体总流的伯努利方程一、黏性流体微元流束的伯努利方程在第三章中已经得到了理想不可压缩流体作定常流动时，质量力仅为重力情况下的微 元流束的伯努利方程，该式说明流体微团沿流线运动时总机械能不变。但是对于黏性流体，
在流动时为了克服由于黏性的存在所产生的阻力将损失掉部分机械能，因而流体微团在流 动过程中，其总机械能沿流动方向不断地减少。如果黏性流体从截面 1流向截面 2，则截面 2处的总机械能必定小于截面 1处的总机械能。若以 表示单 位重量流体自截面 1到 2的流动中所损失的机械能（又称为水头损失），则黏性流体微元流束的伯努利方程为
(6-1)
式（ 6-1）的几何解释如 图 6-1所示，实际总水头线沿微元流束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
Wh?
whg
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
22
2
2
11
1
图 6-1 伯努利方程的几何解释二、黏性流体总流的伯努利方程流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。
微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点的位置高度,压强 和流速 都可认为是相同的。而总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度,压强和流速 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。
因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时才能符合这个要求。
z
z
p
p
V
V
gpz?
由于流线几乎是平行直线，则各有效截面上相应点的流速几乎不变，成为均匀流，由于速度的变化很小即可将惯性力忽略不计，又由于流线的曲率半径很大，故向心力加速度很小，以致可将离心力忽略。于是缓变流中的流体微团只受重力和压强的作用，故缓变流的有效截面上各点的压强分布与静压强分布规律一样，即在同一有效截面上各点的 常数。当然在不同的有效截面上有不同的常数值。
掌握了缓变流动的特性之后，就可以将黏性流体微元流束的伯努利方程应用于总流，从而推导出适用于两个缓变流有效截面的黏性流体总流的伯努利方程。
gpz?
以总流中每一微元流束的任意两个截面可以写出则通过该微元流束的总能量在截面 1与截面 2之间的关系式为积分上式，则得总流在有效截面 1和有效截面 2之间的总能量关系式
（ 6-2）
whg
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
22
2
2
11
1
VwVV qghqgg
V
g
pzqg
g
V
g
pz dd
2d2
2
22
2
2
11
1
VVV q
Vw
q
V
q
V qghqgg
V
g
pzqg
g
V
g
pz dd
2
d
2
2
22
2
2
11
1
若有效截面 1和有效截面 2处的流动都是缓变流动，则和,和 是两个不同的常数，于是式（ 6-2）可写成
（ 6-3）
对于不可压缩流体，以 通除式（ 6-3）各项得
（ 6-4）
用有效截面上的平均流速 代替真实流速,则可将式（ 6-
4）中总流的平均单位重量 流体的动能项改写为
（ 6-5）
式中 — 总流的动能修正系数
（ 6-6）
111 Cg
pz
222 Cg
pz
1C 2
C
VVVVV q
Vw
q
V
q
V
q
V
q
V qghqgg
Vqg
g
pzqg
g
Vqg
g
pz dd
2dd2d
2
22
2
2
11
1
Vq
VV gqqg d
VVV q
Vw
Vq
V
Vq
V
V
qhqqgVqgpzqgVqgpz d1d21d21
2
22
2
2
11
1
V V
Vq AA
V
V g
VA
g
V
V
V
AAVg
V
VAqg
V
q 2d2
1d
2
1d
2
1 223222?
A
AVVA d1
3
以 表示总流有效截面 1和有效截面 2之间的平均单位重量流体的能量损失，即
（ 6-7）
将式（ 6-5）和式（ 6-7）代人式（ 6-4）中得：
（ 6-8）
这就是黏性流体总流的伯努利方程。适用范围是：重力作用下不可压缩黏性流体定常流动的任意两个缓变流的有效截面，至于两个有效截面之间是否是缓变流则无关系。由式 (6-8)可以看出，如同黏性流体沿微元流束的流动情况一样，为了克服流动阻力，总流的总机械能即实际总水头线也是沿流线方向逐渐减少的，如图 6-2所示。
Wh
Vq
V
V
qhqh d1 WW
whg
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
图 6-2 总流总水头线动能修正系数 是由于截面上速度分布不均匀而引起的，
它可按式（ 6-6）根据有效截面上的速度分布规律而求得。
是个大于 1的数，有效截面上的流速越均匀,值越趋近于
1。在实际工业管道中，通常都近似地取 。以后如不加特别说明，都假定,并以 代表平均流速。而对于圆管层流流动 。
0.1
1
2
V
【 例 6-1】 有一文丘里管如图 6-3所示，若水银差压计的指示为 360mmHg，并设从截面 A流到截面 B的水头损失为 0.2mH2O，
=300mm,=150mm，
试求此时通过文丘里管的流量是多少?
图 6-3 文丘里管
Ad Bd
【 解 】 以截面 A为基准面列出截面 A和 B的伯努利方程由此得
（ a）
由连续性方程所以
（ b）
w
2
BB
2
AA
276.020 hg
V
g
p
g
V
g
p
2.076.022
2
A
2
BBA
g
V
g
V
g
p
g
p
BBAA AVAV?
2
A
B
B
A
B
BA
d
dV
A
AVV
水银差压计 1— 1为等压面，则有由上式可得
（ c）
将式（ b）和式（ c）代入（ a）中解得
（ m/s）
（ m3/s）
ggzpgzp HgBA 36.076.036.0 ）（）（
）（ Om m H3.59 8 0 61 3 3 4 0 036.040.0g36.036.076.0 2HgBA ggpgp
96.0123.5
42
A
BB
d
d
g
V
53.9
3 0 0
1 5 0
1
)96.03.5(8 0 6.92
1
)96.03.5(2
44
A
B
B?
d
d
g
V
168.015.0453.94 22BB dVq V
【 例 6-2】 有一离心水泵装置如图 6-4所示。已知该泵的输水量 m3/h，吸水管内径 150mm，吸水管路的总水头损失
mH2O，水泵入口
2— 2处，真空表读数为
450mmHg，若吸水池的面积足够大，试求此时泵的吸水高度 为多少?
60?Vq
d
5.0w?h
gh
图 6-4 离心泵装置示意图
【 解 】 选取吸水池液面 l— 1和泵进口截面 2— 2这两个缓变流截面列伯努利方程，并以 1— 1为基准面，则得因为吸水池面积足够大，故 。且
（ m/s）
为泵吸水口截面 2— 2处的绝对压强，其值为将和值代入上式可得
（ mH2O）
w
2
22
2
1a
220 hg
V
g
ph
g
V
g
p
g
01?V
94.015.014.33 6 0 0 6044 222 dqV V?
45.01 3 3 0 0 02 app
2p
w
2
2
2
45.01 3 3 0 0 0 h
g
V
gh g
5.08 0 6.92 94.09 8 0 6 45.01 3 3 0 0 0
2
56.5?
第二节 黏性流体的两种流动型态从上节式（ 6-8）的黏性流体总流的伯努利方程可以看出，要想应用此关系式计算有关工程实际问题，必须计算能量损失 项，
由于流体流动的能量损失与流动状态有很大关系，因此，我们首先讨论黏性流体流型。
wh
wh
黏性流体的流动存在着两种不同的流型，即层流和紊流，这两种流动型态由英国物理学家雷诺（ Reynolds）在 1883年通过他的实验（即著名的雷诺实验）大量观察了各种不同直径玻璃管中的水流，总结说明了这两种流动状态。
一、雷诺实验雷诺实验装臵如图 6-5所示。实验的步骤如下：
(1) 首先将水箱 A注满水，并利用溢水管 H保持水箱中的水位恒定，然后微微打开玻璃管末端的调节阀 C，水流以很小速度沿玻璃管流出。再打开颜色水瓶
D上的小阀 K，使颜色水沿细管 E流入玻璃管 B中。当玻璃管中水流速度保持很小时，看到管中颜色水呈明显的直线形状，不与周围的水流相混。这说明在低速流动中，水流质点完全沿着管轴方向直线运动，这种流动状态称为层流，
如图 6-6(a)所示。
图 6-5 雷诺实验 图 6-6 层流、紊流及过渡状态
(2) 调节阀 C逐渐开大，水流速度增大到某一数值时颜色水的直线流将开始振荡，发生弯曲，如图 6-6(b)所示。
(3) 再开大调节阀 C，当水流速度增大到一定程度时，弯曲颜色水流破裂成一种非常紊乱的状态，颜色水从细管 E流出，经很短一段距离后便与周围的水流相混，扩散至整个玻璃管内，如图
6-6(c)所示。这说明水流质点在沿着管轴方向流动过程中，同时还互相掺混，作复杂的无规则的运动，这种流动状态称为紊流（或湍流）。
如果将调节阀 C逐渐关小，水流速度逐渐减小，则开始时玻璃管内仍为紊流，当水流速度减小到另一数值时，流体又会变成层流，
颜色水又呈一明显的直线。但是，由紊流转变为层流时的流速要比由层流转变为紊流时的流速小一些。我们把流动状态转化时的流速称为临界流速，由层流转变为紊流时的流速称为上临界流速，
以
cV?
cV
cc VV
cV?
cV cc VV
以 表示。则 表示。由紊流转变为层流时的流速称为下临界速，
雷诺实验表明：①当流速大于上临界流速时为紊流；当流速小于下临界流速时为层流；当流速介于上、下临界流速之间时，可能是层流也可能是紊流，这与实验的起始状态、有无扰动等因素有关，不过实践证明，是紊流的可能性更多些。②在相同的玻璃管径下用不同的液体进行实验，所测得的临界流速也不同，黏性大的液体临界流速也大；若用相同的液体在不同玻璃管径下进行试验，所测得的临界流速也不同，管径大的临界流速反而小。
二、雷诺数综上可知，流体的流动状态是层流还是紊流，与流速、管径和流体的黏性等物理性质有关。雷诺根据大量的实验数据证明，
流体的临界流速
cV?
d?
dVc?
他引出一个比例系数
cRe
dRedReV ccc
或
dVRe c
c?
（ 6-9）
这个比例系数
cRe
与流体的动力黏度 成正比，与管内径 和流体的密度 成反比，即
，上式可写成等式称为临界雷诺数，是一个无量纲数。
经过雷诺实验和他以后的许多学者如席勒（ Ludwig Schiller）
的精密实验结果指明，对于非常光滑、均匀一致的直圆管，下临界雷诺数 等于 2320。但对于一般程度的粗糙壁管 值稍低，
约为 2000，所以在工业管道中通常取下临界雷诺数 。上临界雷诺数 不易测得其精确数值，一般取为 13800。于是得
cRe c
Re
2 0 0 0?cRe
ceR?
2 0 0 0 dVRe cc
1 3 8 0 0 dVeR cc
无数实验证明，不管流速多少、管内径多大、也不管流体的运动黏度如何，只要雷诺数相等，它们的流动状态就相似。所以雷诺数是判别流体流动状态的准则数，即：
当流体流动的雷诺数 时，流动状态为层流；当时,
则为紊流；当 时，流动状态可能是层流，也可能是紊流，处于极不稳定的状态，任意微小扰动都能破坏稳定，变为紊流。
显然，上临界雷诺数在工程上一般没有实用意义，故通常都采用下临界雷诺数 作为判别流动状态是层流或紊流的准则数。
即：
cc eRReRe
cReRe? ceRRe
cRe
VdRe?
VdRe?
≤2000
>2000
是层流是紊流工程中实际流体（如水、空气、蒸汽等）的流动，几乎都是紊流，
只有黏性较大的液体（如石油、润滑油、重油等）在低速流动中，
才会出现层流。
流体在任意形状截面的管道中流动时，雷诺数的形式是
eVdRe? (6-10)
式中
ed
雷诺数之所以能作判别层流和紊流的标准，可根据雷诺数的物理意义来解释。黏性流体流动时受到惯性力和黏性力的作用，这两个力用量纲可分别表示为
22 lV
dt
dVm
VlAdydV
黏性力惯性力
Vl
lVVl
22Re
为当量直径。
惯性力黏性力由此可知雷诺数是惯性力与黏性力的比值。
雷诺数的大小表示了流体在流动过程中惯性力和黏性力哪个起主导作用。雷诺数小，表示黏性力起主导作用，流体质点受黏性的约束，处于层流状态；雷诺数大表示惯性力起主导作用，
黏性不足以约束流体质点的紊乱运动，流动便处于紊流状态。
三、能量损失与平均流速的关系如果将两根测压管接在雷诺实验装臵中玻璃管 B的前后两端，如图 6-7所示，可测出有效截面 1-1和 2-2间的能量损失，并找出管中平均流速与能量损失之间的关系。
列截面 1-1和 2-2的伯努利方程
f
2
2222
2
1111
22 hg
V
g
pz
g
V
g
pz
由于玻璃管是等截面管，所以,
21 VV? 21
21 zz?
g
pph
f?
21
可见，测压管中的水柱高差即为有效截面 1-1和 2-2间的压头损失。
并令,另外玻璃管是水平放臵的，即,于是上式可写成将测得的平均流速和相应的压头损失，在对数坐标上表示出，如图
4-8所 示。先做层流到紊流的试验，当流速逐渐增加时,与成正比增大，如图中的 OAB直线。当流速增加到一定程度时层流变为紊流,突然从 B点上升到 C点。以后再增大流速时,要比 增加得快，如图中的 CD线，其斜率比 OAB线的斜率大，此后若将流速逐渐减小，则 与 的关系曲线沿 DCAO线下降。 A点和 B点各为相应的下临界流速 和上临界流速,ABC为过渡区。
fh V
fh fh
V
fh V
cV c
V?
图 6-7 水平等直管道中水头损失 图 6-8 层流和紊流的与的关系曲线由实验所得的图 6-8可知，当 时，即层流时,与的一次方成正比；当 时，即紊流时,与 成正比。
值与管壁粗糙度有关：对于管壁非常光滑的管道 ；对于管壁粗糙的管道,所以紊流中的压头损失比层流中的要大。
cVV? fh V
cVV fh mV
m
75.1?m
2?m
从上述讨论可以得出，流型不同，其能量损失与速度之间的关系差别很大，因此，在计算管道内的能量损失时，必须首先判别其流态（层流，紊流），然后根据所确定的流态选择不同的计算方法。
【 例 6-3】 管道直径 100mm，输送水的流量 m3/s，
水的运动黏度 m2/s，求水在管中的流动状态？若输送 m2/s的石油，保持前一种情况下的流速不变，流动又是什么状态？
d 01.0?Vq
6101
41014.1
【 解 】 （ 1）雷诺数
Vd?Re
27.11.014.3 01.044 22 dqV V?
2 0 0 01027.1101 1.027.1Re 56
（ m/s）
故水在管道中是紊流状态。
（ 2）
2 0 0 01 1 1 41014.1 1.027.1Re 4Vd
故油在管中是层流状态。
第三节 流动损失分类实际流体在管内流动时，由于黏性的存在，总要产生能量损失。
产生能量损失的原因和影响因素很复杂，通常可包括黏性阻力造成的黏性损失
fh
jh
一、沿程阻力与沿程损失黏性流体在管道中流动时，流体与管壁面以及流体之间存在摩擦力，所以沿着流动路程，流体流动时总是受到摩擦力的阻滞，这种沿流程的摩擦阻力，称为沿程阻力。流体流动克服沿程阻力而损失的能量，就称为沿程损失。沿程损失是发生在缓变流整个流程中的能量损失，它的大小与流过的管道长度成正比。造成沿程损失的原因是流体的黏性，因而这种损失的大小与流体的流动状态（层流或紊流）
有密切关系。
两部分。
和局部阻力造成的局部损失单位重量流体的沿程损失称为沿程水头损失，以 表示，单位体积流体的沿程损失，又称为沿程压强损失，以 表示 。
fh
fp?
ff ghp
在管道流动中的沿程损失可用下式求得
g
V
d
lh
2
2
f
2
2
f
V
d
lp
(6-11)
(6-11a)
式中?
l
d
V
— 沿程阻力系数，它与雷诺数和管壁粗糙度有关，是一个无量纲的系数，将在本章第六节进行讨论；
式（ 6-11）称为达西 -威斯巴赫（ Darcy-Weisbach）公式。
— 管道长度,m；
— 管道内径,m；
— 管道中有效截面上的平均流速,m/s。
二、局部阻力与局部损失在管道系统中通常装有阀门、弯管、变截面管等局部装臵。流体流经这些局部装臵时流速将重新分布，流体质点与质点及与局部装臵之间发生碰撞、产生漩涡，使流体的流动受到阻碍，
由于这种阻碍是发生在局部的急变流动区段，所以称为局部阻力。流体为克服局部阻力所损失的能量，称为局部损失。
单位重量流体的局部损失称为局部水头损失，以 表示，单位体积流体的局部损失，又称为局部压强损失，以 表示 。
jh
jp?
jj ghp
在管道流动中局部损失可用下式求得
g
Vh
j 2
2
2
2Vp
f
(6-12)
(6-12a)
式中 — 局部阻力系数。
局部阻力系数 是一个无量纲的系数，根据不同的局部装臵由实验确定。在本章第八节进行讨论。
三、总阻力与总能量损失在工程实际中，绝大多数管道系统是由许多等直管段和一些管道附件连接在一起所组成的，所以在一个管道系统中，既有沿程损失又有局部损失。我们把沿程阻力和局部阻力二者之和称为总阻力，沿程损失和局部损失二者之和称为总能量损失。总能量损失应等于各段沿程损失和局部损失的总和，即
jfw hhh
jfww ppghp?
(6-13)
(6-13a)
上述公式称为能量损失的叠加原理。
第四节 圆管中流体的层流流动黏性流体在圆形管道中作层流流动时，由于黏性的作用，在管壁上流体质点的流速等于零，随着流层离开管壁接近管轴时，流速逐渐增加，至圆管的中心流速达到最大值。本节讨论流体在等直径圆管中作定常层流流动时，在其有效截面上切应力和流速的分布规律。
一、数学模型图 6-9 等直径圆管中的定常层流流动流体在等直径圆管中作定常层流流动时，取半径为,长度为 的流段 1-2为分析对象，如图 6-9所示。作用在流段
1— 2上的力有：截面 1-1和 2-2上的总压力 和,
在这里是假设截面 1-1和 2-2上的压强分布是均匀的；流段 1-2
的重力 ；作用在流段侧面上的总摩擦力,
方向与流动方向相反。
r
l
ApP 11? ApP 22?
gAlGrlT 2?
图 6-9 等直径圆管中的定常层流流动由于流体在等直径圆管中作定常流动时加速度为零，故不产生惯性力。根据平衡条件，写出作用在所取流段上各力在流动轴线上的平衡方程：
0s i n221 g A lrlApAp
式中：
21s i n zzl
2rA
以 除以上式各项，整理得g A lG
lgrgpzgpz 22211
(6-14)
对截面 1-1和 2-2列出伯努利方程得
f
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 22 hg
V
g
pz
g
V
g
pz
在等直径圆管中,,故
21
21 VV?
，
g
pz
g
pzh
f
2
2
1
1
(6-15)
将式（ 6-15）代入式（ 6-14）中得
lgrh f2?
(6-16)
在层流中切应力 可用牛顿内摩擦定律来表示，即?
r
u
d
d (6-17)
由于流速 随半径 的增加而减小，即 是负值，为了使 为正值，式（ 6-17）等号在右端取负号。
u r
r
u
d
d
二、速度分布为了求出速度分布，现将式（ 6-17）代入式（ 6-16）中整理得
rrlprrlhgu ff d 2d2d
积分上式得
Crlpu f 2 4?
根据边界条件确定积分常数,在管壁上,,则
C 0rr? 0?u
2
0 4 rl
pC f
代入上式得 )(
4
22
0 rrl
pu f
(6-18)
式（ 6-18）表明在有效截面上各点的流速 与点所在的半径 成二次抛物线关系，
如图 6-10所示。
在 的管轴上，流速达到最大值：
u
r
0?r
2
0m ax 4 rl
pu f
(6-19)
图 6-10 圆管中层流的速度分布三、流量及平均流速现求圆管中层流的流量：取半径 处厚度为 d 的一个微小环形面积，每秒通过这环形面积的流量为
r r
r d rudq V?2?
由通过圆管有效截面上的流量为
A
r r f
VV rrrrl
prruqq 0 0
0 0
220 d2)(
4d2d
40
0
220
8d)( 2
0 r
l
prrrr
l
p frf
(6-20)
这就是层流管流的哈根 -普索勒（ Hagen-Poiseuille）流量定律。
该定律说明：圆管中流体作层流流动时，流量与单位长度的压强降和管半径的四次方成正比。
圆管有效截面上的平均流速
2
02
0
4
0
8 8 rl
p
rl
rp
A
qV ffV
(6-21)
比较式（ 6-19）和式（ 6-21）可得
m ax2
1 uV?
(6-22)
即圆管中层流流动时，平均流速为最大流速的一半。工程中应用这一特性，可直接从管轴心测得最大流速从而得到管中的流量,这种测量层流的流量的方法是非常简便的。
Auq V m ax21?
四、切应力分布由牛顿内摩擦定律可得到切应力在有效截面上的分布规律。
l
rprr
l
p
dr
d
dr
du ff
2)( 4
22
0
(6-23)
在管壁处,,故式（ 6-23）成为
0rr? 0 l
rp f
2
0
0
(6-24)
由式（ 6-23）和式（ 6-24）得
0
0 r
r (6-25)
式（ 6-25）表明，在圆管的有效截面上，切应力 与管半径 的一次方成比例，为直线关系，在管轴心处 时,如图 6-11所示。
r
0?r 0 图 6-11 圆管有效截面上的切应力五、沿程损失
fh
流体在等直径圆管中作层流流动时,流体与管壁及流体层与层之间的摩擦,将引起能量损失,这种损失为沿程损失 。 由式 （ 6-21）
可得沿程损失
2
0
f
f
8
g gr
lVph
由此可见，层流时沿程损失与平均流速的一次方成正比。
由于,代入上式得
g
V
d
l
Reg
V
d
l
Vdgr
lV
h
2
64
2
2328 22
2
0
f?
令
Re
64
为沿程阻力系数，在层流中仅与雷诺数有关。于是得
g
V
d
lh
2
2
f
该式与式（ 6-11）的形式相同。
六、动能修正系数?
已知黏性流体在圆管中作层流流动时的速度分布规律,便可求出黏性流体总流伯努利方程中的动能修正系数,将式 （ 6-18）
和式 （ 6-21） 代入到式 （ 6-6） 得,?
221211
3
0
2
0
2
0
3 0
r d r
r
r
r
dA
V
u
A A
r
(6-27)
（ 6-26）
【 例 6-4】 圆管直径 mm,管长 m,输送运动黏度 cm2/s的石油,流量 m3/h,求沿程损失 。
200?d 1000?l
6.1 144?Vq
【 解 】 判别流动状态
20005.1587106.1 2.027.1Re 4Vd 为层流式中
27.12.014.33 6 0 0 14444 22 dqV V?
（ m/s）
由式（ 6-6）
57.16806.92 27.12.010005.1587 642642
222
f g
V
d
l
Reg
V
d
lh?
（ m 油柱）
【 例 6-5】 输送润滑油的管子直径 8mm，管长 15m，如图
6-12所示。油的运动黏度 m2/s，流量 12cm3/s，求油箱的水头 （不计局部损失）。
d?l
61015
Vq
h
图 6-12 润滑油管路
239.0008.014.3 101244 2
4
2
d
qV V
（ m/s）
雷诺数
20005.1271015 008.0239.0 6VdRe
为层流列截面 1-1和 2-2的伯努利方程
f
2
2
2
2
1
1 202 hg
V
g
p
g
V
g
ph aa
认为油箱面积足够大，取 0
1?V
g
V
d
l
Reg
Vh
2
64
2
2
2
2
2
2f
806.92
239.0
008.0
15
5.127
64
806.92
239.02 22
75.2?
(m)
，则第五节 圆管中流体的紊流流动从本章第二节中的雷诺实验可知，当 ceRRe
一、紊流脉动现象与时均速度流体质点在运动过程中，不断地互相掺混，引起质点间的碰撞和摩擦，产生了无数旋涡，形成了紊流的脉动性，这些旋涡是造成速度等参数脉动的原因。紊流是一种不规则的流动状态，其流动参数随时间和空间作随机变化，因而本质上是三维非定常流动，且流动空间分布着无数大小和形状各不相同的旋涡。因此，
可以简单地说，紊流是随机的三维非定常有旋流动。流动参数的变化称为脉动现象。
时，管内流动便会出现杂乱无章的紊流，流体运动的参数，如速度、压强等均随时间不停地变化。在紊统流动时，其有效截面上的切应力、流速分布等与层流时有很大的不同。
在流场中的某一空间点如用高精度的热线热膜风速仪来测量流体质点的速度，则可发现速度是随时间而脉动的，
如图 6-13所示。从图中可见紊流中某一点的瞬时速度随时间的变化极其紊乱，似乎无规律可循。但是在一段足够长时间 内，即可发现这个变化始终围绕着某一平均值，在其上下脉动，这就反映了流体质点掺混过程中脉动现象的实质，揭示了紊流的内在规律性。
1t
图 6-13 脉动速度时间
1t
1
01
d1
t
tutu
（ 6-28）
内，速度的平均值称为时均速度，定义为于是流场的紊流中某一瞬间，某一点瞬时速度可用下式表示。
uuu (6-29)
其中,称为脉动速度，由于 流体质点在紊流状态下作不定向的杂乱无章的流动，脉动速度 有正有负。但是在一段时间内，脉动速度的平均值为零，即 。
u? u?
u?
0u
紊流中的压强和密度也有脉动现象，同理 和 也同样可写成
p?
ppp （ 6-30）
在实际工程和紊流试验中，广泛应用的普通动压管只能测量它的时均值，所以在研究和计算紊流流动问题时，所指的流动参数都是时均参数，如时均速度,时均压强 等。为书写方便起见，常将时均值符号上的“一”省略。我们把时均参数不随时间而变化的流动，称为准定常紊流。
u p
二、紊流中的切向应力在黏性流体层流流动时，切向应力表现为由内摩擦力引起的摩擦切向应力。在黏性流体紊流流动中，与层流一样，由于流体的黏性，各相邻流层之间时均速度不同，从而产生摩擦切向应力 。
t?
1.摩擦切向应力另外，由于流体有横向脉动速度，流体质点互相掺混，发生碰撞，引起动量交换，因而产生附加切应力,
向应力是由摩擦切向应力和附加切应力两部分组成。
因此紊流中的切摩擦切向应力可由牛顿内摩擦定律式（ 1-10）求得
y
u
d
d
2．附加切向应力附加切向应力可由普朗特混合长度理论推导出来。
设管内紊流时均速度 的分布如图 6-14所示，在流层 1上某一流体质点有轴向脉动速度 和横向脉动速度 。横向脉动速度 使流体质点从流层 1运动一个微小距离 到另一流层 2。
普朗特假定 相当于气体分子的平均自由行程。流层 1上的流体的时均速度为,则流层 2上的时均速度为 。
u
u
l?
l?
u l
y
uu
d
d
图 6-14 紊流时均速度分布在 时间内，由流层 1经微小面积 d
流向流层 2的流体质量为
td A
tAm ddd
质量 的流体到流层 2后与该层上的流体互相碰撞，发生动量交换。在 时间内动量变化为md td
lyutAulyuum
d
ddd
d
dd
根据动量定理，动量变化等于作用在 流体上外力的冲量。这个外力就是作用在 上的水平方向的附加阻力,于是得
md
Ad Fd
lyutAtF dddddd
式中 表示与 X轴平行的流层之间作用在面积 上的总切力。
则单位面积上的附加切应力为 Fd
Ad
lyuAFt dddd
（ 6-31）
假设脉动速度
u yudd
与时均速度 的增量 成正比，即
y
uk
d
d
代入式（ 6-31），得到紊流的附加切应力
2
2
2
2
d
d
d
d
y
ul
y
ulk
t
式中 22 lkl 普朗特将
l
称为混合长度，并认为它与 y
成正比，即
kyl?
式中
k
— 比例常数，由实验确定所以，紊流中的总切向应力等于
2
2
d
d
d
d
y
ul
y
u
t
摩擦切应力
t?不同的，例如在接近管壁的地方黏性摩擦切应力起主要作用，等号右边的第二项可略去不计；在管道中心处，流体质点之间混杂强烈，附加切应力起主要作用，故可略去等号右边的第一项。
的影响在有效截面上的各处是和附加切应力三、紊流结构、“光滑管”和“粗糙管”
1．紊流结构分析由上节可知，黏性流体在管内作层流流动时，有效截面上的速度分布为抛物线分布。
黏性流体在管中作紊流流动时，管壁上的流速为零，从管壁起流速将从零迅速增大，在紧贴管壁处一极薄层内，速度梯度很大，黏性摩擦切应力起主要作用，处于层流状态，称为层流底层，距管壁稍远处有一黏性摩擦切应力和紊流附加切应力同样起作用的薄层，称为层流到紊流的过渡区；之后便发展成为完全紊流，称为紊流核心。如图 6-15所示。
层流底层的厚度在紊流水流中通常只有十分之几毫米。层流底层的厚度 可由下列两个半经验公式计算?
管道中 mm (6-33)
Re
d8.32?
明渠中
Re
Rh8.32? mm （ 6-34）
图 6-15 紊流结构
1— 层流底层； 2— 过渡区； 3— 紊流核心式中 — 管道直径,mm；
— 水力半径,mm；
— 沿程阻力系数
d
hR
从上式可以看出，层流底层的厚度取决于流速的大小，流速越高，层流底层的厚度越薄，反之越厚。
层流底层虽然很薄，但是它对紊流流动的能量损失以及流体与管壁之间的热交换起着重要的影响。例如层流底层的厚度越薄，换热就越强，流动阻力也越大。任何管子由于材料、加工、使用条件和年限等影响，管道内壁总是凹凸不平，其管壁粗糙凸出部分的平均高度 称为管壁的绝对粗糙度，而把 与管内径 的比值 称为管壁的相对粗糙度。
常用管道绝对粗糙度见表 6-1和表 6-2。
d d?
2．“光滑管”和“粗糙管”
从式（ 6-33）可知，层流底层的厚度 随着 的减小而增厚，当 时，则管壁的粗糙凸出的高度完全被层流底层所掩盖，如图 6-16(a)所示。这时管壁粗糙度对流动不起任何影响，液体好象在完全光滑的管道中流动一样。这种情况下的管道称为“水力光滑”管，简称为“光滑管”。
当 时，即管壁的粗糙凸出部分突出到紊流区中，
如图 6-16(b)所示。当流体流过凸出部分时，在凸出部分后面将引起旋涡，增加了能量损失，管壁粗糙度将对紊流流动发生影响。这种情况下的管道称为“水力粗糙”管，简称“粗糙管”。
在这里需要说明的是，对同一绝对粗糙度 的管道，当流速较低时，其层流底层厚度 可能大于,当流速较高时，
其层流底层厚度 可能小于,因此同一根管道，在不同的流速下，可能是光滑管也可能是粗糙管。
Re
图 6-16 水力光滑和水力粗糙
（ a）,光滑管,；（ b）,粗糙管,
四、圆管中紊流有效截面上的切应力分布和速度分布
1．切应力分布紊流在半径 的管内流动，轴向时均速度为,切向应力在管长为 的管段上产生的能量损失，即压强损失 。若用管壁上的切向应力 来计算，则
(6-35)
如果在二个有效截面之间取半径为 （ ）的流管，则流管表面上切应力 可表示为
(6-36)
0r u
l p?
0?
)(2 212000 pprlr
l
pr
2
0
0
r 0rr?
l
pr
2
因此，在有效截面上的切应力分布为
(6-37)
上式说明，紊流切向应力分布也与层流一样，与管半径的一次方成比例，为直线关系，在 处切应力为零，如图 6-17所示，从图中可以看出，层流 (a)的 与紊流 (b)的是不同的，两者的斜率不一样。
在紊流中切应力是指摩擦切应力和附加切应力，这两种切应力在层流底层和紊流核心所占比例不一样，在层流底层中，摩擦切应力 占主要地位，在紊流核心中附加切应力 占主要地位，根据对光滑管紊流实验，如图 6-17(b)
中的斜线部分为摩擦切应力，在 处附加切应力最大，
当 摩擦切应力占主要，而在 范围内，摩擦切应力几乎为零，是以附加切应力为主的紊流核心区。
rr
0
0
r
0?r
0? 0?
t?
095.0 rr?
095.0 rr? 07.0 rr?
图 6-17 切应力分布
（ a）层流；（ b）紊流
2．速度分布在层流底层（ ）中的切向应力为所以令,由于它具有速度的量纲，故称其为切应力速度，则有或
(6-38)
由此可知，层流底层中的速度是按直线规律分布的。
y
y
u
yyu
u
yuu 2
*
*
yu
u
u?
在紊流区（ ）中假定切应力不变，令 （ 为管壁上的切向应力），则常数或
(6-39)
由式（ 6-39）可得积分得
(6-40)
式中的积分常数 可根据层流底层与紊流区交界处（ ）
的速度 相等的条件来确定，即或 （ 6-41）
（ 6-42）
y
0 0
2222
0 d
d)(
d
d
y
uky
y
ul
ky
u
kyy
u *01
d
d
ky
yuu dd
Cykuu ln1*
Cy
*
*
u
u
u?
2* )(u
u
Ckuu ln1*
由式（ 6-41）得或
（ 6-43）
式中 —— 层流底层的雷诺数，
将式（ 6-41）和（ 6-43）代入式（ 6-42）得
（ 6-44）
将式（ 6-44）代入式（ 6-40）得再令,整理上式得
（ 6-45）
u
uRe
u
uu
u
u **
*
Reuu?*?
Re
uRe?
ln1* kuuC
2* )(ln
1Re
u
u
k
Reln1Reln1
*
k
u
k
RekReukykuu ln1ln1ln1
*
*
RekReC ln11
1
*
* ln
1 Cyu
ku
u
尼古拉兹（ Nikuradse）对光滑圆管中的紊流进行试验的结果得到：,。代入式（ 6-45）得
（ 6-46）
式（ 6-46）即为圆管紊流速度分布的对数规律，此式只适用于光滑圆管。
在圆管的轴线处（ ），,代入式（ 6-46）得
（ 6-47）
将式（ 6-47）与式（ 6-46）相减后得到
（ 6-48）
40.0?k 5.51?C
5.5l o g75.5
5.5ln50.2
*
*
*
*
yu
u
u
yu
u
u
0ry? maxuu?
5.5log75.5
5.5ln50.2
*
0
*
m a x
*
0
*
m a x
ur
u
u
ur
u
u
y
r
u
uu
y
r
u
uu
0
*
m a x
0
*
m a x
l o g75.5
ln50.2
式（ 6-48）称为普朗特公式。由于消去了常数项 5.5，并经大量实验证明，此式对光滑管和粗糙管都适用。圆管紊流流速分布还可以近似地用一个简单的指数规律示之，即
（ 6-49）
则平均流速 与最大流速 之比，可由下式求得即 （ 6-50）
指数 n 随雷诺数 而变化，在不同指数 n下的 与 的此值见表 6-3。
由表 6-3知，当 =1.1× 105时,n=7。由式（ 6-49）则有
（ 6-51）
这就是紊流的七分之一次方规律公式。
n
r
y
u
u
1
0m a x
V maxu
00
0
0
m a x
m a x
0
0
2
0 d)(2d)(2
rr
yyru uuyyrurV
0
0
0
1
0
m a x d)(2
r n
yyr
r
yu?
)12)(1(
2 2
m a x
nn nu V
Re V
maxu
Re
7/1
0m a x
r
y
u
u
表 6-3中列出了平均流速 与最大流速 在不同雷诺数 下的比值。因而可用测定管轴处最大流速，用表 6-3内的比值换算出平均流速，即可求出流量。利用这种方法求管道有效截面上的平均流速及流量是非常简便的。
从以上分析可知，层流底层中的速度是按直线规律分布的，在紊流的核心区速度是按对数规律分布的，在核心区速度分布的特点是速度梯度较小，速度比较均匀，如图 6-18所示，这是由于紊流时质点脉动掺混，动量交换强烈的结果
V maxu Re
五、紊流流动中沿程损失的计算式（ 6-11）也适用于对紊流流动沿程损失的计算，
关键要确定紊流中的沿程阻力系数 。在一般情况下,即 值不仅取决于雷诺数,而且还取决于管壁相对粗糙度,情况比较复杂。
紊流流动中的沿程阻力系数 的计算公式，要在大量实验的基础上，对实验结果进行归纳分析，得出在不同条件下的经验公式，
下节将详细讨论。
/d )Ref,(
Re
d?
图 6-18 紊流速度分布第六节 沿程阻力系数的实验研究层流流动的沿程阻力系数的计算公式已在第四节中用理论分析的方法推导出。由于紊流流动的复杂性，管壁粗糙度又各不相同，所以紊流流动的沿程阻力系数 值还不能与层流 一样完全从理论上来求得，而依靠对实验测得的数据进行整理归纳，得到经验公式。有许多学者和工程师做过值的实验研究工作，在这类实验研究中，以德国尼古拉兹（ J,Nikuradse）实验最有系统、范围最广，具有一定的代表性。
一、尼古拉兹实验各种管道的管壁都有一定的粗糙度，但管壁的粗糙度是一个既不易测量也无法准确确 定的数值。为了避免这个困难，尼古拉兹采用人工方法制造了各种不同粗糙度的圆管，即用漆胶将颗粒大小一样的砂粒均匀地贴在管壁上，
砂粒直径表示管壁粗糙突出高度 。实验时采用砂粒直径 （即管壁的绝对粗糙度）与圆管半径 之比 表示以半径计算的管壁的相对粗糙度，用三种不同管径的圆管
（ 25mm,50mm,l00mm）和六种不同的 值（ 15,30.6、
60,126,252,507）在不同的流量下进行实验。对每一个实验找出沿程阻力系数且与雷诺数 和 之间的关系曲线。为了便于分析起见，将所有的实验结果画在同一对数坐标纸上，以 为横坐标，以 100 为纵坐标，并以为参变数，即属于同一 的实验点用线连起来。 从
6× 102~106，包括层流在内，这个实验结果反映了圆管流动中的全部情况，如图 6-19所示。现在将尼古拉兹实验曲线分成五个区域加以分析：
r r?
r
r?r
Re
Re
Re?r
图 6-19 尼古拉兹实验曲线
1．层流区当 <2300时，所有六种不同的 的实验点都落在同一条直线上。这说明在层流流动时，沿程阻力系数 与管壁相对粗糙度 无关，而仅与雷诺数 有关，即图 6-19中的直线 1恰好满足此方程，说明沿程损失 与有效截面平均流速 一次方成正比，实验进一步证实了层流理论分析的正确性。
2．层流到紊流的过渡区
2300< <4000，当雷诺数超过 2300时，流动状态开始发生变化，各种 的实验点离开 1线，集中在一个很狭小的三角形区域内，这区域就是上、下临界雷诺数之间的不稳定区域，也就是层流到紊流的过渡区。
rRe
Re
r?
Re ）（ Ref
Re
64
fh
V
r
3．紊流水力光滑管区
4000< <59.6，各种不同 的实验点都落在同一倾斜直线 2上，在这区域内沿程阻力系数 仍与相对粗糙度 无关，而仅与 有关，即 。
这是由于层流底层的厚度还较大，足以掩盖粗糙突出高度 的影响，这区域就是紊流水力光滑管区。但是不同的 所占该直线上区段的长短也不同,值越小所占区段越短,值越大所占区段越长。 =30.6的曲线几乎没有紊流光滑管区。这是由于在相同的雷诺数下，即在同样的层流底层厚度的情况下，较大的粗糙突出高度 先露出层流底层，变为水力粗糙管。
Re
Re
r
r
r
r
）（ Ref
r?r
对于 4× 103< <105的这段直线 2，勃拉休斯（ H.Blasius）
归纳了大量的实验数据，得出下列计算式
（ 6-52）
在 105< <3× 106范围内，尼古拉兹结合普朗特的理论分析得到的公式为
（ 6-53）
这就是光滑管的普朗特阻力公式，即图 6-19中的曲线 3。
若将式（ 6-52）代入式（ 6-11）中，可以证明沿程损失与平均流速 成正比。
Re
Re
25.0
3 1 6 4.0
Re
8.0)l o g (21 Re
fh
75.1V
4．紊流水力粗糙管过渡区
< <,当雷诺数 继续逐渐增加时，层流底层的厚度逐渐减小,小的实验点先脱离直线 2，进入 4区，其它各种 较大的实验点也随着 的增加先后脱离直线 2，进入 4区。也就是说，各种不同 的水力光滑管先后相继变为水力粗糙管。在这个过渡区内,值与,
（即或 ）有关，即,情况比较复杂，
计算 的经验公式也比较多，如可用阔尔布鲁克
（ Colebrook）提出的经验公式
（ 6-54）
78)(6.59?r 85.0)(4 1 6 0?rRe Re
r
r
r
r
Re
Re?
d? ）（ dRef,?
Red
51.2
7.3
l o g21
也可用兰格（ M,Lange）归纳的公式
（ 6-55）
式中 为正比于管壁平均凹凸的糙性长度，而不是绝对粗糙度 。表 6-4给出了几种常用材料的 值。
还可用洛巴耶夫（ Б.И.ЛобаеВ）的经验公式
（ 6-56）
式中 — 管道直径,m；
— 粗糙度,m；
— 流量,m3／ s；
— 运动粘度,m2／ s。
Red
88.20096.0
22
2 7 4.1l o g
42.1
l o g
42.1
vqdRe
d
Vq
5．紊流水力粗糙管平方阻力区
> 。随着雷诺数继续增加，各种相同 的实验点所连成的线先后进入区域 4后部的 5区域，所有的线都是平行于横坐标的直线，也就是说同一相对粗糙度的圆管有相同的 值，而与 无关，仅与相对粗糙度
（或 ）有关，即,这是因为此时层流底层的厚度已经非常薄，管壁粗糙度的作用已大大超过了层流底层内流体的黏性作用。
由式（ 6-11）可知，在水力粗糙区 值仅是 的函数，
而同一 的圆管中 值是一个常数，沿程损失与平均流速的平方成正比，所以这个区域称为平方阻力区。
平方阻力区的 值可按尼古拉兹归纳的公式进行计算，即
（ 6-57）
Re
Re
r
85.0)(4 1 6 0?r
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2)/l o g274.1( r?
由式（ 6-57）可知，在这区域中，要使两个流动的沿程阻力系数 值相等，只要使这两个流动（模型与实型）
的相对粗糙度 相等即可，无需雷诺数 相等。因此紊流粗糙管平方阻力区又称为“自动模化区”，简称“自模区”。式（ 6-57）根据不同的 的计算结果列成表 6-5。
以上介绍了尼古拉兹用人工粗糙度的管子所进行的实验。由此实验可知，流动在图 6-19中不同的区域里，沿程阻力系数 值的计算公式是不同的。因此在计算沿程损失时，应先判别流动处在哪个区域，然后采用相应的公式去计算 值。
r
r? Re
二、莫迪图尼古拉兹的实验曲线是用各种不同的人工均匀砂粒粗糙度的圆管进行实验得到的，这 与工业管道内壁的自然不均匀粗糙度有很大差别。因此在进行工业管道的阻力计算时，不 能随便套用图 6-19去查取 值。莫迪 （ F.Moody）
根据光滑管、粗糙管过渡区和粗糙管平方阻力区中计算的公式绘制了莫迪实用曲线，如图 6-20所示。该图按对数坐标绘制，表示 与,之间的函数关系。整个图线分为五个区域，即层流区、临界区（相当于尼古拉兹曲线的过渡区）、光滑管区、过渡区（相当于尼古拉兹曲线的紊流水力粗糙管过渡区）、完全紊流粗糙管区（相当于尼古拉兹曲线的平方阻力区）。利用莫迪曲线图确定沿程阻力系数 值是非常方便的。在实际计算时根据 和,
从图 6-20中查得 值，即能确定流动是在哪一区域内。
d?
d?Re
Re
图 6-20 莫迪图
【 例 6-6】 输送石油的管道长 5000m，直径 250mm
的旧无缝钢管，通过的质量流量 100t/h，运动黏度在冬季 =1.09× 10-4m2/s，夏季 =0.36× 10-4m2/s，
若取密度 885kg/m3，试求沿程水头损失各为多少？
解析
【 例 6-7】 输送空气（ t=20℃ ）的旧钢管道，取管壁绝对粗糙度 lmm，管道长 400m，管径 250mm，管道两端的静压强差为 9806Pa，试求该管道通过的空气流量 为多少?
解析
l?d
mq
冬? 夏?
l?d
fp
Vq
【 解 】 首先判别流动所处的区域体积流量
112.99（ m3/h）
平均流速
0.64（ m/s）
雷诺数 冬季 1467.9<2000 为层流夏季 4444.4>2000 为紊流
8 8 5101 0 0
3
m
V
qq
22 25.014.33 6 0 0 99.1 1 244 dqV V?
41009.1
25.064.0
冬冬?
VdRe
41036.0
25.064.0
夏夏?
VdRe
需进一步判别夏季石油在管道中的流动状态处于紊流哪个区域，查表 6-1得旧无缝钢 管 0.19
59.6 = =99082>4444.4
即 4000< <99082，流动处于紊流光滑管区。
沿程水头损失冬季 （ m 石油柱）
由于夏季石油在管道中流动状态处于紊流光滑管区，故沿程阻力系数用勃拉休斯公式计算，即夏季
（ m 石油柱）
78)(?r
78
19.0
1 2 56.59?
夏Re
2.1881.92 64.025.050009.1467 642
22
f g
V
d
lh?
0388.0
4.4444
3164.03164.0
25.025.0 Re?
2.1681.92 64.025.050000388.02
22
f g
V
d
lh?
【 解 】 因为是等直径的管道，管道两端的静压强差就等于在该管道中的沿程损失。
t= 20℃ 的空气，密度 1.2kg/m3，运动粘度
15× 10-6m2/s。
管道的相对粗糙度,由莫迪图试取 0.027
故
(m/s)
2
2
f
V
d
lp
004.02501d
45.19
2.14 0 002.0
9 8 0 625.022 f
l
pd
V
雷诺数根据 和,由莫迪图查得 0.027，正好与试取的值相符合。若两者不相符合,则应将查得的 值代入上式，按上述步骤进行重复计算，直至最后由莫迪图查得的值与改进的 值相符合为止。
管道通过的空气流量为
(m3/s)
3 2 4 1 6 7
1015
25.045.19
6
VdRe
Re d
9 5 4.025.0414.345.194 22 dVq V?
第七节非圆形截面管道沿程损失的计算在工程上大多数管道都是圆截面的，但也常用到非圆形截面的管道，如方形和长方形截面的风道和烟道。此外，
锅炉尾部受热面中的管束（如空气预热器）也属非圆形截面的管道。通过大量试验证明，圆管沿程阻力的计算公式仍可适用于非圆形管道中紊流流动沿程阻力的计算，但需找出与圆管直径 相当的，代表非圆形截面尺寸的当量值，
工程上称其为当量直径 。
当量直径用下式求得式中 — 有效截面积,m2；
— 湿周，即流体湿润有效截面的周界长度,m；
— 水力半径,m。
d
d
h4
4 RAd
e
A
hR
对充满流体流动的圆形管道，当量直径为即圆形管道的当量直径就是该圆管的直径。
对边长为 a的正方形管道，当量直径为充满流体的长方形、圆环形管道和管束等几种非圆形管道的当量直径可分别按下式求 得（图 6-21）：
长方形管道
aaad e 44
2
dddAd e
24
bh
hb
bh
hb
d e
2
)(2
4
圆环形管道管束为避免计算时误差过大，长方形截面的长边最大不超过短边的 8倍，圆环形截面的大直径至少要大于小直径 3倍。
有了当量直径,非圆形截面管道的沿程阻力损失及雷诺数即为：
（ 6-58）
（ 6-59）
12
21
2
1
2
2
44
4
dd
dd
dd
d e
d
d
SS
d
dSS
d e
21
2
21 444
ed
g
V
d
l
h
e 2
2
f
eVdRe?
图 6-21 几种非圆形管道的截面
【 例 6-8】 有一长方形风道长 40m，截面积Ａ＝
0.5× 0.8m2，管壁绝对粗糙度 0.19mm，输送 t=20℃ 的空气，流量 21600m3/h，试求在此段风道中的沿程损失。
【 解 】 平均流速
(m/s)
当量直径
(m)
20℃ 空气的运动黏度 1.63× 10-5m2/s，密度 1.2kg/m3。
158.05.03 6 0 02 1 6 0 0 AqV V
6 1 5.08.05.0 8.05.022 bh hbd e
l
Vq
雷诺数相对粗糙度查莫迪曲线图 6-20得沿程损失
= (m 空气柱 )
沿程压强损失
(Pa)
5 6 5 9 5 01063.1 615.015 5 eVdRe
0 0 0 3 1.06 1 519.0
ed
0165.0
g
V
d
lh
e 2
2
f
3.128 0 6.92 156 1 5.0 400 1 6 5.0
2
8.1 4 42.18 0 6.93.12ff ghp?
第八节 局 部 损 失 的 计 算在本章第三节叙述阻力的分类时知道，当流体流经各种阀门、弯头和变截面管等局部装置，流体将发生变形，产生阻碍流体运动的力，这种力称为局部阻力，由此引起的能量损失称为局部损失，计算局部损失用下面的公式：
由此可知，计算 归结为求局部阻力系数 的问题，局部阻力产生的原因是十分复杂 的，只有极少数的情形才能用理论分析方法进行计算，绝大多数都要由实验测定。
流体从小截面的管道流向截面突然扩大的大截面管道是目前唯一可用理论分析得出其计算公式的典型情况，下面对此进行叙述。
g
Vh
2
2
j
jh
一、损失产生的原因如图 6-22表示流体从小截面流向突然扩大的大截面管道。
由于流体质点有惯性，流体质点的运动轨迹不可能按照管道的形状突然转弯扩大，即整个流体在离开小截面管后只能向前继续流动，逐渐扩大，这样在管壁拐角处流体与管壁脱离形成旋涡区。旋涡区外侧流体质点的运动方向与主流的流动方向不一致，形成回转运动，因此流体质点之间发生碰撞和摩擦，消耗流体的一部分能量。同时旋涡区本身也不是稳定的，在流体流动过程中旋涡区的流体质点将不断被主流带走，也不断有新的流体质点从主流中补充进来，即主流与旋涡之间的流体质点不断地交换，发生剧烈的碰撞和摩擦，在动量交换中，产生较大的能量损失，这些能量损失转变为热能而消失。
图 6-22 管道突然扩大的流线分布二、局部损失的计算取图 6-22中的大管道的起始截面 1— 1和流道全部扩大后流速重又均匀的截面 2— 2以及它们之间的管壁为控制面。
设截面 1— 1和 2— 2的中心点的压强各为 和,平均流速各为 和,截面积各为 和,且不可压缩流体在管中作定常流动。根据一维流动不可压缩流体的连续方程 (3-
33)得：
或 （ 6-60）
截面 1— 1和 2— 2间管壁对流体的切向力（即总摩擦力）忽略不计，则根据动量方程有式中 是作用于扩大管凸肩圆环面上的总压力。
由于圆环面上的径向加速度非常小，实验证明圆环面上的压强可按静压强规律分布，即,于是上式可写为或 （ 6-61）
1p 2p
1V 2V 1A 2A
1
2
1
2 VA
AV?
2
1
2
1 VA
AV?
)()( 12122211 VVqAApApAp V
)( 12 AAp?
1pp?
)()( 12221 VVqApp V
)( 12221 VVVpp
列出截面 1— 1和 2— 2的伯努利方程于是将式 (6-61)代入上式，得
（ 6-62）
此式表明，截面突然扩大的局部水头损失，等于“损失速度”
的速度水头。式（ 6-62）可利用式（ 6-60）改写成：
（ 6-63）
即
jhg
V
g
p
g
V
g
p
22
2
22
2
11
)(2 1)(1 222121 VVgppgh j
g
VVVV
gVVVgh j 2
)()(
2
1)(1 2212
2
2
1122
)( 21 VV?
g
V
g
V
A
A
g
V
V
V
h
g
V
g
V
A
A
g
V
V
V
h
22
1
2
1
22
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
j
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
j
g
V
g
Vh
22
2
2
2
2
1
1j
这就是截面突然扩大的局部水头损失的计算公式。 和称为截面突然扩大的局部阻 力系数，它们是各相对于流速 和 而言的，即
（ 6-64）
在计算时要注意，必须按照所用的速度水头来确定其对应的局部阻力系数，或按照已有局部阻力系数的数据，选取对应的速度水头来进行计算，否则计算是错误的。
尽管各种局部装置在形式上有千差万别，然而产生局部损失的原因和物理本质基本上是相同的，即外因是流道几何形状的变化，内因是由于流体的黏性而产生的旋涡区，以及主流与旋涡之间的动量交换，从而造成能量损失。因此确定各种局部装置的局部损失的计算公式形式上应当是一样的。但是公式中的局部阻力系数 值对各种局部装置有各种不同的数值，目前还很难进行理论分析和计算，多靠实验测定。
各种不同局部装置的局部阻力系数 值可查相关的资料，例如水力学手册等。
表 6-6列出了几种局部装置的平均局部阻力系数值。
1? 2?
1V 2V
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
A
A
A
A
【 例 6-9】 如图 6-23所示，水平短管从水深 H=16m的水箱中排水至大气中，管路直径 50mm,70mm，阀门阻力系数 4.0，只计局部损失，不计沿程损失，并认为水箱容积足够大，试求通过此水平短管的流量。
解析
【 例６ -10】 如图 4-24所示，水从密闭水箱沿一直立管路压送到上面的开口水箱中，已知 d=25mm,l=5m,h=0.5m，
5.4m3/h，阀门 6，水温 t=50℃ （ 9690N/m3，
0.556× 10-6m2/s），壁面绝对粗糙度 0.2mm，求压强计读数 。
解析
1d?2d
门?
门Vq
g
Mp
【 解 】 列截面 0— 0和 1— 1的伯努利方程由表 6-6查得 =0.5,=0.24,=0.30，故
（ m/s）
通过水平短管的流量
（ m3/s）
g
V
g
VH
22
0000
2
1
21
2
1 ）（
门缩扩入
入? 1扩?
2缩?
gHV 2
1
1
21
1
门缩扩入
2.7168 0 6.92
0.430.024.05.01
1
0 1 4 1 3.005.042.74 2211 dVq V
图 6-23 水平管道流量计算图 6-24 密闭水箱向上送水
【 解 】 列截面 1— 1和 2— 2的伯努利方程式中根据 和 查莫迪图得,查表 6-6得,,故
（ mH2O）
压强计读数
（ kPa）
w
M 000
g0 hl
p
g
V
g
V
d
lhhh
22
22
jfw ）（ 出门入
06.30 2 5.014.33 6 0 0 4.544 22 dqV V? （ m/s）
1 3 7 5 9 010556.0 025.006.3 6VdRe
0 0 8.025 2.0d
036.0Re d? 5.0?入? 0.1?出?
78 0 6.92 06.3)0.165.00 2 5.0 50 3 6.0(
2
wh
28.1169 6 9 0)75()( wM ghlp?
第九节 管 道 水 力 计 算工程上把不同联接方式联接所组成的管系称为管道。本节所叙述的管道水力计算对工 程实际有重要意义，我们将利用前面所介绍的连续性方程、伯努利方程以及损失的计算方 法对管道进行水力计算。
一、管道系统分类
1．按能量损失大小长管：凡局部阻力和出口速度水头在总的阻力损失中，其比例不足 5％的管道系统，称为水力长管，也就是说只考虑沿程损失。
短管：在水力计算中，同时考虑沿程损失和局部损失的管道系统，称为短管。
2．按管道系统结构简单管道：管径和粗糙度均相同的一根或数根管子串联在一起的管道，如图 6-25(a)所示。
复杂管道：除简单管道以外的管道系统，称为复杂管道，
又可分成：
1）串联管道：不同管径或不同粗糙度的数段管子串联联接所组成的管道系统，如图 6-25(b)。
2）并联管道：是指数段管道并列联接所组成的管道系统，
如图 6-25(c)所示。
枝状管道：如图 6-25(d)所示，各不相同的出口管段在不同位置分流，形状如树枝。
网状管道：如图 6-25(e)所示，通过多路系统相互连接组成一些环形回路，而节点的流量来自几个回路的管道。
图 6-25 管道系统分类二、管道水力计算主要任务管道水力计算的主要任务是：
(1)根据给定的流量和允许的压强损失确定管道直径和管道布置；
(2)根据给定的管道直径、管道布置和流量来验算压强损失；
(3)根据给定的管道直径、管道布置和允许的压强损失，校核流量。
管道水力计算的基本公式有连续性方程、伯努利方程和能量损失公式等三个。
连续性方程常数或常数伯努利方程式中 E为外界（泵、风机等）加给单位重量流体的机械能。
222111 AgVAgVq m
2211 AVAVq V
w
2
22
2
2
11
1 22 hg
V
g
pzE
g
V
g
pz
能量损失其中由上面管道系统分类可知，管道系统的分类类似于电路系统。因此，管道水力计算类似于电路计算，管道中的流量相当于电路中的电流；压降相当于电压，管道阻力相当于电阻。本节只介绍串联管道和并联管道的水力计算。
jfw hhh
，
g
V
d
lh
2
2
f
g
Vh
2
2
j
三、串联管道如图 6-26所示。根据连续性原理，通过串联管道各管段中的流量相等，因而对不可压缩流体有常数 （ 6-65）
或常数串联管道的总能量损失是各段管道中的能量损失之和，即
（ 6-66）
如果各管段的管径都相同，通常称为简单管道，
即,则各管段的平均流速也相等，即 。
321 VVV qqq
332211 AVAVAV
w3w2w1w hhhh
321 AAA
321 VVV
图 6-26 串联管道四、并联管道如图 6-27所示，对于不可压缩流体，根据连续性方程，总流量应等于各支管流量之和,即
（ 6-67）
从能量平衡观点来看，无论对 l,2,3中哪一个支管，联节点 a,b间的能量损失都应等于 a,b两节点之间的压头差，也就是说在 a,b之间各并联支管的能量损失都相同，即
（ 6-68）
321 VVVV qqqq
b)-w( aw3w2w1 hhhh
图 6-27 并联管道图 6-28 串联管道
得到了流场中任一空间点上、任一时刻流体微团的压强和速度等流动参数之间的关系式，但在推导流体微团沿流线运动的伯努利方程中，仅局限于微元流束的范围内。而在工程实际问题中要研究实际流体在整个流场中的运动，其中大量的是在管道和渠道中的流动问题。所以除了必须把所讨论的范围从微元流束扩展到整个流场（如管道）外，
还需考虑黏性对流体运动的影响，实际流体都具有黏性，
在流动过程中要产生摩擦阻力，为了克服流动阻力以维持流动，流体中将有一部分机械能不可逆地损失掉。由此可见，讨论黏性流体流动的重点就是讨论由于黏性在流动中所造成的阻力问题，即讨论阻力的性质、产生阻力的原因和计算阻力的方法。
第一节 黏性流体总流的伯努利方程一、黏性流体微元流束的伯努利方程在第三章中已经得到了理想不可压缩流体作定常流动时，质量力仅为重力情况下的微 元流束的伯努利方程，该式说明流体微团沿流线运动时总机械能不变。但是对于黏性流体，
在流动时为了克服由于黏性的存在所产生的阻力将损失掉部分机械能，因而流体微团在流 动过程中，其总机械能沿流动方向不断地减少。如果黏性流体从截面 1流向截面 2，则截面 2处的总机械能必定小于截面 1处的总机械能。若以 表示单 位重量流体自截面 1到 2的流动中所损失的机械能（又称为水头损失），则黏性流体微元流束的伯努利方程为
(6-1)
式（ 6-1）的几何解释如 图 6-1所示，实际总水头线沿微元流束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
Wh?
whg
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
22
2
2
11
1
图 6-1 伯努利方程的几何解释二、黏性流体总流的伯努利方程流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。
微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点的位置高度,压强 和流速 都可认为是相同的。而总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度,压强和流速 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。
因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时才能符合这个要求。
z
z
p
p
V
V
gpz?
由于流线几乎是平行直线，则各有效截面上相应点的流速几乎不变，成为均匀流，由于速度的变化很小即可将惯性力忽略不计，又由于流线的曲率半径很大，故向心力加速度很小，以致可将离心力忽略。于是缓变流中的流体微团只受重力和压强的作用，故缓变流的有效截面上各点的压强分布与静压强分布规律一样，即在同一有效截面上各点的 常数。当然在不同的有效截面上有不同的常数值。
掌握了缓变流动的特性之后，就可以将黏性流体微元流束的伯努利方程应用于总流，从而推导出适用于两个缓变流有效截面的黏性流体总流的伯努利方程。
gpz?
以总流中每一微元流束的任意两个截面可以写出则通过该微元流束的总能量在截面 1与截面 2之间的关系式为积分上式，则得总流在有效截面 1和有效截面 2之间的总能量关系式
（ 6-2）
whg
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
22
2
2
11
1
VwVV qghqgg
V
g
pzqg
g
V
g
pz dd
2d2
2
22
2
2
11
1
VVV q
Vw
q
V
q
V qghqgg
V
g
pzqg
g
V
g
pz dd
2
d
2
2
22
2
2
11
1
若有效截面 1和有效截面 2处的流动都是缓变流动，则和,和 是两个不同的常数，于是式（ 6-2）可写成
（ 6-3）
对于不可压缩流体，以 通除式（ 6-3）各项得
（ 6-4）
用有效截面上的平均流速 代替真实流速,则可将式（ 6-
4）中总流的平均单位重量 流体的动能项改写为
（ 6-5）
式中 — 总流的动能修正系数
（ 6-6）
111 Cg
pz
222 Cg
pz
1C 2
C
VVVVV q
Vw
q
V
q
V
q
V
q
V qghqgg
Vqg
g
pzqg
g
Vqg
g
pz dd
2dd2d
2
22
2
2
11
1
Vq
VV gqqg d
VVV q
Vw
Vq
V
Vq
V
V
qhqqgVqgpzqgVqgpz d1d21d21
2
22
2
2
11
1
V V
Vq AA
V
V g
VA
g
V
V
V
AAVg
V
VAqg
V
q 2d2
1d
2
1d
2
1 223222?
A
AVVA d1
3
以 表示总流有效截面 1和有效截面 2之间的平均单位重量流体的能量损失，即
（ 6-7）
将式（ 6-5）和式（ 6-7）代人式（ 6-4）中得：
（ 6-8）
这就是黏性流体总流的伯努利方程。适用范围是：重力作用下不可压缩黏性流体定常流动的任意两个缓变流的有效截面，至于两个有效截面之间是否是缓变流则无关系。由式 (6-8)可以看出，如同黏性流体沿微元流束的流动情况一样，为了克服流动阻力，总流的总机械能即实际总水头线也是沿流线方向逐渐减少的，如图 6-2所示。
Wh
Vq
V
V
qhqh d1 WW
whg
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
图 6-2 总流总水头线动能修正系数 是由于截面上速度分布不均匀而引起的，
它可按式（ 6-6）根据有效截面上的速度分布规律而求得。
是个大于 1的数，有效截面上的流速越均匀,值越趋近于
1。在实际工业管道中，通常都近似地取 。以后如不加特别说明，都假定,并以 代表平均流速。而对于圆管层流流动 。
0.1
1
2
V
【 例 6-1】 有一文丘里管如图 6-3所示，若水银差压计的指示为 360mmHg，并设从截面 A流到截面 B的水头损失为 0.2mH2O，
=300mm,=150mm，
试求此时通过文丘里管的流量是多少?
图 6-3 文丘里管
Ad Bd
【 解 】 以截面 A为基准面列出截面 A和 B的伯努利方程由此得
（ a）
由连续性方程所以
（ b）
w
2
BB
2
AA
276.020 hg
V
g
p
g
V
g
p
2.076.022
2
A
2
BBA
g
V
g
V
g
p
g
p
BBAA AVAV?
2
A
B
B
A
B
BA
d
dV
A
AVV
水银差压计 1— 1为等压面，则有由上式可得
（ c）
将式（ b）和式（ c）代入（ a）中解得
（ m/s）
（ m3/s）
ggzpgzp HgBA 36.076.036.0 ）（）（
）（ Om m H3.59 8 0 61 3 3 4 0 036.040.0g36.036.076.0 2HgBA ggpgp
96.0123.5
42
A
BB
d
d
g
V
53.9
3 0 0
1 5 0
1
)96.03.5(8 0 6.92
1
)96.03.5(2
44
A
B
B?
d
d
g
V
168.015.0453.94 22BB dVq V
【 例 6-2】 有一离心水泵装置如图 6-4所示。已知该泵的输水量 m3/h，吸水管内径 150mm，吸水管路的总水头损失
mH2O，水泵入口
2— 2处，真空表读数为
450mmHg，若吸水池的面积足够大，试求此时泵的吸水高度 为多少?
60?Vq
d
5.0w?h
gh
图 6-4 离心泵装置示意图
【 解 】 选取吸水池液面 l— 1和泵进口截面 2— 2这两个缓变流截面列伯努利方程，并以 1— 1为基准面，则得因为吸水池面积足够大，故 。且
（ m/s）
为泵吸水口截面 2— 2处的绝对压强，其值为将和值代入上式可得
（ mH2O）
w
2
22
2
1a
220 hg
V
g
ph
g
V
g
p
g
01?V
94.015.014.33 6 0 0 6044 222 dqV V?
45.01 3 3 0 0 02 app
2p
w
2
2
2
45.01 3 3 0 0 0 h
g
V
gh g
5.08 0 6.92 94.09 8 0 6 45.01 3 3 0 0 0
2
56.5?
第二节 黏性流体的两种流动型态从上节式（ 6-8）的黏性流体总流的伯努利方程可以看出，要想应用此关系式计算有关工程实际问题，必须计算能量损失 项，
由于流体流动的能量损失与流动状态有很大关系，因此，我们首先讨论黏性流体流型。
wh
wh
黏性流体的流动存在着两种不同的流型，即层流和紊流，这两种流动型态由英国物理学家雷诺（ Reynolds）在 1883年通过他的实验（即著名的雷诺实验）大量观察了各种不同直径玻璃管中的水流，总结说明了这两种流动状态。
一、雷诺实验雷诺实验装臵如图 6-5所示。实验的步骤如下：
(1) 首先将水箱 A注满水，并利用溢水管 H保持水箱中的水位恒定，然后微微打开玻璃管末端的调节阀 C，水流以很小速度沿玻璃管流出。再打开颜色水瓶
D上的小阀 K，使颜色水沿细管 E流入玻璃管 B中。当玻璃管中水流速度保持很小时，看到管中颜色水呈明显的直线形状，不与周围的水流相混。这说明在低速流动中，水流质点完全沿着管轴方向直线运动，这种流动状态称为层流，
如图 6-6(a)所示。
图 6-5 雷诺实验 图 6-6 层流、紊流及过渡状态
(2) 调节阀 C逐渐开大，水流速度增大到某一数值时颜色水的直线流将开始振荡，发生弯曲，如图 6-6(b)所示。
(3) 再开大调节阀 C，当水流速度增大到一定程度时，弯曲颜色水流破裂成一种非常紊乱的状态，颜色水从细管 E流出，经很短一段距离后便与周围的水流相混，扩散至整个玻璃管内，如图
6-6(c)所示。这说明水流质点在沿着管轴方向流动过程中，同时还互相掺混，作复杂的无规则的运动，这种流动状态称为紊流（或湍流）。
如果将调节阀 C逐渐关小，水流速度逐渐减小，则开始时玻璃管内仍为紊流，当水流速度减小到另一数值时，流体又会变成层流，
颜色水又呈一明显的直线。但是，由紊流转变为层流时的流速要比由层流转变为紊流时的流速小一些。我们把流动状态转化时的流速称为临界流速，由层流转变为紊流时的流速称为上临界流速，
以
cV?
cV
cc VV
cV?
cV cc VV
以 表示。则 表示。由紊流转变为层流时的流速称为下临界速，
雷诺实验表明：①当流速大于上临界流速时为紊流；当流速小于下临界流速时为层流；当流速介于上、下临界流速之间时，可能是层流也可能是紊流，这与实验的起始状态、有无扰动等因素有关，不过实践证明，是紊流的可能性更多些。②在相同的玻璃管径下用不同的液体进行实验，所测得的临界流速也不同，黏性大的液体临界流速也大；若用相同的液体在不同玻璃管径下进行试验，所测得的临界流速也不同，管径大的临界流速反而小。
二、雷诺数综上可知，流体的流动状态是层流还是紊流，与流速、管径和流体的黏性等物理性质有关。雷诺根据大量的实验数据证明，
流体的临界流速
cV?
d?
dVc?
他引出一个比例系数
cRe
dRedReV ccc
或
dVRe c
c?
（ 6-9）
这个比例系数
cRe
与流体的动力黏度 成正比，与管内径 和流体的密度 成反比，即
，上式可写成等式称为临界雷诺数，是一个无量纲数。
经过雷诺实验和他以后的许多学者如席勒（ Ludwig Schiller）
的精密实验结果指明，对于非常光滑、均匀一致的直圆管，下临界雷诺数 等于 2320。但对于一般程度的粗糙壁管 值稍低，
约为 2000，所以在工业管道中通常取下临界雷诺数 。上临界雷诺数 不易测得其精确数值，一般取为 13800。于是得
cRe c
Re
2 0 0 0?cRe
ceR?
2 0 0 0 dVRe cc
1 3 8 0 0 dVeR cc
无数实验证明，不管流速多少、管内径多大、也不管流体的运动黏度如何，只要雷诺数相等，它们的流动状态就相似。所以雷诺数是判别流体流动状态的准则数，即：
当流体流动的雷诺数 时，流动状态为层流；当时,
则为紊流；当 时，流动状态可能是层流，也可能是紊流，处于极不稳定的状态，任意微小扰动都能破坏稳定，变为紊流。
显然，上临界雷诺数在工程上一般没有实用意义，故通常都采用下临界雷诺数 作为判别流动状态是层流或紊流的准则数。
即：
cc eRReRe
cReRe? ceRRe
cRe
VdRe?
VdRe?
≤2000
>2000
是层流是紊流工程中实际流体（如水、空气、蒸汽等）的流动，几乎都是紊流，
只有黏性较大的液体（如石油、润滑油、重油等）在低速流动中，
才会出现层流。
流体在任意形状截面的管道中流动时，雷诺数的形式是
eVdRe? (6-10)
式中
ed
雷诺数之所以能作判别层流和紊流的标准，可根据雷诺数的物理意义来解释。黏性流体流动时受到惯性力和黏性力的作用，这两个力用量纲可分别表示为
22 lV
dt
dVm
VlAdydV
黏性力惯性力
Vl
lVVl
22Re
为当量直径。
惯性力黏性力由此可知雷诺数是惯性力与黏性力的比值。
雷诺数的大小表示了流体在流动过程中惯性力和黏性力哪个起主导作用。雷诺数小，表示黏性力起主导作用，流体质点受黏性的约束，处于层流状态；雷诺数大表示惯性力起主导作用，
黏性不足以约束流体质点的紊乱运动，流动便处于紊流状态。
三、能量损失与平均流速的关系如果将两根测压管接在雷诺实验装臵中玻璃管 B的前后两端，如图 6-7所示，可测出有效截面 1-1和 2-2间的能量损失，并找出管中平均流速与能量损失之间的关系。
列截面 1-1和 2-2的伯努利方程
f
2
2222
2
1111
22 hg
V
g
pz
g
V
g
pz
由于玻璃管是等截面管，所以,
21 VV? 21
21 zz?
g
pph
f?
21
可见，测压管中的水柱高差即为有效截面 1-1和 2-2间的压头损失。
并令,另外玻璃管是水平放臵的，即,于是上式可写成将测得的平均流速和相应的压头损失，在对数坐标上表示出，如图
4-8所 示。先做层流到紊流的试验，当流速逐渐增加时,与成正比增大，如图中的 OAB直线。当流速增加到一定程度时层流变为紊流,突然从 B点上升到 C点。以后再增大流速时,要比 增加得快，如图中的 CD线，其斜率比 OAB线的斜率大，此后若将流速逐渐减小，则 与 的关系曲线沿 DCAO线下降。 A点和 B点各为相应的下临界流速 和上临界流速,ABC为过渡区。
fh V
fh fh
V
fh V
cV c
V?
图 6-7 水平等直管道中水头损失 图 6-8 层流和紊流的与的关系曲线由实验所得的图 6-8可知，当 时，即层流时,与的一次方成正比；当 时，即紊流时,与 成正比。
值与管壁粗糙度有关：对于管壁非常光滑的管道 ；对于管壁粗糙的管道,所以紊流中的压头损失比层流中的要大。
cVV? fh V
cVV fh mV
m
75.1?m
2?m
从上述讨论可以得出，流型不同，其能量损失与速度之间的关系差别很大，因此，在计算管道内的能量损失时，必须首先判别其流态（层流，紊流），然后根据所确定的流态选择不同的计算方法。
【 例 6-3】 管道直径 100mm，输送水的流量 m3/s，
水的运动黏度 m2/s，求水在管中的流动状态？若输送 m2/s的石油，保持前一种情况下的流速不变，流动又是什么状态？
d 01.0?Vq
6101
41014.1
【 解 】 （ 1）雷诺数
Vd?Re
27.11.014.3 01.044 22 dqV V?
2 0 0 01027.1101 1.027.1Re 56
（ m/s）
故水在管道中是紊流状态。
（ 2）
2 0 0 01 1 1 41014.1 1.027.1Re 4Vd
故油在管中是层流状态。
第三节 流动损失分类实际流体在管内流动时，由于黏性的存在，总要产生能量损失。
产生能量损失的原因和影响因素很复杂，通常可包括黏性阻力造成的黏性损失
fh
jh
一、沿程阻力与沿程损失黏性流体在管道中流动时，流体与管壁面以及流体之间存在摩擦力，所以沿着流动路程，流体流动时总是受到摩擦力的阻滞，这种沿流程的摩擦阻力，称为沿程阻力。流体流动克服沿程阻力而损失的能量，就称为沿程损失。沿程损失是发生在缓变流整个流程中的能量损失，它的大小与流过的管道长度成正比。造成沿程损失的原因是流体的黏性，因而这种损失的大小与流体的流动状态（层流或紊流）
有密切关系。
两部分。
和局部阻力造成的局部损失单位重量流体的沿程损失称为沿程水头损失，以 表示，单位体积流体的沿程损失，又称为沿程压强损失，以 表示 。
fh
fp?
ff ghp
在管道流动中的沿程损失可用下式求得
g
V
d
lh
2
2
f
2
2
f
V
d
lp
(6-11)
(6-11a)
式中?
l
d
V
— 沿程阻力系数，它与雷诺数和管壁粗糙度有关，是一个无量纲的系数，将在本章第六节进行讨论；
式（ 6-11）称为达西 -威斯巴赫（ Darcy-Weisbach）公式。
— 管道长度,m；
— 管道内径,m；
— 管道中有效截面上的平均流速,m/s。
二、局部阻力与局部损失在管道系统中通常装有阀门、弯管、变截面管等局部装臵。流体流经这些局部装臵时流速将重新分布，流体质点与质点及与局部装臵之间发生碰撞、产生漩涡，使流体的流动受到阻碍，
由于这种阻碍是发生在局部的急变流动区段，所以称为局部阻力。流体为克服局部阻力所损失的能量，称为局部损失。
单位重量流体的局部损失称为局部水头损失，以 表示，单位体积流体的局部损失，又称为局部压强损失，以 表示 。
jh
jp?
jj ghp
在管道流动中局部损失可用下式求得
g
Vh
j 2
2
2
2Vp
f
(6-12)
(6-12a)
式中 — 局部阻力系数。
局部阻力系数 是一个无量纲的系数，根据不同的局部装臵由实验确定。在本章第八节进行讨论。
三、总阻力与总能量损失在工程实际中，绝大多数管道系统是由许多等直管段和一些管道附件连接在一起所组成的，所以在一个管道系统中，既有沿程损失又有局部损失。我们把沿程阻力和局部阻力二者之和称为总阻力，沿程损失和局部损失二者之和称为总能量损失。总能量损失应等于各段沿程损失和局部损失的总和，即
jfw hhh
jfww ppghp?
(6-13)
(6-13a)
上述公式称为能量损失的叠加原理。
第四节 圆管中流体的层流流动黏性流体在圆形管道中作层流流动时，由于黏性的作用，在管壁上流体质点的流速等于零，随着流层离开管壁接近管轴时，流速逐渐增加，至圆管的中心流速达到最大值。本节讨论流体在等直径圆管中作定常层流流动时，在其有效截面上切应力和流速的分布规律。
一、数学模型图 6-9 等直径圆管中的定常层流流动流体在等直径圆管中作定常层流流动时，取半径为,长度为 的流段 1-2为分析对象，如图 6-9所示。作用在流段
1— 2上的力有：截面 1-1和 2-2上的总压力 和,
在这里是假设截面 1-1和 2-2上的压强分布是均匀的；流段 1-2
的重力 ；作用在流段侧面上的总摩擦力,
方向与流动方向相反。
r
l
ApP 11? ApP 22?
gAlGrlT 2?
图 6-9 等直径圆管中的定常层流流动由于流体在等直径圆管中作定常流动时加速度为零，故不产生惯性力。根据平衡条件，写出作用在所取流段上各力在流动轴线上的平衡方程：
0s i n221 g A lrlApAp
式中：
21s i n zzl
2rA
以 除以上式各项，整理得g A lG
lgrgpzgpz 22211
(6-14)
对截面 1-1和 2-2列出伯努利方程得
f
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 22 hg
V
g
pz
g
V
g
pz
在等直径圆管中,,故
21
21 VV?
，
g
pz
g
pzh
f
2
2
1
1
(6-15)
将式（ 6-15）代入式（ 6-14）中得
lgrh f2?
(6-16)
在层流中切应力 可用牛顿内摩擦定律来表示，即?
r
u
d
d (6-17)
由于流速 随半径 的增加而减小，即 是负值，为了使 为正值，式（ 6-17）等号在右端取负号。
u r
r
u
d
d
二、速度分布为了求出速度分布，现将式（ 6-17）代入式（ 6-16）中整理得
rrlprrlhgu ff d 2d2d
积分上式得
Crlpu f 2 4?
根据边界条件确定积分常数,在管壁上,,则
C 0rr? 0?u
2
0 4 rl
pC f
代入上式得 )(
4
22
0 rrl
pu f
(6-18)
式（ 6-18）表明在有效截面上各点的流速 与点所在的半径 成二次抛物线关系，
如图 6-10所示。
在 的管轴上，流速达到最大值：
u
r
0?r
2
0m ax 4 rl
pu f
(6-19)
图 6-10 圆管中层流的速度分布三、流量及平均流速现求圆管中层流的流量：取半径 处厚度为 d 的一个微小环形面积，每秒通过这环形面积的流量为
r r
r d rudq V?2?
由通过圆管有效截面上的流量为
A
r r f
VV rrrrl
prruqq 0 0
0 0
220 d2)(
4d2d
40
0
220
8d)( 2
0 r
l
prrrr
l
p frf
(6-20)
这就是层流管流的哈根 -普索勒（ Hagen-Poiseuille）流量定律。
该定律说明：圆管中流体作层流流动时，流量与单位长度的压强降和管半径的四次方成正比。
圆管有效截面上的平均流速
2
02
0
4
0
8 8 rl
p
rl
rp
A
qV ffV
(6-21)
比较式（ 6-19）和式（ 6-21）可得
m ax2
1 uV?
(6-22)
即圆管中层流流动时，平均流速为最大流速的一半。工程中应用这一特性，可直接从管轴心测得最大流速从而得到管中的流量,这种测量层流的流量的方法是非常简便的。
Auq V m ax21?
四、切应力分布由牛顿内摩擦定律可得到切应力在有效截面上的分布规律。
l
rprr
l
p
dr
d
dr
du ff
2)( 4
22
0
(6-23)
在管壁处,,故式（ 6-23）成为
0rr? 0 l
rp f
2
0
0
(6-24)
由式（ 6-23）和式（ 6-24）得
0
0 r
r (6-25)
式（ 6-25）表明，在圆管的有效截面上，切应力 与管半径 的一次方成比例，为直线关系，在管轴心处 时,如图 6-11所示。
r
0?r 0 图 6-11 圆管有效截面上的切应力五、沿程损失
fh
流体在等直径圆管中作层流流动时,流体与管壁及流体层与层之间的摩擦,将引起能量损失,这种损失为沿程损失 。 由式 （ 6-21）
可得沿程损失
2
0
f
f
8
g gr
lVph
由此可见，层流时沿程损失与平均流速的一次方成正比。
由于,代入上式得
g
V
d
l
Reg
V
d
l
Vdgr
lV
h
2
64
2
2328 22
2
0
f?
令
Re
64
为沿程阻力系数，在层流中仅与雷诺数有关。于是得
g
V
d
lh
2
2
f
该式与式（ 6-11）的形式相同。
六、动能修正系数?
已知黏性流体在圆管中作层流流动时的速度分布规律,便可求出黏性流体总流伯努利方程中的动能修正系数,将式 （ 6-18）
和式 （ 6-21） 代入到式 （ 6-6） 得,?
221211
3
0
2
0
2
0
3 0
r d r
r
r
r
dA
V
u
A A
r
(6-27)
（ 6-26）
【 例 6-4】 圆管直径 mm,管长 m,输送运动黏度 cm2/s的石油,流量 m3/h,求沿程损失 。
200?d 1000?l
6.1 144?Vq
【 解 】 判别流动状态
20005.1587106.1 2.027.1Re 4Vd 为层流式中
27.12.014.33 6 0 0 14444 22 dqV V?
（ m/s）
由式（ 6-6）
57.16806.92 27.12.010005.1587 642642
222
f g
V
d
l
Reg
V
d
lh?
（ m 油柱）
【 例 6-5】 输送润滑油的管子直径 8mm，管长 15m，如图
6-12所示。油的运动黏度 m2/s，流量 12cm3/s，求油箱的水头 （不计局部损失）。
d?l
61015
Vq
h
图 6-12 润滑油管路
239.0008.014.3 101244 2
4
2
d
qV V
（ m/s）
雷诺数
20005.1271015 008.0239.0 6VdRe
为层流列截面 1-1和 2-2的伯努利方程
f
2
2
2
2
1
1 202 hg
V
g
p
g
V
g
ph aa
认为油箱面积足够大，取 0
1?V
g
V
d
l
Reg
Vh
2
64
2
2
2
2
2
2f
806.92
239.0
008.0
15
5.127
64
806.92
239.02 22
75.2?
(m)
，则第五节 圆管中流体的紊流流动从本章第二节中的雷诺实验可知，当 ceRRe
一、紊流脉动现象与时均速度流体质点在运动过程中，不断地互相掺混，引起质点间的碰撞和摩擦，产生了无数旋涡，形成了紊流的脉动性，这些旋涡是造成速度等参数脉动的原因。紊流是一种不规则的流动状态，其流动参数随时间和空间作随机变化，因而本质上是三维非定常流动，且流动空间分布着无数大小和形状各不相同的旋涡。因此，
可以简单地说，紊流是随机的三维非定常有旋流动。流动参数的变化称为脉动现象。
时，管内流动便会出现杂乱无章的紊流，流体运动的参数，如速度、压强等均随时间不停地变化。在紊统流动时，其有效截面上的切应力、流速分布等与层流时有很大的不同。
在流场中的某一空间点如用高精度的热线热膜风速仪来测量流体质点的速度，则可发现速度是随时间而脉动的，
如图 6-13所示。从图中可见紊流中某一点的瞬时速度随时间的变化极其紊乱，似乎无规律可循。但是在一段足够长时间 内，即可发现这个变化始终围绕着某一平均值，在其上下脉动，这就反映了流体质点掺混过程中脉动现象的实质，揭示了紊流的内在规律性。
1t
图 6-13 脉动速度时间
1t
1
01
d1
t
tutu
（ 6-28）
内，速度的平均值称为时均速度，定义为于是流场的紊流中某一瞬间，某一点瞬时速度可用下式表示。
uuu (6-29)
其中,称为脉动速度，由于 流体质点在紊流状态下作不定向的杂乱无章的流动，脉动速度 有正有负。但是在一段时间内，脉动速度的平均值为零，即 。
u? u?
u?
0u
紊流中的压强和密度也有脉动现象，同理 和 也同样可写成
p?
ppp （ 6-30）
在实际工程和紊流试验中，广泛应用的普通动压管只能测量它的时均值，所以在研究和计算紊流流动问题时，所指的流动参数都是时均参数，如时均速度,时均压强 等。为书写方便起见，常将时均值符号上的“一”省略。我们把时均参数不随时间而变化的流动，称为准定常紊流。
u p
二、紊流中的切向应力在黏性流体层流流动时，切向应力表现为由内摩擦力引起的摩擦切向应力。在黏性流体紊流流动中，与层流一样，由于流体的黏性，各相邻流层之间时均速度不同，从而产生摩擦切向应力 。
t?
1.摩擦切向应力另外，由于流体有横向脉动速度，流体质点互相掺混，发生碰撞，引起动量交换，因而产生附加切应力,
向应力是由摩擦切向应力和附加切应力两部分组成。
因此紊流中的切摩擦切向应力可由牛顿内摩擦定律式（ 1-10）求得
y
u
d
d
2．附加切向应力附加切向应力可由普朗特混合长度理论推导出来。
设管内紊流时均速度 的分布如图 6-14所示，在流层 1上某一流体质点有轴向脉动速度 和横向脉动速度 。横向脉动速度 使流体质点从流层 1运动一个微小距离 到另一流层 2。
普朗特假定 相当于气体分子的平均自由行程。流层 1上的流体的时均速度为,则流层 2上的时均速度为 。
u
u
l?
l?
u l
y
uu
d
d
图 6-14 紊流时均速度分布在 时间内，由流层 1经微小面积 d
流向流层 2的流体质量为
td A
tAm ddd
质量 的流体到流层 2后与该层上的流体互相碰撞，发生动量交换。在 时间内动量变化为md td
lyutAulyuum
d
ddd
d
dd
根据动量定理，动量变化等于作用在 流体上外力的冲量。这个外力就是作用在 上的水平方向的附加阻力,于是得
md
Ad Fd
lyutAtF dddddd
式中 表示与 X轴平行的流层之间作用在面积 上的总切力。
则单位面积上的附加切应力为 Fd
Ad
lyuAFt dddd
（ 6-31）
假设脉动速度
u yudd
与时均速度 的增量 成正比，即
y
uk
d
d
代入式（ 6-31），得到紊流的附加切应力
2
2
2
2
d
d
d
d
y
ul
y
ulk
t
式中 22 lkl 普朗特将
l
称为混合长度，并认为它与 y
成正比，即
kyl?
式中
k
— 比例常数，由实验确定所以，紊流中的总切向应力等于
2
2
d
d
d
d
y
ul
y
u
t
摩擦切应力
t?不同的，例如在接近管壁的地方黏性摩擦切应力起主要作用，等号右边的第二项可略去不计；在管道中心处，流体质点之间混杂强烈，附加切应力起主要作用，故可略去等号右边的第一项。
的影响在有效截面上的各处是和附加切应力三、紊流结构、“光滑管”和“粗糙管”
1．紊流结构分析由上节可知，黏性流体在管内作层流流动时，有效截面上的速度分布为抛物线分布。
黏性流体在管中作紊流流动时，管壁上的流速为零，从管壁起流速将从零迅速增大，在紧贴管壁处一极薄层内，速度梯度很大，黏性摩擦切应力起主要作用，处于层流状态，称为层流底层，距管壁稍远处有一黏性摩擦切应力和紊流附加切应力同样起作用的薄层，称为层流到紊流的过渡区；之后便发展成为完全紊流，称为紊流核心。如图 6-15所示。
层流底层的厚度在紊流水流中通常只有十分之几毫米。层流底层的厚度 可由下列两个半经验公式计算?
管道中 mm (6-33)
Re
d8.32?
明渠中
Re
Rh8.32? mm （ 6-34）
图 6-15 紊流结构
1— 层流底层； 2— 过渡区； 3— 紊流核心式中 — 管道直径,mm；
— 水力半径,mm；
— 沿程阻力系数
d
hR
从上式可以看出，层流底层的厚度取决于流速的大小，流速越高，层流底层的厚度越薄，反之越厚。
层流底层虽然很薄，但是它对紊流流动的能量损失以及流体与管壁之间的热交换起着重要的影响。例如层流底层的厚度越薄，换热就越强，流动阻力也越大。任何管子由于材料、加工、使用条件和年限等影响，管道内壁总是凹凸不平，其管壁粗糙凸出部分的平均高度 称为管壁的绝对粗糙度，而把 与管内径 的比值 称为管壁的相对粗糙度。
常用管道绝对粗糙度见表 6-1和表 6-2。
d d?
2．“光滑管”和“粗糙管”
从式（ 6-33）可知，层流底层的厚度 随着 的减小而增厚，当 时，则管壁的粗糙凸出的高度完全被层流底层所掩盖，如图 6-16(a)所示。这时管壁粗糙度对流动不起任何影响，液体好象在完全光滑的管道中流动一样。这种情况下的管道称为“水力光滑”管，简称为“光滑管”。
当 时，即管壁的粗糙凸出部分突出到紊流区中，
如图 6-16(b)所示。当流体流过凸出部分时，在凸出部分后面将引起旋涡，增加了能量损失，管壁粗糙度将对紊流流动发生影响。这种情况下的管道称为“水力粗糙”管，简称“粗糙管”。
在这里需要说明的是，对同一绝对粗糙度 的管道，当流速较低时，其层流底层厚度 可能大于,当流速较高时，
其层流底层厚度 可能小于,因此同一根管道，在不同的流速下，可能是光滑管也可能是粗糙管。
Re
图 6-16 水力光滑和水力粗糙
（ a）,光滑管,；（ b）,粗糙管,
四、圆管中紊流有效截面上的切应力分布和速度分布
1．切应力分布紊流在半径 的管内流动，轴向时均速度为,切向应力在管长为 的管段上产生的能量损失，即压强损失 。若用管壁上的切向应力 来计算，则
(6-35)
如果在二个有效截面之间取半径为 （ ）的流管，则流管表面上切应力 可表示为
(6-36)
0r u
l p?
0?
)(2 212000 pprlr
l
pr
2
0
0
r 0rr?
l
pr
2
因此，在有效截面上的切应力分布为
(6-37)
上式说明，紊流切向应力分布也与层流一样，与管半径的一次方成比例，为直线关系，在 处切应力为零，如图 6-17所示，从图中可以看出，层流 (a)的 与紊流 (b)的是不同的，两者的斜率不一样。
在紊流中切应力是指摩擦切应力和附加切应力，这两种切应力在层流底层和紊流核心所占比例不一样，在层流底层中，摩擦切应力 占主要地位，在紊流核心中附加切应力 占主要地位，根据对光滑管紊流实验，如图 6-17(b)
中的斜线部分为摩擦切应力，在 处附加切应力最大，
当 摩擦切应力占主要，而在 范围内，摩擦切应力几乎为零，是以附加切应力为主的紊流核心区。
rr
0
0
r
0?r
0? 0?
t?
095.0 rr?
095.0 rr? 07.0 rr?
图 6-17 切应力分布
（ a）层流；（ b）紊流
2．速度分布在层流底层（ ）中的切向应力为所以令,由于它具有速度的量纲，故称其为切应力速度，则有或
(6-38)
由此可知，层流底层中的速度是按直线规律分布的。
y
y
u
yyu
u
yuu 2
*
*
yu
u
u?
在紊流区（ ）中假定切应力不变，令 （ 为管壁上的切向应力），则常数或
(6-39)
由式（ 6-39）可得积分得
(6-40)
式中的积分常数 可根据层流底层与紊流区交界处（ ）
的速度 相等的条件来确定，即或 （ 6-41）
（ 6-42）
y
0 0
2222
0 d
d)(
d
d
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u *01
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Cy
*
*
u
u
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2* )(u
u
Ckuu ln1*
由式（ 6-41）得或
（ 6-43）
式中 —— 层流底层的雷诺数，
将式（ 6-41）和（ 6-43）代入式（ 6-42）得
（ 6-44）
将式（ 6-44）代入式（ 6-40）得再令,整理上式得
（ 6-45）
u
uRe
u
uu
u
u **
*
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uRe?
ln1* kuuC
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*
*
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1
*
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1 Cyu
ku
u
尼古拉兹（ Nikuradse）对光滑圆管中的紊流进行试验的结果得到：,。代入式（ 6-45）得
（ 6-46）
式（ 6-46）即为圆管紊流速度分布的对数规律，此式只适用于光滑圆管。
在圆管的轴线处（ ），,代入式（ 6-46）得
（ 6-47）
将式（ 6-47）与式（ 6-46）相减后得到
（ 6-48）
40.0?k 5.51?C
5.5l o g75.5
5.5ln50.2
*
*
*
*
yu
u
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u
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5.5log75.5
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*
0
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u
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0
*
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l o g75.5
ln50.2
式（ 6-48）称为普朗特公式。由于消去了常数项 5.5，并经大量实验证明，此式对光滑管和粗糙管都适用。圆管紊流流速分布还可以近似地用一个简单的指数规律示之，即
（ 6-49）
则平均流速 与最大流速 之比，可由下式求得即 （ 6-50）
指数 n 随雷诺数 而变化，在不同指数 n下的 与 的此值见表 6-3。
由表 6-3知，当 =1.1× 105时,n=7。由式（ 6-49）则有
（ 6-51）
这就是紊流的七分之一次方规律公式。
n
r
y
u
u
1
0m a x
V maxu
00
0
0
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m a x d)(2
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2 2
m a x
nn nu V
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maxu
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7/1
0m a x
r
y
u
u
表 6-3中列出了平均流速 与最大流速 在不同雷诺数 下的比值。因而可用测定管轴处最大流速，用表 6-3内的比值换算出平均流速，即可求出流量。利用这种方法求管道有效截面上的平均流速及流量是非常简便的。
从以上分析可知，层流底层中的速度是按直线规律分布的，在紊流的核心区速度是按对数规律分布的，在核心区速度分布的特点是速度梯度较小，速度比较均匀，如图 6-18所示，这是由于紊流时质点脉动掺混，动量交换强烈的结果
V maxu Re
五、紊流流动中沿程损失的计算式（ 6-11）也适用于对紊流流动沿程损失的计算，
关键要确定紊流中的沿程阻力系数 。在一般情况下,即 值不仅取决于雷诺数,而且还取决于管壁相对粗糙度,情况比较复杂。
紊流流动中的沿程阻力系数 的计算公式，要在大量实验的基础上，对实验结果进行归纳分析，得出在不同条件下的经验公式，
下节将详细讨论。
/d )Ref,(
Re
d?
图 6-18 紊流速度分布第六节 沿程阻力系数的实验研究层流流动的沿程阻力系数的计算公式已在第四节中用理论分析的方法推导出。由于紊流流动的复杂性，管壁粗糙度又各不相同，所以紊流流动的沿程阻力系数 值还不能与层流 一样完全从理论上来求得，而依靠对实验测得的数据进行整理归纳，得到经验公式。有许多学者和工程师做过值的实验研究工作，在这类实验研究中，以德国尼古拉兹（ J,Nikuradse）实验最有系统、范围最广，具有一定的代表性。
一、尼古拉兹实验各种管道的管壁都有一定的粗糙度，但管壁的粗糙度是一个既不易测量也无法准确确 定的数值。为了避免这个困难，尼古拉兹采用人工方法制造了各种不同粗糙度的圆管，即用漆胶将颗粒大小一样的砂粒均匀地贴在管壁上，
砂粒直径表示管壁粗糙突出高度 。实验时采用砂粒直径 （即管壁的绝对粗糙度）与圆管半径 之比 表示以半径计算的管壁的相对粗糙度，用三种不同管径的圆管
（ 25mm,50mm,l00mm）和六种不同的 值（ 15,30.6、
60,126,252,507）在不同的流量下进行实验。对每一个实验找出沿程阻力系数且与雷诺数 和 之间的关系曲线。为了便于分析起见，将所有的实验结果画在同一对数坐标纸上，以 为横坐标，以 100 为纵坐标，并以为参变数，即属于同一 的实验点用线连起来。 从
6× 102~106，包括层流在内，这个实验结果反映了圆管流动中的全部情况，如图 6-19所示。现在将尼古拉兹实验曲线分成五个区域加以分析：
r r?
r
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Re
Re
Re?r
图 6-19 尼古拉兹实验曲线
1．层流区当 <2300时，所有六种不同的 的实验点都落在同一条直线上。这说明在层流流动时，沿程阻力系数 与管壁相对粗糙度 无关，而仅与雷诺数 有关，即图 6-19中的直线 1恰好满足此方程，说明沿程损失 与有效截面平均流速 一次方成正比，实验进一步证实了层流理论分析的正确性。
2．层流到紊流的过渡区
2300< <4000，当雷诺数超过 2300时，流动状态开始发生变化，各种 的实验点离开 1线，集中在一个很狭小的三角形区域内，这区域就是上、下临界雷诺数之间的不稳定区域，也就是层流到紊流的过渡区。
rRe
Re
r?
Re ）（ Ref
Re
64
fh
V
r
3．紊流水力光滑管区
4000< <59.6，各种不同 的实验点都落在同一倾斜直线 2上，在这区域内沿程阻力系数 仍与相对粗糙度 无关，而仅与 有关，即 。
这是由于层流底层的厚度还较大，足以掩盖粗糙突出高度 的影响，这区域就是紊流水力光滑管区。但是不同的 所占该直线上区段的长短也不同,值越小所占区段越短,值越大所占区段越长。 =30.6的曲线几乎没有紊流光滑管区。这是由于在相同的雷诺数下，即在同样的层流底层厚度的情况下，较大的粗糙突出高度 先露出层流底层，变为水力粗糙管。
Re
Re
r
r
r
r
）（ Ref
r?r
对于 4× 103< <105的这段直线 2，勃拉休斯（ H.Blasius）
归纳了大量的实验数据，得出下列计算式
（ 6-52）
在 105< <3× 106范围内，尼古拉兹结合普朗特的理论分析得到的公式为
（ 6-53）
这就是光滑管的普朗特阻力公式，即图 6-19中的曲线 3。
若将式（ 6-52）代入式（ 6-11）中，可以证明沿程损失与平均流速 成正比。
Re
Re
25.0
3 1 6 4.0
Re
8.0)l o g (21 Re
fh
75.1V
4．紊流水力粗糙管过渡区
< <,当雷诺数 继续逐渐增加时，层流底层的厚度逐渐减小,小的实验点先脱离直线 2，进入 4区，其它各种 较大的实验点也随着 的增加先后脱离直线 2，进入 4区。也就是说，各种不同 的水力光滑管先后相继变为水力粗糙管。在这个过渡区内,值与,
（即或 ）有关，即,情况比较复杂，
计算 的经验公式也比较多，如可用阔尔布鲁克
（ Colebrook）提出的经验公式
（ 6-54）
78)(6.59?r 85.0)(4 1 6 0?rRe Re
r
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Re
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d? ）（ dRef,?
Red
51.2
7.3
l o g21
也可用兰格（ M,Lange）归纳的公式
（ 6-55）
式中 为正比于管壁平均凹凸的糙性长度，而不是绝对粗糙度 。表 6-4给出了几种常用材料的 值。
还可用洛巴耶夫（ Б.И.ЛобаеВ）的经验公式
（ 6-56）
式中 — 管道直径,m；
— 粗糙度,m；
— 流量,m3／ s；
— 运动粘度,m2／ s。
Red
88.20096.0
22
2 7 4.1l o g
42.1
l o g
42.1
vqdRe
d
Vq
5．紊流水力粗糙管平方阻力区
> 。随着雷诺数继续增加，各种相同 的实验点所连成的线先后进入区域 4后部的 5区域，所有的线都是平行于横坐标的直线，也就是说同一相对粗糙度的圆管有相同的 值，而与 无关，仅与相对粗糙度
（或 ）有关，即,这是因为此时层流底层的厚度已经非常薄，管壁粗糙度的作用已大大超过了层流底层内流体的黏性作用。
由式（ 6-11）可知，在水力粗糙区 值仅是 的函数，
而同一 的圆管中 值是一个常数，沿程损失与平均流速的平方成正比，所以这个区域称为平方阻力区。
平方阻力区的 值可按尼古拉兹归纳的公式进行计算，即
（ 6-57）
Re
Re
r
85.0)(4 1 6 0?r
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2)/l o g274.1( r?
由式（ 6-57）可知，在这区域中，要使两个流动的沿程阻力系数 值相等，只要使这两个流动（模型与实型）
的相对粗糙度 相等即可，无需雷诺数 相等。因此紊流粗糙管平方阻力区又称为“自动模化区”，简称“自模区”。式（ 6-57）根据不同的 的计算结果列成表 6-5。
以上介绍了尼古拉兹用人工粗糙度的管子所进行的实验。由此实验可知，流动在图 6-19中不同的区域里，沿程阻力系数 值的计算公式是不同的。因此在计算沿程损失时，应先判别流动处在哪个区域，然后采用相应的公式去计算 值。
r
r? Re
二、莫迪图尼古拉兹的实验曲线是用各种不同的人工均匀砂粒粗糙度的圆管进行实验得到的，这 与工业管道内壁的自然不均匀粗糙度有很大差别。因此在进行工业管道的阻力计算时，不 能随便套用图 6-19去查取 值。莫迪 （ F.Moody）
根据光滑管、粗糙管过渡区和粗糙管平方阻力区中计算的公式绘制了莫迪实用曲线，如图 6-20所示。该图按对数坐标绘制，表示 与,之间的函数关系。整个图线分为五个区域，即层流区、临界区（相当于尼古拉兹曲线的过渡区）、光滑管区、过渡区（相当于尼古拉兹曲线的紊流水力粗糙管过渡区）、完全紊流粗糙管区（相当于尼古拉兹曲线的平方阻力区）。利用莫迪曲线图确定沿程阻力系数 值是非常方便的。在实际计算时根据 和,
从图 6-20中查得 值，即能确定流动是在哪一区域内。
d?
d?Re
Re
图 6-20 莫迪图
【 例 6-6】 输送石油的管道长 5000m，直径 250mm
的旧无缝钢管，通过的质量流量 100t/h，运动黏度在冬季 =1.09× 10-4m2/s，夏季 =0.36× 10-4m2/s，
若取密度 885kg/m3，试求沿程水头损失各为多少？
解析
【 例 6-7】 输送空气（ t=20℃ ）的旧钢管道，取管壁绝对粗糙度 lmm，管道长 400m，管径 250mm，管道两端的静压强差为 9806Pa，试求该管道通过的空气流量 为多少?
解析
l?d
mq
冬? 夏?
l?d
fp
Vq
【 解 】 首先判别流动所处的区域体积流量
112.99（ m3/h）
平均流速
0.64（ m/s）
雷诺数 冬季 1467.9<2000 为层流夏季 4444.4>2000 为紊流
8 8 5101 0 0
3
m
V
22 25.014.33 6 0 0 99.1 1 244 dqV V?
41009.1
25.064.0
冬冬?
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41036.0
25.064.0
夏夏?
VdRe
需进一步判别夏季石油在管道中的流动状态处于紊流哪个区域，查表 6-1得旧无缝钢 管 0.19
59.6 = =99082>4444.4
即 4000< <99082，流动处于紊流光滑管区。
沿程水头损失冬季 （ m 石油柱）
由于夏季石油在管道中流动状态处于紊流光滑管区，故沿程阻力系数用勃拉休斯公式计算，即夏季
（ m 石油柱）
78)(?r
78
19.0
1 2 56.59?
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2.1881.92 64.025.050009.1467 642
22
f g
V
d
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0388.0
4.4444
3164.03164.0
25.025.0 Re?
2.1681.92 64.025.050000388.02
22
f g
V
d
lh?
【 解 】 因为是等直径的管道，管道两端的静压强差就等于在该管道中的沿程损失。
t= 20℃ 的空气，密度 1.2kg/m3，运动粘度
15× 10-6m2/s。
管道的相对粗糙度,由莫迪图试取 0.027
故
(m/s)
2
2
f
V
d
lp
004.02501d
45.19
2.14 0 002.0
9 8 0 625.022 f
l
pd
V
雷诺数根据 和,由莫迪图查得 0.027，正好与试取的值相符合。若两者不相符合,则应将查得的 值代入上式，按上述步骤进行重复计算，直至最后由莫迪图查得的值与改进的 值相符合为止。
管道通过的空气流量为
(m3/s)
3 2 4 1 6 7
1015
25.045.19
6
VdRe
Re d
9 5 4.025.0414.345.194 22 dVq V?
第七节非圆形截面管道沿程损失的计算在工程上大多数管道都是圆截面的，但也常用到非圆形截面的管道，如方形和长方形截面的风道和烟道。此外，
锅炉尾部受热面中的管束（如空气预热器）也属非圆形截面的管道。通过大量试验证明，圆管沿程阻力的计算公式仍可适用于非圆形管道中紊流流动沿程阻力的计算，但需找出与圆管直径 相当的，代表非圆形截面尺寸的当量值，
工程上称其为当量直径 。
当量直径用下式求得式中 — 有效截面积,m2；
— 湿周，即流体湿润有效截面的周界长度,m；
— 水力半径,m。
d
d
h4
4 RAd
e
A
hR
对充满流体流动的圆形管道，当量直径为即圆形管道的当量直径就是该圆管的直径。
对边长为 a的正方形管道，当量直径为充满流体的长方形、圆环形管道和管束等几种非圆形管道的当量直径可分别按下式求 得（图 6-21）：
长方形管道
aaad e 44
2
dddAd e
24
bh
hb
bh
hb
d e
2
)(2
4
圆环形管道管束为避免计算时误差过大，长方形截面的长边最大不超过短边的 8倍，圆环形截面的大直径至少要大于小直径 3倍。
有了当量直径,非圆形截面管道的沿程阻力损失及雷诺数即为：
（ 6-58）
（ 6-59）
12
21
2
1
2
2
44
4
dd
dd
dd
d e
d
d
SS
d
dSS
d e
21
2
21 444
ed
g
V
d
l
h
e 2
2
f
eVdRe?
图 6-21 几种非圆形管道的截面
【 例 6-8】 有一长方形风道长 40m，截面积Ａ＝
0.5× 0.8m2，管壁绝对粗糙度 0.19mm，输送 t=20℃ 的空气，流量 21600m3/h，试求在此段风道中的沿程损失。
【 解 】 平均流速
(m/s)
当量直径
(m)
20℃ 空气的运动黏度 1.63× 10-5m2/s，密度 1.2kg/m3。
158.05.03 6 0 02 1 6 0 0 AqV V
6 1 5.08.05.0 8.05.022 bh hbd e
l
Vq
雷诺数相对粗糙度查莫迪曲线图 6-20得沿程损失
= (m 空气柱 )
沿程压强损失
(Pa)
5 6 5 9 5 01063.1 615.015 5 eVdRe
0 0 0 3 1.06 1 519.0
ed
0165.0
g
V
d
lh
e 2
2
f
3.128 0 6.92 156 1 5.0 400 1 6 5.0
2
8.1 4 42.18 0 6.93.12ff ghp?
第八节 局 部 损 失 的 计 算在本章第三节叙述阻力的分类时知道，当流体流经各种阀门、弯头和变截面管等局部装置，流体将发生变形，产生阻碍流体运动的力，这种力称为局部阻力，由此引起的能量损失称为局部损失，计算局部损失用下面的公式：
由此可知，计算 归结为求局部阻力系数 的问题，局部阻力产生的原因是十分复杂 的，只有极少数的情形才能用理论分析方法进行计算，绝大多数都要由实验测定。
流体从小截面的管道流向截面突然扩大的大截面管道是目前唯一可用理论分析得出其计算公式的典型情况，下面对此进行叙述。
g
Vh
2
2
j
jh
一、损失产生的原因如图 6-22表示流体从小截面流向突然扩大的大截面管道。
由于流体质点有惯性，流体质点的运动轨迹不可能按照管道的形状突然转弯扩大，即整个流体在离开小截面管后只能向前继续流动，逐渐扩大，这样在管壁拐角处流体与管壁脱离形成旋涡区。旋涡区外侧流体质点的运动方向与主流的流动方向不一致，形成回转运动，因此流体质点之间发生碰撞和摩擦，消耗流体的一部分能量。同时旋涡区本身也不是稳定的，在流体流动过程中旋涡区的流体质点将不断被主流带走，也不断有新的流体质点从主流中补充进来，即主流与旋涡之间的流体质点不断地交换，发生剧烈的碰撞和摩擦，在动量交换中，产生较大的能量损失，这些能量损失转变为热能而消失。
图 6-22 管道突然扩大的流线分布二、局部损失的计算取图 6-22中的大管道的起始截面 1— 1和流道全部扩大后流速重又均匀的截面 2— 2以及它们之间的管壁为控制面。
设截面 1— 1和 2— 2的中心点的压强各为 和,平均流速各为 和,截面积各为 和,且不可压缩流体在管中作定常流动。根据一维流动不可压缩流体的连续方程 (3-
33)得：
或 （ 6-60）
截面 1— 1和 2— 2间管壁对流体的切向力（即总摩擦力）忽略不计，则根据动量方程有式中 是作用于扩大管凸肩圆环面上的总压力。
由于圆环面上的径向加速度非常小，实验证明圆环面上的压强可按静压强规律分布，即,于是上式可写为或 （ 6-61）
1p 2p
1V 2V 1A 2A
1
2
1
2 VA
AV?
2
1
2
1 VA
AV?
)()( 12122211 VVqAApApAp V
)( 12 AAp?
1pp?
)()( 12221 VVqApp V
)( 12221 VVVpp
列出截面 1— 1和 2— 2的伯努利方程于是将式 (6-61)代入上式，得
（ 6-62）
此式表明，截面突然扩大的局部水头损失，等于“损失速度”
的速度水头。式（ 6-62）可利用式（ 6-60）改写成：
（ 6-63）
即
jhg
V
g
p
g
V
g
p
22
2
22
2
11
)(2 1)(1 222121 VVgppgh j
g
VVVV
gVVVgh j 2
)()(
2
1)(1 2212
2
2
1122
)( 21 VV?
g
V
g
V
A
A
g
V
V
V
h
g
V
g
V
A
A
g
V
V
V
h
22
1
2
1
22
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
j
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
j
g
V
g
Vh
22
2
2
2
2
1
1j
这就是截面突然扩大的局部水头损失的计算公式。 和称为截面突然扩大的局部阻 力系数，它们是各相对于流速 和 而言的，即
（ 6-64）
在计算时要注意，必须按照所用的速度水头来确定其对应的局部阻力系数，或按照已有局部阻力系数的数据，选取对应的速度水头来进行计算，否则计算是错误的。
尽管各种局部装置在形式上有千差万别，然而产生局部损失的原因和物理本质基本上是相同的，即外因是流道几何形状的变化，内因是由于流体的黏性而产生的旋涡区，以及主流与旋涡之间的动量交换，从而造成能量损失。因此确定各种局部装置的局部损失的计算公式形式上应当是一样的。但是公式中的局部阻力系数 值对各种局部装置有各种不同的数值，目前还很难进行理论分析和计算，多靠实验测定。
各种不同局部装置的局部阻力系数 值可查相关的资料，例如水力学手册等。
表 6-6列出了几种局部装置的平均局部阻力系数值。
1? 2?
1V 2V
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
A
A
A
A
【 例 6-9】 如图 6-23所示，水平短管从水深 H=16m的水箱中排水至大气中，管路直径 50mm,70mm，阀门阻力系数 4.0，只计局部损失，不计沿程损失，并认为水箱容积足够大，试求通过此水平短管的流量。
解析
【 例６ -10】 如图 4-24所示，水从密闭水箱沿一直立管路压送到上面的开口水箱中，已知 d=25mm,l=5m,h=0.5m，
5.4m3/h，阀门 6，水温 t=50℃ （ 9690N/m3，
0.556× 10-6m2/s），壁面绝对粗糙度 0.2mm，求压强计读数 。
解析
1d?2d
门?
门Vq
g
Mp
【 解 】 列截面 0— 0和 1— 1的伯努利方程由表 6-6查得 =0.5,=0.24,=0.30，故
（ m/s）
通过水平短管的流量
（ m3/s）
g
V
g
VH
22
0000
2
1
21
2
1 ）（
门缩扩入
入? 1扩?
2缩?
gHV 2
1
1
21
1
门缩扩入
2.7168 0 6.92
0.430.024.05.01
1
0 1 4 1 3.005.042.74 2211 dVq V
图 6-23 水平管道流量计算图 6-24 密闭水箱向上送水
【 解 】 列截面 1— 1和 2— 2的伯努利方程式中根据 和 查莫迪图得,查表 6-6得,,故
（ mH2O）
压强计读数
（ kPa）
w
M 000
g0 hl
p
g
V
g
V
d
lhhh
22
22
jfw ）（ 出门入
06.30 2 5.014.33 6 0 0 4.544 22 dqV V? （ m/s）
1 3 7 5 9 010556.0 025.006.3 6VdRe
0 0 8.025 2.0d
036.0Re d? 5.0?入? 0.1?出?
78 0 6.92 06.3)0.165.00 2 5.0 50 3 6.0(
2
wh
28.1169 6 9 0)75()( wM ghlp?
第九节 管 道 水 力 计 算工程上把不同联接方式联接所组成的管系称为管道。本节所叙述的管道水力计算对工 程实际有重要意义，我们将利用前面所介绍的连续性方程、伯努利方程以及损失的计算方 法对管道进行水力计算。
一、管道系统分类
1．按能量损失大小长管：凡局部阻力和出口速度水头在总的阻力损失中，其比例不足 5％的管道系统，称为水力长管，也就是说只考虑沿程损失。
短管：在水力计算中，同时考虑沿程损失和局部损失的管道系统，称为短管。
2．按管道系统结构简单管道：管径和粗糙度均相同的一根或数根管子串联在一起的管道，如图 6-25(a)所示。
复杂管道：除简单管道以外的管道系统，称为复杂管道，
又可分成：
1）串联管道：不同管径或不同粗糙度的数段管子串联联接所组成的管道系统，如图 6-25(b)。
2）并联管道：是指数段管道并列联接所组成的管道系统，
如图 6-25(c)所示。
枝状管道：如图 6-25(d)所示，各不相同的出口管段在不同位置分流，形状如树枝。
网状管道：如图 6-25(e)所示，通过多路系统相互连接组成一些环形回路，而节点的流量来自几个回路的管道。
图 6-25 管道系统分类二、管道水力计算主要任务管道水力计算的主要任务是：
(1)根据给定的流量和允许的压强损失确定管道直径和管道布置；
(2)根据给定的管道直径、管道布置和流量来验算压强损失；
(3)根据给定的管道直径、管道布置和允许的压强损失，校核流量。
管道水力计算的基本公式有连续性方程、伯努利方程和能量损失公式等三个。
连续性方程常数或常数伯努利方程式中 E为外界（泵、风机等）加给单位重量流体的机械能。
222111 AgVAgVq m
2211 AVAVq V
w
2
22
2
2
11
1 22 hg
V
g
pzE
g
V
g
pz
能量损失其中由上面管道系统分类可知，管道系统的分类类似于电路系统。因此，管道水力计算类似于电路计算，管道中的流量相当于电路中的电流；压降相当于电压，管道阻力相当于电阻。本节只介绍串联管道和并联管道的水力计算。
jfw hhh
，
g
V
d
lh
2
2
f
g
Vh
2
2
j
三、串联管道如图 6-26所示。根据连续性原理，通过串联管道各管段中的流量相等，因而对不可压缩流体有常数 （ 6-65）
或常数串联管道的总能量损失是各段管道中的能量损失之和，即
（ 6-66）
如果各管段的管径都相同，通常称为简单管道，
即,则各管段的平均流速也相等，即 。
321 VVV qqq
332211 AVAVAV
w3w2w1w hhhh
321 AAA
321 VVV
图 6-26 串联管道四、并联管道如图 6-27所示，对于不可压缩流体，根据连续性方程，总流量应等于各支管流量之和,即
（ 6-67）
从能量平衡观点来看，无论对 l,2,3中哪一个支管，联节点 a,b间的能量损失都应等于 a,b两节点之间的压头差，也就是说在 a,b之间各并联支管的能量损失都相同，即
（ 6-68）
321 VVVV qqqq
b)-w( aw3w2w1 hhhh
图 6-27 并联管道图 6-28 串联管道
