第五章 不可压缩流体二维边界层概述
第一节 边界层的基本概念
第二节 边界层的动量积分方程
第三节 曲面边界层分离现象 卡门涡街
第四节 绕流阻力和阻力系数在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体运动时不考虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中许多重要问题，但其结果常受实验条件限制。这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现象持续了 150多年，
直到本世纪初普朗特提出了边界层理论为止。由于边界层理论具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学的一个重要领域。本章介绍边界层的基本概念及研究方法第一节 边界层的基本概念一、边界层的概念
1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念。他认为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，
而在这一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。普朗特的这一理论，在流体力学的发展史上有划时代的意义。
图 5-1所示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动，
根据普朗特边界层理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为三个区域，即边界层、外部势流和尾涡区。
图 5-1 翼型上的边界层
II尾部流区域
I边界层边界层外边界边界层外边界在边界层和尾涡区内，黏性力作用显著，黏性力和惯性力有相同的数量级，属于黏性流体的有旋流动区；在边界层和尾涡区外，流体的运动速度几乎相同，速度梯度很小，边界层外部的流动不受固体壁面的影响，即使黏度较大的流体，黏性力也很小，主要是惯性力。所以可将这个区域看作是理想流体势流区，可以利用前面介绍的势流理论和理想流体伯努里方程来研究流场的速度分布。普朗特边界层理论开辟了用理想流体理论和黏性流体理论联合研究的一条新途径。实际上边界层内、
外区域并没有明显的分界面，一般将壁面流速为零与流速达到来流速度的 99％处之间的距离定义为边界层厚度。边界层厚度沿着流体流动方向逐渐增厚，这是由于边界层中流体质点受到摩擦阻力的作用，沿着流体流动方向速度逐渐减小，因此，只有离壁面逐渐远些，也就是边界层厚度逐渐大些才能达到来流速度。
根据实验结果可知,同管流一样,边界层内也存在着层流和紊流两种流动状态,若全部边界层内部都是层流,称为层流边界层,若在边界层起始部分内是层流,而在其余部分内是紊流,称为混合边界层,如图 5-2所示,在层流变为紊流之间有一过渡区 。 在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层 。 判别边界层的层流和紊流的准则数仍为雷诺数,
但雷诺数中的特征尺寸用离前缘点的距离 x表示之,特征速度取边界层外边界上的速度,即
V
xVRe
x
(5-1)
图 5-2 平板上的混合边界层层流边界层 过渡区域 紊流边界层层流底层对平板的边界层,层流转变为紊流的临界雷诺数为 。 临界雷诺数的大小与物体壁面的粗糙度,
层外流体的紊流度等因素有关 。 增加壁面粗糙度或层外流体的紊流度都会降低临界雷诺数的数值,使层流边界层提前转变为紊流边界层 。
二,边界层的基本特征
(1) 与物体的特征长度相比,边界层的厚度很小,.
(2) 边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度。
(3) 边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体质点受到黏性力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势流速度，边界层厚度必然逐渐增加。
x
65 103~105xRe
(4) 由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。
(5) 在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。
(6) 边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。
第二节 边界层的动量积分方程边界层内的流体是黏性流体的运动，理论上可以用 N-S方程来研究其运动规律。但由此得到的边界层微分方程中，非线性项仍存在，因此即使对于外形很简单的绕流物体求解也是很复杂的，目前只能对平板、楔形体绕流层流边界层进行理论计算求得其解析解。但工程上遇到的很多问题，
如任意翼型的绕流问题和紊流边界层，一般来说求解比较困难，为此人们常采用近似解法，其中应用的较为广泛的是边界层动量积分方程解法。
下面来推导边界层动量积分方程。假定平面边界内流动是定常的并忽略质量力，在边界层的任一处，取单位宽度、沿边界层长度为 d的微元段作为控制体，如 图 5-3所示。控制体的控制面由边界层的横断面 AB与 CD以及内边界 AD和外边界 BC组成。
对控制体应用物理概念十分清楚的动量方程则有：通过控制面
AB,BC,CD的动量变化率等于作用在控制面 AB,BC,CD、
AD上所有外力的合力。
首先计算通过边界层控制面在轴方向上的动量变化率。
单位时间流入 x处控制面 AB的动量为从 处控制面 CD流出的动量为
0
2 d yvK
xx
xx d?
xyv
x
yvx
x
KK
xx
x
x dddd
0
2
0
2
从控制面 BC流入的动量采用下列求法，首先计算从 处控制面
AB流入的质量流量而从 处控制面 CD流出的质量流量为由不可压缩流体的连续性方程可知，通过 CD与 AB控制面质量流量的差值应等于由 BC控制面流入的质量流量，于是流入 BC
控制面的质量流量与动量分别为
0
d yvm xx
x
xx d?
xyvxyvxxKK xxxx dddd
0
2
0
2
xyvxm x dd
0
BC
xyv
x
uK xe dd
0
BC
图 5-3 推导边界层的动量积分关系式用图整理上述单位时间内通过控制面的流体动量的通量在 x方向的分量,得下面计算作用在控制面上所有外力在 x轴方向的合力 。 忽略质量力,故只有表面力 。
作用在控制面 AD上的表面力为作用在控制面 AB,CD上的表面力分别为作用在边界层外边界控制面 BC上的表面力，因摩擦应力为零，
而压强可取 B,C两点压强的平均值，于是有
xyvxuxyvxKKKK xexxxxx dddd
00
2
BCd
xF w dAD
pF x
xx
ppF
xx dd
)(d
d
xxxxppF dddddd21BC
整理上述作用在控制面上的所有表面力在 x方向的代数和,并注意到略去二阶小量,得式 (5-2)又称为边界层动量积分关系式 。 该式是匈牙利科学家冯 ·卡门 (Von,Karman)于 1921年根据边界层的动量定理首先推导出来的 。 由于在推导过程中未加任何近似条件,从这个意义上讲,它是严格的,而且对边界层的流动性质也未加限制,因此它既可求解层流边界层,又可适用于紊流边界层 。
根据动量定理,令,可得边界层动量积分方程为
(5-2)
由于积分上限 只是 的函数，因此式 (5-2)中 的可写成
xxxxppxxpppxF wx dddddd21dd )(dd
xxxp dddd W
xx FK
W
00
2
d
ddd
x
pyv
xuyvx xex
x/? x
xd/d
又根据势流的伯努里方程注意到式 （ 5-3）,则式 （ 5-2） 可写成常数则有
（ 5-3）
（ 5-4）
221 eup?
x
uu
x
p e
e d
d
d
d
W
00
2
d
dd
d
dd
d
d
x
uuyv
xuyvx
e
exex
考察边界层的动量积分方程式（ 5-2）和式（ 5-4）可以看到，
方程中含有五个未知量,,,,,,其中 和 可由主流区的势流方程求得，剩下的三个未知量是,,,因此要求解边界层动量积分方程，原则上还需要补充两个方程，
即
(1) 满足绕流物体壁面条件和边界层外边界条件的速度分布 ；
(2) 与速度分布有关的 与 的关系式。事实上,与的关系可根据边界层内的速度分布求出
p eu xv? W? eu p
xv? W
）（ yfvx?
W W
通常在求解边界层动量积分方程时，总是先选取边界层内速度分布，选取的速度分布 越接近实际，则所得结果越正确。
但由于边界层运动的复杂性，而预先选定的速度分布只能满足主要的边界条件，不可能正好满足动量积分方程，这样求得的结果（,等）就都是近似的，故积分方程的解法只能是近似的解法。但这种解法有一个很大的优点，就是只要能大致选定速度分布形式，则可以得到误差并不很大的结果，而且解法较简单，因此在工程上用得较广泛。
下面列出了用 动量积分方程求得的 平板层流和紊流边界层的部分近似解 。
对于层流边界层平板上离前缘点处的边界层厚度
(5-5)
W?
2
1
84.584.5?
xxR eV x
在平板一个壁面上由粘滞力引起的总摩擦阻力
(5-6)
摩擦阻力系数
(5-7)
对于紊流边界层平板上离前缘点处的边界层厚度
(5-8)
在平板一个壁面上由粘滞力引起的总摩擦阻力
(5-9)
摩擦阻力系数
(5-10)
2
123 6 8 6.06 8 6.0?
lDx ReVbllVbF
2
1
2
372.1
2
1
lDxf Re
blV
FC
5
137.0
xx R e?
5
12036.0?
lDx ReVblF?
5
1074.0
lf ReC
以上几式中 — 均匀来流速度,m/s；
— 平板的宽度,m；
— 平板的长度,m；
— 来流的密度,kg/m3。
V
b
l
第三节 曲面边界层分离现象 卡门涡街如前所述，当不可压缩黏性流体纵向流过平板时，在边界层外边界上沿平板方向的速度是相同的，而且整个流场和边界层内的压强都保持不变。当黏性流体流经曲面物体时，边界层外边界上沿曲面方向的速度是改变的，所以曲面边界层内的压强也将同样发生变化，对边界层内的流动将产生影响。曲面边界层的计算是很复杂的，这里不准备讨论它。这一节将着重说明曲面边界层的分离现象。
一、曲面边界层的分离现象在实际工程中，物体的边界往往是曲面（流线型或非流线型物体）。当流体绕流非流线型物体时，一般会出现下列现象：物面上的边界层在某个位置开始脱离物面,并在物面附近出现与主流方向相反的回流，流体力学中称这种现象为边界层分离现象，如 图 5-4所示。流线型物体在非正常情况下也能发生边界层分离，如图 5-4(a)所示。
（ a）流线形物体；（ b）非流线形物体图 5-4 曲面边界层分离现象示意图边界层外部流动外部流动尾迹外部流动外部流动尾迹边界层现以不可压缩流体绕流圆柱体为例，着重从边界层内流动的物理过程说明曲面边界层的分离现象。当黏性流体绕圆柱体流动时，在圆柱体前驻点 A处，流速为零，该处尚未形成边界层，即边界层厚度为零。
随着流体沿圆柱体表面上下两侧绕流，边界层厚度逐渐增大。层外的流体可近似地作为理想流体，理想流体绕流圆柱体时，在圆柱体前半部速度逐渐增加，压强逐渐减小，是加速流。当流到圆柱体最高点 B时速度最大，压强最小。到圆柱体的后半部速度逐渐减小，
压强逐渐增加，形成减速流。由于边界层内各截面上的压强近似地等于同一截面上边界层外边界上的流体压强，所以，在圆柱体前半部边界层内的流动是降压加速，而在圆柱体后半部边界层内的流动是升压减速。
因此，在边界层内的流体质点除了受到摩擦阻力的作用外，还受到流动方向上压强差的作用。在圆柱体前半部边界层内的流体质点受到摩擦阻滞逐渐减速，不断消耗动能。但由于压强沿流动方向逐渐降低，使流体质点得到部分增速，也就是说流体的部分压强能转变为动能，从而抵消一部分因摩擦阻滞作用而消耗的动能，以维持流体在边界层内继续向前流动。
但当流体绕过圆柱体最高点 B流到后半部时，压强增加，速度减小，
更促使边界层内流体质点的减速，从而使动能消耗更大。当达到 S
点时，近壁处流体质点的动能已被消耗完尽，流体质点不能再继续向前运动，于是一部分流体质点在 S点停滞下来，过 S点以后，压强继续增加，在压强差的作用下，除了壁上的流体质点速度仍等于零外，近壁处的流体质点开始倒退。
接踵而来的流体质点在近壁处都同样被迫停滞和倒退，以致越来越多被阻滞的流体在短时间内在圆柱体表面和主流之间堆积起来，使边界层剧烈增厚，边界层内流体质点的倒流迅速扩展，而边界层外的主流继续向前流动，这样在这个区域内以 ST线为界，如图 5-5所示，在 ST线内是倒流，在 ST线外是向前的主流，两者流动方向相反，
从而形成旋涡。
图 5-5 曲面边界层分离现象使流体不再贴着圆柱体表面流动，而从表面分 图 5-5 曲面边界层分离现象离出来，造成边界层分离,S点称为分离点。形成的旋涡，不断地被主流带走，在圆柱体后面产生一个尾涡区。
尾涡区内的旋涡不断地消耗有用的机械能，使该区中的压强降低，即小于圆柱体前和尾涡区外面的压强，从而在圆柱体前后产生了压强差，形成了压差阻力。压差阻力的大小与物体的形状有很大关系，所以又称为形状阻力。
二、卡门涡街
1911年，匈牙利科学家卡门在德国专门研究了这种圆柱背后旋涡的运动规律。实验研究表明，当时黏性流体绕过圆柱体，发生边界层分离，在圆柱体后面产生一对不稳定的旋转方向相反的对称旋涡，超过 40后，对称旋涡不断增长，至时，这对不稳定的对称旋涡，最后形成几乎稳定的非对称性的、多少有些规则的、
旋转方向相反、上下交替脱落的旋涡，这种旋涡具有一定的脱落频率，称为卡门涡街，如图 5-6所示。
图 5-6 卡门涡街形成示意图圆柱体的卡门涡街的脱落频率 与流体流动的速度 和圆柱体直径 有关,由泰勒 (F·Taylor)和瑞利 (L·Rayleigh)提出下列经验公式 （ 5-11）
式 （ 5-11） 适用于 范围内的流动,式中无量纲数 称为斯特劳哈 (V,Strouhal)数,即
（ 5-12）
根据罗斯柯（ A,Roshko） 1954年的实验结果，当 大于 1000
时，斯特劳哈数 近似地等于常数，即 =0.21。
根据卡门涡街的上述性质，可以制成卡门涡街流量计，即在管道内从与流体流动相垂直的方向插入一根圆柱体验测杆。管内流体流经圆柱体验测杆时，在验测杆下游产生卡门涡街，测得了旋涡的脱落频率，便可由式（ 5-12）求得管内流体的流速，进而确定管内流体的流量。测定卡门涡街脱落频率的方法有热敏电阻丝法、超音波束法等等。
f V
d
RedVf 7.191198.0
51022 5 0 Re
V
fd
Sr
V
fdSr?
Re
Sr Sr
在日常生活中,常听到风吹电线嘘嘘发响的鸣叫声,这种鸣响也是由于卡门涡街的交替脱落引起空气中压强脉动所造成的声波 。 在工程设备中 （ 如管式空气预热器 ）,空气横向绕流管束,卡门涡街的交替脱落会引起管箱中气柱的振动 。 特别是当旋涡脱落频率与管箱中的声学驻波振动频率相等时,便会发生声学共振现象,产生严重的噪声,并使器壁在脉动压力作用下弯曲变形,甚至振裂 。 最严重的情况是气室的声学驻波振动频率,管束的固有频率,卡门涡街的脱落频率三者相合时,将造成设备的严重破坏 。
通常消除声学共振的措施是提高设备气室的声学驻波频率，也就是顺着流体流动方向加装若干块隔板，将设备气室的横向尺寸分成若干段，提高其声学驻波振动频率，使之与卡门涡街的声振频率错开。
这种简单的办法实践证明是行之有效的，但具体做时要通过试验及必要的计算来解决。
第四节 绕流阻力和阻力系数黏性流体绕物体流动时,物体一定受到流体的压强和切向应力的作用,这些力的合力一般可分解为与来流方向一致的作用力 和垂直于来流方向的升力 。 由于 与物体运动方向相反,起着阻碍物体运动的作用,所以称为阻力 。 绕流物体的阻力由两部分组成：一部分是由于流体的黏性在物体表面上作用着切向应力,由此切向应力所形成的摩擦阻力；另一部分是由于边界层分离,物体前后形成压强差而产生的压差阻力 。 摩擦阻力和压差阻力之和统称为物体阻力 。 对于圆柱体和球体等钝头体,压差阻力比摩擦阻力要大得多；而流体纵向流过平板时一般只有摩擦阻力 。 虽然物体阻力的形成过程,从物理观点看完全清楚,但是要从理论上来确定一个任意形状物体的阻力,
至今还是十分困难的,目前还只能在风洞中用实验方法测得,
这种实验称为风洞实验 。
DF DFLF
通过实验分析可以得出,物体阻力与来流的动压头 和物体在垂直于来流方向的截面积 A的乘积成正比,即
(5-13)
为了便于比较各种形状物体的阻力,工程上引用无因次阻力系数 来表达物体阻力的大小,其公式为
（ 5-14）
由实验得知，对于不同的不可压缩流体的几何相似的物体，如果雷诺数相同，则它们的阻力系数也相同。因此在不可压缩流体中，对于与来流方向具有相同方位角的几何相似体，其阻力系数只与雷诺数有关，即
2
2
1
V?
AVCF DD 221
DC
AV
FC D
D
2
2
1
物体的总阻力,N
无量纲的阻力系数图 5-7给出了无限长圆柱体以及其它形状物体的阻力系数与雷诺数的关系曲线。以无限长圆柱体为例，当 Re≤1 时,与
Re成反比。在图上以直线表示之，这时边界层没有分离，只有摩擦阻力。雷诺数从 2增加到约 40时，边界层发生分离，压差阻力在总的物体阻力中的比例逐渐增大。到 时，开始形成卡门涡街，压差阻力占总阻力近 90%。在 时,达到最小值，约等于 0.9.在 时,逐渐上升到 1.2。这是由于尾涡区中的紊流增强，另外也由于边界层分离点逐渐向前移动的结果，这时差不多全部物体阻力都是压差阻力造成。在时，层流边界层变成紊流边界层，这时，由于紊流边界层内流体质点相互掺混，发生强大的动量交换，以致承受压强增高的能力比层流边界层变强，使分离点向后移动一大段。尾涡区大大变窄,从而使阻力系数显著降低，即从 到一段,从 1.2急剧下降到 0.3。
DC
60?Re
2000?Re DC
4103Re DC
5102Re
5102Re 5105Re
DC
无限长圆柱体 有限长圆柱体平板垂直流动方向 无限长圆柱体无限长方柱体椭圆形柱体流线型柱体图 5-7 几种形状物体的阻力系数由 图 5-7清楚地看出，若把物体制成流线型，可使边界层的分离点后移，甚至不发生分离，阻力系数大大减小。所以将物体制成流线型的外形（如飞机的机翼、汽轮机叶片的剖面等），是减少物体阻力的主要措施之一。
第一节 边界层的基本概念
第二节 边界层的动量积分方程
第三节 曲面边界层分离现象 卡门涡街
第四节 绕流阻力和阻力系数在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体运动时不考虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中许多重要问题，但其结果常受实验条件限制。这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现象持续了 150多年，
直到本世纪初普朗特提出了边界层理论为止。由于边界层理论具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学的一个重要领域。本章介绍边界层的基本概念及研究方法第一节 边界层的基本概念一、边界层的概念
1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念。他认为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，
而在这一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。普朗特的这一理论，在流体力学的发展史上有划时代的意义。
图 5-1所示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动，
根据普朗特边界层理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为三个区域，即边界层、外部势流和尾涡区。
图 5-1 翼型上的边界层
II尾部流区域
I边界层边界层外边界边界层外边界在边界层和尾涡区内，黏性力作用显著，黏性力和惯性力有相同的数量级，属于黏性流体的有旋流动区；在边界层和尾涡区外，流体的运动速度几乎相同，速度梯度很小，边界层外部的流动不受固体壁面的影响，即使黏度较大的流体，黏性力也很小，主要是惯性力。所以可将这个区域看作是理想流体势流区，可以利用前面介绍的势流理论和理想流体伯努里方程来研究流场的速度分布。普朗特边界层理论开辟了用理想流体理论和黏性流体理论联合研究的一条新途径。实际上边界层内、
外区域并没有明显的分界面，一般将壁面流速为零与流速达到来流速度的 99％处之间的距离定义为边界层厚度。边界层厚度沿着流体流动方向逐渐增厚，这是由于边界层中流体质点受到摩擦阻力的作用，沿着流体流动方向速度逐渐减小，因此，只有离壁面逐渐远些，也就是边界层厚度逐渐大些才能达到来流速度。
根据实验结果可知,同管流一样,边界层内也存在着层流和紊流两种流动状态,若全部边界层内部都是层流,称为层流边界层,若在边界层起始部分内是层流,而在其余部分内是紊流,称为混合边界层,如图 5-2所示,在层流变为紊流之间有一过渡区 。 在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层 。 判别边界层的层流和紊流的准则数仍为雷诺数,
但雷诺数中的特征尺寸用离前缘点的距离 x表示之,特征速度取边界层外边界上的速度,即
V
xVRe
x
(5-1)
图 5-2 平板上的混合边界层层流边界层 过渡区域 紊流边界层层流底层对平板的边界层,层流转变为紊流的临界雷诺数为 。 临界雷诺数的大小与物体壁面的粗糙度,
层外流体的紊流度等因素有关 。 增加壁面粗糙度或层外流体的紊流度都会降低临界雷诺数的数值,使层流边界层提前转变为紊流边界层 。
二,边界层的基本特征
(1) 与物体的特征长度相比,边界层的厚度很小,.
(2) 边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度。
(3) 边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体质点受到黏性力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势流速度，边界层厚度必然逐渐增加。
x
65 103~105xRe
(4) 由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。
(5) 在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。
(6) 边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。
第二节 边界层的动量积分方程边界层内的流体是黏性流体的运动，理论上可以用 N-S方程来研究其运动规律。但由此得到的边界层微分方程中，非线性项仍存在，因此即使对于外形很简单的绕流物体求解也是很复杂的，目前只能对平板、楔形体绕流层流边界层进行理论计算求得其解析解。但工程上遇到的很多问题，
如任意翼型的绕流问题和紊流边界层，一般来说求解比较困难，为此人们常采用近似解法，其中应用的较为广泛的是边界层动量积分方程解法。
下面来推导边界层动量积分方程。假定平面边界内流动是定常的并忽略质量力，在边界层的任一处，取单位宽度、沿边界层长度为 d的微元段作为控制体，如 图 5-3所示。控制体的控制面由边界层的横断面 AB与 CD以及内边界 AD和外边界 BC组成。
对控制体应用物理概念十分清楚的动量方程则有：通过控制面
AB,BC,CD的动量变化率等于作用在控制面 AB,BC,CD、
AD上所有外力的合力。
首先计算通过边界层控制面在轴方向上的动量变化率。
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从控制面 BC流入的动量采用下列求法，首先计算从 处控制面
AB流入的质量流量而从 处控制面 CD流出的质量流量为由不可压缩流体的连续性方程可知，通过 CD与 AB控制面质量流量的差值应等于由 BC控制面流入的质量流量，于是流入 BC
控制面的质量流量与动量分别为
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图 5-3 推导边界层的动量积分关系式用图整理上述单位时间内通过控制面的流体动量的通量在 x方向的分量,得下面计算作用在控制面上所有外力在 x轴方向的合力 。 忽略质量力,故只有表面力 。
作用在控制面 AD上的表面力为作用在控制面 AB,CD上的表面力分别为作用在边界层外边界控制面 BC上的表面力，因摩擦应力为零，
而压强可取 B,C两点压强的平均值，于是有
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整理上述作用在控制面上的所有表面力在 x方向的代数和,并注意到略去二阶小量,得式 (5-2)又称为边界层动量积分关系式 。 该式是匈牙利科学家冯 ·卡门 (Von,Karman)于 1921年根据边界层的动量定理首先推导出来的 。 由于在推导过程中未加任何近似条件,从这个意义上讲,它是严格的,而且对边界层的流动性质也未加限制,因此它既可求解层流边界层,又可适用于紊流边界层 。
根据动量定理,令,可得边界层动量积分方程为
(5-2)
由于积分上限 只是 的函数，因此式 (5-2)中 的可写成
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考察边界层的动量积分方程式（ 5-2）和式（ 5-4）可以看到，
方程中含有五个未知量,,,,,,其中 和 可由主流区的势流方程求得，剩下的三个未知量是,,,因此要求解边界层动量积分方程，原则上还需要补充两个方程，
即
(1) 满足绕流物体壁面条件和边界层外边界条件的速度分布 ；
(2) 与速度分布有关的 与 的关系式。事实上,与的关系可根据边界层内的速度分布求出
p eu xv? W? eu p
xv? W
）（ yfvx?
W W
通常在求解边界层动量积分方程时，总是先选取边界层内速度分布，选取的速度分布 越接近实际，则所得结果越正确。
但由于边界层运动的复杂性，而预先选定的速度分布只能满足主要的边界条件，不可能正好满足动量积分方程，这样求得的结果（,等）就都是近似的，故积分方程的解法只能是近似的解法。但这种解法有一个很大的优点，就是只要能大致选定速度分布形式，则可以得到误差并不很大的结果，而且解法较简单，因此在工程上用得较广泛。
下面列出了用 动量积分方程求得的 平板层流和紊流边界层的部分近似解 。
对于层流边界层平板上离前缘点处的边界层厚度
(5-5)
W?
2
1
84.584.5?
xxR eV x
在平板一个壁面上由粘滞力引起的总摩擦阻力
(5-6)
摩擦阻力系数
(5-7)
对于紊流边界层平板上离前缘点处的边界层厚度
(5-8)
在平板一个壁面上由粘滞力引起的总摩擦阻力
(5-9)
摩擦阻力系数
(5-10)
2
123 6 8 6.06 8 6.0?
lDx ReVbllVbF
2
1
2
372.1
2
1
lDxf Re
blV
FC
5
137.0
xx R e?
5
12036.0?
lDx ReVblF?
5
1074.0
lf ReC
以上几式中 — 均匀来流速度,m/s；
— 平板的宽度,m；
— 平板的长度,m；
— 来流的密度,kg/m3。
V
b
l
第三节 曲面边界层分离现象 卡门涡街如前所述，当不可压缩黏性流体纵向流过平板时，在边界层外边界上沿平板方向的速度是相同的，而且整个流场和边界层内的压强都保持不变。当黏性流体流经曲面物体时，边界层外边界上沿曲面方向的速度是改变的，所以曲面边界层内的压强也将同样发生变化，对边界层内的流动将产生影响。曲面边界层的计算是很复杂的，这里不准备讨论它。这一节将着重说明曲面边界层的分离现象。
一、曲面边界层的分离现象在实际工程中，物体的边界往往是曲面（流线型或非流线型物体）。当流体绕流非流线型物体时，一般会出现下列现象：物面上的边界层在某个位置开始脱离物面,并在物面附近出现与主流方向相反的回流，流体力学中称这种现象为边界层分离现象，如 图 5-4所示。流线型物体在非正常情况下也能发生边界层分离，如图 5-4(a)所示。
（ a）流线形物体；（ b）非流线形物体图 5-4 曲面边界层分离现象示意图边界层外部流动外部流动尾迹外部流动外部流动尾迹边界层现以不可压缩流体绕流圆柱体为例，着重从边界层内流动的物理过程说明曲面边界层的分离现象。当黏性流体绕圆柱体流动时，在圆柱体前驻点 A处，流速为零，该处尚未形成边界层，即边界层厚度为零。
随着流体沿圆柱体表面上下两侧绕流，边界层厚度逐渐增大。层外的流体可近似地作为理想流体，理想流体绕流圆柱体时，在圆柱体前半部速度逐渐增加，压强逐渐减小，是加速流。当流到圆柱体最高点 B时速度最大，压强最小。到圆柱体的后半部速度逐渐减小，
压强逐渐增加，形成减速流。由于边界层内各截面上的压强近似地等于同一截面上边界层外边界上的流体压强，所以，在圆柱体前半部边界层内的流动是降压加速，而在圆柱体后半部边界层内的流动是升压减速。
因此，在边界层内的流体质点除了受到摩擦阻力的作用外，还受到流动方向上压强差的作用。在圆柱体前半部边界层内的流体质点受到摩擦阻滞逐渐减速，不断消耗动能。但由于压强沿流动方向逐渐降低，使流体质点得到部分增速，也就是说流体的部分压强能转变为动能，从而抵消一部分因摩擦阻滞作用而消耗的动能，以维持流体在边界层内继续向前流动。
但当流体绕过圆柱体最高点 B流到后半部时，压强增加，速度减小，
更促使边界层内流体质点的减速，从而使动能消耗更大。当达到 S
点时，近壁处流体质点的动能已被消耗完尽，流体质点不能再继续向前运动，于是一部分流体质点在 S点停滞下来，过 S点以后，压强继续增加，在压强差的作用下，除了壁上的流体质点速度仍等于零外，近壁处的流体质点开始倒退。
接踵而来的流体质点在近壁处都同样被迫停滞和倒退，以致越来越多被阻滞的流体在短时间内在圆柱体表面和主流之间堆积起来，使边界层剧烈增厚，边界层内流体质点的倒流迅速扩展，而边界层外的主流继续向前流动，这样在这个区域内以 ST线为界，如图 5-5所示，在 ST线内是倒流，在 ST线外是向前的主流，两者流动方向相反，
从而形成旋涡。
图 5-5 曲面边界层分离现象使流体不再贴着圆柱体表面流动，而从表面分 图 5-5 曲面边界层分离现象离出来，造成边界层分离,S点称为分离点。形成的旋涡，不断地被主流带走，在圆柱体后面产生一个尾涡区。
尾涡区内的旋涡不断地消耗有用的机械能，使该区中的压强降低，即小于圆柱体前和尾涡区外面的压强，从而在圆柱体前后产生了压强差，形成了压差阻力。压差阻力的大小与物体的形状有很大关系，所以又称为形状阻力。
二、卡门涡街
1911年，匈牙利科学家卡门在德国专门研究了这种圆柱背后旋涡的运动规律。实验研究表明，当时黏性流体绕过圆柱体，发生边界层分离，在圆柱体后面产生一对不稳定的旋转方向相反的对称旋涡，超过 40后，对称旋涡不断增长，至时，这对不稳定的对称旋涡，最后形成几乎稳定的非对称性的、多少有些规则的、
旋转方向相反、上下交替脱落的旋涡，这种旋涡具有一定的脱落频率，称为卡门涡街，如图 5-6所示。
图 5-6 卡门涡街形成示意图圆柱体的卡门涡街的脱落频率 与流体流动的速度 和圆柱体直径 有关,由泰勒 (F·Taylor)和瑞利 (L·Rayleigh)提出下列经验公式 （ 5-11）
式 （ 5-11） 适用于 范围内的流动,式中无量纲数 称为斯特劳哈 (V,Strouhal)数,即
（ 5-12）
根据罗斯柯（ A,Roshko） 1954年的实验结果，当 大于 1000
时，斯特劳哈数 近似地等于常数，即 =0.21。
根据卡门涡街的上述性质，可以制成卡门涡街流量计，即在管道内从与流体流动相垂直的方向插入一根圆柱体验测杆。管内流体流经圆柱体验测杆时，在验测杆下游产生卡门涡街，测得了旋涡的脱落频率，便可由式（ 5-12）求得管内流体的流速，进而确定管内流体的流量。测定卡门涡街脱落频率的方法有热敏电阻丝法、超音波束法等等。
f V
d
RedVf 7.191198.0
51022 5 0 Re
V
fd
Sr
V
fdSr?
Re
Sr Sr
在日常生活中,常听到风吹电线嘘嘘发响的鸣叫声,这种鸣响也是由于卡门涡街的交替脱落引起空气中压强脉动所造成的声波 。 在工程设备中 （ 如管式空气预热器 ）,空气横向绕流管束,卡门涡街的交替脱落会引起管箱中气柱的振动 。 特别是当旋涡脱落频率与管箱中的声学驻波振动频率相等时,便会发生声学共振现象,产生严重的噪声,并使器壁在脉动压力作用下弯曲变形,甚至振裂 。 最严重的情况是气室的声学驻波振动频率,管束的固有频率,卡门涡街的脱落频率三者相合时,将造成设备的严重破坏 。
通常消除声学共振的措施是提高设备气室的声学驻波频率，也就是顺着流体流动方向加装若干块隔板，将设备气室的横向尺寸分成若干段，提高其声学驻波振动频率，使之与卡门涡街的声振频率错开。
这种简单的办法实践证明是行之有效的，但具体做时要通过试验及必要的计算来解决。
第四节 绕流阻力和阻力系数黏性流体绕物体流动时,物体一定受到流体的压强和切向应力的作用,这些力的合力一般可分解为与来流方向一致的作用力 和垂直于来流方向的升力 。 由于 与物体运动方向相反,起着阻碍物体运动的作用,所以称为阻力 。 绕流物体的阻力由两部分组成：一部分是由于流体的黏性在物体表面上作用着切向应力,由此切向应力所形成的摩擦阻力；另一部分是由于边界层分离,物体前后形成压强差而产生的压差阻力 。 摩擦阻力和压差阻力之和统称为物体阻力 。 对于圆柱体和球体等钝头体,压差阻力比摩擦阻力要大得多；而流体纵向流过平板时一般只有摩擦阻力 。 虽然物体阻力的形成过程,从物理观点看完全清楚,但是要从理论上来确定一个任意形状物体的阻力,
至今还是十分困难的,目前还只能在风洞中用实验方法测得,
这种实验称为风洞实验 。
DF DFLF
通过实验分析可以得出,物体阻力与来流的动压头 和物体在垂直于来流方向的截面积 A的乘积成正比,即
(5-13)
为了便于比较各种形状物体的阻力,工程上引用无因次阻力系数 来表达物体阻力的大小,其公式为
（ 5-14）
由实验得知，对于不同的不可压缩流体的几何相似的物体，如果雷诺数相同，则它们的阻力系数也相同。因此在不可压缩流体中，对于与来流方向具有相同方位角的几何相似体，其阻力系数只与雷诺数有关，即
2
2
1
V?
AVCF DD 221
DC
AV
FC D
D
2
2
1
物体的总阻力,N
无量纲的阻力系数图 5-7给出了无限长圆柱体以及其它形状物体的阻力系数与雷诺数的关系曲线。以无限长圆柱体为例，当 Re≤1 时,与
Re成反比。在图上以直线表示之，这时边界层没有分离，只有摩擦阻力。雷诺数从 2增加到约 40时，边界层发生分离，压差阻力在总的物体阻力中的比例逐渐增大。到 时，开始形成卡门涡街，压差阻力占总阻力近 90%。在 时,达到最小值，约等于 0.9.在 时,逐渐上升到 1.2。这是由于尾涡区中的紊流增强，另外也由于边界层分离点逐渐向前移动的结果，这时差不多全部物体阻力都是压差阻力造成。在时，层流边界层变成紊流边界层，这时，由于紊流边界层内流体质点相互掺混，发生强大的动量交换，以致承受压强增高的能力比层流边界层变强，使分离点向后移动一大段。尾涡区大大变窄,从而使阻力系数显著降低，即从 到一段,从 1.2急剧下降到 0.3。
DC
60?Re
2000?Re DC
4103Re DC
5102Re
5102Re 5105Re
DC
无限长圆柱体 有限长圆柱体平板垂直流动方向 无限长圆柱体无限长方柱体椭圆形柱体流线型柱体图 5-7 几种形状物体的阻力系数由 图 5-7清楚地看出，若把物体制成流线型，可使边界层的分离点后移，甚至不发生分离，阻力系数大大减小。所以将物体制成流线型的外形（如飞机的机翼、汽轮机叶片的剖面等），是减少物体阻力的主要措施之一。
