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第二章 流体静力学
§ 1–1 流体静压强极其特性
§ 1–2 流体平衡微分方程
§ 1–3 重力作用下的流体平衡
§ 1–4 流体静力学基本方程的应用
§ 1–5 平面上的静水总压力
§ 1–6 曲面上的静水总压力
§ 1–7 浮体与潜体的稳定性
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流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，
称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
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第一节 流体静压强及其特性在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强，用符号 p表示，单位为 Pa。
流体静压强有两个基本特性。
（ 1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。
这一特性可由反证法给予证明：
假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线方向成 α角，如 图 2-1所示。
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α
pn
pt
p
切向压强静压强图 2-1
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那么静压强 p可以分解成两个分力即切向压强 pt和法向压强 pn。由于切向压强是一个剪切力，由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法线方向的压强。
（ 2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。
为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任意一点
A取一微元四面体的流体微团 ABCD，设直角坐标原点与 A
重合。微元四面体正交的三个边长分别为 dx,dy和 dz，如图 2-2所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在
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其上的力是平衡的现在来分析作用于微元四面体 ABCD上各力的平衡关系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在 ACD、
ABD,ABC和 BCD四个面上的流体静压强分别为 px,py、
pz和 pn,pn与 x,y,z轴的夹角分别为 α,β,γ,则作用在各面上流体的总压力分别为：
zyxpxP dd21?
zxypyP dd21?
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py
px
pz
pn
作用在 ACD面上的流体静压强作用在 BCD面上的静压强作用在 ABD和上的静压强图 2－ 2 微元四面体受力分析
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（ dAn为 BCD的面积）
除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的平均密度为 ρ，而微元四面体的体积为 dV=dxdydz/6，则微元四面体流体微团的质量为 dm=ρ dxdydz/6。假定作用在流流体上的单位质量力为,它在各坐标轴上的分量分别为 fx,fy,fz,则作用在微元四面体上的总质量力为：
yxzpzP dd21?
nAnpnP d?
f?
fzyxW
ddd
6
1
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它在三个坐标轴上的分量为：
由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系，
则,,。
在轴方向上力的平衡方程为：
把 px,pn 和 Wx的各式代入得：
yy zfyxW ddd6
1
zz zfyxW ddd6
1
xx zfyxW ddd6
1
0xP 0yP 0zP
0co s xnx WPP?
0ddd61c o sddd21 xnnx zfyxApzyp
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因为则上式变成或由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得：
同理可得所以
（ 2-1）
zyA n dd21c o sd
0ddd61dd21dd21 xnx zfyxzypzyp?
0d31 xfpp xnx?
nx pp?
ny pp?
nz pp?
nzyx pppp
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因为 n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，
静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数，即
（ 2-2）
),,( zyxpp?
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第二节 流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式在静止流体中任取一边长为 dx,dy和 dz的微元平行六面体的流体微团，如 图 2-3所示。现在来分析作用在这流体微团上外力的平衡条件。由上节所述流体静压强的特性知，
作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行六面体中心点处的静压强为 p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒（ G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于 X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：
3
3
32
2
2
2
d
6
1
2
d
2
1
2
d x
x
px
x
px
x
pp
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zyxxpp ddd21
p zyxxpp ddd21
图 2-3 微元平行六面体 x方向的受力分析
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略去二阶以上无穷小量后，分别等于和和由于平行六面体是微元的，所以可以把各微元面上中心点的压强视为平均压强。因此，垂直于 x轴的左、右两微元面上的总压力分别为：
和和同理，可得到垂直于 y轴的下、上两个微元面上的总压力分别为：
和
3
3
32
2
2
2
d
6
1
2
d
2
1
2
d x
x
px
x
px
x
pp
xxpp d21 xxpp d21
zyxxpp ddd21
zyxxpp ddd21
zx
y
pp dddy
2
1
zxy
y
pp ddd
2
1
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垂直于轴的后、前两个微元面上的总压力分别为：
作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。
若流体微团的平均密度为 ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例如，对于 x轴，则为
yxzpp dddz21 yxzzpp ddd21
zyxf x ddd? zyxf
y ddd?
zyxf z ddd?
0dddddd21ddd21 zyxfzyxxppzyxxpp x?
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整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量
ρ dxdydz则得同理得
（ 2-3）
写成矢量形式这就是流体平衡微分方程式，是在 1755年由欧拉
（ Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中，
除了假设是静止流体以外，其他参数 (质量力和密度 )
01 xpf x?
01 ypf y?
01 zpf z?
01 pf
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均未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。
在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程出发，而是从下述的压强差公式来进行推导的。
把式 （ 2-3） 两边分别乘以 dx,dy,dz，然后相加，得流体静压强是空间坐标的连续函数，即,它的全微分为所以
（ 2-4）
zzpyypxxpzfyfxf zyx ddd)ddd(
),,( zyxpp?
zzpyypxxpp dddd
)ddd(d zfyfxfp zyx
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此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的坐标增量为 dx,dy,dz时，相应的流体静压强增加 dp，
压强的增量取决于质量力。
二、流体平衡条件对于不可压缩均质流体，密度 ρ ＝常数，可将式 （ 2-4）
写成上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条件是
（ 2-5）
由理论力学可知，式（ 2-5）是 fx,fy,fz 具有力的
zfyfxfp zyx dddd
y
f
z
f zy
z
f
x
f xz
x
f
y
f yx
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势函数－ 的充分必要条件。力的势函数对各坐标轴的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量，即：
，,（ 2-6）
写成矢量形式：
由式 （ 2-4） 得
（ 2-6a）
有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。
三、等压面在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。
),,( zyx?
xf x?
yf y?
zf z?
gradf
dddddddd
z
zyyxxzfyfxf
p
zyx
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等压面可以用 p(x,y,z)＝常数来表示。对不同的等压面，其常数值是不同的，而且流体中任意一点只能有一个等压面通过。在等压面上,dp=0，由式 （ 2-6a） 可得 dπ =0，即
=常数，也就是说，在不可压缩静止流体中，等压面也是有势质量力的等势面。
液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，
其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。
等压面有一个重要性质，就是等压面与质量力互相垂直。因为在等压面上各处的压强都一样，即 dp=0，由式
(2-4)可得等压面微分方程：
=0 （ 2-7）
zfyfxf zyx ddd
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式 (2-7)左端又表示作用在等压面上 A点的单位质量力与通过 A点的等压面上的微元线段 (其分量为 dx,dy、
dz)两个矢量的数量积，如 图 2-4所示，
两个矢量的数量积等于零，必须 f和 ds互相垂直，其夹角 φ等于 900。也就是说，通过静止流体中的任一点的等压面都垂直于该点处的质量力。例如，当质量力只有重力时，
等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球面。但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平面 。
f?
0dddd zfyfxfsf zyx
sd?
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图 2-4 两个矢量的数量积
f
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第三节 重力作用下的流体平衡在自然界和实际工程中，经常遇到并要研究的流体是不可压缩的重力液体，也就是作用在液体上的质量力只有重力的液体。
一、重力作用下的静力学基本方程式在一盛有静止液体的容器上取直角坐标系（只画出 OYZ
平面,Z轴垂直向上），如 图 2-5所示。这时，作用在液体上的质量力只有重力 G=mg，其单位质量力在各坐标轴上的分力为 fx=0,fy=0,fz=0
代入式 （ 2-4）,得
zgp dd
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写成 （ 2-8）
对于均质不可压缩流体，密度 ρ为常数。积分上式，得
（ 2-9）
式中 c为积分常数，由边界条件确定。这就是重力作用下的液体平衡方程，通常称为流体静力学基本方程。该方程的适用范围是,重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体。
若在静止液体中任取两点 l和 2，点 1和点 2压强各为 p1
和 p2，位置坐标各为 z1和 z2，则可把式 (2-9)写成另一表达式，即：
（ 2-10）
0dd gpz?
cgpz
g
pz
g
pz
2
2
1
1
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P0
P1
P2
Z1 Z2
图 2-5 推导静力学基本方程式用图
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为了进一步理解流体静力学基本方程式，现在来讨论流体静力学基本方程的物理意义和几何意义
1.物理意义从物理学可知，把质量为 m的物体从基准面提升 z高度后，该物体就具有位能 mgz，则单位重量物体所具有的位能为 z(mgz/mg=z)。所以式 (2-9)中 z的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位势能。
式 (2-9)中的 p/ρ g表示单位重量流体的压强势能，这可说明如下：如 图 2-6所示，容器离基准面 z处开一个小孔，
接一个顶端封闭的玻璃管 (称为测压管 )，并把其内空气抽出，形成完全真空 (p=0)，在开孔处流体静压强 p的作用下，
流体进入测压管，上升的高度 h=p/ρ g称为单位重量流体的压强势能。位势能和压强势能之和称为单位重量流
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体的总势能。所以式 (2-9)表示在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止液体中的能量守恒定律。
2.几何意义单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，
并称为水头。式 (2-9)中 z具有长度单位，如 图 2-6所示,z
是流体质点离基准面的高度，所以 z的几何意义表示为单位重量流体的位置高度或位置水头。式 (2-9)中 p/ρ g也是长度单位，它的几何意义表示为单位重量流体的压强水头。
位置水头和压强水头之和称为静水头。所以式 (2-9)也表示在重力作用下静止流体中各点的静水头都相等。 在实际工程中，常需计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压强。为此，可以根据流体静力学基本方程 (2-10)
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如 图 2-7所示，在一密闭容器中盛有密度为 ρ的液体，
若自由液面上的压强为 p0、位置坐标为 z0，则在液体中位置坐标为 z的任意一点 A的压强 p可由式 (2-10)得到，即或 （ 2-11）
式中 h=z0-z是静止流体中任意点在自由液面下的深度。
式 (2-11)是重力作用下流体平衡方程的又一重要形式。
由它可得到三个重要结论：
(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。
(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：
g
pz
g
pz
0
0
ghzzgpp )( 00
ghpp 0
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一部分是自由液面上的压强 p0；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量 ρ gh。
(3)在静止液体中，位于同一深度 (h＝常数 )的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面。
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图 2-6 闭口测压管液柱上升高度
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图 2-6 闭口测压管液柱上升高度
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图 2-7 静止液体中任一点压强
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二、压强的度量流体压强按计量基准的不同可区分为绝对压强和相对压强。以完全真空时的绝对零压强 (p＝ 0)为基准来计量的压强称为绝对压强；以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强。
绝对压强与相对压强之间的关系可在下面导出。当自由液面上的压强是当地大气压强 pa时，则式 (2-11)可写成
（ 2-12）
或 （ 2-13）
式中 p— 流体的绝对压强,Pa；
pe— 流体的相对压强,Pa。
因为 pe可以由压强表直接测得，所以又称计示压强。
ghpp a
ghppp ae
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绝对压强 p是当地大气压强 pa与计示压强 pe之和，而计示压强 pe是绝对压强 p与当地大气压强 pa之差。当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体处于真空状态。
例如水泵和风机的吸入管中，凝汽器、锅炉炉膛以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地方的计示压强都是负值，称为真空或负压强，用符号 pv表示，
则
（ 2-14）
如以液柱高度表示，则
(2-15)
式中 hv称为真空高度。
在工程中，例如汽轮机凝汽器中的真空，常用当地大
ppp av
g
pp
g
ph av
v
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气压强的百分数来表示，即
(2-16)
式中 B通常称为真空度。
为了正确区别和理解绝对压强、计示压强和真空之间的关系，可用 图 2-8来说明。
当地大气压强是某地气压表上测得的压强值，它随着气象条件的变化而变化，所以当地大气压强线是变动的。
由于绝大多数气体的性质是气体绝对压强的函数，如正压性气体 ρ=ρ（ p)，所以气体的压强都用绝对压强表示。
而液体的性质几乎不受压强的影响，所以液体的压强常用计示压强表示，只有在汽化点时，才用液体的绝对压强。
%1 0 01%1 0 0
aa
v
p
p
p
pB
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真空绝对压强计示压强绝对压强图 2-8 绝对压强、计示压强和真空之间的关系
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流体静压强的计量单位有许多种，为了便于换算，现将常遇到的几种压强单位及其换算系数列于表 2-1中。
帕
( P a )
工程大气压
( k g f / c m
2
)
标准大气压
( a t m )
巴
( b a r )
米水柱
( m H 2 O)
毫米水柱
( m m H g )
磅 / 英寸
2
( l b f / i n
2
)
1
9,8 × 10
4
1 0,1 3 × 10
4
1 0,0 0 × 10
4
0,6 8 6 × 10
4
0,1 0 2 × 10
- 4
1
1,0 3 3
1,0 2
0,0 7
0.0987 × 10
- 4
0,9 6 8
1
0,9 8 7
0,0 6 8
0,1 0 0 × 10
- 4
0,9 8 1
1,0 1 3
1
0,0 6 8 6
1,0 2 × 10
- 4
10
1 0,3 3
1 0,2
0,7 0 3
7 5,0 3 × 10
- 4
7 3 5,6
7 6 0
7 5 0,2
5 1,7 1
1,4 5 × 10
- 4
1 4,2 2
1 4,6 9
1 4,5 0
1
表 2-1 压强的单位及其换算表
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第四节 流体静力学基本方程的应用流体静力学基本方程式在工程实际中有广泛的应用。
液柱式测压计的测量原理就是以流体静力学基本方程为依据的，它用液柱高度或液柱高度差来测量流体的静压强或压强差。下面介绍几种常见的液柱式测压计。
一、测压管
1.结构测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所造成的误差，采用一根内径为 10mm左右的直玻璃管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上端开口与大气相通，如 图 2-9所示。
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图（ 2-9）测压管
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2.测量原理图 （ 2-9） 测压管在压强作用下，液体在玻璃管中上升高度，设被测液体的密度为 ρ，大气压强为 pa，由式 (2-11)可得 M点的绝对压强为
（ 2-17）
M点的计示压强为
（ 2-18）
于是，用测得的液柱高度 h，可得到容器中液体的计示压强及绝对压强。
测压管只适用于测量较小的压强，一般不超过 9800Pa，
相当于 1mH2O。如果被测压强较高，则需加长测压管的长度，使用就很不方便。此外，测压管中的工作
ghpp a
ghppp ae
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介质就是被测容器中的流体，所以测压管只能用于测量液体的压强。
3.注意的问题在管道中流动的流体的静压强也可用测压管和其它液柱式测压计测量。但是，为了减小测量误差，在测压管与管道连接处需要采取下列措施：
(1)测压管必须与管道内壁垂直；
(2)测压管管端与管道内壁平齐，不能伸出而影响流体的流动；
(3)测压管管端的边缘一定要很光滑，不能有尖缘和毛刺等；
(4)为了减小由于连接的不完善而导致较大的误差，可
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采用如 图 2-10所示的连接装置。在连接处同一截面管壁上开若干个等距离小孔，外面罩上一圆环形通道，然后与测压管相接。这样，可以测得这一截面静压强的平均值 。
二,U形管测压计
1.结构这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的 U形玻璃管。测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大气相通，如 图 2-11所示。 U形管内装有密度 ρ2大于被测流体密度 ρ1的液体工作介质，如酒精、水、四氯化碳和水银等。
它是根据被测流体的性质、被测压强的大小和测量精度等来选择的。如果被测压强较大时，可用水银，被测压强较小时，可用水或酒精。但一定要注意，工作介质不能与被测流体相互掺混。
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图 2-10 压强计环形装置
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U形管测压计的测量范围比测压管大，但一般亦不超过 2.94× 105Pa。 U形管测压计可以用来测量液体或气体的压强；可以测量容器中高于大气压强的流体压强，也可以测量容器低于大气压强的流体压强，即可以作为真空计来测量容器中的真空。
2.测量原理下面分别介绍用 U形管测压计测量 p>pa和 p<pa两种情况的测压原理。
(1) 被测容器中的流体压强高于大气压强（即 p>pa）：
如 图 2-11(a)所示。 U形管在没有接到测点 M以前，左右两管内的液面高度相等。 U形管接到测点上后，在测点
M的压强作用下，左管的液面下降，右管的液面上升，直到平衡为止。这时，被测流体与管内工作介质的分界面 1-
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Pa
ρ1 M
p
1 2
h1
h2
ρ
等压面图 2-11 U形管测压 P>Pa
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图 2-11 U形管测压计
app?； (b)
app?
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图 2-11 U形管测压 app?
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2是一个水平面，故为等压面。所以 U形管左、右两管中的点 1和点 2的静压强相等，即 p1=p2，由式 (2-11)可得：
p1=p+ρ1gh1
p2=pa+ρ2gh2
所以 p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2
M点的绝对压强为 p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1 （ 2-19）
M点的计示压强为 pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1 （ 2-20）
于是，可以根据测得的 h1和 h2以及已知的 ρ1和 ρ2计算出被测点的绝对压强和计示压强值。
(2) 被测容器中的流体压强小于大气压强 (即 p<pa)：
如 图 2-11(b)所示。在大气压强作用下,U形管右管内
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的液面下降，左管内的液面上升，直到平衡为止。这时两管工作介质的液面高度差为 h2。过右管工作介质的分界面作水平面 1-2，它是等压面。由式 (2-11)列等压面方程
p+ρ1gh1+ρ2gh2=pa
M点的绝对压强为
p=p-ρ1gh1-ρ2gh2 （ 2-21）
M点的真空或负压强为
pv=pa-p=ρ1gh1+ρ2gh2 （ 2-22）
如果 U形管测压计用来测量气体压强时，因为气体的密度很小，式 (2-19)到式 (2-22)中的 ρ1gh1项可以忽略不计。
若被测流体的压强较高时，用一个 U形管则过长，可
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以采用串联的 U形管组成多 U形管测压计。通常采用双
U形管或三 U形管测压计。
在 图 2-12所示的三 U形管测压计中，以互不渗混的两种流体作为工作介质（ ρ1>ρ‘1），则在平衡的同一工作介质连续区内，同一水平面即为等压面，如 1-1,1‘-1‘,2-2，
2‘-2‘和 3-3都是不同的等压面。对图中各等压面依次应用式
（ 2-11） 得,pA=p1-ρgh ； p2=p’+ρ1gh2
p1=p’1+ρ1gh1 ； p’2=p3-ρ‘1gh’2
P’1=p2-ρ‘1gh’1 ； p3=pa-ρ1gh3
相加得容器中 A点的绝对压强
（ 2-23）
)()( 3211211 hhhghhgghpp aA
2009-7-28 51
图 2-12 三 U形管测压计
2009-7-28 52
容器中 A点的计示压强为
（ 2-24）
若为 n个串联 U形管测压计，则被测容器 A中的计示压强计算通式为
（ 2-25）
测量密度为 ρ的气体的压强时，如果 U形管连接管中的密度为 ρ1‘的流体也是气体，则各气柱的重量可忽略不计，
则式（ 2-25）可简化为
（ 2-26）
三,U形管差压计
1.结构
U形管差压计用来测量两个容器或同一容器（如管道
)()( 3211211 hhhghhgghppp aAe
n
j
j
n
i
ie hghgghp
1
1
1
1
1
n
j
je hgp
1
1?
2009-7-28 53
流体中不同位置两点的压强差。测量时，把 U形管两端分别与两个容器的测点 A和 B连接，如 图 2-13所示。 U形管中应注入较两个容器中的流体密度大且不相混淆的流体作为工作介质（即 ρ>ρA,ρ>ρB）。
2.测量原理若 ρA>ρB,U形管内液体向右管上升，平衡后,1-2是等压面，即 p1=p2。由式 （ 2-11） 得：
因 p1=p2,故则 （ 2-27）
)( 11 hhgpp AA
ghghpp BB 22
ghghphhgp BBAA 21 )(
)( 12 hhgghghpp ABBA
12)( ghghhgg ABA
2009-7-28 54
图 2-13 U形管差压计
2009-7-28 55
若两个容器内是同一流体，即 ρA=ρB=ρ1，则上式可写成
（ 2-28）
若两个容器内是同一气体，由于气体的密度很小,U形管内的气柱重量可忽略不计，上式可简化为
（ 2-29）
测量较小的液体压差，可以用倒置式 U形差压计，例如用 图 2-14所示装置测量管道内节流阀前后的压差 p1-p2。
设 ρ<ρ1，当液体处于平衡状态时，水平面 0-0是等压面，
其上的压强为 p0，则有
)()( 1211 hhgghpp BA
ghpp BA
1101 ghpp
ghghpp 2102
2009-7-28 56
00
p1 p2
h1 h1
图 2-14 倒置 U形差压计
h
2009-7-28 57
得 （ 2-30）
由式 (2-30)可知，当 ρ1和 ρ2很接近时，即使压差（ p1-
p2)很小，仍可得到较大的 h值，从而有利于测量。 U形管内液体上部的工作介质可以用空气或别的气体代替，通过顶部的阀门将空气注入，逐渐增加液面上的压强，直到两管中液面达到某个合适的位置为止，这时 ρ与 ρ1相比可忽略不计，但在较高的 p1和 p2时，相应的空气压强也较高，
就不能略去 ρ。
四、倾斜微压计
1．结构在测量气体的微小压强和压差时，为了提高测量精度，
常采用微压计。倾斜微压计是由一个大截面的杯子连
ghpp )( 121
2009-7-28 58
接一个可调节倾斜角度的细玻璃管构成，其中盛有密度为
ρ的液体，如 图 2-15所示。
在未测压时，倾斜微压计的两端通大气，杯中液面和倾斜管中的液面在同一平面 1— 2上。当测量容器或管道中某处的压强时，杯端上部测压口与被测气体容器或管道的测点相连接，在被测气体压强 p的作用下，杯中液面下降
h1的高度至 0— 0位置，而倾斜玻璃管中液面上升了 L长度，
其上升高度 。
2．测量原理根据流体平衡方程式 (2-11)，被测气体的绝对压强为
（ 2-31）
其计示压强为
（ 2-32）
sin2 Lh?
)( 21 hhgpp a
)( 21 hhgppp ae
2009-7-28 59
0
p
h1
h2
Θ
pa
s
L
A
ρ
1
2
0
图 2-15 倾斜微压计
2009-7-28 60
如果用倾斜微压计测量两容器或管道两点的压强差时，将压强大的 p1连接杯端测压口，压强小的 p2连接倾斜玻璃管出口端，则测得的压强差为由于杯内液体下降量等于倾斜管中液体的上升量，设 A
和 s分别为杯子和玻璃管的横截面积，则或又于是式 （ 2-32） 可写成式中 k — 倾斜微压计常数,。
)( 2121 hhgpp
LsAh?1 )/(1 AsLh?
sin2 Lh?
KLLAsgp e
s i n
sinAsgK
2009-7-28 61
当 A,s和 ρ一定时,k仅是倾斜角 Θ的函数。改变 Θ的大小，可得到不同的 k值，即将被测压强差的 L值放大了不同的倍数。倾斜微压计的放大倍数
(2-34)
由于 s/A很小，可以略去不计，则
(2-35)
当 Θ=300时，,即把压强差的液柱读数放大了两倍；当 Θ=100时,（倍）。可见，倾斜微压计可使读数更精确。但若 Θ过小（如小于 50）时，
倾斜玻璃管内的液体将产生较大的波动，位置不易确定。
对于每一种倾斜微压计，其常数值一般有 0.2,0.3,0.4、
0.6和 0.8五个数据以供选用。
s i n/
1
21?
Ashh Ln
sin
1?n
LLh 2130sin2
75.510s i n/1n
2009-7-28 62
【 例 2-1】 如 图 2-16所示测量装置，活塞直径 d=35㎜,
油的相对密度 d油 =0.92,水银的相对密度 dHg=13.6，活塞与缸壁无泄漏和摩擦。当活塞重为 15Ｎ时,h=700㎜,试计算Ｕ形管测压计的液面高差 Δh值。
【 解 】 重物使活塞单位面积上承受的压强为
（ Pa）
列等压面１ — １的平衡方程解得 Δh为：
（㎝）
1 5 5 9 0
0 3 5.0
4
15
4
15
22
d
p
hgghp Hg 油
4.1670.06.13 92.0806.913600 15590
HgHg
hgph 油
2009-7-28 63
图 2-16
2009-7-28 64
【 例 2-2】 如 图 2-17所示为双杯双液微压计，杯内和
Ｕ形管内分别装有密度 ρ1=lOOOkg/m3和密度 ρ2
=13600kg/m3的两种不同液体，大截面杯的直径Ｄ＝
100mm，Ｕ形管的直径 d=10mm，测得 h=30mm，计算两杯内的压强差为多少?
【 解 】 列 1— 2截面上的等压面方程由于两边密度为 ρ1的液体容量相等，所以 D2h2=d2h，代入上式得
=3709.6(pa)
ghhhhgpghp 21212111 )(
hg
D
dgpp
12
2
221 1
03.08 0 6.91 0 0 0
1.0
01.018 0 6.91 3 6 0 0
2
2
2009-7-28 65
图 2-17
2009-7-28 66
【 例 2-3】 用双Ｕ形管测压计测量两点的压强差，如图 2-18所示，已知 h1=600mm,h2=250mm,h3=200 mm，
h4=300mm,h5=500mm,ρ1=1000㎏ /m3,ρ2=800㎏
/m3,ρ3=13598㎏ /m3，试确定Ａ和Ｂ两点的压强差。
【 解 】 根据等压面条件，图中 1— 1,2— 2,3— 3均为等压面。可应用流体静力学基本方程式 （ 2-11） 逐步推算。 P1=p2+ρ1gh1 p2=p1-ρ3gh2
p3=p2+ρ2gh3
p4=p3-ρ3gh4
pB=p4-ρ1g(h5-h4)
2009-7-28 67
逐个将式子代入下一个式子，则
pB=pA+ρ1gh1-ρ3gh2+ρ2gh3-ρ3gh4-ρ1g(h5-h4)
所以 pA-pB= ρ1g(h5-h4)+ρ3gh4 +ρ3gh2-ρ2gh3
-ρ1g h1=9.806× 1000× （ 0.5-0.3）
+133400× 0.3-7850× 0.2
+133400× 0.25-9.806× 1000× 0.6
=67876（ Pa）
2009-7-28 68
图 2-18
2009-7-28 69
【 例 2-4】 已知密闭水箱中的液面高度 h4=60mm，测压管中的液面高度 h1=100cm，Ｕ形管中右端工作介质高度，如 图 2-19所示。试求Ｕ形管中左端工作介质高度 h3为多少？
【 解 】 列 1— 1截面等压面方程，则
（ a）
列 2— 2截面等压面方程，则
（ b）
把式（ a）代入式（ b）中
=0.1365(m)=136.5(mm)
)( 410H0 2 hhgpp a
)6.00.1(0H 2 gp a?
gp a 0H 24.0
)()( 32Hg340H0 2 hhgphhgp a
)2.0()6.0(4.0 3Hg30H0H 22 hgphggp aa
1 0 0 01 3 6 0 0
1 0 0 01 3 6 0 02.02.0
0HHg
0HHg
3
2
2
h
2009-7-28 70
图 2-19
2009-7-28 71
第五节 平面上的静水总压力许多工程设备，在设计时常需要确定静止液体作用在其表面上的总压力的大小、方向和位置。例如闸门、插板、水箱、油罐、压力容器的设备。由于静止液体中不存在切向应力，所以全部力都垂直于淹没物体的表面。
静止液体作用在平面上的总压力分为静止液体作用在斜面、水平面和垂直面上的总压力三种，斜面是最普通的一种情况，水平面和垂直面是斜面的特殊情况。下面介绍静止液体作用在斜面上的总压力问题。
假设有一块任意形状的平面 MN与水平成 Θ角放置在静止液体中，如 图 2-20所示，图中右边是平面ＭＮ在垂
2009-7-28 72
hc hc h hp
F
图 2-20 静止液体中倾斜平面上液体的总压力
2009-7-28 73
直面上的投影图。
一、总压力的大小假设 h为倾斜平面上任一点到自由液面的深度,y为相应的在 OY轴上的距离。在深度 h内选取一微元面积，认为其上的压强是均匀分布的，这样，该微元面积就相当于淹没在静止液体中的一条水平带。如果 x表示任一深度处这条微元面积的宽度，则它的面积 dA=xdy，由静止液体产生的压强 p=ρgh，而 h=ysinΘ，则作用在这条微元面积上静止液体的总压力为
dF=pdA=ρghdA=ρgysinΘdA
上式中没有考虑大气压强的作用，因为平面的四周都受有大气压强的作用，互相抵消，该式为仅由液体产生的总压力。
2009-7-28 74
积分上式，即可得静止液体作用在整个淹没平面上的总压力为
（ 2-37）
式中 是整个淹没平面面积 A对 OX轴的面积矩,yc
为平面 A的形心 C到 OX轴的距离，称为形心 y坐标。
如果用 hc表示形心的垂直深度，称为形心淹深，那么,则
F=ρ ghcA （ 2-38）
因此静止液体作用在任一淹没平面上的总压力等于液体的密度、重力加速度、平面面积和形心淹深的乘积。如果保持平面形心的淹深不变，改变平面的倾斜角度，则静止液体作用在该平面的总压力值不变，即静止液体作用于淹没平面上的总压力与平面的倾斜角度无关。作用在静止
A
c AygAygF s i nds i n
A Ayd
s i ncc yh?
2009-7-28 75
液体中任一淹没平面上液体的总压力也相当于以平面面积为底，平面形心淹深为高的柱体的液重。
二、总压力的作用点淹没在静止液体的平面上总压力的作用点，即总压力作用线与平面的交点，称为压力中心。由合力矩定理可知，
总压力对 OX轴之矩等于各微元面积上的总压力对 OX轴之矩的代数和。在 图 2-21中，作用在微元面积上的总压力对 OX轴的力矩为如果用 yp表示 OY轴上点 O到压力中心的距离，则按合力矩定理有
AgyF ds i nd
AygFy ds i nd 2
x
A
p IgAygFy s i nds i n
2
2009-7-28 76
式中 为平面面积对 OX的惯性矩。
上式除以式 (2-37)，得
（ 2-39）
根据惯性矩的平行移轴公式式中 ICX— 是面积对于通过它形心且平行于 OX轴的轴线的惯性矩。
因此，式 (2-39)可以写成
（ 2-40）
从这个方程式可以看到，压力中心的位置与 Θ角无关，
即平面面积可以绕与 OX轴平行且通过压力中心的轴旋转。
由方程还可看到，压力中心总是在形心下方，随淹
A
x AyI d
2
Ay
I
Ayg
Igy
c
x
c
x
p
s i n
s i n
cxcx IAyI 2
Ay
Iy
Ay
IAyy
c
cx
c
c
cxc
p
2
2009-7-28 77
没的深度增加，压力中心逐渐趋近于形心 。
按照上述方法同理可求得压力中心的 x坐标
（ 2-41）
式中 XC — 平面形心 x的坐标；
Ixy — 平面面积对 OXY坐标的两轴的惯性矩；
Icxy — 平面面积对于通过形心而平行于坐标系两轴的惯性矩。
通常，实际工程中遇到的平面多数是对称的，因此压力中心的位置是在平面对称的中心线上，此时不必求 xp的坐标值，只需求得 yp坐标值即可。
表 2-2给出几种常用截面的几何性质。
Ay
IX
Ay
IX
c
cxy
c
c
xy
p
2009-7-28 78
截面几何图形面积 A 型心 yc 惯性距 Icx
bh 1/2h 1/12bh3
1/2bh 2/3h 1/36bh3
1/2h(a+b) ba bah 231
2009-7-28 79
2r?
r 4
4
r?
bh
4
2
h 3
64
bh?
2
3
r
r
3
4 42
72
649 r
2009-7-28 80
上述计算公式和方法同样适用于静止液体作用在垂直平面上的总压力问题。
下面介绍静止液体作用在水平面上的总压力。由于水平面是水平放置的，压强分布是均匀分布的，那么仅有液体作用在底面为 A、液深为 h的水平面的总压力：
F=ρ ghA （ 2-42）
总压力的作用点是水平面面积的形心。可见，仅由液体产生作用在水平平面上的总压力同样只与液体的密度、
平面面积和液深有关。 图 2-21中四个容器装有同一种液体，
根据式（ 2-42），液体对容器底部的作用力是相同的，而与容器的形状无关，这一现象称为静水奇象。换句话说，
液体作用在容器上的总压力不要和容器所盛液体的重量相混淆。工程上可以利用这一现象对容器底部进行严密性检查。
2009-7-28 81
图 2-21 静水奇象
2009-7-28 82
图 2-21 静水奇象
2009-7-28 83
【 例 2-6】 图 2-22表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为 h1=2m,h2=4m，试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。
【 解 】 淹没在自由液面下 h1深的矩形水闸的形心
yc=hc=h1/2
每米宽水闸左边的总压力为由式 (2-40)确定的作用点 F1位置
)(1 9 6 1 2
29 8 0 6
2
1
2
1
1
2
22
1
1
1
1
N
gh
h
h
gAghF c
Ay
Iyy
c
c
cp1
2009-7-28 84
图 2-22
2009-7-28 85
其中通过形心轴的惯性矩 IC=bh31/12，所以即 F1的作用点位置在离底 1/3h=2/3m处。
淹没在自由液面下 h2深的矩形水闸的形心 yc=hc=h2/2。
每米宽水闸右边的总压力为
（Ｎ）
同理 F2作用点的位置在离底 1/3h2=2/3m处。
每米宽水闸上所承受的净总压力为
F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）
假设净总压力的作用点离底的距离为 h，可按力矩方程求得其值。围绕水闸底 O处的力矩应该平衡，即
(m)
7 8 4 4 8498062121 2222 ghF?
33
1122 hFhFFh 56.1
5 8 8 3 63
21 9 6 1 247 8 4 4 8
3
1122?
F
hFhFh
2009-7-28 86
第六节 曲面上的静水总压力电厂中有许多承受液体总压力的曲面，主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油罐和弧形阀门等。由于静止液体作用在曲面上各点的压强方向都垂直于曲面各点的切线方向，各点压强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静止液体的总压力的方法与平面不同。
一、总压力的大小和方向图 2-23所示为一圆柱形开口容器中某一部分曲面 AB上承受液体静止压强的情况。设曲面的宽度为 b，在 A处取一微小弧段 ds，则作用在宽度为 b、长度为 ds的弧面 dA上仅由液体产生的总压力为
AghsghbF ddd
2009-7-28 87
C
D B
Ax H
h
dF
dFx
dFz
Θ
图 2-23 作用在圆柱体曲面上的总压力
2009-7-28 88
这一总压力在 OX轴与 OZ轴方向的分力为：
（ 2-43）
（ 2-44）
1．水平分力由 图 2-23可知，,代入到式 (2-43)，则因此，静止液体作用在曲面 AB上的总压力在 OX轴方向的分力，即水平分力为
（ 2-45）
式中 为曲面面积在垂直平面（ OYZ坐标面）上的投影面积 AX对 OY轴的面积矩，它等于投影面积的形心到 OY
轴的距离与投影面积的乘积，即 。
c o sdc o sdd AghFF x
sindsindd AghFF z
xAA dco sd
xx AghF dd
xc
A
xx AghAhgF d
A xAhd
A
xcx AhAh d
2009-7-28 89
该圆柱形曲面在垂直平面上的投影面积 Ax=bH，其形心
hc=H/2，则
（ 2-46）
由此可知，静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力等于作用在这一曲面的垂直投影面上的总压力。 F作用线的位置位于自由液面下 2/3H处。
2．垂直分力由 图 2-23可知，代入到式 （ 2-44）,则因此静止液体作用在曲面 AB上的总压力在 OZ轴方向的分力，即垂直分力为
（ 2-47）
2
2
1 g b HF
x
zz AghF dd
p
A
zz gVAhgF d
2009-7-28 90
式中 是曲面 AB与自由液面间的柱体体积，
在 图 2-23上就是面积 OAB乘以曲面的宽度 b，这个体积称为压力体。
由此可知，静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力体的液体重量,Fx的作用线通过压力体的重心。
3．总压力的大小和方向求得了静止液体作用在曲面上水平分力 Fx和垂直分力
Fz后，就可确定静止液体作用在曲面上的总压力，即
（ 2-48）
总压力与垂线间夹角的正切为
（ 2-49）
A zAhd p
A
z VAh d
22 zx FFF
z
x
F
Ftg
2009-7-28 91
二、总压力的作用点总压力的作用线通过Ｏ点 Fx和 Fz与作用线的交点。总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点，
即压力中心。
三、压力体的概念图压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）
到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体积。它的计算式 是一个纯数学体积计算式。
作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的重量，
并且与压力体内是否充满液体无关。为了说明这一点，作图 2-24，它表示由两个形状、尺寸和淹深完全相同的曲面
ab和 a’b’所构成的容器，容器内盛有某种液体。曲面 ab的压力体是过曲面的 a和 b两点引垂线到液面所得 ab
A zp AhV d
2009-7-28 92
h
d d’ c’
m’m
c
Fz
F’z图 2-24 压力体
2009-7-28 93
cd与容器的宽度构成的。而曲面 a’b’的压力体是过 a’和 b’两点引垂线到液面延长面所得 a’b’c’d’与容器宽度构成的。由于 ab曲面和 a’b’曲面的形状、尺寸和淹深完全相同，所以这两个压力体的体积相等，因而静止液体作用在曲面 ab和
a’b’曲面上总压力的垂直分力的大小是相等的。
作用在 ab曲面上的垂直分力 Fz与作用在 a’b’曲面上的垂直分力 F’z只是数值上相同，而方向是不同的。因为流体在
ab曲面的上方，故 Fz的方向向下；液体在 a’b’曲面的下方，
故 F’z的方向向上。通常称充满液体的压力体为实压力体或正压力体，如 abcd；不充满液体的压力体称为虚压力体或负压力体，如 a’b’c’d’ 。
四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序
(1)将总压力分解为水平分力 Fx和垂直分力 Fz。
2009-7-28 94
(2)水平分力的计算,。
(3)确定压力体的体积。
(4)垂直分力的计算,方向由虚、实压力体确定。
(5)总压力的计算,。
(6)总压力方向的确定,。
(7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。
xcx AghF
pz gVF
22 zx FFF
zx FF /tg
2009-7-28 95
【 例 2-7】 求 图 2-25所示流体施加到水平放置的单位长度圆柱体上的水平分力和垂直分力：（ a）如果圆柱体左侧的流体是一种计示压强为 35kPa被密封的箱内的气体；
（ b）如果圆柱体左侧的流体是水，水面与圆柱体最高部分平齐，水箱开口通大气。
【 解 】 （ a）圆柱体表面所研究部分的净垂直投影为则
35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为 Az=[4-2(1-cos300)] × 1
则 35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为 Fx=pAz=35× [4-2(1-cos300)] × 1
=353.75=130.5(kN)
圆柱体表面所研究部分的净水平投影为
Ax=2sin300× 1
2009-7-28 96
则气体作用在单位长度圆柱体上的垂直分力为
Fz=pAx=35× 2sin300× 1=35(kN)
（ b） Fx=ρghcAx=9.81× (1/2× 3.73) × (3.73× 1)
× 1000=68.1（ kN）
Fz=ρgVp=9.81× 1000× (2100/3600× 22+1/2× 1
× 1.732+1× 2) × 1=100.5(KN)
2009-7-28 97
图 2-25
2009-7-28 98
【 例 2-8】 图 2-26所示为一水箱，左端为一半球形端盖，
右端为一平板端盖。水箱上部有一加水管。已知
h=600mm,R=150mm，试求两端盖所受的总压力及方向。
【 解 】 （ 1）右端盖是一圆平面，面积为
A右 =πR2
其上作用的总压力有
F右 =ρg(h+R)A右 =ρg(h+R) πR2
=103× 9.806× (0.6+0.15)
× 3.14× 0.152=520 （ N）
方向垂直于端盖水平向右
（ 2）左端盖是一半球面，分解为水平方向分力 Fx左 和
2009-7-28 99
垂直方向分力 Fz左 。
Fx左 =ρg(h+R)Ax=ρg(h+R) πR2
=103× 9.806× (0.6+0.15)
× 3.14× 0.152=520 （ N）
方向水平向左垂直方向分力由压力体来求，将半球面分成 AB,BE两部分,AB部分压力体为 ABCDEOA，即图中左斜线部分，记为 VABCDEOA，它为实压力体，方向向下； BE部分压力体为
BCDEB，即图中右斜线部分，记为 VBCDEB,它为虚压力体，方向向上。因此总压力体为它们的代数和。
Vp= VABCDEOA -VBCDEB=VABEOA
2009-7-28 100
Vp正好为半球的体积，所以
Vp=1/2× 4/3× πR3
Fz左 =ρg Vp= ρg2/3πR3= 103× 9.806× 2/3
× 3.14× 0.153=69.3(N)
方向垂直向下总作用力为
（ N）
合力通过球心与水平方向夹角为
7.5243.69520 2222 左左 zxz FFF
82537520 3.69tgtg 11
左左
x
z
F
F?
2009-7-28 101
图 2-26
2009-7-28 102
第七节 浮体与潜体的稳定性一、浮力的原理如 图 2-27所示，有一物体沉没在静止的液体中，它受到的静水总压力 P可以分解成水平分力 px,py和垂直分力
pz。
先确定水平分力。对于浸没于液体中的物体，可以找到一个母线平行于 x轴的水平外切柱面与物体相切的封闭曲线 BCFD，该曲线将物体分成左右两部分，作用于物体上沿着 x方向的水平分力 px就是这两部分的外部曲面上的水平分力 Px1与 Px2之和，它们的大小各为相应曲面在垂直于轴的垂直投影面上的水压力。而这两部分在此垂直面上
2009-7-28 103
Pz1
J K
A
B
C
D
E
F
Px2
Pz
Px1
Pz2
图 2-27 浮力原理
2009-7-28 104
的投影面完全重合，故 Px1与 Px2大小相等，方向相反，因此 Px=0。同理可得作用于物体上沿着 y方向的水平分力
Py=0。也就是浸没于液体中的物体在各水平方向的总压力为零。
再确定垂直分力。作该物体的垂直外切柱面，与物体相切得封闭曲线 ACED，将物体分成上下两部分，由式
（ 2-47） 知，液体作用在上部分表面上的总压力的垂直分力 Pz1等于压力体 ABEKJ的液体重量，方向垂直向下，即
Pz1= ρgVABEKJ
液体作用在下部分表面上的总压力的垂直分力 Pz2等于压力体 AFEKJ的液体重量，方向垂直向上，即
Pz2=-ρgVAFEKJ
2009-7-28 105
液体作用于整个物体上的总压力的垂直分力 Pz是上下两部分的外部曲面上的垂直分力的合力。即
Pz=Pz1+Pz2==-ρg(VAFEKJ-VABEKJ)=-ρgVAFEB
负号表示方向向上。
上面的分析结果同样适用于漂浮在液面上的物体。此时，压力体的形状应为物体在自由液面以下部分的外表面与自由液面的延展面所包围的空间的形状，体积仍然为物体所排开的液体体积。
综上所述，液体作用在沉没或漂浮物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于物体所排开液体的重量，该力又称为浮力，作用线通过压力体的几何中心，又称浮心，这就是著名的阿基米德原理。从上面的分析可以看出：浮力的存在就是物体表面上作用的液体压强不平衡的结果。
2009-7-28 106
一切浸没于液体中或漂浮于液面上的物体都受到两个力作用：一个是垂直向上的浮力，其作用线通过浮心；另一个是垂直向下的重力 G，其作用线通过物体的重心。对浸没于液体中的均质物体，浮心与重心重合，但对于浸没于液体中的非均质物体或漂浮于液面上的物体重心与浮心是不重合的。
根据重力 G与浮力 Pz的大小，物体在液体中将有三种不同的存在方式：
1．重力 G大于浮力 Pz,物体将下沉到底，称为沉体；
2．重力 G等于浮力 Pz,物体可以潜没于液体中，称为潜体；
3．重力 G小于浮力 Pz,物体会上浮，直到部分物体露出液面，使留在液面以下部分物体所排开的液体重量恰好
2009-7-28 107
等于物体的重力为止，称为浮体。阿基米德原理对于沉体、
潜体和浮体都是正确的。
二、浮体与潜体的稳定性上面提到的重力与浮力相等，物体既不上浮也不下沉，
这是浮体和潜体维持平衡的必要条件。如果要求浮体和潜体在液体中不发生转动，还必须满足重力和浮力对任何一点的力矩的代数和为零，即重心 C和浮心 B在同一条铅直线上。但这种平衡的稳定性（也就是遇到外界干扰，浮体和潜体倾斜后，恢复到原来的平衡状态的能力）取决于重心 C和浮心 B在同一条铅直线上的相对位置。
对于潜体，如 图 2-28（ a） 所示，重心 C位于浮心 B之下。若由于某种原因，潜体发生倾斜，使 B,C两点不在同一条铅直线上，则重力 G与浮力 P将形成一个使潜体恢
2009-7-28 108
恢复到原来平衡状态的恢复力偶（或叫扶正力偶），以反抗使其继续倾倒的趋势。一旦去掉外界干扰，潜体将自动恢复原有平衡状态。这种情况下的潜体平衡称为稳定平衡。
反之，如 图 2-28（ b） 所示，重心 C位于浮心 B之上。潜体如有倾斜，使 B,C两点不复在同一条铅直线上，则重力 G
与浮力 P所形成的力偶，是一种倾覆力偶，将促使潜体继续翻转直到倒转一个方位，达到上述 C点位于 B点之下的稳定平衡状态为止。这种重心 C位于浮心 B之上、易于失稳的潜体平衡称为不稳定平衡。第三种情况是重心 C与浮心 B重合，如 图 2-28（ c） 所示。此时，无论潜体取何种方位，都处于平衡状态。这种情况下的平衡称为随遇平衡。
2009-7-28 109
对于浮体来说，如果重心高于浮心，它的平衡还是有稳定的可能，这是因为浮体倾斜后，浸没在液体中的那部分形状改变了，浮心的位置也随之移动，而潜体的浮心并不因为倾斜而有所变化。
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图 2-28 潜体稳定性
2009-7-28 111
图 2-28 潜体稳定性
第二章 流体静力学
§ 1–1 流体静压强极其特性
§ 1–2 流体平衡微分方程
§ 1–3 重力作用下的流体平衡
§ 1–4 流体静力学基本方程的应用
§ 1–5 平面上的静水总压力
§ 1–6 曲面上的静水总压力
§ 1–7 浮体与潜体的稳定性
2009-7-28 2
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，
称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
2009-7-28 3
第一节 流体静压强及其特性在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强，用符号 p表示，单位为 Pa。
流体静压强有两个基本特性。
（ 1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。
这一特性可由反证法给予证明：
假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线方向成 α角，如 图 2-1所示。
2009-7-28 4
α
pn
pt
p
切向压强静压强图 2-1
2009-7-28 5
那么静压强 p可以分解成两个分力即切向压强 pt和法向压强 pn。由于切向压强是一个剪切力，由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法线方向的压强。
（ 2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。
为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任意一点
A取一微元四面体的流体微团 ABCD，设直角坐标原点与 A
重合。微元四面体正交的三个边长分别为 dx,dy和 dz，如图 2-2所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在
2009-7-28 6
其上的力是平衡的现在来分析作用于微元四面体 ABCD上各力的平衡关系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在 ACD、
ABD,ABC和 BCD四个面上的流体静压强分别为 px,py、
pz和 pn,pn与 x,y,z轴的夹角分别为 α,β,γ,则作用在各面上流体的总压力分别为：
zyxpxP dd21?
zxypyP dd21?
2009-7-28 7
py
px
pz
pn
作用在 ACD面上的流体静压强作用在 BCD面上的静压强作用在 ABD和上的静压强图 2－ 2 微元四面体受力分析
2009-7-28 8
（ dAn为 BCD的面积）
除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的平均密度为 ρ，而微元四面体的体积为 dV=dxdydz/6，则微元四面体流体微团的质量为 dm=ρ dxdydz/6。假定作用在流流体上的单位质量力为,它在各坐标轴上的分量分别为 fx,fy,fz,则作用在微元四面体上的总质量力为：
yxzpzP dd21?
nAnpnP d?
f?
fzyxW
ddd
6
1
2009-7-28 9
它在三个坐标轴上的分量为：
由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系，
则,,。
在轴方向上力的平衡方程为：
把 px,pn 和 Wx的各式代入得：
yy zfyxW ddd6
1
zz zfyxW ddd6
1
xx zfyxW ddd6
1
0xP 0yP 0zP
0co s xnx WPP?
0ddd61c o sddd21 xnnx zfyxApzyp
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因为则上式变成或由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得：
同理可得所以
（ 2-1）
zyA n dd21c o sd
0ddd61dd21dd21 xnx zfyxzypzyp?
0d31 xfpp xnx?
nx pp?
ny pp?
nz pp?
nzyx pppp
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因为 n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，
静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数，即
（ 2-2）
),,( zyxpp?
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第二节 流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式在静止流体中任取一边长为 dx,dy和 dz的微元平行六面体的流体微团，如 图 2-3所示。现在来分析作用在这流体微团上外力的平衡条件。由上节所述流体静压强的特性知，
作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行六面体中心点处的静压强为 p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒（ G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于 X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：
3
3
32
2
2
2
d
6
1
2
d
2
1
2
d x
x
px
x
px
x
pp
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zyxxpp ddd21
p zyxxpp ddd21
图 2-3 微元平行六面体 x方向的受力分析
2009-7-28 14
略去二阶以上无穷小量后，分别等于和和由于平行六面体是微元的，所以可以把各微元面上中心点的压强视为平均压强。因此，垂直于 x轴的左、右两微元面上的总压力分别为：
和和同理，可得到垂直于 y轴的下、上两个微元面上的总压力分别为：
和
3
3
32
2
2
2
d
6
1
2
d
2
1
2
d x
x
px
x
px
x
pp
xxpp d21 xxpp d21
zyxxpp ddd21
zyxxpp ddd21
zx
y
pp dddy
2
1
zxy
y
pp ddd
2
1
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垂直于轴的后、前两个微元面上的总压力分别为：
作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。
若流体微团的平均密度为 ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例如，对于 x轴，则为
yxzpp dddz21 yxzzpp ddd21
zyxf x ddd? zyxf
y ddd?
zyxf z ddd?
0dddddd21ddd21 zyxfzyxxppzyxxpp x?
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整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量
ρ dxdydz则得同理得
（ 2-3）
写成矢量形式这就是流体平衡微分方程式，是在 1755年由欧拉
（ Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中，
除了假设是静止流体以外，其他参数 (质量力和密度 )
01 xpf x?
01 ypf y?
01 zpf z?
01 pf
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均未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。
在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程出发，而是从下述的压强差公式来进行推导的。
把式 （ 2-3） 两边分别乘以 dx,dy,dz，然后相加，得流体静压强是空间坐标的连续函数，即,它的全微分为所以
（ 2-4）
zzpyypxxpzfyfxf zyx ddd)ddd(
),,( zyxpp?
zzpyypxxpp dddd
)ddd(d zfyfxfp zyx
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此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的坐标增量为 dx,dy,dz时，相应的流体静压强增加 dp，
压强的增量取决于质量力。
二、流体平衡条件对于不可压缩均质流体，密度 ρ ＝常数，可将式 （ 2-4）
写成上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条件是
（ 2-5）
由理论力学可知，式（ 2-5）是 fx,fy,fz 具有力的
zfyfxfp zyx dddd
y
f
z
f zy
z
f
x
f xz
x
f
y
f yx
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势函数－ 的充分必要条件。力的势函数对各坐标轴的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量，即：
，,（ 2-6）
写成矢量形式：
由式 （ 2-4） 得
（ 2-6a）
有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。
三、等压面在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。
),,( zyx?
xf x?
yf y?
zf z?
gradf
dddddddd
z
zyyxxzfyfxf
p
zyx
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等压面可以用 p(x,y,z)＝常数来表示。对不同的等压面，其常数值是不同的，而且流体中任意一点只能有一个等压面通过。在等压面上,dp=0，由式 （ 2-6a） 可得 dπ =0，即
=常数，也就是说，在不可压缩静止流体中，等压面也是有势质量力的等势面。
液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，
其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。
等压面有一个重要性质，就是等压面与质量力互相垂直。因为在等压面上各处的压强都一样，即 dp=0，由式
(2-4)可得等压面微分方程：
=0 （ 2-7）
zfyfxf zyx ddd
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式 (2-7)左端又表示作用在等压面上 A点的单位质量力与通过 A点的等压面上的微元线段 (其分量为 dx,dy、
dz)两个矢量的数量积，如 图 2-4所示，
两个矢量的数量积等于零，必须 f和 ds互相垂直，其夹角 φ等于 900。也就是说，通过静止流体中的任一点的等压面都垂直于该点处的质量力。例如，当质量力只有重力时，
等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球面。但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平面 。
f?
0dddd zfyfxfsf zyx
sd?
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图 2-4 两个矢量的数量积
f
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第三节 重力作用下的流体平衡在自然界和实际工程中，经常遇到并要研究的流体是不可压缩的重力液体，也就是作用在液体上的质量力只有重力的液体。
一、重力作用下的静力学基本方程式在一盛有静止液体的容器上取直角坐标系（只画出 OYZ
平面,Z轴垂直向上），如 图 2-5所示。这时，作用在液体上的质量力只有重力 G=mg，其单位质量力在各坐标轴上的分力为 fx=0,fy=0,fz=0
代入式 （ 2-4）,得
zgp dd
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写成 （ 2-8）
对于均质不可压缩流体，密度 ρ为常数。积分上式，得
（ 2-9）
式中 c为积分常数，由边界条件确定。这就是重力作用下的液体平衡方程，通常称为流体静力学基本方程。该方程的适用范围是,重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体。
若在静止液体中任取两点 l和 2，点 1和点 2压强各为 p1
和 p2，位置坐标各为 z1和 z2，则可把式 (2-9)写成另一表达式，即：
（ 2-10）
0dd gpz?
cgpz
g
pz
g
pz
2
2
1
1
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P0
P1
P2
Z1 Z2
图 2-5 推导静力学基本方程式用图
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为了进一步理解流体静力学基本方程式，现在来讨论流体静力学基本方程的物理意义和几何意义
1.物理意义从物理学可知，把质量为 m的物体从基准面提升 z高度后，该物体就具有位能 mgz，则单位重量物体所具有的位能为 z(mgz/mg=z)。所以式 (2-9)中 z的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位势能。
式 (2-9)中的 p/ρ g表示单位重量流体的压强势能，这可说明如下：如 图 2-6所示，容器离基准面 z处开一个小孔，
接一个顶端封闭的玻璃管 (称为测压管 )，并把其内空气抽出，形成完全真空 (p=0)，在开孔处流体静压强 p的作用下，
流体进入测压管，上升的高度 h=p/ρ g称为单位重量流体的压强势能。位势能和压强势能之和称为单位重量流
2009-7-28 27
体的总势能。所以式 (2-9)表示在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止液体中的能量守恒定律。
2.几何意义单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，
并称为水头。式 (2-9)中 z具有长度单位，如 图 2-6所示,z
是流体质点离基准面的高度，所以 z的几何意义表示为单位重量流体的位置高度或位置水头。式 (2-9)中 p/ρ g也是长度单位，它的几何意义表示为单位重量流体的压强水头。
位置水头和压强水头之和称为静水头。所以式 (2-9)也表示在重力作用下静止流体中各点的静水头都相等。 在实际工程中，常需计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压强。为此，可以根据流体静力学基本方程 (2-10)
2009-7-28 28
如 图 2-7所示，在一密闭容器中盛有密度为 ρ的液体，
若自由液面上的压强为 p0、位置坐标为 z0，则在液体中位置坐标为 z的任意一点 A的压强 p可由式 (2-10)得到，即或 （ 2-11）
式中 h=z0-z是静止流体中任意点在自由液面下的深度。
式 (2-11)是重力作用下流体平衡方程的又一重要形式。
由它可得到三个重要结论：
(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。
(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：
g
pz
g
pz
0
0
ghzzgpp )( 00
ghpp 0
2009-7-28 29
一部分是自由液面上的压强 p0；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量 ρ gh。
(3)在静止液体中，位于同一深度 (h＝常数 )的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面。
2009-7-28 30
图 2-6 闭口测压管液柱上升高度
2009-7-28 31
图 2-6 闭口测压管液柱上升高度
2009-7-28 32
图 2-7 静止液体中任一点压强
2009-7-28 33
二、压强的度量流体压强按计量基准的不同可区分为绝对压强和相对压强。以完全真空时的绝对零压强 (p＝ 0)为基准来计量的压强称为绝对压强；以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强。
绝对压强与相对压强之间的关系可在下面导出。当自由液面上的压强是当地大气压强 pa时，则式 (2-11)可写成
（ 2-12）
或 （ 2-13）
式中 p— 流体的绝对压强,Pa；
pe— 流体的相对压强,Pa。
因为 pe可以由压强表直接测得，所以又称计示压强。
ghpp a
ghppp ae
2009-7-28 34
绝对压强 p是当地大气压强 pa与计示压强 pe之和，而计示压强 pe是绝对压强 p与当地大气压强 pa之差。当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体处于真空状态。
例如水泵和风机的吸入管中，凝汽器、锅炉炉膛以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地方的计示压强都是负值，称为真空或负压强，用符号 pv表示，
则
（ 2-14）
如以液柱高度表示，则
(2-15)
式中 hv称为真空高度。
在工程中，例如汽轮机凝汽器中的真空，常用当地大
ppp av
g
pp
g
ph av
v
2009-7-28 35
气压强的百分数来表示，即
(2-16)
式中 B通常称为真空度。
为了正确区别和理解绝对压强、计示压强和真空之间的关系，可用 图 2-8来说明。
当地大气压强是某地气压表上测得的压强值，它随着气象条件的变化而变化，所以当地大气压强线是变动的。
由于绝大多数气体的性质是气体绝对压强的函数，如正压性气体 ρ=ρ（ p)，所以气体的压强都用绝对压强表示。
而液体的性质几乎不受压强的影响，所以液体的压强常用计示压强表示，只有在汽化点时，才用液体的绝对压强。
%1 0 01%1 0 0
aa
v
p
p
p
pB
2009-7-28 36
真空绝对压强计示压强绝对压强图 2-8 绝对压强、计示压强和真空之间的关系
2009-7-28 37
流体静压强的计量单位有许多种，为了便于换算，现将常遇到的几种压强单位及其换算系数列于表 2-1中。
帕
( P a )
工程大气压
( k g f / c m
2
)
标准大气压
( a t m )
巴
( b a r )
米水柱
( m H 2 O)
毫米水柱
( m m H g )
磅 / 英寸
2
( l b f / i n
2
)
1
9,8 × 10
4
1 0,1 3 × 10
4
1 0,0 0 × 10
4
0,6 8 6 × 10
4
0,1 0 2 × 10
- 4
1
1,0 3 3
1,0 2
0,0 7
0.0987 × 10
- 4
0,9 6 8
1
0,9 8 7
0,0 6 8
0,1 0 0 × 10
- 4
0,9 8 1
1,0 1 3
1
0,0 6 8 6
1,0 2 × 10
- 4
10
1 0,3 3
1 0,2
0,7 0 3
7 5,0 3 × 10
- 4
7 3 5,6
7 6 0
7 5 0,2
5 1,7 1
1,4 5 × 10
- 4
1 4,2 2
1 4,6 9
1 4,5 0
1
表 2-1 压强的单位及其换算表
2009-7-28 38
第四节 流体静力学基本方程的应用流体静力学基本方程式在工程实际中有广泛的应用。
液柱式测压计的测量原理就是以流体静力学基本方程为依据的，它用液柱高度或液柱高度差来测量流体的静压强或压强差。下面介绍几种常见的液柱式测压计。
一、测压管
1.结构测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所造成的误差，采用一根内径为 10mm左右的直玻璃管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上端开口与大气相通，如 图 2-9所示。
2009-7-28 39
图（ 2-9）测压管
2009-7-28 40
2.测量原理图 （ 2-9） 测压管在压强作用下，液体在玻璃管中上升高度，设被测液体的密度为 ρ，大气压强为 pa，由式 (2-11)可得 M点的绝对压强为
（ 2-17）
M点的计示压强为
（ 2-18）
于是，用测得的液柱高度 h，可得到容器中液体的计示压强及绝对压强。
测压管只适用于测量较小的压强，一般不超过 9800Pa，
相当于 1mH2O。如果被测压强较高，则需加长测压管的长度，使用就很不方便。此外，测压管中的工作
ghpp a
ghppp ae
2009-7-28 41
介质就是被测容器中的流体，所以测压管只能用于测量液体的压强。
3.注意的问题在管道中流动的流体的静压强也可用测压管和其它液柱式测压计测量。但是，为了减小测量误差，在测压管与管道连接处需要采取下列措施：
(1)测压管必须与管道内壁垂直；
(2)测压管管端与管道内壁平齐，不能伸出而影响流体的流动；
(3)测压管管端的边缘一定要很光滑，不能有尖缘和毛刺等；
(4)为了减小由于连接的不完善而导致较大的误差，可
2009-7-28 42
采用如 图 2-10所示的连接装置。在连接处同一截面管壁上开若干个等距离小孔，外面罩上一圆环形通道，然后与测压管相接。这样，可以测得这一截面静压强的平均值 。
二,U形管测压计
1.结构这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的 U形玻璃管。测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大气相通，如 图 2-11所示。 U形管内装有密度 ρ2大于被测流体密度 ρ1的液体工作介质，如酒精、水、四氯化碳和水银等。
它是根据被测流体的性质、被测压强的大小和测量精度等来选择的。如果被测压强较大时，可用水银，被测压强较小时，可用水或酒精。但一定要注意，工作介质不能与被测流体相互掺混。
2009-7-28 43
图 2-10 压强计环形装置
2009-7-28 44
U形管测压计的测量范围比测压管大，但一般亦不超过 2.94× 105Pa。 U形管测压计可以用来测量液体或气体的压强；可以测量容器中高于大气压强的流体压强，也可以测量容器低于大气压强的流体压强，即可以作为真空计来测量容器中的真空。
2.测量原理下面分别介绍用 U形管测压计测量 p>pa和 p<pa两种情况的测压原理。
(1) 被测容器中的流体压强高于大气压强（即 p>pa）：
如 图 2-11(a)所示。 U形管在没有接到测点 M以前，左右两管内的液面高度相等。 U形管接到测点上后，在测点
M的压强作用下，左管的液面下降，右管的液面上升，直到平衡为止。这时，被测流体与管内工作介质的分界面 1-
2009-7-28 45
Pa
ρ1 M
p
1 2
h1
h2
ρ
等压面图 2-11 U形管测压 P>Pa
2009-7-28 46
图 2-11 U形管测压计
app?； (b)
app?
2009-7-28 47
图 2-11 U形管测压 app?
2009-7-28 48
2是一个水平面，故为等压面。所以 U形管左、右两管中的点 1和点 2的静压强相等，即 p1=p2，由式 (2-11)可得：
p1=p+ρ1gh1
p2=pa+ρ2gh2
所以 p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2
M点的绝对压强为 p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1 （ 2-19）
M点的计示压强为 pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1 （ 2-20）
于是，可以根据测得的 h1和 h2以及已知的 ρ1和 ρ2计算出被测点的绝对压强和计示压强值。
(2) 被测容器中的流体压强小于大气压强 (即 p<pa)：
如 图 2-11(b)所示。在大气压强作用下,U形管右管内
2009-7-28 49
的液面下降，左管内的液面上升，直到平衡为止。这时两管工作介质的液面高度差为 h2。过右管工作介质的分界面作水平面 1-2，它是等压面。由式 (2-11)列等压面方程
p+ρ1gh1+ρ2gh2=pa
M点的绝对压强为
p=p-ρ1gh1-ρ2gh2 （ 2-21）
M点的真空或负压强为
pv=pa-p=ρ1gh1+ρ2gh2 （ 2-22）
如果 U形管测压计用来测量气体压强时，因为气体的密度很小，式 (2-19)到式 (2-22)中的 ρ1gh1项可以忽略不计。
若被测流体的压强较高时，用一个 U形管则过长，可
2009-7-28 50
以采用串联的 U形管组成多 U形管测压计。通常采用双
U形管或三 U形管测压计。
在 图 2-12所示的三 U形管测压计中，以互不渗混的两种流体作为工作介质（ ρ1>ρ‘1），则在平衡的同一工作介质连续区内，同一水平面即为等压面，如 1-1,1‘-1‘,2-2，
2‘-2‘和 3-3都是不同的等压面。对图中各等压面依次应用式
（ 2-11） 得,pA=p1-ρgh ； p2=p’+ρ1gh2
p1=p’1+ρ1gh1 ； p’2=p3-ρ‘1gh’2
P’1=p2-ρ‘1gh’1 ； p3=pa-ρ1gh3
相加得容器中 A点的绝对压强
（ 2-23）
)()( 3211211 hhhghhgghpp aA
2009-7-28 51
图 2-12 三 U形管测压计
2009-7-28 52
容器中 A点的计示压强为
（ 2-24）
若为 n个串联 U形管测压计，则被测容器 A中的计示压强计算通式为
（ 2-25）
测量密度为 ρ的气体的压强时，如果 U形管连接管中的密度为 ρ1‘的流体也是气体，则各气柱的重量可忽略不计，
则式（ 2-25）可简化为
（ 2-26）
三,U形管差压计
1.结构
U形管差压计用来测量两个容器或同一容器（如管道
)()( 3211211 hhhghhgghppp aAe
n
j
j
n
i
ie hghgghp
1
1
1
1
1
n
j
je hgp
1
1?
2009-7-28 53
流体中不同位置两点的压强差。测量时，把 U形管两端分别与两个容器的测点 A和 B连接，如 图 2-13所示。 U形管中应注入较两个容器中的流体密度大且不相混淆的流体作为工作介质（即 ρ>ρA,ρ>ρB）。
2.测量原理若 ρA>ρB,U形管内液体向右管上升，平衡后,1-2是等压面，即 p1=p2。由式 （ 2-11） 得：
因 p1=p2,故则 （ 2-27）
)( 11 hhgpp AA
ghghpp BB 22
ghghphhgp BBAA 21 )(
)( 12 hhgghghpp ABBA
12)( ghghhgg ABA
2009-7-28 54
图 2-13 U形管差压计
2009-7-28 55
若两个容器内是同一流体，即 ρA=ρB=ρ1，则上式可写成
（ 2-28）
若两个容器内是同一气体，由于气体的密度很小,U形管内的气柱重量可忽略不计，上式可简化为
（ 2-29）
测量较小的液体压差，可以用倒置式 U形差压计，例如用 图 2-14所示装置测量管道内节流阀前后的压差 p1-p2。
设 ρ<ρ1，当液体处于平衡状态时，水平面 0-0是等压面，
其上的压强为 p0，则有
)()( 1211 hhgghpp BA
ghpp BA
1101 ghpp
ghghpp 2102
2009-7-28 56
00
p1 p2
h1 h1
图 2-14 倒置 U形差压计
h
2009-7-28 57
得 （ 2-30）
由式 (2-30)可知，当 ρ1和 ρ2很接近时，即使压差（ p1-
p2)很小，仍可得到较大的 h值，从而有利于测量。 U形管内液体上部的工作介质可以用空气或别的气体代替，通过顶部的阀门将空气注入，逐渐增加液面上的压强，直到两管中液面达到某个合适的位置为止，这时 ρ与 ρ1相比可忽略不计，但在较高的 p1和 p2时，相应的空气压强也较高，
就不能略去 ρ。
四、倾斜微压计
1．结构在测量气体的微小压强和压差时，为了提高测量精度，
常采用微压计。倾斜微压计是由一个大截面的杯子连
ghpp )( 121
2009-7-28 58
接一个可调节倾斜角度的细玻璃管构成，其中盛有密度为
ρ的液体，如 图 2-15所示。
在未测压时，倾斜微压计的两端通大气，杯中液面和倾斜管中的液面在同一平面 1— 2上。当测量容器或管道中某处的压强时，杯端上部测压口与被测气体容器或管道的测点相连接，在被测气体压强 p的作用下，杯中液面下降
h1的高度至 0— 0位置，而倾斜玻璃管中液面上升了 L长度，
其上升高度 。
2．测量原理根据流体平衡方程式 (2-11)，被测气体的绝对压强为
（ 2-31）
其计示压强为
（ 2-32）
sin2 Lh?
)( 21 hhgpp a
)( 21 hhgppp ae
2009-7-28 59
0
p
h1
h2
Θ
pa
s
L
A
ρ
1
2
0
图 2-15 倾斜微压计
2009-7-28 60
如果用倾斜微压计测量两容器或管道两点的压强差时，将压强大的 p1连接杯端测压口，压强小的 p2连接倾斜玻璃管出口端，则测得的压强差为由于杯内液体下降量等于倾斜管中液体的上升量，设 A
和 s分别为杯子和玻璃管的横截面积，则或又于是式 （ 2-32） 可写成式中 k — 倾斜微压计常数,。
)( 2121 hhgpp
LsAh?1 )/(1 AsLh?
sin2 Lh?
KLLAsgp e
s i n
sinAsgK
2009-7-28 61
当 A,s和 ρ一定时,k仅是倾斜角 Θ的函数。改变 Θ的大小，可得到不同的 k值，即将被测压强差的 L值放大了不同的倍数。倾斜微压计的放大倍数
(2-34)
由于 s/A很小，可以略去不计，则
(2-35)
当 Θ=300时，,即把压强差的液柱读数放大了两倍；当 Θ=100时,（倍）。可见，倾斜微压计可使读数更精确。但若 Θ过小（如小于 50）时，
倾斜玻璃管内的液体将产生较大的波动，位置不易确定。
对于每一种倾斜微压计，其常数值一般有 0.2,0.3,0.4、
0.6和 0.8五个数据以供选用。
s i n/
1
21?
Ashh Ln
sin
1?n
LLh 2130sin2
75.510s i n/1n
2009-7-28 62
【 例 2-1】 如 图 2-16所示测量装置，活塞直径 d=35㎜,
油的相对密度 d油 =0.92,水银的相对密度 dHg=13.6，活塞与缸壁无泄漏和摩擦。当活塞重为 15Ｎ时,h=700㎜,试计算Ｕ形管测压计的液面高差 Δh值。
【 解 】 重物使活塞单位面积上承受的压强为
（ Pa）
列等压面１ — １的平衡方程解得 Δh为：
（㎝）
1 5 5 9 0
0 3 5.0
4
15
4
15
22
d
p
hgghp Hg 油
4.1670.06.13 92.0806.913600 15590
HgHg
hgph 油
2009-7-28 63
图 2-16
2009-7-28 64
【 例 2-2】 如 图 2-17所示为双杯双液微压计，杯内和
Ｕ形管内分别装有密度 ρ1=lOOOkg/m3和密度 ρ2
=13600kg/m3的两种不同液体，大截面杯的直径Ｄ＝
100mm，Ｕ形管的直径 d=10mm，测得 h=30mm，计算两杯内的压强差为多少?
【 解 】 列 1— 2截面上的等压面方程由于两边密度为 ρ1的液体容量相等，所以 D2h2=d2h，代入上式得
=3709.6(pa)
ghhhhgpghp 21212111 )(
hg
D
dgpp
12
2
221 1
03.08 0 6.91 0 0 0
1.0
01.018 0 6.91 3 6 0 0
2
2
2009-7-28 65
图 2-17
2009-7-28 66
【 例 2-3】 用双Ｕ形管测压计测量两点的压强差，如图 2-18所示，已知 h1=600mm,h2=250mm,h3=200 mm，
h4=300mm,h5=500mm,ρ1=1000㎏ /m3,ρ2=800㎏
/m3,ρ3=13598㎏ /m3，试确定Ａ和Ｂ两点的压强差。
【 解 】 根据等压面条件，图中 1— 1,2— 2,3— 3均为等压面。可应用流体静力学基本方程式 （ 2-11） 逐步推算。 P1=p2+ρ1gh1 p2=p1-ρ3gh2
p3=p2+ρ2gh3
p4=p3-ρ3gh4
pB=p4-ρ1g(h5-h4)
2009-7-28 67
逐个将式子代入下一个式子，则
pB=pA+ρ1gh1-ρ3gh2+ρ2gh3-ρ3gh4-ρ1g(h5-h4)
所以 pA-pB= ρ1g(h5-h4)+ρ3gh4 +ρ3gh2-ρ2gh3
-ρ1g h1=9.806× 1000× （ 0.5-0.3）
+133400× 0.3-7850× 0.2
+133400× 0.25-9.806× 1000× 0.6
=67876（ Pa）
2009-7-28 68
图 2-18
2009-7-28 69
【 例 2-4】 已知密闭水箱中的液面高度 h4=60mm，测压管中的液面高度 h1=100cm，Ｕ形管中右端工作介质高度，如 图 2-19所示。试求Ｕ形管中左端工作介质高度 h3为多少？
【 解 】 列 1— 1截面等压面方程，则
（ a）
列 2— 2截面等压面方程，则
（ b）
把式（ a）代入式（ b）中
=0.1365(m)=136.5(mm)
)( 410H0 2 hhgpp a
)6.00.1(0H 2 gp a?
gp a 0H 24.0
)()( 32Hg340H0 2 hhgphhgp a
)2.0()6.0(4.0 3Hg30H0H 22 hgphggp aa
1 0 0 01 3 6 0 0
1 0 0 01 3 6 0 02.02.0
0HHg
0HHg
3
2
2
h
2009-7-28 70
图 2-19
2009-7-28 71
第五节 平面上的静水总压力许多工程设备，在设计时常需要确定静止液体作用在其表面上的总压力的大小、方向和位置。例如闸门、插板、水箱、油罐、压力容器的设备。由于静止液体中不存在切向应力，所以全部力都垂直于淹没物体的表面。
静止液体作用在平面上的总压力分为静止液体作用在斜面、水平面和垂直面上的总压力三种，斜面是最普通的一种情况，水平面和垂直面是斜面的特殊情况。下面介绍静止液体作用在斜面上的总压力问题。
假设有一块任意形状的平面 MN与水平成 Θ角放置在静止液体中，如 图 2-20所示，图中右边是平面ＭＮ在垂
2009-7-28 72
hc hc h hp
F
图 2-20 静止液体中倾斜平面上液体的总压力
2009-7-28 73
直面上的投影图。
一、总压力的大小假设 h为倾斜平面上任一点到自由液面的深度,y为相应的在 OY轴上的距离。在深度 h内选取一微元面积，认为其上的压强是均匀分布的，这样，该微元面积就相当于淹没在静止液体中的一条水平带。如果 x表示任一深度处这条微元面积的宽度，则它的面积 dA=xdy，由静止液体产生的压强 p=ρgh，而 h=ysinΘ，则作用在这条微元面积上静止液体的总压力为
dF=pdA=ρghdA=ρgysinΘdA
上式中没有考虑大气压强的作用，因为平面的四周都受有大气压强的作用，互相抵消，该式为仅由液体产生的总压力。
2009-7-28 74
积分上式，即可得静止液体作用在整个淹没平面上的总压力为
（ 2-37）
式中 是整个淹没平面面积 A对 OX轴的面积矩,yc
为平面 A的形心 C到 OX轴的距离，称为形心 y坐标。
如果用 hc表示形心的垂直深度，称为形心淹深，那么,则
F=ρ ghcA （ 2-38）
因此静止液体作用在任一淹没平面上的总压力等于液体的密度、重力加速度、平面面积和形心淹深的乘积。如果保持平面形心的淹深不变，改变平面的倾斜角度，则静止液体作用在该平面的总压力值不变，即静止液体作用于淹没平面上的总压力与平面的倾斜角度无关。作用在静止
A
c AygAygF s i nds i n
A Ayd
s i ncc yh?
2009-7-28 75
液体中任一淹没平面上液体的总压力也相当于以平面面积为底，平面形心淹深为高的柱体的液重。
二、总压力的作用点淹没在静止液体的平面上总压力的作用点，即总压力作用线与平面的交点，称为压力中心。由合力矩定理可知，
总压力对 OX轴之矩等于各微元面积上的总压力对 OX轴之矩的代数和。在 图 2-21中，作用在微元面积上的总压力对 OX轴的力矩为如果用 yp表示 OY轴上点 O到压力中心的距离，则按合力矩定理有
AgyF ds i nd
AygFy ds i nd 2
x
A
p IgAygFy s i nds i n
2
2009-7-28 76
式中 为平面面积对 OX的惯性矩。
上式除以式 (2-37)，得
（ 2-39）
根据惯性矩的平行移轴公式式中 ICX— 是面积对于通过它形心且平行于 OX轴的轴线的惯性矩。
因此，式 (2-39)可以写成
（ 2-40）
从这个方程式可以看到，压力中心的位置与 Θ角无关，
即平面面积可以绕与 OX轴平行且通过压力中心的轴旋转。
由方程还可看到，压力中心总是在形心下方，随淹
A
x AyI d
2
Ay
I
Ayg
Igy
c
x
c
x
p
s i n
s i n
cxcx IAyI 2
Ay
Iy
Ay
IAyy
c
cx
c
c
cxc
p
2
2009-7-28 77
没的深度增加，压力中心逐渐趋近于形心 。
按照上述方法同理可求得压力中心的 x坐标
（ 2-41）
式中 XC — 平面形心 x的坐标；
Ixy — 平面面积对 OXY坐标的两轴的惯性矩；
Icxy — 平面面积对于通过形心而平行于坐标系两轴的惯性矩。
通常，实际工程中遇到的平面多数是对称的，因此压力中心的位置是在平面对称的中心线上，此时不必求 xp的坐标值，只需求得 yp坐标值即可。
表 2-2给出几种常用截面的几何性质。
Ay
IX
Ay
IX
c
cxy
c
c
xy
p
2009-7-28 78
截面几何图形面积 A 型心 yc 惯性距 Icx
bh 1/2h 1/12bh3
1/2bh 2/3h 1/36bh3
1/2h(a+b) ba bah 231
2009-7-28 79
2r?
r 4
4
r?
bh
4
2
h 3
64
bh?
2
3
r
r
3
4 42
72
649 r
2009-7-28 80
上述计算公式和方法同样适用于静止液体作用在垂直平面上的总压力问题。
下面介绍静止液体作用在水平面上的总压力。由于水平面是水平放置的，压强分布是均匀分布的，那么仅有液体作用在底面为 A、液深为 h的水平面的总压力：
F=ρ ghA （ 2-42）
总压力的作用点是水平面面积的形心。可见，仅由液体产生作用在水平平面上的总压力同样只与液体的密度、
平面面积和液深有关。 图 2-21中四个容器装有同一种液体，
根据式（ 2-42），液体对容器底部的作用力是相同的，而与容器的形状无关，这一现象称为静水奇象。换句话说，
液体作用在容器上的总压力不要和容器所盛液体的重量相混淆。工程上可以利用这一现象对容器底部进行严密性检查。
2009-7-28 81
图 2-21 静水奇象
2009-7-28 82
图 2-21 静水奇象
2009-7-28 83
【 例 2-6】 图 2-22表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为 h1=2m,h2=4m，试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。
【 解 】 淹没在自由液面下 h1深的矩形水闸的形心
yc=hc=h1/2
每米宽水闸左边的总压力为由式 (2-40)确定的作用点 F1位置
)(1 9 6 1 2
29 8 0 6
2
1
2
1
1
2
22
1
1
1
1
N
gh
h
h
gAghF c
Ay
Iyy
c
c
cp1
2009-7-28 84
图 2-22
2009-7-28 85
其中通过形心轴的惯性矩 IC=bh31/12，所以即 F1的作用点位置在离底 1/3h=2/3m处。
淹没在自由液面下 h2深的矩形水闸的形心 yc=hc=h2/2。
每米宽水闸右边的总压力为
（Ｎ）
同理 F2作用点的位置在离底 1/3h2=2/3m处。
每米宽水闸上所承受的净总压力为
F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）
假设净总压力的作用点离底的距离为 h，可按力矩方程求得其值。围绕水闸底 O处的力矩应该平衡，即
(m)
7 8 4 4 8498062121 2222 ghF?
33
1122 hFhFFh 56.1
5 8 8 3 63
21 9 6 1 247 8 4 4 8
3
1122?
F
hFhFh
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第六节 曲面上的静水总压力电厂中有许多承受液体总压力的曲面，主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油罐和弧形阀门等。由于静止液体作用在曲面上各点的压强方向都垂直于曲面各点的切线方向，各点压强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静止液体的总压力的方法与平面不同。
一、总压力的大小和方向图 2-23所示为一圆柱形开口容器中某一部分曲面 AB上承受液体静止压强的情况。设曲面的宽度为 b，在 A处取一微小弧段 ds，则作用在宽度为 b、长度为 ds的弧面 dA上仅由液体产生的总压力为
AghsghbF ddd
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C
D B
Ax H
h
dF
dFx
dFz
Θ
图 2-23 作用在圆柱体曲面上的总压力
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这一总压力在 OX轴与 OZ轴方向的分力为：
（ 2-43）
（ 2-44）
1．水平分力由 图 2-23可知，,代入到式 (2-43)，则因此，静止液体作用在曲面 AB上的总压力在 OX轴方向的分力，即水平分力为
（ 2-45）
式中 为曲面面积在垂直平面（ OYZ坐标面）上的投影面积 AX对 OY轴的面积矩，它等于投影面积的形心到 OY
轴的距离与投影面积的乘积，即 。
c o sdc o sdd AghFF x
sindsindd AghFF z
xAA dco sd
xx AghF dd
xc
A
xx AghAhgF d
A xAhd
A
xcx AhAh d
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该圆柱形曲面在垂直平面上的投影面积 Ax=bH，其形心
hc=H/2，则
（ 2-46）
由此可知，静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力等于作用在这一曲面的垂直投影面上的总压力。 F作用线的位置位于自由液面下 2/3H处。
2．垂直分力由 图 2-23可知，代入到式 （ 2-44）,则因此静止液体作用在曲面 AB上的总压力在 OZ轴方向的分力，即垂直分力为
（ 2-47）
2
2
1 g b HF
x
zz AghF dd
p
A
zz gVAhgF d
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式中 是曲面 AB与自由液面间的柱体体积，
在 图 2-23上就是面积 OAB乘以曲面的宽度 b，这个体积称为压力体。
由此可知，静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力体的液体重量,Fx的作用线通过压力体的重心。
3．总压力的大小和方向求得了静止液体作用在曲面上水平分力 Fx和垂直分力
Fz后，就可确定静止液体作用在曲面上的总压力，即
（ 2-48）
总压力与垂线间夹角的正切为
（ 2-49）
A zAhd p
A
z VAh d
22 zx FFF
z
x
F
Ftg
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二、总压力的作用点总压力的作用线通过Ｏ点 Fx和 Fz与作用线的交点。总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点，
即压力中心。
三、压力体的概念图压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）
到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体积。它的计算式 是一个纯数学体积计算式。
作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的重量，
并且与压力体内是否充满液体无关。为了说明这一点，作图 2-24，它表示由两个形状、尺寸和淹深完全相同的曲面
ab和 a’b’所构成的容器，容器内盛有某种液体。曲面 ab的压力体是过曲面的 a和 b两点引垂线到液面所得 ab
A zp AhV d
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h
d d’ c’
m’m
c
Fz
F’z图 2-24 压力体
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cd与容器的宽度构成的。而曲面 a’b’的压力体是过 a’和 b’两点引垂线到液面延长面所得 a’b’c’d’与容器宽度构成的。由于 ab曲面和 a’b’曲面的形状、尺寸和淹深完全相同，所以这两个压力体的体积相等，因而静止液体作用在曲面 ab和
a’b’曲面上总压力的垂直分力的大小是相等的。
作用在 ab曲面上的垂直分力 Fz与作用在 a’b’曲面上的垂直分力 F’z只是数值上相同，而方向是不同的。因为流体在
ab曲面的上方，故 Fz的方向向下；液体在 a’b’曲面的下方，
故 F’z的方向向上。通常称充满液体的压力体为实压力体或正压力体，如 abcd；不充满液体的压力体称为虚压力体或负压力体，如 a’b’c’d’ 。
四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序
(1)将总压力分解为水平分力 Fx和垂直分力 Fz。
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(2)水平分力的计算,。
(3)确定压力体的体积。
(4)垂直分力的计算,方向由虚、实压力体确定。
(5)总压力的计算,。
(6)总压力方向的确定,。
(7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。
xcx AghF
pz gVF
22 zx FFF
zx FF /tg
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【 例 2-7】 求 图 2-25所示流体施加到水平放置的单位长度圆柱体上的水平分力和垂直分力：（ a）如果圆柱体左侧的流体是一种计示压强为 35kPa被密封的箱内的气体；
（ b）如果圆柱体左侧的流体是水，水面与圆柱体最高部分平齐，水箱开口通大气。
【 解 】 （ a）圆柱体表面所研究部分的净垂直投影为则
35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为 Az=[4-2(1-cos300)] × 1
则 35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为 Fx=pAz=35× [4-2(1-cos300)] × 1
=353.75=130.5(kN)
圆柱体表面所研究部分的净水平投影为
Ax=2sin300× 1
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则气体作用在单位长度圆柱体上的垂直分力为
Fz=pAx=35× 2sin300× 1=35(kN)
（ b） Fx=ρghcAx=9.81× (1/2× 3.73) × (3.73× 1)
× 1000=68.1（ kN）
Fz=ρgVp=9.81× 1000× (2100/3600× 22+1/2× 1
× 1.732+1× 2) × 1=100.5(KN)
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图 2-25
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【 例 2-8】 图 2-26所示为一水箱，左端为一半球形端盖，
右端为一平板端盖。水箱上部有一加水管。已知
h=600mm,R=150mm，试求两端盖所受的总压力及方向。
【 解 】 （ 1）右端盖是一圆平面，面积为
A右 =πR2
其上作用的总压力有
F右 =ρg(h+R)A右 =ρg(h+R) πR2
=103× 9.806× (0.6+0.15)
× 3.14× 0.152=520 （ N）
方向垂直于端盖水平向右
（ 2）左端盖是一半球面，分解为水平方向分力 Fx左 和
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垂直方向分力 Fz左 。
Fx左 =ρg(h+R)Ax=ρg(h+R) πR2
=103× 9.806× (0.6+0.15)
× 3.14× 0.152=520 （ N）
方向水平向左垂直方向分力由压力体来求，将半球面分成 AB,BE两部分,AB部分压力体为 ABCDEOA，即图中左斜线部分，记为 VABCDEOA，它为实压力体，方向向下； BE部分压力体为
BCDEB，即图中右斜线部分，记为 VBCDEB,它为虚压力体，方向向上。因此总压力体为它们的代数和。
Vp= VABCDEOA -VBCDEB=VABEOA
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Vp正好为半球的体积，所以
Vp=1/2× 4/3× πR3
Fz左 =ρg Vp= ρg2/3πR3= 103× 9.806× 2/3
× 3.14× 0.153=69.3(N)
方向垂直向下总作用力为
（ N）
合力通过球心与水平方向夹角为
7.5243.69520 2222 左左 zxz FFF
82537520 3.69tgtg 11
左左
x
z
F
F?
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图 2-26
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第七节 浮体与潜体的稳定性一、浮力的原理如 图 2-27所示，有一物体沉没在静止的液体中，它受到的静水总压力 P可以分解成水平分力 px,py和垂直分力
pz。
先确定水平分力。对于浸没于液体中的物体，可以找到一个母线平行于 x轴的水平外切柱面与物体相切的封闭曲线 BCFD，该曲线将物体分成左右两部分，作用于物体上沿着 x方向的水平分力 px就是这两部分的外部曲面上的水平分力 Px1与 Px2之和，它们的大小各为相应曲面在垂直于轴的垂直投影面上的水压力。而这两部分在此垂直面上
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Pz1
J K
A
B
C
D
E
F
Px2
Pz
Px1
Pz2
图 2-27 浮力原理
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的投影面完全重合，故 Px1与 Px2大小相等，方向相反，因此 Px=0。同理可得作用于物体上沿着 y方向的水平分力
Py=0。也就是浸没于液体中的物体在各水平方向的总压力为零。
再确定垂直分力。作该物体的垂直外切柱面，与物体相切得封闭曲线 ACED，将物体分成上下两部分，由式
（ 2-47） 知，液体作用在上部分表面上的总压力的垂直分力 Pz1等于压力体 ABEKJ的液体重量，方向垂直向下，即
Pz1= ρgVABEKJ
液体作用在下部分表面上的总压力的垂直分力 Pz2等于压力体 AFEKJ的液体重量，方向垂直向上，即
Pz2=-ρgVAFEKJ
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液体作用于整个物体上的总压力的垂直分力 Pz是上下两部分的外部曲面上的垂直分力的合力。即
Pz=Pz1+Pz2==-ρg(VAFEKJ-VABEKJ)=-ρgVAFEB
负号表示方向向上。
上面的分析结果同样适用于漂浮在液面上的物体。此时，压力体的形状应为物体在自由液面以下部分的外表面与自由液面的延展面所包围的空间的形状，体积仍然为物体所排开的液体体积。
综上所述，液体作用在沉没或漂浮物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于物体所排开液体的重量，该力又称为浮力，作用线通过压力体的几何中心，又称浮心，这就是著名的阿基米德原理。从上面的分析可以看出：浮力的存在就是物体表面上作用的液体压强不平衡的结果。
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一切浸没于液体中或漂浮于液面上的物体都受到两个力作用：一个是垂直向上的浮力，其作用线通过浮心；另一个是垂直向下的重力 G，其作用线通过物体的重心。对浸没于液体中的均质物体，浮心与重心重合，但对于浸没于液体中的非均质物体或漂浮于液面上的物体重心与浮心是不重合的。
根据重力 G与浮力 Pz的大小，物体在液体中将有三种不同的存在方式：
1．重力 G大于浮力 Pz,物体将下沉到底，称为沉体；
2．重力 G等于浮力 Pz,物体可以潜没于液体中，称为潜体；
3．重力 G小于浮力 Pz,物体会上浮，直到部分物体露出液面，使留在液面以下部分物体所排开的液体重量恰好
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等于物体的重力为止，称为浮体。阿基米德原理对于沉体、
潜体和浮体都是正确的。
二、浮体与潜体的稳定性上面提到的重力与浮力相等，物体既不上浮也不下沉，
这是浮体和潜体维持平衡的必要条件。如果要求浮体和潜体在液体中不发生转动，还必须满足重力和浮力对任何一点的力矩的代数和为零，即重心 C和浮心 B在同一条铅直线上。但这种平衡的稳定性（也就是遇到外界干扰，浮体和潜体倾斜后，恢复到原来的平衡状态的能力）取决于重心 C和浮心 B在同一条铅直线上的相对位置。
对于潜体，如 图 2-28（ a） 所示，重心 C位于浮心 B之下。若由于某种原因，潜体发生倾斜，使 B,C两点不在同一条铅直线上，则重力 G与浮力 P将形成一个使潜体恢
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恢复到原来平衡状态的恢复力偶（或叫扶正力偶），以反抗使其继续倾倒的趋势。一旦去掉外界干扰，潜体将自动恢复原有平衡状态。这种情况下的潜体平衡称为稳定平衡。
反之，如 图 2-28（ b） 所示，重心 C位于浮心 B之上。潜体如有倾斜，使 B,C两点不复在同一条铅直线上，则重力 G
与浮力 P所形成的力偶，是一种倾覆力偶，将促使潜体继续翻转直到倒转一个方位，达到上述 C点位于 B点之下的稳定平衡状态为止。这种重心 C位于浮心 B之上、易于失稳的潜体平衡称为不稳定平衡。第三种情况是重心 C与浮心 B重合，如 图 2-28（ c） 所示。此时，无论潜体取何种方位，都处于平衡状态。这种情况下的平衡称为随遇平衡。
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对于浮体来说，如果重心高于浮心，它的平衡还是有稳定的可能，这是因为浮体倾斜后，浸没在液体中的那部分形状改变了，浮心的位置也随之移动，而潜体的浮心并不因为倾斜而有所变化。
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图 2-28 潜体稳定性
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图 2-28 潜体稳定性
