第六部分 曲线积分与曲面积分
1．设曲线是上半圆周 ，则。
解法1 由于关于直线对称，所以,从而
。
解法2 令，则
。
解法3 设曲线的质量分布均匀，则其重心的横坐标为。又因为
，
所以。
2．设是上半椭圆周，是四分之一椭圆周，则
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D) 。[ ]
答 D
解 由于关于轴对称，所以
，，
，，。
注意到，从而可以排除(A)，(B)，(C)三个选项，或直接选出正确选项(D)。
3．计算 ，其中是圆周上从点经点到点的一段。
解法1 取为自变量，则的方程为，其中，所以
解法2 取的参数方程为其中，所以
。
解法3 由于是圆周的外向单位发向量，所以此圆周的正向单位切向量为。根据两类曲线积分之间的关系，得
，
其中的方程为，起点为，终点为。因此
。
4．计算，其中是圆周。
解 由于圆周关于轴对称，所以，从而
因为的参数方程为 ，所以
5．已知曲线是平面与球面的交线，计算曲线积分 。
解法1 由于曲线的方程中的变量具有轮换对称性，所以
，
，
因此
，
，
从而
。
解法2 直接化成定积分进行计算。曲线：在平面的投影曲线是一椭圆，其方程是
，
即
。
令 ，，则曲线的参数方程为
，
所以
。
从而
，
，
，
因此 。
6．求柱面被球面包围部分的面积。
解 根据第一型曲线积分的几何意义及对称性，得
，
其中是平面曲线在第一象限中的部分。
取的参数方程为 ，，则
，
所以
7．计算，其中是从点经过点到点的折线段。
解 设从到；从到。根据路径可加性，得
。
8．设是圆周，则。
解1 根据格林公式，得
。
解2 由于是的外向单位法向量，所以就是的正向单位法向量。根据两类曲线积分之间的关系，得
。
9．计算，其中是圆周，顺时针方向为正。
解1 取的参数方程为 从到，则
解2 由于具有一阶连续偏导数，并注意到的方向，根据格林公式得
10．计算，其中从点沿曲线到点，再沿直线到点。
解1 设从点沿曲线到点；从点沿直线到点。则
由于 ，所以 ，从而
。
解2 设从点沿直线到点；从点沿直线到点，与和围成的区域记为。根据格林公式得
11．计算，其中是曲线从点到点的一段。
解1 记，当时，有
。
令是折线段，则根据格林公式易知
解2 令是直线段，是圆周，足够小。由于当时，有
，
所以根据格林公式得
12．设在全平面内有连续的一阶偏导数，且满足，记为包围原点的正向简单闭曲线，计算 。
解 记，其中。由于
，
，
且 ，所以当 时，。
任取充分小，记为圆周，并取逆时针方向，根据格林公式可知，，故。
令：，则
=。
由于与的值无关，令，得 。
13．计算，其中为在第一象限中的部分，方向为从点到。
解1 由于曲线积分与路径无关，所以
。
又，所以
。
解2 取是从点经点到点，根据格林公式，得
14．设是右半平面内的有向分段光滑曲线，起点为，终点为。证明曲线积分与路径无关，并求的值。
解1 因为
在右半平面内处处成立，所以曲线积分在右半平面内与路径无关。
取为从点经过点到点的折线段，得
解2 因为
所以是在右半平面上的一个原函数，所以曲线积分在右半平面内与路径无关，且
15．计算,是曲线在第一卦限中的部分,从点到点.
解1 取的参数方程为 ，参数从变到，则
16,计算，其中是球面与平面的交线，从轴正向看去为逆时针方向。
解1 曲线在平面上的投影的方程为 ，这是一个椭圆。取的参数方程为
参数从到，从而
解2 由于曲线在平面上的投影曲线为 ：，所以
解3 取为曲线在平面上围成的半径是圆盘，上侧为正。根据斯托克斯公式得
17．计算，其中为与的交线，方向为从轴的正向往负向看去是顺时针。
解1 求解，得，所以的方程为，其参数方程为
，参数从变到。因此
解2 求解，得，所以的方程为。
取，上侧为正，根据斯托克斯公式，得
18．计算,其中是用平面切立方体所得的切痕,从轴正向看去为逆时针方向.
解 取为平面上由围成的边长是的正六边形，方向向上。根据斯托克斯公式，得
19．计算，其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向。
解1 记分别为在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，则
解2 记为在平面上的投影，则的方程是，所以
解3 取为上由围成的平面区域，上侧为正。根据斯托克斯公式，得
解4 根据斯托克斯公式，得
。
而
所以
。
20．已知曲线积分
与路径无关，求的值，并求从到的积分值。
解 因为函数
都在整个空间上具有连续偏导数，所以与路径无关的充要条件是
，
即
对任意的都成立。因此必有 。
取是由平行于坐标轴直线构成的折线段，则
21．判断是否是全微分式，若是，求它的原函数。
解 因为函数在上存在一阶连续偏导数，且
，
所以微分形式是一个全微分式。它的所有原函数是
另解 利用不定积分法求原函数的过程如下：设
，
则 ，
由第一式得 ，
所以 ，
比较的两个表达式，得 ，即，故
。
22．已知曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且。求的值。
解1 根据曲线积分与路径无关，取积分路径为从点经过点到点的折线段，得
解2 因为曲线积分与路径无关，所以，故 ，考虑到，得 。从而
23．设函数在内具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，且对任意的恒有，求的表达式。
解 因为曲线积分与路径无关，所以
，
因此 。
从而
所以 对任意成立。由此得 ，所以
。
24．已知，其中是绕原点一周的任意正向闭曲线，试求及.
解 根据题中条件，可以证明
，
其中是任意一条不包围原点的封闭曲线。因此
，
从而
，
故
，
考虑到 ，得 。
取为 ，得
25．设在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一挂限中的点处，问当点在何处时，力作的功最大，并求出功的最大值。
解 设从原点到点的直线的参数方程为 ，则
。
考虑条件极值问题
令 ，求解
得 。
根据实际情况可知，当点在处时，力对质点所作的功最大，功的最大值是。
26．设函数在有界闭域上具有二阶连续偏导数，是的外向单位法向量。
证明
（2）当，且时，证明。
证明 （1）根据方向导数的计算公式，得
，
利用格林公式，得
所以
（2）当，且时，根据（1）的结果得
。
由于在上式非负连续函数，所以
，
从而 。
考虑到函数在上的连续性和，得 ，故。
27．设函数具有一阶连续偏导数，证明对上半平面中的任意封闭曲线都有成立的充要条件是：对任意的及上半平面中的任意点都成立。
证明 设是上半平面中的任意一条封闭曲线，记是为成的平面域。根据格林公式，得
因此 。
考虑到上述积分域的任意性和被积函数的连续性，可得
，
即 。
当对任意的及上半平面中的任意点都成立时，在等式两端关于求导，得
，
故 ，
所以 。
当时，令，则
所以 。
由于 ，所以 ，故，从而
。
这样就证明了 ，。
综上，结论得证。
28．计算，其中为柱面与平面所围空间区域的表面。
解 记 ，为柱面介于平面与之间的部分。根据第一型曲面积分的计算公式，并利用尔充积分的性质，得
，
。
对于，由于其方程为，所以不能写成的形式，故只能考虑其在或坐标面上的投影。为了简单起见，考虑在坐标面上的投影域，根据题中条件易知 ，且可以分成与两部分，其中
。
因为
所以 。
从而 。
29．计算，其中为球面，
。
解 记为球面在锥面内的部分，则的参数方程为
，
所以
另解 本题在直角坐标下的计算如下：
30．计算，其中为球面
。
解 由于
且
，
，
所以
31．计算，其中是球面在第一卦限中的部分。
解1 直接化为二重积分计算。由于 ，所以
。
记 ，则
解2 记 ，
，
。
取 ，方向向下；，方向向左；
，方向向后。根据Gauss公式，得
其中是球体在第一挂限中的部分。
32．计算,
其中,是向上的法向量。
解1 由于 ，所以
。
根据曲面关于坐标面的对称性，得
，
同样的理由，得
，
因此 。
解2 记 ，方向向下；。根据高斯公式，得
33．计算曲面积分，其中是由及围成的圆柱体的表面，外侧为正。
解 记 ，方向向上；
，方向向下；
，方向向右；
，方向向左。
则
34．计算曲面积分，其中为旋转抛物面介于和之间的部分，上侧为正。
解1 记，则
解2 设分别是曲面在三个坐标面和上的投影区域，则，
，
，
所以
解3 取，下侧为正，是由和围成的区域，根据高斯公式得
35．计算曲面积分 ，其中为
（1）；
（2）。
解 （1）根据高斯公式及三重积分的对称性质，得
（2）记 ，根据高斯公式及三重积分的对称性质，得
36．计算曲面积分 ，其中
。
解 根据高斯公式，得
由于积分域关于坐标面对称，所以。从而
37．计算，其中曲面是区域：的外表面.
解 根据高斯公式，得
令
则 ，根据三重积分的变量替换公式，得
38．计算 ，其中是球面，外侧为正。
解 因为 的正向单位法向量 ，所以根据两类曲面积分的关系得
根据第一型曲面积分的对称性质，得
，,
所以
令 ，则
。
39．计算曲面积分 ，其中，，为椭球面，为的外向单位法向量。
解 记 ，则，
所以
令
，
，
则 ，
，
，
所以当 时，有 。
取为球面 ，内侧为正，其中为足够小的正数。在椭球面与球面围成的区域内，函数均有连续的一阶偏导数，根据高斯公式，得
。
又由于
所以
。
40,设是中心在点，半径为的球体，是的正向边界面，是的体积，函数，均具有一阶连续偏导数，求证
。
证 由于函数，均具有一阶连续偏导数，根据高斯公式，得
。
因为函数连续，所以存在点，使得
，
由于当时，，且在点连续，所以
41．设函数在上半空间具有一阶连续偏导数，证明对内任意的封闭光滑曲面,恒成立的充要条件是，其中。
证,”记是中以为边界的区域，根据高斯公式得
。
因为 ，所以
，
考虑到的任意性，得
。
若不然，不妨设存在，使得，由于在点处连续，所以存在，当时，有成立。
取为中心在，半径为的球域，则
，
这与上述结论矛盾，故。
,”由于 ，所以对内任意的封闭光滑曲面，恒有
成立。
42．设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，都有，其中，且，求的表达式。
解 设是由曲面围成的空间域，根据高斯公式，得
利用题中条件，得
，
考虑到积分域任意性和被积函数 在时的连续性，可得
，
即
，，
解得
，
由于 ，所以，从而
。
43．设是以原点为顶点的一张锥面，若与平面围成一个锥体，且其底面积是，高是，体积是，求证 。
证 根据题意，锥体(的表面由锥面与平面上的一块平面组成。若记为的正向法向量，则当时，
=0；
当时，
。
所以根据高斯公式，得
44．设表示原点到椭球面上点处的切平面的距离，求证
。
证 椭球面上点处的切平面方程为
，
其中表示切平面上的任意点。根据题意可知
。
记 ：，则为的外向单位法向量，利用两类曲面积分之间的关系得
根据高斯公式，得
所以 。
45．设函数连续，证明曲线积分与路径无关。
证 因为函数连续，所以根据复合函数的连续性可知函数也连续，因此函数具有原函数。
设是的一个原函数，则
，
所以 是一个全微分式，从而曲线积分
与路径无关。
46．设，求在点处方向导数最大的方向和方向导数的最大值。
解 根据梯度的几何意义，函数在一点沿其梯度方向的方向导数最大，且方向导数的最大值就是其梯度向量的长度，所以
；
。
47．设，求，。
解 ；
48．设，求。
解
，
，
，
所以
；
49．求质量均匀分布的半球面的重心。
解 设半球面的半径为，方程为。又设的重心坐标为，则根据对称性可知 。
由于 ，
，
所以 ，故的重心为。
50．求质量均匀分布的圆柱面：关于轴的转动惯量。
解 设圆柱面的密度为，由于圆柱面上任意一点到轴距离的平方是，所以要求的转动惯量为
。
51．设是球面，外侧为正；是曲线，方向为从轴正向看是逆时针。求向量场通过曲面的通量和沿曲线的环量。
解 根据通量概念，得
，
设是球体，利用高斯公式，得
根据通量的概念，得
，
由于曲线的参数方程为 ，所以
1．设曲线是上半圆周 ，则。
解法1 由于关于直线对称，所以,从而
。
解法2 令，则
。
解法3 设曲线的质量分布均匀，则其重心的横坐标为。又因为
，
所以。
2．设是上半椭圆周，是四分之一椭圆周，则
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D) 。[ ]
答 D
解 由于关于轴对称，所以
，，
，，。
注意到，从而可以排除(A)，(B)，(C)三个选项，或直接选出正确选项(D)。
3．计算 ，其中是圆周上从点经点到点的一段。
解法1 取为自变量，则的方程为，其中，所以
解法2 取的参数方程为其中，所以
。
解法3 由于是圆周的外向单位发向量，所以此圆周的正向单位切向量为。根据两类曲线积分之间的关系，得
，
其中的方程为，起点为，终点为。因此
。
4．计算，其中是圆周。
解 由于圆周关于轴对称，所以，从而
因为的参数方程为 ，所以
5．已知曲线是平面与球面的交线，计算曲线积分 。
解法1 由于曲线的方程中的变量具有轮换对称性，所以
，
，
因此
，
，
从而
。
解法2 直接化成定积分进行计算。曲线：在平面的投影曲线是一椭圆，其方程是
，
即
。
令 ，，则曲线的参数方程为
，
所以
。
从而
，
，
，
因此 。
6．求柱面被球面包围部分的面积。
解 根据第一型曲线积分的几何意义及对称性，得
，
其中是平面曲线在第一象限中的部分。
取的参数方程为 ，，则
，
所以
7．计算，其中是从点经过点到点的折线段。
解 设从到；从到。根据路径可加性，得
。
8．设是圆周，则。
解1 根据格林公式，得
。
解2 由于是的外向单位法向量，所以就是的正向单位法向量。根据两类曲线积分之间的关系，得
。
9．计算，其中是圆周，顺时针方向为正。
解1 取的参数方程为 从到，则
解2 由于具有一阶连续偏导数，并注意到的方向，根据格林公式得
10．计算，其中从点沿曲线到点，再沿直线到点。
解1 设从点沿曲线到点；从点沿直线到点。则
由于 ，所以 ，从而
。
解2 设从点沿直线到点；从点沿直线到点，与和围成的区域记为。根据格林公式得
11．计算，其中是曲线从点到点的一段。
解1 记，当时，有
。
令是折线段，则根据格林公式易知
解2 令是直线段，是圆周，足够小。由于当时，有
，
所以根据格林公式得
12．设在全平面内有连续的一阶偏导数，且满足，记为包围原点的正向简单闭曲线，计算 。
解 记，其中。由于
，
，
且 ，所以当 时，。
任取充分小，记为圆周，并取逆时针方向，根据格林公式可知，，故。
令：，则
=。
由于与的值无关，令，得 。
13．计算，其中为在第一象限中的部分，方向为从点到。
解1 由于曲线积分与路径无关，所以
。
又，所以
。
解2 取是从点经点到点，根据格林公式，得
14．设是右半平面内的有向分段光滑曲线，起点为，终点为。证明曲线积分与路径无关，并求的值。
解1 因为
在右半平面内处处成立，所以曲线积分在右半平面内与路径无关。
取为从点经过点到点的折线段，得
解2 因为
所以是在右半平面上的一个原函数，所以曲线积分在右半平面内与路径无关，且
15．计算,是曲线在第一卦限中的部分,从点到点.
解1 取的参数方程为 ，参数从变到，则
16,计算，其中是球面与平面的交线，从轴正向看去为逆时针方向。
解1 曲线在平面上的投影的方程为 ，这是一个椭圆。取的参数方程为
参数从到，从而
解2 由于曲线在平面上的投影曲线为 ：，所以
解3 取为曲线在平面上围成的半径是圆盘，上侧为正。根据斯托克斯公式得
17．计算，其中为与的交线，方向为从轴的正向往负向看去是顺时针。
解1 求解，得，所以的方程为，其参数方程为
，参数从变到。因此
解2 求解，得，所以的方程为。
取，上侧为正，根据斯托克斯公式，得
18．计算,其中是用平面切立方体所得的切痕,从轴正向看去为逆时针方向.
解 取为平面上由围成的边长是的正六边形，方向向上。根据斯托克斯公式，得
19．计算，其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向。
解1 记分别为在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，则
解2 记为在平面上的投影，则的方程是，所以
解3 取为上由围成的平面区域，上侧为正。根据斯托克斯公式，得
解4 根据斯托克斯公式，得
。
而
所以
。
20．已知曲线积分
与路径无关，求的值，并求从到的积分值。
解 因为函数
都在整个空间上具有连续偏导数，所以与路径无关的充要条件是
，
即
对任意的都成立。因此必有 。
取是由平行于坐标轴直线构成的折线段，则
21．判断是否是全微分式，若是，求它的原函数。
解 因为函数在上存在一阶连续偏导数，且
，
所以微分形式是一个全微分式。它的所有原函数是
另解 利用不定积分法求原函数的过程如下：设
，
则 ，
由第一式得 ，
所以 ，
比较的两个表达式，得 ，即，故
。
22．已知曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且。求的值。
解1 根据曲线积分与路径无关，取积分路径为从点经过点到点的折线段，得
解2 因为曲线积分与路径无关，所以，故 ，考虑到，得 。从而
23．设函数在内具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，且对任意的恒有，求的表达式。
解 因为曲线积分与路径无关，所以
，
因此 。
从而
所以 对任意成立。由此得 ，所以
。
24．已知，其中是绕原点一周的任意正向闭曲线，试求及.
解 根据题中条件，可以证明
，
其中是任意一条不包围原点的封闭曲线。因此
，
从而
，
故
，
考虑到 ，得 。
取为 ，得
25．设在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一挂限中的点处，问当点在何处时，力作的功最大，并求出功的最大值。
解 设从原点到点的直线的参数方程为 ，则
。
考虑条件极值问题
令 ，求解
得 。
根据实际情况可知，当点在处时，力对质点所作的功最大，功的最大值是。
26．设函数在有界闭域上具有二阶连续偏导数，是的外向单位法向量。
证明
（2）当，且时，证明。
证明 （1）根据方向导数的计算公式，得
，
利用格林公式，得
所以
（2）当，且时，根据（1）的结果得
。
由于在上式非负连续函数，所以
，
从而 。
考虑到函数在上的连续性和，得 ，故。
27．设函数具有一阶连续偏导数，证明对上半平面中的任意封闭曲线都有成立的充要条件是：对任意的及上半平面中的任意点都成立。
证明 设是上半平面中的任意一条封闭曲线，记是为成的平面域。根据格林公式，得
因此 。
考虑到上述积分域的任意性和被积函数的连续性，可得
，
即 。
当对任意的及上半平面中的任意点都成立时，在等式两端关于求导，得
，
故 ，
所以 。
当时，令，则
所以 。
由于 ，所以 ，故，从而
。
这样就证明了 ，。
综上，结论得证。
28．计算，其中为柱面与平面所围空间区域的表面。
解 记 ，为柱面介于平面与之间的部分。根据第一型曲面积分的计算公式，并利用尔充积分的性质，得
，
。
对于，由于其方程为，所以不能写成的形式，故只能考虑其在或坐标面上的投影。为了简单起见，考虑在坐标面上的投影域，根据题中条件易知 ，且可以分成与两部分，其中
。
因为
所以 。
从而 。
29．计算，其中为球面，
。
解 记为球面在锥面内的部分，则的参数方程为
，
所以
另解 本题在直角坐标下的计算如下：
30．计算，其中为球面
。
解 由于
且
，
，
所以
31．计算，其中是球面在第一卦限中的部分。
解1 直接化为二重积分计算。由于 ，所以
。
记 ，则
解2 记 ，
，
。
取 ，方向向下；，方向向左；
，方向向后。根据Gauss公式，得
其中是球体在第一挂限中的部分。
32．计算,
其中,是向上的法向量。
解1 由于 ，所以
。
根据曲面关于坐标面的对称性，得
，
同样的理由，得
，
因此 。
解2 记 ，方向向下；。根据高斯公式，得
33．计算曲面积分，其中是由及围成的圆柱体的表面，外侧为正。
解 记 ，方向向上；
，方向向下；
，方向向右；
，方向向左。
则
34．计算曲面积分，其中为旋转抛物面介于和之间的部分，上侧为正。
解1 记，则
解2 设分别是曲面在三个坐标面和上的投影区域，则，
，
，
所以
解3 取，下侧为正，是由和围成的区域，根据高斯公式得
35．计算曲面积分 ，其中为
（1）；
（2）。
解 （1）根据高斯公式及三重积分的对称性质，得
（2）记 ，根据高斯公式及三重积分的对称性质，得
36．计算曲面积分 ，其中
。
解 根据高斯公式，得
由于积分域关于坐标面对称，所以。从而
37．计算，其中曲面是区域：的外表面.
解 根据高斯公式，得
令
则 ，根据三重积分的变量替换公式，得
38．计算 ，其中是球面，外侧为正。
解 因为 的正向单位法向量 ，所以根据两类曲面积分的关系得
根据第一型曲面积分的对称性质，得
，,
所以
令 ，则
。
39．计算曲面积分 ，其中，，为椭球面，为的外向单位法向量。
解 记 ，则，
所以
令
，
，
则 ，
，
，
所以当 时，有 。
取为球面 ，内侧为正，其中为足够小的正数。在椭球面与球面围成的区域内，函数均有连续的一阶偏导数，根据高斯公式，得
。
又由于
所以
。
40,设是中心在点，半径为的球体，是的正向边界面，是的体积，函数，均具有一阶连续偏导数，求证
。
证 由于函数，均具有一阶连续偏导数，根据高斯公式，得
。
因为函数连续，所以存在点，使得
，
由于当时，，且在点连续，所以
41．设函数在上半空间具有一阶连续偏导数，证明对内任意的封闭光滑曲面,恒成立的充要条件是，其中。
证,”记是中以为边界的区域，根据高斯公式得
。
因为 ，所以
，
考虑到的任意性，得
。
若不然，不妨设存在，使得，由于在点处连续，所以存在，当时，有成立。
取为中心在，半径为的球域，则
，
这与上述结论矛盾，故。
,”由于 ，所以对内任意的封闭光滑曲面，恒有
成立。
42．设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，都有，其中，且，求的表达式。
解 设是由曲面围成的空间域，根据高斯公式，得
利用题中条件，得
，
考虑到积分域任意性和被积函数 在时的连续性，可得
，
即
，，
解得
，
由于 ，所以，从而
。
43．设是以原点为顶点的一张锥面，若与平面围成一个锥体，且其底面积是，高是，体积是，求证 。
证 根据题意，锥体(的表面由锥面与平面上的一块平面组成。若记为的正向法向量，则当时，
=0；
当时，
。
所以根据高斯公式，得
44．设表示原点到椭球面上点处的切平面的距离，求证
。
证 椭球面上点处的切平面方程为
，
其中表示切平面上的任意点。根据题意可知
。
记 ：，则为的外向单位法向量，利用两类曲面积分之间的关系得
根据高斯公式，得
所以 。
45．设函数连续，证明曲线积分与路径无关。
证 因为函数连续，所以根据复合函数的连续性可知函数也连续，因此函数具有原函数。
设是的一个原函数，则
，
所以 是一个全微分式，从而曲线积分
与路径无关。
46．设，求在点处方向导数最大的方向和方向导数的最大值。
解 根据梯度的几何意义，函数在一点沿其梯度方向的方向导数最大，且方向导数的最大值就是其梯度向量的长度，所以
；
。
47．设，求，。
解 ；
48．设，求。
解
，
，
，
所以
；
49．求质量均匀分布的半球面的重心。
解 设半球面的半径为，方程为。又设的重心坐标为，则根据对称性可知 。
由于 ，
，
所以 ，故的重心为。
50．求质量均匀分布的圆柱面：关于轴的转动惯量。
解 设圆柱面的密度为，由于圆柱面上任意一点到轴距离的平方是，所以要求的转动惯量为
。
51．设是球面，外侧为正；是曲线，方向为从轴正向看是逆时针。求向量场通过曲面的通量和沿曲线的环量。
解 根据通量概念，得
，
设是球体，利用高斯公式，得
根据通量的概念，得
，
由于曲线的参数方程为 ，所以
