第七部分 无穷级数
[填空题]
1．数项级数的和为 。
2．数项级数的和为 。
注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。
3．设，若级数收敛，则的取值范围是。
分析：因为在时，与是等价无穷小量，所以由可知，当时，与是等价无穷小量。由因为级数收敛，故收敛，因此。
4．幂级数在处条件收敛，则其收敛域为 。
分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的端点，所以收敛半径为。由因为在时，级数条件收敛，因此应填。
5．幂级数的收敛半径为 。
分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为
，
所以，根据比值判敛法，当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散。由收敛半径的定义，应填。
6．幂级数的收敛域为 。
分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数收敛半径为，收敛域为；幂级数收敛域为。因此原级数在收敛，在一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在也一定发散。故应填。
7．已知，且对任意，，则在原点的幂级数展开式为 。
分析：根据幂级数的逐项积分性质，及，得
，
故应填。
8．函数在处的幂级数展开式为 。
分析：已知，所以
。
根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。
9．已知，是的周期为的三角级数的和函数，则的值分别为 ，。
10．设
，
其中 ，则。
[选择题]
11．设常数，正项级数收敛，则级数[ ]
(A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与的值有关。
答 C
分析：因为，且正项级数收敛，所以收敛。又因为
，
所以原级数绝对收敛。
12．设，则级数[ ]
(A) 与都收敛。 (B) 与都发散。
(C) 收敛，发散。 (D) 发散，收敛。
答 C
分析：因为，所以级数是满足莱布尼兹条件的交错级数，因此收敛。因为 在时与是等价无穷小量，且调和级数发散，所以发散。
13．设，则下列级数中肯定收敛的是[ ]
(A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。
答 D
分析：因为，所以。又因为，且收敛，所以收敛。另外，取，可以说明不能选(A)及(C)；取，,因为 发散，所以发散。
14．下列命题中正确的是[ ]
(A)若，则 。
(B) 若，且收敛，则收敛。
(C)若，且收敛，则收敛。
(D) 若，且与收敛，则收敛。
答 D
分析：因为，所以。又因为与收敛，所以收敛，因而收敛。故收敛。
因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数与可以说明(B)不对，取级数与就可以说明(C)不对。
15．下列命题中正确的是[ ]
(A) 若与都收敛，则收敛。
(B) 若收敛，则与都收敛。
(C) 若正项级数发散，则。
(D) 若，且发散，则发散。
答 A
分析：因为，所以当与都收敛时，收敛。取可以排除选项(B)；取排除选项(C)；取级数与可以说明(D)不对。
16．若级数，都发散，则[ ]
(A) 发散。 (B) 发散。
(C) 发散。 (D) 发散。
答 C
分析：取可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数，都发散，所以级数，都发散，因而发散。故选(C)。
17．设正项级数收敛，则[ ]
(A) 极限小于。 (B) 极限小于等于。
(C) 若极限存在，其值小于。(D) 若极限存在，其值小于等于。
答 D
分析：根据比值判敛法，若极限存在，则当其值大于时，级数发散。因此选项(D)正确。取排除选项(C)。因为正项级数收敛并不能保证极限存在，所以选项(A)，(B)不对。
18．下列命题中正确的是[ ]
(A) 若幂级数的收敛半径为，则。
(B) 若极限不存在，则幂级数没有收敛半径。
(C) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。
(D) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。
答 D
分析：极限只是收敛半径为的一个充分条件，因此选项(A)不对。幂级数没有收敛半径存在而且惟一，所以选项(B)不对。取级数可以排除选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。
19．若幂级数在处条件收敛，则级数 [ ]
(A)条件收敛。 (B)绝对收敛。 (C)发散。 (D)敛散性不能确定。
答 B
分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为。因此幂级数在处绝对收敛，即级数绝对收敛。
20．设函数
，
而
，
其中 ，
则的值为[ ]
(A)。 (B)。 (C)。 (D)。
答 D
分析：是对函数作偶延拓得到的三角级数展开式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理，。
[解答题]
21．求级数的和。
解：因为
，
所以
。
22．已知级数，求级数的和。
解：因为 ，所以 。又因为 ，
故
。
23．判断级数的敛散性。
解：因为，且
，
所以与在时是等价无穷小。又因为级数收敛，所以，根据比阶判敛法知级数收敛。
另解：因为
，
所以
。
已知收敛，所以由比较判敛法知级数收敛。
24．判断级数的敛散性。
解：记 ，则，且
，
所以根据比值判敛法，当时级数收敛，当时级数发散。
当时，因为，所以此时比值判敛法失效，但由于
，(因为数列单调递增趋于)
所以，因而当时，级数发散。
25．讨论级数，的敛散性。
解：因为
，
所以根据比值判敛法，当时，级数绝对收敛。
当时，由于，所以级数发散。
当时，级数为，由级数的敛散性，当时级数发散，当时级数收敛。
当时，级数为，由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当时级数条件收敛，当时级数绝对收敛。
26．已知函数满足等式，且，试讨论级数
的收敛性。
解：因为 ，所以 。由，得。根据泰勒公式，得
所以在时与等价，且级数收敛，因此级数
绝对收敛。
注：本题也可先解定解问题，得到后再用泰勒公式讨论。
27．求下列幂级数的收敛域
，(2) ，(3) 。
解,
(1) 记，因为
,
所以收敛半径为 ，收敛区间为 。
又因为当时,级数条件收；当时,级数发散。
故级数的收敛域为。
记,由,得收敛半径为,所以幂级数仅在处收敛。
记,由,得收敛半径为,故级数
的收敛域为,。
28．求幂级数的收敛域。
解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径。
因为
,
所以，当,即时，级数绝对收敛；当,即时，级数发散。
根据收敛半径的定义知级数的收敛半径为。
又，当时,,级数发散；当时,一般项为,级数也发散。 故级数的收敛域为,。
注：还可以将级数变形为，再令，研究幂级数的收敛半径和收敛域，最后得到的收敛域。
29．求幂级数的收敛域。
解：因为，且
，
所以，当，即时，级数绝对收敛；当时，级数发散。故幂级数的收敛区间为。
又当时，原级数的一般项分别是和，所以发散。因此级数的收敛域为。
30．设为一等差数列，且，求级数的收敛域。
解：记的公差为，则
，
所以
。
因此收敛半径为，又当时，级数成为，，所以发散，于是级数的收敛域为。
31．将函数展开为处的幂级数。
解：因为。
所以
。
32．将函数在点展开为幂级数。
解：因为
，，
所以
。
33．将函数在点展成幂级数,并求。
解：将视为,因此只需将展成即可。
因为
,
且
，
所以
，
于是
,。
由于的幂级数的系数,所以
。
34．求幂级数在收敛区间,内的和函数,并求数项级数的和。
解：利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分,得
将上式两端对上限求导,得
,。
令,得
。
求幂级数的和函数。
令
，
则的定义域为，且。任给，由逐项积分公式得，
。
因此，
，
所以，
。
求幂级数的和函数。
令
，
则的定义域为，且。任给，由逐项求导公式得，
。
因此，
。
所以，
。
由得，。
求数项级数的和。
考虑幂级数，则其收敛域为。若记其和函数为，则。
由于
又因为，所以
。
故
。
35．求级数的和。
解：由于 。
对上式两边求导，得
，
所以 ，
此式两边再求导，得
，
在上式中令，有 。
36,设时周期为的周期函数，且，写出的傅里叶级数与其和函数，并求级数的和。
解：根据傅里叶系数的计算公式，得
，
所以的傅里叶级数为
。
其和函数的周期为，且
令，得
，且 ，
所以
。
37．设级数收敛，且，证明级数绝对收敛。
证,因为，所以数列有界，即存在，使得对任意的，有
，
于是，又级数收敛，由比较判敛法知收敛，故级数
绝对收敛。
38．已知且，若级数发散，证明级数收敛。
证：因为，所以极限存在，其值记为。由于级数发散，根据莱布尼兹判敛法知。所以存在，使得当时，有，故当时，。
根据比较判敛法知级数收敛。
39．设，证明对任意的常数，级数收敛。
证：令 ，得
，
所以
。
由于当时，级数收敛，根据比较判敛法，级数收敛。
40．已知 ,证明
。
证：因为幂级数为，所以函数定义域是，函数定义域是。
令，则其定义域为。根据幂级数的可导性及逐项求导公式，得
，
又
，
所以
。
因此。
在上式两端令取极限，得
所以。
[填空题]
1．数项级数的和为 。
2．数项级数的和为 。
注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。
3．设，若级数收敛，则的取值范围是。
分析：因为在时，与是等价无穷小量，所以由可知，当时，与是等价无穷小量。由因为级数收敛，故收敛，因此。
4．幂级数在处条件收敛，则其收敛域为 。
分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的端点，所以收敛半径为。由因为在时，级数条件收敛，因此应填。
5．幂级数的收敛半径为 。
分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为
，
所以，根据比值判敛法，当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散。由收敛半径的定义，应填。
6．幂级数的收敛域为 。
分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数收敛半径为，收敛域为；幂级数收敛域为。因此原级数在收敛，在一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在也一定发散。故应填。
7．已知，且对任意，，则在原点的幂级数展开式为 。
分析：根据幂级数的逐项积分性质，及，得
，
故应填。
8．函数在处的幂级数展开式为 。
分析：已知，所以
。
根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。
9．已知，是的周期为的三角级数的和函数，则的值分别为 ，。
10．设
，
其中 ，则。
[选择题]
11．设常数，正项级数收敛，则级数[ ]
(A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与的值有关。
答 C
分析：因为，且正项级数收敛，所以收敛。又因为
，
所以原级数绝对收敛。
12．设，则级数[ ]
(A) 与都收敛。 (B) 与都发散。
(C) 收敛，发散。 (D) 发散，收敛。
答 C
分析：因为，所以级数是满足莱布尼兹条件的交错级数，因此收敛。因为 在时与是等价无穷小量，且调和级数发散，所以发散。
13．设，则下列级数中肯定收敛的是[ ]
(A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。
答 D
分析：因为，所以。又因为，且收敛，所以收敛。另外，取，可以说明不能选(A)及(C)；取，,因为 发散，所以发散。
14．下列命题中正确的是[ ]
(A)若，则 。
(B) 若，且收敛，则收敛。
(C)若，且收敛，则收敛。
(D) 若，且与收敛，则收敛。
答 D
分析：因为，所以。又因为与收敛，所以收敛，因而收敛。故收敛。
因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数与可以说明(B)不对，取级数与就可以说明(C)不对。
15．下列命题中正确的是[ ]
(A) 若与都收敛，则收敛。
(B) 若收敛，则与都收敛。
(C) 若正项级数发散，则。
(D) 若，且发散，则发散。
答 A
分析：因为，所以当与都收敛时，收敛。取可以排除选项(B)；取排除选项(C)；取级数与可以说明(D)不对。
16．若级数，都发散，则[ ]
(A) 发散。 (B) 发散。
(C) 发散。 (D) 发散。
答 C
分析：取可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数，都发散，所以级数，都发散，因而发散。故选(C)。
17．设正项级数收敛，则[ ]
(A) 极限小于。 (B) 极限小于等于。
(C) 若极限存在，其值小于。(D) 若极限存在，其值小于等于。
答 D
分析：根据比值判敛法，若极限存在，则当其值大于时，级数发散。因此选项(D)正确。取排除选项(C)。因为正项级数收敛并不能保证极限存在，所以选项(A)，(B)不对。
18．下列命题中正确的是[ ]
(A) 若幂级数的收敛半径为，则。
(B) 若极限不存在，则幂级数没有收敛半径。
(C) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。
(D) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。
答 D
分析：极限只是收敛半径为的一个充分条件，因此选项(A)不对。幂级数没有收敛半径存在而且惟一，所以选项(B)不对。取级数可以排除选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。
19．若幂级数在处条件收敛，则级数 [ ]
(A)条件收敛。 (B)绝对收敛。 (C)发散。 (D)敛散性不能确定。
答 B
分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为。因此幂级数在处绝对收敛，即级数绝对收敛。
20．设函数
，
而
，
其中 ，
则的值为[ ]
(A)。 (B)。 (C)。 (D)。
答 D
分析：是对函数作偶延拓得到的三角级数展开式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理，。
[解答题]
21．求级数的和。
解：因为
，
所以
。
22．已知级数，求级数的和。
解：因为 ，所以 。又因为 ，
故
。
23．判断级数的敛散性。
解：因为，且
，
所以与在时是等价无穷小。又因为级数收敛，所以，根据比阶判敛法知级数收敛。
另解：因为
，
所以
。
已知收敛，所以由比较判敛法知级数收敛。
24．判断级数的敛散性。
解：记 ，则，且
，
所以根据比值判敛法，当时级数收敛，当时级数发散。
当时，因为，所以此时比值判敛法失效，但由于
，(因为数列单调递增趋于)
所以，因而当时，级数发散。
25．讨论级数，的敛散性。
解：因为
，
所以根据比值判敛法，当时，级数绝对收敛。
当时，由于，所以级数发散。
当时，级数为，由级数的敛散性，当时级数发散，当时级数收敛。
当时，级数为，由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当时级数条件收敛，当时级数绝对收敛。
26．已知函数满足等式，且，试讨论级数
的收敛性。
解：因为 ，所以 。由，得。根据泰勒公式，得
所以在时与等价，且级数收敛，因此级数
绝对收敛。
注：本题也可先解定解问题，得到后再用泰勒公式讨论。
27．求下列幂级数的收敛域
，(2) ，(3) 。
解,
(1) 记，因为
,
所以收敛半径为 ，收敛区间为 。
又因为当时,级数条件收；当时,级数发散。
故级数的收敛域为。
记,由,得收敛半径为,所以幂级数仅在处收敛。
记,由,得收敛半径为,故级数
的收敛域为,。
28．求幂级数的收敛域。
解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径。
因为
,
所以，当,即时，级数绝对收敛；当,即时，级数发散。
根据收敛半径的定义知级数的收敛半径为。
又，当时,,级数发散；当时,一般项为,级数也发散。 故级数的收敛域为,。
注：还可以将级数变形为，再令，研究幂级数的收敛半径和收敛域，最后得到的收敛域。
29．求幂级数的收敛域。
解：因为，且
，
所以，当，即时，级数绝对收敛；当时，级数发散。故幂级数的收敛区间为。
又当时，原级数的一般项分别是和，所以发散。因此级数的收敛域为。
30．设为一等差数列，且，求级数的收敛域。
解：记的公差为，则
，
所以
。
因此收敛半径为，又当时，级数成为，，所以发散，于是级数的收敛域为。
31．将函数展开为处的幂级数。
解：因为。
所以
。
32．将函数在点展开为幂级数。
解：因为
，，
所以
。
33．将函数在点展成幂级数,并求。
解：将视为,因此只需将展成即可。
因为
,
且
，
所以
，
于是
,。
由于的幂级数的系数,所以
。
34．求幂级数在收敛区间,内的和函数,并求数项级数的和。
解：利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分,得
将上式两端对上限求导,得
,。
令,得
。
求幂级数的和函数。
令
，
则的定义域为，且。任给，由逐项积分公式得，
。
因此，
，
所以，
。
求幂级数的和函数。
令
，
则的定义域为，且。任给，由逐项求导公式得，
。
因此，
。
所以，
。
由得，。
求数项级数的和。
考虑幂级数，则其收敛域为。若记其和函数为，则。
由于
又因为，所以
。
故
。
35．求级数的和。
解：由于 。
对上式两边求导，得
，
所以 ，
此式两边再求导，得
，
在上式中令，有 。
36,设时周期为的周期函数，且，写出的傅里叶级数与其和函数，并求级数的和。
解：根据傅里叶系数的计算公式，得
，
所以的傅里叶级数为
。
其和函数的周期为，且
令，得
，且 ，
所以
。
37．设级数收敛，且，证明级数绝对收敛。
证,因为，所以数列有界，即存在，使得对任意的，有
，
于是，又级数收敛，由比较判敛法知收敛，故级数
绝对收敛。
38．已知且，若级数发散，证明级数收敛。
证：因为，所以极限存在，其值记为。由于级数发散，根据莱布尼兹判敛法知。所以存在，使得当时，有，故当时，。
根据比较判敛法知级数收敛。
39．设，证明对任意的常数，级数收敛。
证：令 ，得
，
所以
。
由于当时，级数收敛，根据比较判敛法，级数收敛。
40．已知 ,证明
。
证：因为幂级数为，所以函数定义域是，函数定义域是。
令，则其定义域为。根据幂级数的可导性及逐项求导公式，得
，
又
，
所以
。
因此。
在上式两端令取极限，得
所以。
