第八部分 常微分方程
[填空题]
1．微分方程的通解为 。
2．过点且满足关系式的曲线方程为
。
3．微分方程的通解为 。
4．设是线性微分方程的三个特解，且，则该微分方程的通解为
。
5．设是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为，则该微分方程的通解为。
6．设出微分方程的一个特解形式
。
7．微分方程的通解为 。
8．微分方程的通解为 。
9．函数满足的二阶线性常系数齐次微分方程为。
10．若连续函数满足关系式 ，则。
[选择题]
11．设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则等于[ ]
(A)。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答B
注：根据题意，，解得。由，得，所以，即选项(B)正确。
12．若函数是微分方程的一个特解，则该方程满足初始条件的特解为[ ]
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答D
注：根据解的结构，通解为，由得。故选项(D)正确。
其他选项经验证不满足方程或定解条件。
13．设函数是微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为[ ]
(A)。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答D
注：因为是微分方程的两个不同特解，所以是该方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当时，选项(B)不对。当时，选项(C)不对。
14．已知函数在任意点处的增量，则等于[ ]
(A)。 (B)。 (C)。 (D) 。
答D
注：根据微分定义及微分与导数的关系得，解得，由，得，所以。因此选项(D)正确。
15．设函数是微分方程的一个解。若，则函数在点[ ]
(A) 取到极大值。 (B) 取到极小值。
(C) 某个邻域内单调增加。 (D) 某个邻域内单调减少。
答A
注：因为，，所以选项(A)正确。
16,设是二阶常系数线性齐次方程的两个特解，是两个任意常数，则下列命题中正确的是[ ]
（A） 一定是微分方程的通解。
（B）不可能是微分方程的通解。
（C）是微分方程的解。
（D）不是微分方程的解。
答C
注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当线性相关时，选项（A）错误,当线性无关时，选项（B）错误。
17,微分方程的一个特解应具有形式[ ]
(A)。 (B)。
(C) 。 (D) 。
答B
注：相应齐次方程的特征根为，所以的一个特解形式为，的一个特解形式为。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为，即选项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。
18,具有特解的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ]
(A)。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答B
注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为。故所求微分方程为，即选项(B)正确。
19,设是三阶线性常系数齐次微分方程的两个特解，则的值为[ ]
(A)。 (B)。
(C)。 (D)。
答C
注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为。故原微分方程应为，所以即选项(C)正确。
20,设二阶线性常系数齐次微分方程的每一个解都在区间上有界，则实数的取值范围是[ ]
(A)。 (B)。 (C)。 (D)。
答A
注：因为当时，，所以，当时，要想使在区间上有界，只需要，即。当时，要想使在区间上有界，只需要与的实部大于等于零，即。当时，在区间上有界。当时，在区间上无界。综上所述，当且仅当时，方程的每一个解都在区间上有界，即选项(A)正确。
[解答题]
21．求微分方程的通解。
解：方程两端同乘以，得
，
此方程是一个变量分离方程，其通解为
。
22．求微分方程的通解。
解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程
，
得其通解为
，即。
令，代入原方程，得
，
解得
。
所以原方程的通解为
。
注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得
。
23．求解微分方程。
解：将看成自变量，看成是的函数，则原方程是关于未知函数的一阶线性微分方程
，
此方程通解为
，
其中是任意常数。`
24．求微分方程满足初始条件的特解。
解：将原方程变形，得
，
这是一个齐次型方程。令，代入上式，得
，
分离变量，得
，
积分，得
，
即
。
因为，所以。于是所求特解为
。
25．设施微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解。
解：将代入原方程，得
，
解出
。
所以原方程为
，
解其对应的齐次方程，得
。
所以原方程的通解为
。
由，得。故所求特解为
。
26．求微分方程的通解。
解：将原方程化为
，
这是一个伯努利方程。令 ，则原方程化为
。
这是一个一阶线性微分方程，解得
，
所以原微分方程的通解为
。
27．求微分方程的通解。
解：将看成自变量，则是的函数。由于原方程是齐次型方程，令，原微分方程化为
，
这是一个变量可分离的方程，解得
。
所以原方程的通解为
。
另解：令 ，则，所以，在时，原方程为全微分方程。令
，
由于此曲线积分与路径无关，所以就是全微分式的一个原函数，且
所以原方程的通解为
。
28．设为实数，求微分方程的通解。
解：此方程的特征方程为，所以，
（1）当时，特征方程有一对复根 ,方程有两个线性无关解 。因此微分方程的通解为
。
（2）当时，特征方程有一个二重根。方程有两个线性无关解,于是微分方程的通解为
。
（3）当时，特征方程有两个单重实根 。方程有两个线性无关解，所以微分方程的通解为
。
29．求微分方程的通解。
解 将方程写作。因为是特征方程的单根，所以原方程一个特解形式为
，
将此解代入原方程，得
，
比较两端同次项的系数，有
。
解上述方程组，得
。
从而得到原方程的一个特解
。
又因为相应齐次方程的通解为
。
所以原方程的通解为
。
另解：方程两端积分，得
，
这是一个一阶线性微分方程，其通解为
30．求解微分方程。
解：因为是特征方程的重根，所以原方程的一个待定特解为
，
将此解代入原方程，得
。
比较两端系数，得。于是得到原方程的一个特解
。
又因为相应齐次方程的通解是
。
因此原方程的通解为
。
31．求微分方程的通解。
解：原方程所对应齐次方程的通解为
。
设非齐次方程的一个特解为
，
代入次方程，得 。所以 。
设非齐次方程的一个特解为
，
代入方程，得 。所以 。
因为为原方程的一个特解，所以原方程的通解为
。
32．求解微分方程 。
解：因为原微分方程不显含自变量，所以这是一个可降阶微分方程。
令 ，则。原方程变为
。
再令 ，则有
，
这是一个一阶线性微分方程，求得
。
所以
，
故
。
这是个变量可分离微分方程，解得
，
这就是原微分方程的通解。
注：方程是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。
33．求解微分方程。
解：微分方程 的特征方程为
，
是其三重特征根。所以该齐次方程的通解为
。
令原微分方程的一个特解形式为
，
代入原微分方程，并整理得
，
所以 。因此原微分方程的一个特解为
，
故所求通解为
。
34．求解微分方程。
解：令 ，则原方程化为
，
这是个一阶线性微分方程，解得
。
因此 ，所以原微分方程的通解为
，
其中是任意常数。
另解：令，则原方程化为 ，所以 。由得
。
35．求解微分方程。
解：原方称为二阶欧拉方程。令 ，得
。
所以原微分方程化为
，
其中是自变量。
这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得
。
所以原微分方程的通解为
，
其中是任意常数。
求解定解问题。
解：令 ，则原方程化为
，
这是个变量可分离微分方程，解得
，或，
根据 ，得。
由 ，得 。因为 ，所以 ，故原定解问题的解为
。
注：在求解变量可分离微分方程时，容易丢掉解，从而得不到原定解问题的解。
37．已知函数上可导，，且满足等式
，
求，并证明。
解：根据条件，得
，
因为上可导，由上式，知上二阶导数存在，所以
，
这是满足的一个一阶线性齐次方程，解得
，
由于 ，所以 ，故
。
当时，因为，所以。又时，，所以。
故
。
注：证明不等式时，只需要知道导数的符号及函数在某点上的值，并不要求一定知道函数的表达式。
38．设为连续函数,证明方程的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点。
证：记 为方程的一条积分曲线，则 方程的任一条积分曲线可记为。曲线在点的切线方程为
，
曲线在点的切线方程为
。
求解方程组
，
得
。
所以，任一条积分曲线与积分曲线在横坐标为的点处的切线相交于与无关的点，即方程的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点。
39．设在上连续非负，证明微分方程的任意非零解满足的充要条件是广义积分发散。
证：设是方程的任一解，则
，
其中是非零常数。所以
，
即的充要条件是广义积分发散。
40,设，函数在上连续有界，证明微分方程的解在上有界。
证：因为原方程的通解为
，
满足定解条件的解为
。
记在上的界为，则当时，有
即在上有界。
[填空题]
1．微分方程的通解为 。
2．过点且满足关系式的曲线方程为
。
3．微分方程的通解为 。
4．设是线性微分方程的三个特解，且，则该微分方程的通解为
。
5．设是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为，则该微分方程的通解为。
6．设出微分方程的一个特解形式
。
7．微分方程的通解为 。
8．微分方程的通解为 。
9．函数满足的二阶线性常系数齐次微分方程为。
10．若连续函数满足关系式 ，则。
[选择题]
11．设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则等于[ ]
(A)。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答B
注：根据题意，，解得。由，得，所以，即选项(B)正确。
12．若函数是微分方程的一个特解，则该方程满足初始条件的特解为[ ]
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答D
注：根据解的结构，通解为，由得。故选项(D)正确。
其他选项经验证不满足方程或定解条件。
13．设函数是微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为[ ]
(A)。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答D
注：因为是微分方程的两个不同特解，所以是该方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当时，选项(B)不对。当时，选项(C)不对。
14．已知函数在任意点处的增量，则等于[ ]
(A)。 (B)。 (C)。 (D) 。
答D
注：根据微分定义及微分与导数的关系得，解得，由，得，所以。因此选项(D)正确。
15．设函数是微分方程的一个解。若，则函数在点[ ]
(A) 取到极大值。 (B) 取到极小值。
(C) 某个邻域内单调增加。 (D) 某个邻域内单调减少。
答A
注：因为，，所以选项(A)正确。
16,设是二阶常系数线性齐次方程的两个特解，是两个任意常数，则下列命题中正确的是[ ]
（A） 一定是微分方程的通解。
（B）不可能是微分方程的通解。
（C）是微分方程的解。
（D）不是微分方程的解。
答C
注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当线性相关时，选项（A）错误,当线性无关时，选项（B）错误。
17,微分方程的一个特解应具有形式[ ]
(A)。 (B)。
(C) 。 (D) 。
答B
注：相应齐次方程的特征根为，所以的一个特解形式为，的一个特解形式为。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为，即选项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。
18,具有特解的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ]
(A)。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答B
注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为。故所求微分方程为，即选项(B)正确。
19,设是三阶线性常系数齐次微分方程的两个特解，则的值为[ ]
(A)。 (B)。
(C)。 (D)。
答C
注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为。故原微分方程应为，所以即选项(C)正确。
20,设二阶线性常系数齐次微分方程的每一个解都在区间上有界，则实数的取值范围是[ ]
(A)。 (B)。 (C)。 (D)。
答A
注：因为当时，，所以，当时，要想使在区间上有界，只需要，即。当时，要想使在区间上有界，只需要与的实部大于等于零，即。当时，在区间上有界。当时，在区间上无界。综上所述，当且仅当时，方程的每一个解都在区间上有界，即选项(A)正确。
[解答题]
21．求微分方程的通解。
解：方程两端同乘以，得
，
此方程是一个变量分离方程，其通解为
。
22．求微分方程的通解。
解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程
，
得其通解为
，即。
令，代入原方程，得
，
解得
。
所以原方程的通解为
。
注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得
。
23．求解微分方程。
解：将看成自变量，看成是的函数，则原方程是关于未知函数的一阶线性微分方程
，
此方程通解为
，
其中是任意常数。`
24．求微分方程满足初始条件的特解。
解：将原方程变形，得
，
这是一个齐次型方程。令，代入上式，得
，
分离变量，得
，
积分，得
，
即
。
因为，所以。于是所求特解为
。
25．设施微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解。
解：将代入原方程，得
，
解出
。
所以原方程为
，
解其对应的齐次方程，得
。
所以原方程的通解为
。
由，得。故所求特解为
。
26．求微分方程的通解。
解：将原方程化为
，
这是一个伯努利方程。令 ，则原方程化为
。
这是一个一阶线性微分方程，解得
，
所以原微分方程的通解为
。
27．求微分方程的通解。
解：将看成自变量，则是的函数。由于原方程是齐次型方程，令，原微分方程化为
，
这是一个变量可分离的方程，解得
。
所以原方程的通解为
。
另解：令 ，则，所以，在时，原方程为全微分方程。令
，
由于此曲线积分与路径无关，所以就是全微分式的一个原函数，且
所以原方程的通解为
。
28．设为实数，求微分方程的通解。
解：此方程的特征方程为，所以，
（1）当时，特征方程有一对复根 ,方程有两个线性无关解 。因此微分方程的通解为
。
（2）当时，特征方程有一个二重根。方程有两个线性无关解,于是微分方程的通解为
。
（3）当时，特征方程有两个单重实根 。方程有两个线性无关解，所以微分方程的通解为
。
29．求微分方程的通解。
解 将方程写作。因为是特征方程的单根，所以原方程一个特解形式为
，
将此解代入原方程，得
，
比较两端同次项的系数，有
。
解上述方程组，得
。
从而得到原方程的一个特解
。
又因为相应齐次方程的通解为
。
所以原方程的通解为
。
另解：方程两端积分，得
，
这是一个一阶线性微分方程，其通解为
30．求解微分方程。
解：因为是特征方程的重根，所以原方程的一个待定特解为
，
将此解代入原方程，得
。
比较两端系数，得。于是得到原方程的一个特解
。
又因为相应齐次方程的通解是
。
因此原方程的通解为
。
31．求微分方程的通解。
解：原方程所对应齐次方程的通解为
。
设非齐次方程的一个特解为
，
代入次方程，得 。所以 。
设非齐次方程的一个特解为
，
代入方程，得 。所以 。
因为为原方程的一个特解，所以原方程的通解为
。
32．求解微分方程 。
解：因为原微分方程不显含自变量，所以这是一个可降阶微分方程。
令 ，则。原方程变为
。
再令 ，则有
，
这是一个一阶线性微分方程，求得
。
所以
，
故
。
这是个变量可分离微分方程，解得
，
这就是原微分方程的通解。
注：方程是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。
33．求解微分方程。
解：微分方程 的特征方程为
，
是其三重特征根。所以该齐次方程的通解为
。
令原微分方程的一个特解形式为
，
代入原微分方程，并整理得
，
所以 。因此原微分方程的一个特解为
，
故所求通解为
。
34．求解微分方程。
解：令 ，则原方程化为
，
这是个一阶线性微分方程，解得
。
因此 ，所以原微分方程的通解为
，
其中是任意常数。
另解：令，则原方程化为 ，所以 。由得
。
35．求解微分方程。
解：原方称为二阶欧拉方程。令 ，得
。
所以原微分方程化为
，
其中是自变量。
这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得
。
所以原微分方程的通解为
，
其中是任意常数。
求解定解问题。
解：令 ，则原方程化为
，
这是个变量可分离微分方程，解得
，或，
根据 ，得。
由 ，得 。因为 ，所以 ，故原定解问题的解为
。
注：在求解变量可分离微分方程时，容易丢掉解，从而得不到原定解问题的解。
37．已知函数上可导，，且满足等式
，
求，并证明。
解：根据条件，得
，
因为上可导，由上式，知上二阶导数存在，所以
，
这是满足的一个一阶线性齐次方程，解得
，
由于 ，所以 ，故
。
当时，因为，所以。又时，，所以。
故
。
注：证明不等式时，只需要知道导数的符号及函数在某点上的值，并不要求一定知道函数的表达式。
38．设为连续函数,证明方程的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点。
证：记 为方程的一条积分曲线，则 方程的任一条积分曲线可记为。曲线在点的切线方程为
，
曲线在点的切线方程为
。
求解方程组
，
得
。
所以，任一条积分曲线与积分曲线在横坐标为的点处的切线相交于与无关的点，即方程的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点。
39．设在上连续非负，证明微分方程的任意非零解满足的充要条件是广义积分发散。
证：设是方程的任一解，则
，
其中是非零常数。所以
，
即的充要条件是广义积分发散。
40,设，函数在上连续有界，证明微分方程的解在上有界。
证：因为原方程的通解为
，
满足定解条件的解为
。
记在上的界为，则当时，有
即在上有界。
