§ 3.8 时域 卷积定理
若
则
)()]([ 11?FtfFT?
)()]([ 22?FtfFT?
)().()](*)([ 2121 FFtftfFT?
例：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积
)(tG )(tG
)(*)( tGtG
卷
)(?G )(?G乘

42
)( 2 SaEF
卷

乘
FT FT
§ 3.8 频域 卷积定理
若
则
)()]([ 11?FtfFT?
)()]([ 22?FtfFT?
)(*)(
2
1
)]().([ 2121
FFtftfFT?
例：求余弦脉冲的频谱
tcos
)(tG
1
E
E )(tf
2?
2
2?
2?
2
2
相乘
][costFT
FT

)(
FT )(?G
2?
2?
)(?F
卷积
ttGtf c o s).()(?
)
2
()( SaEG? )()(


)(tGtcos


2)(1
)
2
)
c o s (2
)(


E
F
乘
FT FT
卷
]co s)([ 0 ttfFT?
)]()([21 00 FF
)]([ tfFT ][ co s
0 tFT?
0
0
0?0
卷积

1
2121
利用卷积证明
0?0
求图中所示的三角调幅波信号的频谱
t0co s?1
1?
2
2

t
)(21c o s 000 tjtj eet
ttf 21)(
0


42
)( 20 SaEF





4
)(
4
)(
4
)( 0202 SaSaEF
三角波
1?E
)(0?F
)(21 0?F )(21 0?F
)(?F
0?0
作业题
旧版 3-32,3-39,3-41
新版 3-28,3-33,3-34
思考？
（ 1）有多少种求单三角脉冲的傅立叶变换的方法？请论证。
（ 2）使用傅立叶变换的基本性质求下列函数的傅立叶变换，并小结一下奇虚函数的傅立叶变换的特点，如为实偶函数的傅立叶变换又怎样？
已知,求：jttf?)(?)(F
§ 3.9 周期信号的傅立叶变换
一般周期信号的傅立叶变换
傅立叶级数 FS与其单脉冲的傅立叶变换 FT的关系
正余弦信号的傅立叶变换 FT
周期单位冲激序列的 FS和 FT
周期矩形脉冲的 FS和 FT
周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系一、一般周期信号的傅立叶变换
由一些冲激组成离散频谱
位于信号的谐频处
大小不是有限值，而是无穷小频带内有无穷大的频谱值
),2,,0( 11

n
tjn
n eFtf
1.)(?
)(2)]([ 1 nFtfFT
n
n

周期信号的傅立叶变换存在条件
周期信号不满足绝对可积条件
引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的
在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的
周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，
即傅立叶变换是一系列冲激二、傅立叶级数 FS与其单脉冲的傅立叶变换 FT的关系
1
)(1 0
1

nn
F
T
F
)(0?F
)0(1 0
1
F
T
nF
)(tf
)(0 tf
二、傅立叶级数 FS与其单脉冲的傅立叶变换 FT的关系
由 FS
取 f(t)的一个周期,其 FT为
所以
2
21
1
1
1).(
1 T
T
tjn
n dtetfTF
2
1
2
1
).()( 00
T
T dtetfF
tj
1
)(1 0
1

nn
F
T
F
)(0 tf )(0?F
三,正余弦信号的傅立叶变换
—— 用频移特性
)(]).([ 100 1 FetfFT tj
)(2]1[)(0 FTF
)]()([
)]([][ c o s
11
2
1
1
11



tjtj eeFTtFT
)]()([
)]([][ s i n
11
2
1
1
11




j
eeFTtFT tjtjj
)]()([][ co s 111tFT
)]()([][ s i n 111 jtFT
)( 0
1?1
)( 0
)( 0
1?
1
0
0
)(?F
)(?jF
)( 0
三、正余弦信号的傅立叶变换
—— 用极限方法
有限长余弦 看成矩形 乘
有限长余弦求极限，得到无限长余弦
2/))((c o s)()( 1110 tjtj eetGttGtf
t1c o s?)(tG)(0 tf
])[(
2
])[(
2
)]()([
2
1
)(
2121
110





SaSa
GGF
)(l i mc o s 01 tft


21211
)(
2
)(
2
lim][ c o s
SaSatFT
)(l i m)(
Sa

)]()([][ co s 111tFT
)(0 tf
1
1?
2?2
2?
1?
1
)(0?F
)(?F
1?1
)( 0)( 0
四、周期单位冲激序列的 FS




n
tjn
n
n
T eFnTtt
1.)()(
1

11
1
).(
1 21
2
1
1
T
dtet
T
F
T
T
tjn
Tn


n
tjn
T eTt

1
1
)(
四、周期单位冲激序列的 FT





n
tjn
n
tjn
n
n
T eTeFnTtt

1
1
1.)()( 1
)(12)]([ 1
1
n
T
tfFT
n


)()]([)( 11?


n
T ntFTF
)(t?
0 t
)(0?F
1
)1(
0?
)(tT?
1T
t
nF
0?
0?
)(?F
1?1 12?
12?1
1
12
1?
1
1T
FS
FT
五、周期矩形脉冲的 FS和 FT
E
)(0 tf
0 2
2
t
E
)(0?F

2
2? 0
1T1T?
E
)(tf
1T
E?
1E
)(?F
nF
t
FT
FS
FT
周期重复周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
2
21
1
1
1).(
1 T
T
tjn
n dtetfTF
2
1
2
1
).()( 00
T
T dtetfF
tj
1
)(
1
0
1

nn
F
T
F


2)(0
SaEF
)
2
()(1 1
1
0
1
1


nSa
T
EF
T
F nn
1.
2
)( 1
1
jn
n
enSa
T
Etf



)(
2
)( 1
1
1
1
nnSaEF
n




由单脉冲联想 FS的 Fn
FS
FT
小结 —— 单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
单脉冲的频谱 是连续谱，
它的大小是有限值；
周期信号的谱 是离散谱，
含谱密度概念，它的大小用冲激表示；
是 的包络的 。
)(0?F
)(?F
)(?F)(0?F
1
1?
作业题
旧版 3-42,3-45,3-46
新版 3-35,3-36,3-37