1
§ 1.3 信号的分解
直流分量和交流分量
偶分量与奇分量
脉冲分量
实部分量与虚部分量
正交分量
2
直流分量和交流分量直流分量 交流分量信号平均值
)()( tfftf AD
Df
)(tfA
)(tf
0
0
t
t
a
a
3
偶分量与奇分量偶分量定义 奇分量定义
0 t
0 t
)()( tftf ee )()( tftf oo
4
分解成冲激脉冲分量之和
)( 1tf
1t?
1t
t
5
11111
0
1
0
/)].()([)(l i m)(
1
1
tttttuttutftf
t
t
t
11
0
10 ).()(l i m)(
1
1
ttttftf
t
t
t
110 1 ).()()( dttttftf
t
01,tttt
00 00 )()()(
t
dttttftf?
变量置换
6
分解成单位阶跃分量之和
)0(f
)( 1tf
)( 11 ttf
1t
1t?
7
11
)]()([
11
1
111 )()()0()( tttutuftf
t
tt
t
ttftf
110
)( )()()0()(
1
1 dtttutuftf
t
dt
tdf
图中粉色部分图中粉色以上的小矩形阶跃
8
分解成实部分量和虚部分量
)()()( tjftftf ir
)()()(* tjftftf ir
)]()([)( *21 tftftf r
)]()([)( *21 tftftfj i
9
§ 1.4 正交函数分量
正交矢量
正交函数
正交函数集
10
一、正交矢量矢量,V1 和 V2 参加如下运算,是它们的差，如下式：
eVVcV 2121
1V 1V 1V
2V
2V
2V
eV
eV eV
212Vc 212Vc 212Vc
eV
11
2
21
2
21
1212
.c o s
c o s
V
VV
V
VV
VVc
2
2
21
12
.
V
VV
c?
表示 和 互相接近的程度
1V 2V12c
当,完全重合，则随夹角增大,减小；
当,和 相互垂直
1V 2V 1,0 12 c?
12c
0,90 12 co? 1V 2V
12
yx VVV zyx VVVV
V
V
xV
xV
yV
zV
yV
二维正交集 三维正交集
13
二,正交函数令 则误差能量 最小
)()()( 212121 ttttfctf
dttfctf
tt
t
t
2
2121
21
2 )]()([
)(
1 2
1
0
12
2
dcd?
2?
14
0)]()([
1 2
2121
1212
2
1
dttfctf
ttdc
d t
t
dttftfdttf
dc
d
tt
t
t
t
t
)()(2)(1 2121
1212
22
1
21 0])(2 2212 tt dttfc
解得
2
1
2
1
)(
)()(
2
2
21
12 t
t
t
t
dttf
dttftf
c
15
正交条件若,则 不包含 的分量，则称正交。
正交的条件：
012?c )(1 tf )(2 tf
0)()(
2
1
21
t
t
dttftf
16
例：
试用 sint 在区间（ 0,2 ）来近似
)2(1
)0(1
)(
t
t
tf
4
1
2 t
0
-
1
4
)(tf
17
解：
td a
td ttf
c
2
0
2
2
0
12
s i n
s i n)(
2
0
)s i n(s i n[1 dttt d t
4?
ttf s i n
4
)(
所以：
18
例：试用正弦 sint 在（ 0,2 ）区间内来表示余弦 cost
显然
2
0
0s i nc o s t d tt
所以
012?c
说明 cost 中不包含 sint 分量，
因此 cost 和 sint 正交,
19
三,正交函数集
n个函数 构成一函数集，
如在区间 内满足正交特性，即
)(),(),( 21 tgtgtg n?
),( 21 tt
)(0)()(2
1
jidttgtgt
t ji
2
1
)(2t
t ii
Kdttg
则此函数集称为正交函数集
20
任意函数由 n个正交的函数的线性组合所近似
)(
)()()()(
1
2211
tgc
tgctgctgctf
n
r
rr
nn
ic
2
1
2
1
2
1 )()(
1
)(
)()(
2
t
t
t
i
i
t
t
i
t
i
i dttgtf
Kdttg
dttgtf
c
由最小均方误差准则，要求系数 满足
21
在最佳逼近时的误差能量
2
1 1
22
12
2 )(1 t
t r
n
r
r Kcdttftt?
21 1)(2tt i dttg dttgtfc
t
t ii
)()(2
1
2
1 1
22
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t
n
r
rcdttftt?
归一化正交函数集：
22
复变函数的正交特性
)()( 2121 tfctf?
2
1
2
1
)()(
)()(
*
22
*
21
12 t
t
t
t
dttftf
dttftf
c
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1
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1
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1
*
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t
t
t
t
dttftfdttftf
两复变函数正交的条件是
23
§ 1.5 用完备正交集表示信号
)()(
1
tgctf r
r
r?
2
1 1
22
12
2 )(1 t
t r
n
r
r Kcdttftt?
0lim 2?
n
24
另一种定义：在正交集 之外再没有一有限能量的 x(t)满足以下条件
三角函数集
复指数函数集
)(tg i
21 0)()(tt i dttgtx
ntn 1c o s?
ntn 1s i n?
ntjne 1?
25
第一章练习
1-6 （ 1），（ 3），（ 5），（ 7）
1-8
1-10 （ a),(c)
1-12
1-14
1-16
1-19
§ 1.3 信号的分解
直流分量和交流分量
偶分量与奇分量
脉冲分量
实部分量与虚部分量
正交分量
2
直流分量和交流分量直流分量 交流分量信号平均值
)()( tfftf AD
Df
)(tfA
)(tf
0
0
t
t
a
a
3
偶分量与奇分量偶分量定义 奇分量定义
0 t
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)()( tftf ee )()( tftf oo
4
分解成冲激脉冲分量之和
)( 1tf
1t?
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5
11111
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11
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10 ).()(l i m)(
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变量置换
6
分解成单位阶跃分量之和
)0(f
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7
11
)]()([
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110
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图中粉色部分图中粉色以上的小矩形阶跃
8
分解成实部分量和虚部分量
)()()( tjftftf ir
)()()(* tjftftf ir
)]()([)( *21 tftftf r
)]()([)( *21 tftftfj i
9
§ 1.4 正交函数分量
正交矢量
正交函数
正交函数集
10
一、正交矢量矢量,V1 和 V2 参加如下运算,是它们的差，如下式：
eVVcV 2121
1V 1V 1V
2V
2V
2V
eV
eV eV
212Vc 212Vc 212Vc
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11
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1212
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V
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12
.
V
VV
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表示 和 互相接近的程度
1V 2V12c
当,完全重合，则随夹角增大,减小；
当,和 相互垂直
1V 2V 1,0 12 c?
12c
0,90 12 co? 1V 2V
12
yx VVV zyx VVVV
V
V
xV
xV
yV
zV
yV
二维正交集 三维正交集
13
二,正交函数令 则误差能量 最小
)()()( 212121 ttttfctf
dttfctf
tt
t
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2
2121
21
2 )]()([
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14
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解得
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15
正交条件若,则 不包含 的分量，则称正交。
正交的条件：
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2
1
21
t
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16
例：
试用 sint 在区间（ 0,2 ）来近似
)2(1
)0(1
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t
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4
1
2 t
0
-
1
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解：
td a
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2
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12
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2
0
)s i n(s i n[1 dttt d t
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4
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所以：
18
例：试用正弦 sint 在（ 0,2 ）区间内来表示余弦 cost
显然
2
0
0s i nc o s t d tt
所以
012?c
说明 cost 中不包含 sint 分量，
因此 cost 和 sint 正交,
19
三,正交函数集
n个函数 构成一函数集，
如在区间 内满足正交特性，即
)(),(),( 21 tgtgtg n?
),( 21 tt
)(0)()(2
1
jidttgtgt
t ji
2
1
)(2t
t ii
Kdttg
则此函数集称为正交函数集
20
任意函数由 n个正交的函数的线性组合所近似
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1
2211
tgc
tgctgctgctf
n
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由最小均方误差准则，要求系数 满足
21
在最佳逼近时的误差能量
2
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22
12
2 )(1 t
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21 1)(2tt i dttg dttgtfc
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1 1
22
12
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归一化正交函数集：
22
复变函数的正交特性
)()( 2121 tfctf?
2
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22
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21
12 t
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两复变函数正交的条件是
23
§ 1.5 用完备正交集表示信号
)()(
1
tgctf r
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2
1 1
22
12
2 )(1 t
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0lim 2?
n
24
另一种定义：在正交集 之外再没有一有限能量的 x(t)满足以下条件
三角函数集
复指数函数集
)(tg i
21 0)()(tt i dttgtx
ntn 1c o s?
ntn 1s i n?
ntjne 1?
25
第一章练习
1-6 （ 1），（ 3），（ 5），（ 7）
1-8
1-10 （ a),(c)
1-12
1-14
1-16
1-19
