1
第四章 拉普拉斯变换本章要点
拉氏变换的定义 —— 从傅立叶变换到拉氏变换
拉氏变换的性质，收敛域
卷积定理 (S域 )
周期和抽样信号的拉氏变换
系统函数和单位冲激响应
拉氏变换与傅氏变换的关系
2
拉氏变换的定义 —— 从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄里赫利条件：
u(t)
增长信号
周期信号
)0(?ae at
若乘一衰减因子为任意实数，则收敛，
于满足狄里赫利条件
te
tetf).(
tetu)(
)(,aee tat
te t 1co s
t1c o s?
3
tetftf )()(
1
dtetfF tj
0
)(
1 )()(
因果
0
)()( dtetfsF st
js
象函数正 LT
dsesF
j
tf
j
j
st
)(
2
1
)(
原函数逆 LT
FT,实频率 是振荡频率
LT,复频率 S 是振荡频率,控制衰减速度
4
拉氏变换已考虑了初始条件
)()(
)(
)()(
ofsSF
dt
tdf
LT
sFtfLT
)()0()(
))(()()( '
0
0
0
'
sSFfef
dtetfetfdtetf
s
ststst
终值 初值，若有跳变则为
)(?of
5
)(0)(l im 0
t
t
etf收敛域
有始有终信号和能量有限信号
或等幅振荡信号和增长信号
不收敛信号除非
00 a?0?
a?0?
)0(,22 ttee tt
j
j
整个平面以 为界0?
)0( Tt
6
常用信号的拉氏变换
)(tu
S
1
tatu)( as?
1
nt
1
!
ns
n
)(t? 1
)( 0tt 0ste?
7
拉氏变换的基本性质 （ 1）
线性
)(
1
tfk i
n
i
i?
)]([.
1
tfLTk
n
i
i?
dt
tdf )(微分 )0()( fsSF
积分
t df )( sfs sF )0()( '
时移 )()( 00 ttuttf )(0 sFe st?
频移
atetf?)(
)( asF?
8
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atf asFa1
)(lim)0()(lim
0
sSFftf
st
终值定理 )(l i m)()(l i m 0 sSFftf st
卷积定理
)(*)( 21 tftf )().( 21 sFsF
初值定理
)().( 21 tftf )(*)(2 1 21 sFsFj?
9
例：周期信号的拉氏变换
)()( 11 sFtf
LT
)()( 11 sFenTtf s n T
LT
ST
n
SnT
LT
n
e
sF
esFnTtf
1
)(
)()(
1
0
1
0
第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和
10
例,单边正弦、余弦信号的拉氏变换
2
)()(
tjtj ee
tutf
22
2
1
)
11
()(
S
S
jSjS
SF
j
eetutf tjtj
2
)()(
22
2
1
)
11
()(
S
jjSjS
SF
ttu?c o s)(
ttu?s i n)(
11
例：衰减余弦的拉氏变换
]c o s)([)( ttuetf t
220
]c o s)([)(
S
S
ttuLTSF
22)(
)(
S
S
SF
频移特性
12
矩形周期信号拉氏变换
)2()()(1?tututf
)1(
1
1
)()(
2
1
ST
S?
ST
eS
e
e
sFsF
)1(1)( 21 S?eSsF
第一周期的信号第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷技术求和
13
求周期信号的拉氏变换例 1：
)(tf
1
2
T0 T
2
T
1
)(0 tf
0
t
t
)]
2
()([2s in Ttutut
T
22
)1( 2
S
e T
LT
T
2?
2
22
1
1)1( 2
TS
eS
e T
14
例 2
)(tf
单对称方波周期对称方波乘衰减指数
)21(1 2 ss ee
s
s
s
e
e
s 2
2
1
1)1(1
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( tututu
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
S
S
e
e
s
15
抽样信号的拉氏变换
0
)()(
n
T nTtt
ST
n
SnT
T ees?
1
1)(
0
)()()( ttftf Ts
0
0
.
0
)(
)()()(
n
SnT
n
ST
Ts
enTf
dtenTtnTfsF?
抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换
16
双边拉氏变换收敛域 —
)()()( tuetutf t
0 )1(0 )()()( dtetudtetudtetf ttt
0 1
ss
tf
LT
1
11)(
0 1
10
j
)( tuet? )(tu
0
1
10 0
01
17
1)()()(2tuetutf t
ssss
tf
LT
1
11
1
11)(
2
0)()()(3tuetutf t
ssss
tf
LT
1
11
1
11)(
3
不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的象函数。
18
)()()( tuetuetf btat
0 )(0 )()( dtedtedtetf tatbt
ba
baab,
ab?
收敛，存在双边拉氏变换没有收敛域。不存在双边拉氏变换
19
拉氏变换与傅氏变换的关系
dtetf tj?)(
因果
0
乘衰减因子
te
dtetf tj
0
)()(
js
0 )( dtetf st
dtetf st)(
js
dtetf tj
)()(
0
0)(
0
tf
t
20
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号
0)(
0
tf
t
)(tue at
a
a
t
)(tf
0)1( 0
as
sF
1)(
傅氏变换不存在，拉氏变换存在
j
21
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0tft
0)2( 0
)(tf
t
)(tue at?
a?
a
j
as
sF
1)( ajjF 1)(
js?
22
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0tft
0)3( 0 存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用,要包含奇异函数项。
)(tu
ssF
1)(? )(1)(
jjF
n
nnjs ksFjF )()()(
js?
K1=1
23
从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换
)(.s i n 0 tut?
)(.s i n)( 0 tuttf
LT
2
0
2
0)(
s
sF
n
nnjs ksFjF )()()(
00
2
0
2
0 22)(
js
j
js
j
s
sF
)()(
2
)( 0022
0
0
jjF
2
0
2
0
)()(
jjF
K2K1
24
系统的时域特征
以单位冲激信号 作为激励时，系统产生的零状态响应，记作 。
任意时域信号激励时系统的响应
)(t?
)(th
)(t?
)(th
)(*)()( thttr
)(th
)(te )(*)()( thtetr?
25
求 的经典方法和步骤
列系统微分方程
求微分方程的特征根
得齐次解
求各阶导数
代入微分方程
两边奇异函数的系数平衡，可求出系数
)(th
i?
)()(
1
1 tueAth
n
i
t
i
iA
26
系统的复频域特征 — 系统函数
是 的拉氏变换
是系统输出和输入各自拉氏变换的比
)(sH
)(sH )(th
)(
)()(
sE
sRsH?
)(te )(sE )(tr)(sR
)(th
)(sH
)(sH
LT LT
LT
27
系统函数 的定义：
定义：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比叫系统函数或网络函数 。
)(sH
)(
)(
)(
sE
sR
sH?
28
本章作业
4-1(4),(8),(12),(16),4-1(20)*,(24)*,(28)*
4-2(2),4-3(2) 4-3(4) *(6)*
4-4(4),(8),(12),4-4(16)*,(20)*
4-5(2),(4),4-5 (6)*
4-18,4-20,4-26*,4-22*
4-28(a) 4-28(b)*,
4-29(a)*(b)*
第四章 拉普拉斯变换本章要点
拉氏变换的定义 —— 从傅立叶变换到拉氏变换
拉氏变换的性质，收敛域
卷积定理 (S域 )
周期和抽样信号的拉氏变换
系统函数和单位冲激响应
拉氏变换与傅氏变换的关系
2
拉氏变换的定义 —— 从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄里赫利条件：
u(t)
增长信号
周期信号
)0(?ae at
若乘一衰减因子为任意实数，则收敛，
于满足狄里赫利条件
te
tetf).(
tetu)(
)(,aee tat
te t 1co s
t1c o s?
3
tetftf )()(
1
dtetfF tj
0
)(
1 )()(
因果
0
)()( dtetfsF st
js
象函数正 LT
dsesF
j
tf
j
j
st
)(
2
1
)(
原函数逆 LT
FT,实频率 是振荡频率
LT,复频率 S 是振荡频率,控制衰减速度
4
拉氏变换已考虑了初始条件
)()(
)(
)()(
ofsSF
dt
tdf
LT
sFtfLT
)()0()(
))(()()( '
0
0
0
'
sSFfef
dtetfetfdtetf
s
ststst
终值 初值，若有跳变则为
)(?of
5
)(0)(l im 0
t
t
etf收敛域
有始有终信号和能量有限信号
或等幅振荡信号和增长信号
不收敛信号除非
00 a?0?
a?0?
)0(,22 ttee tt
j
j
整个平面以 为界0?
)0( Tt
6
常用信号的拉氏变换
)(tu
S
1
tatu)( as?
1
nt
1
!
ns
n
)(t? 1
)( 0tt 0ste?
7
拉氏变换的基本性质 （ 1）
线性
)(
1
tfk i
n
i
i?
)]([.
1
tfLTk
n
i
i?
dt
tdf )(微分 )0()( fsSF
积分
t df )( sfs sF )0()( '
时移 )()( 00 ttuttf )(0 sFe st?
频移
atetf?)(
)( asF?
8
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atf asFa1
)(lim)0()(lim
0
sSFftf
st
终值定理 )(l i m)()(l i m 0 sSFftf st
卷积定理
)(*)( 21 tftf )().( 21 sFsF
初值定理
)().( 21 tftf )(*)(2 1 21 sFsFj?
9
例：周期信号的拉氏变换
)()( 11 sFtf
LT
)()( 11 sFenTtf s n T
LT
ST
n
SnT
LT
n
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sF
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1
)(
)()(
1
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1
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第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和
10
例,单边正弦、余弦信号的拉氏变换
2
)()(
tjtj ee
tutf
22
2
1
)
11
()(
S
S
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j
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2
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22
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)
11
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S
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ttu?s i n)(
11
例：衰减余弦的拉氏变换
]c o s)([)( ttuetf t
220
]c o s)([)(
S
S
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)(
S
S
SF
频移特性
12
矩形周期信号拉氏变换
)2()()(1?tututf
)1(
1
1
)()(
2
1
ST
S?
ST
eS
e
e
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第一周期的信号第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷技术求和
13
求周期信号的拉氏变换例 1：
)(tf
1
2
T0 T
2
T
1
)(0 tf
0
t
t
)]
2
()([2s in Ttutut
T
22
)1( 2
S
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LT
T
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2
22
1
1)1( 2
TS
eS
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14
例 2
)(tf
单对称方波周期对称方波乘衰减指数
)21(1 2 ss ee
s
s
s
e
e
s 2
2
1
1)1(1
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( tututu
)1(
)1(
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S
S
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15
抽样信号的拉氏变换
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抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换
16
双边拉氏变换收敛域 —
)()()( tuetutf t
0 )1(0 )()()( dtetudtetudtetf ttt
0 1
ss
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1
11
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3
不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的象函数。
18
)()()( tuetuetf btat
0 )(0 )()( dtedtedtetf tatbt
ba
baab,
ab?
收敛，存在双边拉氏变换没有收敛域。不存在双边拉氏变换
19
拉氏变换与傅氏变换的关系
dtetf tj?)(
因果
0
乘衰减因子
te
dtetf tj
0
)()(
js
0 )( dtetf st
dtetf st)(
js
dtetf tj
)()(
0
0)(
0
tf
t
20
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号
0)(
0
tf
t
)(tue at
a
a
t
)(tf
0)1( 0
as
sF
1)(
傅氏变换不存在，拉氏变换存在
j
21
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0tft
0)2( 0
)(tf
t
)(tue at?
a?
a
j
as
sF
1)( ajjF 1)(
js?
22
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0tft
0)3( 0 存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用,要包含奇异函数项。
)(tu
ssF
1)(? )(1)(
jjF
n
nnjs ksFjF )()()(
js?
K1=1
23
从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换
)(.s i n 0 tut?
)(.s i n)( 0 tuttf
LT
2
0
2
0)(
s
sF
n
nnjs ksFjF )()()(
00
2
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2
0 22)(
js
j
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2
)( 0022
0
0
jjF
2
0
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)()(
jjF
K2K1
24
系统的时域特征
以单位冲激信号 作为激励时，系统产生的零状态响应，记作 。
任意时域信号激励时系统的响应
)(t?
)(th
)(t?
)(th
)(*)()( thttr
)(th
)(te )(*)()( thtetr?
25
求 的经典方法和步骤
列系统微分方程
求微分方程的特征根
得齐次解
求各阶导数
代入微分方程
两边奇异函数的系数平衡，可求出系数
)(th
i?
)()(
1
1 tueAth
n
i
t
i
iA
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系统的复频域特征 — 系统函数
是 的拉氏变换
是系统输出和输入各自拉氏变换的比
)(sH
)(sH )(th
)(
)()(
sE
sRsH?
)(te )(sE )(tr)(sR
)(th
)(sH
)(sH
LT LT
LT
27
系统函数 的定义：
定义：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比叫系统函数或网络函数 。
)(sH
)(
)(
)(
sE
sR
sH?
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本章作业
4-1(4),(8),(12),(16),4-1(20)*,(24)*,(28)*
4-2(2),4-3(2) 4-3(4) *(6)*
4-4(4),(8),(12),4-4(16)*,(20)*
4-5(2),(4),4-5 (6)*
4-18,4-20,4-26*,4-22*
4-28(a) 4-28(b)*,
4-29(a)*(b)*
