第一学期第七次课第二章 §3线性方程组的理论课题
3.1.1齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组
令
，，…，，
则上述方程组即为
（*）
（其中0为零向量）。将（*）的解视为维向量，则所有解向量构成中的一个向量组，记为。
命题 中的元素（解向量）的线性组合仍属于（仍是解）。
证明 只需要证明S关于加法与数乘封闭。设，，则
,，
于是，故；又因为
，，所以。证毕。
定义（线性方程组基础解系） 齐次线性方程组（*）的一组解向量如果满足如下条件：
（1） 线性无关；
（2） 方程组（*）的任一解向量都可被线性表出，
那么，就称是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。
定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩；
证明 记线性方程组为，其中
，，…，
设的秩为，无妨设为其极大线性无关部分组，则皆可被线性表出,即存在，使得
即。于是中含有向量
.
只需要证明是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见，向量组线性无关。只需要再证明能线性表出任意一个即可。为此，需要证明引理：
引理 设线性无关，可被线性表出，则表示法唯一。
证明 设
，
两式相减，得到
.
由于线性无关，故各的系数皆为零，于是，即的表示法唯一。引理证毕。
现在回到定理的证明。设，则有
,（1）
考虑，则形如，且有
,（2）
记，则由引理，它可以被线性无关的向量组唯一地线性表示，于是由（1）、（2）两式可知
，
于是。这就证明了是解向量组的一个极大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕。
基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系。
例 求数域上的齐次线性方程组
的一个基础解系。
解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：
，
于是r，基础解系中有 r个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程组
移项，得
（1）、取，得一个解向量
；
（2）、取，得另一解向量
.
即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为
.
解毕。
非齐次线性方程组的解的结构设给定一个一般线性方程组
（*）
于是其系数矩阵和增广矩阵分别为
和
。
定理 (数域K上线性方程组有解的判别定理) 对于数域K上的线性方程组（*），若rr，则方程组无解；rr，则有唯一解；rr，则有无穷多解。
证明 写出线性方程组的向量形式，
，
其中
，。
若rr，则由矩阵秩的定义，可知列向量组的秩小于列向量的秩，即向量组的秩小于向量组的秩。只需证明不可以被向量组线性表出即可证明方程组无解。事实上，若可以将线性表出，则向量组与线性等价，则两个向量组的秩相等，矛盾于向量组的秩小于向量组的秩。所以不能将线性表出，方程组无解得证。
若rr，则的极大线性无关部分组就是的极大线性无关部分组。于是能被线性表出，即线性方程组有解。
任取线性方程组的一个解向量，记为，对于线性方程组的任意一个解向量，是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组（称为线性方程组（*）的导出方程组）的解向量。事实上，可以分别将和带入（*），再将对应方程相减，即可证明上述结论。反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量，都是线性方程组（*）的解向量。以记导出方程组的解向量组成的集合，则（*）的解为
.
详言之，记导出方程组的基础解系为，则（*）的解为：
.
如果rr，则，故方程组（*）有唯一解；如果rr，则为无穷集合，故方程组（*）有无穷多解。
3.1.1齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组
令
，，…，，
则上述方程组即为
（*）
（其中0为零向量）。将（*）的解视为维向量，则所有解向量构成中的一个向量组，记为。
命题 中的元素（解向量）的线性组合仍属于（仍是解）。
证明 只需要证明S关于加法与数乘封闭。设，，则
,，
于是，故；又因为
，，所以。证毕。
定义（线性方程组基础解系） 齐次线性方程组（*）的一组解向量如果满足如下条件：
（1） 线性无关；
（2） 方程组（*）的任一解向量都可被线性表出，
那么，就称是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。
定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩；
证明 记线性方程组为，其中
，，…，
设的秩为，无妨设为其极大线性无关部分组，则皆可被线性表出,即存在，使得
即。于是中含有向量
.
只需要证明是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见，向量组线性无关。只需要再证明能线性表出任意一个即可。为此，需要证明引理：
引理 设线性无关，可被线性表出，则表示法唯一。
证明 设
，
两式相减，得到
.
由于线性无关，故各的系数皆为零，于是，即的表示法唯一。引理证毕。
现在回到定理的证明。设，则有
,（1）
考虑，则形如，且有
,（2）
记，则由引理，它可以被线性无关的向量组唯一地线性表示，于是由（1）、（2）两式可知
，
于是。这就证明了是解向量组的一个极大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕。
基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系。
例 求数域上的齐次线性方程组
的一个基础解系。
解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：
，
于是r，基础解系中有 r个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程组
移项，得
（1）、取，得一个解向量
；
（2）、取，得另一解向量
.
即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为
.
解毕。
非齐次线性方程组的解的结构设给定一个一般线性方程组
（*）
于是其系数矩阵和增广矩阵分别为
和
。
定理 (数域K上线性方程组有解的判别定理) 对于数域K上的线性方程组（*），若rr，则方程组无解；rr，则有唯一解；rr，则有无穷多解。
证明 写出线性方程组的向量形式，
，
其中
，。
若rr，则由矩阵秩的定义，可知列向量组的秩小于列向量的秩，即向量组的秩小于向量组的秩。只需证明不可以被向量组线性表出即可证明方程组无解。事实上，若可以将线性表出，则向量组与线性等价，则两个向量组的秩相等，矛盾于向量组的秩小于向量组的秩。所以不能将线性表出，方程组无解得证。
若rr，则的极大线性无关部分组就是的极大线性无关部分组。于是能被线性表出，即线性方程组有解。
任取线性方程组的一个解向量，记为，对于线性方程组的任意一个解向量，是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组（称为线性方程组（*）的导出方程组）的解向量。事实上，可以分别将和带入（*），再将对应方程相减，即可证明上述结论。反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量，都是线性方程组（*）的解向量。以记导出方程组的解向量组成的集合，则（*）的解为
.
详言之，记导出方程组的基础解系为，则（*）的解为：
.
如果rr，则，故方程组（*）有唯一解；如果rr，则为无穷集合，故方程组（*）有无穷多解。
