第一学期第十二次课第三章 §1，§2 阶方阵的行列式
3.1.1平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质在解析几何中已证明，给定二维向量空间中的单位正交标架，设向量的坐标分别为和，则由向量张成的平行四边形的有向面积为，这里记为；给定三维空间内右手单位正交标架，设向量的坐标分别为、和，则由向量张成的平行六面体的有向体积为。
我们引入如下记号：对于二阶方阵，定义；对于三阶方阵，定义。
不难发现，（有向面积与有向体积）满足以下三条性质：
（1）、如果的某行或某列换为两个向量的线性组合，则，其中分别为把该行（列）换为所得的阶方阵；
（2）、如果不满秩，则；
（3）、当为单位矩阵时，。
3.1.2利用上述三条性质定义阶方阵的行列式函数的det
定义 线性函数若满足如下条件：对中任意向量(写成横排形式)以及K中任意数k，，都有
=+；=，
则称为上的一个行线性函数。
设满足如下条件对中任意向量（写成竖排形式）以及K中任意数k，，都有
；
，
则称为上的一个列线性函数。
同样地，行（列）线性函数的定义还可以写作
，有
=+和
。
容易证明它们与上面定义的等价性。
定义 反对称线性函数记号如上，若列线性函数f满足
，
则称f为列反对称函数。
定理 设为列线性函数，则下述四条等价：
i）、反对称；
ii）、；
iii）、；
iv）、若M不满秩，则。
证明 i）ii） 若反对称，则
，
于是。
ii）iii） 若，由于列线性，则

iii）iv） 若，则由已知，不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。若记M的列向量为，则必存在一个，满足，其中，于是
。
iv）ii） 矩阵不满秩，则。
ii）i） 若，则
，
于是
，
则有。证毕定义 函数被称为一个行列式函数，当且仅当满足下列3条性质：
1、列线性；
2、反对称；
3、。
2.3.3行列式函数的存在性与唯一性引理 设和为烈现行反对称函数，。则若经过相同的初等列变换化为和，则
。
证明 由初等变换的可逆性，只需证“”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。
定理 行列式函数存在且唯一。
证明 首先证明若行列式函数存在，则唯一。设是行列式函数，若A不满秩，则；若A满秩，则可以经过初等列变换化为,，于是由引理，即和在上取值相等，于是。唯一性证毕。
再证明行列式函数的存在性。定义函数det如下：设，定义
；
设在集合内函数已定义，那么，对
，
定义其中表示划去A的第i行和第j列后所剩的n-1阶方阵的值，为。
用记号来代表，如果，可以写成

下面要证明上述定义的函数是行列式函数，从而说明了行列式函数的存在性。
对作归纳，可分别证明； 是列线性函数和反对称，于是是行列式函数。
命题 行列式函数是行线性函数。
证明 对作归纳。
3.2.4行列式的六条性质命题 行列式函数满足以下六条性质：
1、；
2、，
类似地，对行向量，有
；
3、若A的某列（行）为两列（行）之和，则为两个相应的行列式之和；
4、A不满秩，则，特别地，A有两行（列）相等，则；
5、将A的一行（列）的若干倍加到B的另一行（列）上去，行列式值不变；
6、两行（列）互换，行列式反号。