第一学期第十七次课第四章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的基本概念
4.1.1线性空间的定义及例
1、线性空间的定义定义4.1 线性空间设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”，
且“+”与“”满足如下性质：
加法交换律 ，有；
加法结合律 ，有；
存在“零元”，即存在，使得；
存在负元，即，存在，使得；
“1律” ；
数乘结合律 ，都有；
分配律 ，都有；
分配律 ，都有，
则称V为K上的一个线性空间，我们把线性空间中的元素称为向量。注意：线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。
2、零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4.1 零元素唯一，任意元素的负元素唯一。
证明：
设与均是零元素，则由零元素的性质，有
；
，设都是的负向量，则
，
于是命题得证。由于负向量唯一，我们用代表的负向量。
定义4.2 减法
我们定义二元运算减法“-”如下：
定义为。
命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质：
加法满足消去律 ；
可移项 ；
可以消因子 且，则；
。
3、线性空间的例子例4.1
令V表示在上可微的函数所构成的集合，令，V中加法的定义就是函数的加法，关于K的数乘就是实数遇函数的乘法，V构成K上的线性空间。
4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性无关组定义4.3 线性组合给定V内一个向量组，又给定数域K内s个数，称为向量组的一个线性组合；
定义4.4 线性表出给定V内一个向量组，设是V内的一个向量，如果存在K内s个数，使得，则称向量可以被向量组线性表出。
定义4.5 向量组的线性相关与线性无关给定V内一个向量组，如果对V内某一个向量，存在数域K内不全为零的数，使得
，则称向量组线性相关；
若由方程必定推出
，则称向量组线性无关。
命题4.3 设，则下述两条等价：
1）线性相关；
2）某个可被其余向量线性表示。
证明同向量空间。
定义4.6 线性等价给定V内两个向量组
（Ⅰ），
（Ⅱ），
如果（Ⅰ）中任一向量都能被（Ⅱ）线性表示，反过来，（Ⅱ）中任一向量都能被（Ⅰ）线性表示，则称两向量组线性等价。
定义4.7 极大线性无关部分组给定V内一个向量组，如果它有一个部分组满足如下条件：
（i）、线性无关；
（ii）、原向量组中任一向量都能被线性表示，
则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。
由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成立。
定义4.8 向量组的秩一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量，其向量数目成为该向量组的秩。
例4.2 求证：向量组的秩等于2（其中）
证明：
方法一：
设，满足，则，假若不全为零，不妨设，则有，而由于，等号左边为严格单调函数，矛盾于等号右边为常数。于是
。
所以线性无关，向量组的秩等于2。
证毕。
方法二：若在上，
两端求导数，得
，
以代入，
而，
于是。
证毕。
§1 线性空间的基本概念
4.1.1线性空间的定义及例
1、线性空间的定义定义4.1 线性空间设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”，
且“+”与“”满足如下性质：
加法交换律 ，有；
加法结合律 ，有；
存在“零元”，即存在，使得；
存在负元，即，存在，使得；
“1律” ；
数乘结合律 ，都有；
分配律 ，都有；
分配律 ，都有，
则称V为K上的一个线性空间，我们把线性空间中的元素称为向量。注意：线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。
2、零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4.1 零元素唯一，任意元素的负元素唯一。
证明：
设与均是零元素，则由零元素的性质，有
；
，设都是的负向量，则
，
于是命题得证。由于负向量唯一，我们用代表的负向量。
定义4.2 减法
我们定义二元运算减法“-”如下：
定义为。
命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质：
加法满足消去律 ；
可移项 ；
可以消因子 且，则；
。
3、线性空间的例子例4.1
令V表示在上可微的函数所构成的集合，令，V中加法的定义就是函数的加法，关于K的数乘就是实数遇函数的乘法，V构成K上的线性空间。
4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性无关组定义4.3 线性组合给定V内一个向量组，又给定数域K内s个数，称为向量组的一个线性组合；
定义4.4 线性表出给定V内一个向量组，设是V内的一个向量，如果存在K内s个数，使得，则称向量可以被向量组线性表出。
定义4.5 向量组的线性相关与线性无关给定V内一个向量组，如果对V内某一个向量，存在数域K内不全为零的数，使得
，则称向量组线性相关；
若由方程必定推出
，则称向量组线性无关。
命题4.3 设，则下述两条等价：
1）线性相关；
2）某个可被其余向量线性表示。
证明同向量空间。
定义4.6 线性等价给定V内两个向量组
（Ⅰ），
（Ⅱ），
如果（Ⅰ）中任一向量都能被（Ⅱ）线性表示，反过来，（Ⅱ）中任一向量都能被（Ⅰ）线性表示，则称两向量组线性等价。
定义4.7 极大线性无关部分组给定V内一个向量组，如果它有一个部分组满足如下条件：
（i）、线性无关；
（ii）、原向量组中任一向量都能被线性表示，
则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。
由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成立。
定义4.8 向量组的秩一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量，其向量数目成为该向量组的秩。
例4.2 求证：向量组的秩等于2（其中）
证明：
方法一：
设，满足，则，假若不全为零，不妨设，则有，而由于，等号左边为严格单调函数，矛盾于等号右边为常数。于是
。
所以线性无关，向量组的秩等于2。
证毕。
方法二：若在上，
两端求导数，得
，
以代入，
而，
于是。
证毕。
