第一学期第二十三次课第四章 §3线性映射与线性变换
4.3.1线性映射的定义定义 设为数域上的线性空间，为映射，且满足以下两个条件：
i）、；
ii）、，
则称为（由到的）线性映射，
由数域上的线性空间到的的线性映射的全体记为Hom，或简记为Hom。
定义中的i）和ii）二条件可用下述一条代替：
。
例 是上的线性空间，也是上线性空间，取定一个上的矩阵，定义映射
则是由到的线性映射。
例 考虑区间上连续函数的全体，它是上的线性空间，令
再令
则是由到的一个线性映射。
定义 设是线性映射
i）、如果是单射，则称是单线性映射（monomorphism）；
ii）、如果是满射，则称是满线性映射（endmorphism）；
iii）、如果既单且满，则称为同构映射（简称为同构，isomorphism），并说与是同构的，同构映射也称为线性空间的同态（homomorphism），同构映射的逆映射也是同构映射；
iv）、的核（kernel）定义为；
v）、的像（image）定义为，也记为；
命题 和是的子空间。
证明 容易证明它们关于加法和数乘封闭。
vi）、的余核定义为。
命题 线性映射是单的当且仅当ker，是满的当且仅当coker。
定理（同态基本定理） 设是数域上的线性空间的满线性映射，则映射
是同构映射。
证明 首先证明是良定义，即若，则。由于，存在，使得。于是，即。
再证明是线性映射。，，。
易见是满射，且有。只要再证明是单射即可，即证明。设，则，于是，即有。证毕。
命题 设是线性映射，，则下述三条等价：
i）、单；
ii）、将中任意线性无关组映为中的线性无关组；
iii）、。
证明 i）ii）若线性无关，则令，由线性映射的定义，。单，于是，则，ii）成立；ii）iii）若取的一组基，则由已知,线性无关，而中任意向量可以被线性表出，于是构成的一组基，iii）成立；iii）i）由同态基本定理知，于是，即有。证毕。
4.3.1线性映射的定义定义 设为数域上的线性空间，为映射，且满足以下两个条件：
i）、；
ii）、，
则称为（由到的）线性映射，
由数域上的线性空间到的的线性映射的全体记为Hom，或简记为Hom。
定义中的i）和ii）二条件可用下述一条代替：
。
例 是上的线性空间，也是上线性空间，取定一个上的矩阵，定义映射
则是由到的线性映射。
例 考虑区间上连续函数的全体，它是上的线性空间，令
再令
则是由到的一个线性映射。
定义 设是线性映射
i）、如果是单射，则称是单线性映射（monomorphism）；
ii）、如果是满射，则称是满线性映射（endmorphism）；
iii）、如果既单且满，则称为同构映射（简称为同构，isomorphism），并说与是同构的，同构映射也称为线性空间的同态（homomorphism），同构映射的逆映射也是同构映射；
iv）、的核（kernel）定义为；
v）、的像（image）定义为，也记为；
命题 和是的子空间。
证明 容易证明它们关于加法和数乘封闭。
vi）、的余核定义为。
命题 线性映射是单的当且仅当ker，是满的当且仅当coker。
定理（同态基本定理） 设是数域上的线性空间的满线性映射，则映射
是同构映射。
证明 首先证明是良定义，即若，则。由于，存在，使得。于是，即。
再证明是线性映射。，，。
易见是满射，且有。只要再证明是单射即可，即证明。设，则，于是，即有。证毕。
命题 设是线性映射，，则下述三条等价：
i）、单；
ii）、将中任意线性无关组映为中的线性无关组；
iii）、。
证明 i）ii）若线性无关，则令，由线性映射的定义，。单，于是，则，ii）成立；ii）iii）若取的一组基，则由已知,线性无关，而中任意向量可以被线性表出，于是构成的一组基，iii）成立；iii）i）由同态基本定理知，于是，即有。证毕。
