第一学期第十八次课
4.1.3 线性空间的基与维数，向量的坐标
设V是数域K上的线性空间，
定义4.9 基和维数如果在V中存在n个向量，满足：
1）、线性无关；
2）、V中任一向量在K上可表成的线性组合，
则称为V的一组基。
基即是V的一个极大线性无关部分组。
基的个数定义为线性空间的维数。
命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间，而。若V中任一向量皆可被线性表出，则是V的一组基。
证明：由与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等。
命题4.5 设V为K上的n维线性空间，，则下述两条等价：
1）、线性无关；
2）、V中任一向量可被线性表出。
定义4.10 向量的坐标设V为K上的n维线性空间，是它的一组基。任给，由命题,可唯一表示为的线性组合，即，使得
，
于是我们称为在基下的坐标。
易见，在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系。