第一学期第二十次课
4.2.2子空间的交与和，生成元集定义4.13 设，则是V的一个子空间，称为由生成的子空间，记为。易见，生成的子空间的维数等于的秩。
定义4.14 子空间的交与和设为线性空间V/K的子空间，定义
，称为子空间的交；
，称为子空间的和。
命题4.9 和都是V的子空间。
证明：
由命题,只需要证明和关于加法与数乘封闭即可。
事实上，，则，。由于均是V的子空间，则，于是，关于加法封闭，，，，于是，关于数乘封闭；，则由的定义，，使得，而，则
，关于加法封闭，
，，使得，由于，则，关于数乘封闭。
证毕。
命题4.10 设是V的子空间，则和均为V的子空间。
4.2.3 维数公式。
定理4.1 设V为有限维线性空间，为子空间，则
。
这个定理中的公式被称为维数公式。
证明,
设，，，，
取的一组基（若=0，则，基为空集）
将此基分别扩充为的基
，
，
只需要证明是的一组基即可。
首先，易见中的任一向量都可以被线性表出。事实上，，则，其中，
而


于是可被线性表出。只要再证明向量组线性无关即可。
设，
其中
则
，（*）
于是
，
，
于是，记为。
则可被线性表示，则
，
带入（*），有
，
由于是的一组基，所以线性无关，则
，
带回（*），又有
，
于是向量组线性无关。
证毕。
推论2.1 设都是有限为线性空间V的子空间，则：
。
证明：对t作归纳。