第一学期第十次课
2.5.2可逆矩阵，方阵的逆矩阵
1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义定义 设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B，使
，
则称B是A的一个逆矩阵，此时A称为可逆矩阵。
2、群和环的定义定义 设A是一个非空集合。任意一个由到A的映射就成为定义在A上的代数运算。
定义 设G是一个非空集合。如果在G上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作，而且它适合以下条件，那么就成为一个群：
乘法满足结合律对于G中的任意元素a,b,c有 ；
存在单位元素，对于任意，满足 ；
对于任意，存在，使得 。
关于群的性质，我们有如下命题：
命题 对于任意，同样有
证明 对于，存在，使得，
，
两端右乘，得到
。
命题 对于任意，同样有
证明 。
命题 单位元素唯一证明 假设存在，均是单位元素，则。
命题 对于任意，存在唯一，使得 ，于是元素就称为的逆元素，记为。
证明 设存在，满足条件，则
。
易知，。
命题 对于G中的任意元素a,b，方程有唯一解。
定义 一个群G称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算满足交换律，即对于任意，都有。
定义 设L是一个非空集合，在L上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为a+b，一个叫乘法，记为ab。如果具有性质：
（1）、L关于加法成为一个交换群；
（2）、乘法满足结合律，即
，有；
（3）、乘法关于加法满足分配律，即，有
那么L就称为一个环。
命题 数域上的阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为上的一般线性群，记为GL；数域上的阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为上的全矩阵环，记为M；
证明 按定义逐项验证即可。其中GL中乘法的单位元是n阶单位矩阵，而M中加法的单位元是n阶零方阵。
命题
证明 ，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。
命题 假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B，则是的逆矩阵。
证明 只需要证明即可。
事实上，
，
于是命题得证。
命题 矩阵可逆当且仅当满秩；
证明 必要性 若n阶方阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得，于是有
，于是；
充分性 若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上，；；，所以由命题 。证毕。
2.5.3用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程和的解法（为可逆阵）
用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵如果A可逆，则A满秩。于是A可以经过初等行变换化为对角形，即
，则。
于是，对单位矩阵做与把A化为标准形相同的初等行变换（由矩阵乘法和初等变换的等价性可以知道这是可行的）就可以得到A的逆矩阵，不妨把可逆矩阵A和单位矩阵E并在一起，得到，对A进行初等行变换，将其化为对角形，即得到；
同样地，将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状
，
进行初等列变换，同样可以得到。
2、关于矩阵方程和的解法（其中为可逆阵）
a、关于矩阵方程，其中A是一个矩阵，X和B是矩阵。
由关于群性质，可以知道，于是将A和B并排拼成一个矩阵，进行初等行变换，将A化为单位矩阵，于是可以得到；
b、关于矩阵方程，其中A是一个矩阵，X和B是矩阵。 同样地，我们将A和B拼为，可以得到方程的解。
例 设和为数域上的和矩阵，则
rr+r
证明 存在和初等矩阵，使得，其中D为A在初等变换的下标准形，记为的秩。令,则。Q和P均为满秩方阵，则
，
记为，则
=，
于是的秩为前s个行向量的秩。而可以被前s个行向量的极大线性无关部分组和的后n-s个向量线性表示，于是
，
于是
。
证毕。
2.5.2可逆矩阵，方阵的逆矩阵
1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义定义 设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B，使
，
则称B是A的一个逆矩阵，此时A称为可逆矩阵。
2、群和环的定义定义 设A是一个非空集合。任意一个由到A的映射就成为定义在A上的代数运算。
定义 设G是一个非空集合。如果在G上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作，而且它适合以下条件，那么就成为一个群：
乘法满足结合律对于G中的任意元素a,b,c有 ；
存在单位元素，对于任意，满足 ；
对于任意，存在，使得 。
关于群的性质，我们有如下命题：
命题 对于任意，同样有
证明 对于，存在，使得，
，
两端右乘，得到
。
命题 对于任意，同样有
证明 。
命题 单位元素唯一证明 假设存在，均是单位元素，则。
命题 对于任意，存在唯一，使得 ，于是元素就称为的逆元素，记为。
证明 设存在，满足条件，则
。
易知，。
命题 对于G中的任意元素a,b，方程有唯一解。
定义 一个群G称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算满足交换律，即对于任意，都有。
定义 设L是一个非空集合，在L上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为a+b，一个叫乘法，记为ab。如果具有性质：
（1）、L关于加法成为一个交换群；
（2）、乘法满足结合律，即
，有；
（3）、乘法关于加法满足分配律，即，有
那么L就称为一个环。
命题 数域上的阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为上的一般线性群，记为GL；数域上的阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为上的全矩阵环，记为M；
证明 按定义逐项验证即可。其中GL中乘法的单位元是n阶单位矩阵，而M中加法的单位元是n阶零方阵。
命题
证明 ，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。
命题 假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B，则是的逆矩阵。
证明 只需要证明即可。
事实上，
，
于是命题得证。
命题 矩阵可逆当且仅当满秩；
证明 必要性 若n阶方阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得，于是有
，于是；
充分性 若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上，；；，所以由命题 。证毕。
2.5.3用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程和的解法（为可逆阵）
用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵如果A可逆，则A满秩。于是A可以经过初等行变换化为对角形，即
，则。
于是，对单位矩阵做与把A化为标准形相同的初等行变换（由矩阵乘法和初等变换的等价性可以知道这是可行的）就可以得到A的逆矩阵，不妨把可逆矩阵A和单位矩阵E并在一起，得到，对A进行初等行变换，将其化为对角形，即得到；
同样地，将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状
，
进行初等列变换，同样可以得到。
2、关于矩阵方程和的解法（其中为可逆阵）
a、关于矩阵方程，其中A是一个矩阵，X和B是矩阵。
由关于群性质，可以知道，于是将A和B并排拼成一个矩阵，进行初等行变换，将A化为单位矩阵，于是可以得到；
b、关于矩阵方程，其中A是一个矩阵，X和B是矩阵。 同样地，我们将A和B拼为，可以得到方程的解。
例 设和为数域上的和矩阵，则
rr+r
证明 存在和初等矩阵，使得，其中D为A在初等变换的下标准形，记为的秩。令,则。Q和P均为满秩方阵，则
，
记为，则
=，
于是的秩为前s个行向量的秩。而可以被前s个行向量的极大线性无关部分组和的后n-s个向量线性表示，于是
，
于是
。
证毕。
