第一学期第十九次课
4.1.4线性空间的基变换，基的过渡矩阵设V/K是n维线性空间，设和是两组基，且

将其写成矩阵形式
，
定义4.11 我们称矩阵

为从到的过渡矩阵。
命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基。T是K上一个n阶方阵。命

则有是V/K的一组基，当且仅当T可逆。
证明：
若是线性空间V/K的一组基，则线性无关。
考察同构映射
（标字打不上去，我不知道为什么）
构造方程
，其中，
，
，
。
于是线性无关。
构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；
反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程
，其中，
两边用作用，得到
。
，
证毕。
4.1.5向量的坐标变换公式；中的两组基的过渡矩阵
1、向量的坐标变换公式设V/K有两组基为和，
又设在下的坐标为，即
，
在下的坐标为，即
。
现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即

记
，，
于是
。
于是，由坐标的唯一性，可以知道，这就是坐标变换公式。
2、中两组基的过渡矩阵的求法我们设中两组基分别为

和

而

按定义，T的第i个列向量分别是在基下的坐标。
将和看作列向量分别排成矩阵
；
，
则有
，
将A和B拼成分块矩阵，利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E，则右边出来的就是过渡矩阵T，示意如下：
（“变换”两个字打不上去）
§2 子空间与商空间
4.2.1线性空间的子空间的定义定义4.12 子空间设V是数域K上的一个线性空间，M时V的一个非空子集。如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间，则称为V的一个子空间。
命题4.7 设V是K上的线性空间，又设一个非空集合，则是子空间当且仅当下述两条成立：
i）、对减法?封闭；
ii）、对于K中元素作数乘封闭。
证明：
必要性由定义直接得出；
充分性：
各运算律在V中已有，所以W满足运算律的条件。
只需要证明且对于任意，，且对加法封闭即可。
事实上，由于关于数乘封闭，则；，于是对于
，，W关于加法封闭。于是W是V的一个子空间。
证毕。
事实上，W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论。
命题4.8 设W是V的一个有限维子空间，则W的任一组基可以扩充为V的一组基。
证明：
设，，，
若，则命题为真；
若，对作归纳：
设为W的一组基，取，则线性无关。于是令，易见，W’是V的一个子空间，且，此时，对其用归纳假设即可。