第一学期第二十一次课第四章 §2子空间与商空间
4.2.4子空间的直和与直和的四个等价定义定义 设V是数域K上的线性空间，是V的有限为子空间。若对于中任一向量，表达式
是唯一的，则称为直和，记为
或。
定理 设为数域K上的线性空间V上的有限为子空间，则下述四条等价：
1）、是直和；
2）、零向量表示法唯一；
3）、；
4）、。
证明 显然。 设则
。
由2）知，零向量的表示法唯一，于是
，
即的表示法唯一。由直和的定义可知，是直和。 假若存在某个，使得，则存在向量且，于是存在，使得
。
由线性空间的定义，
，
则，与零向量的表示法唯一矛盾，于是
。
若2）不真，则有
，
其中且。于是
，
与3）矛盾，于是2）成立。 对m作归纳。m=2时，由维数公式得到
。
设已证，
而，都有；
用归纳假设，可以得到；
，都有
，
于是。证毕。
推论 设为V的有限维子空间，则下述四条等价：
i）、是直和；
ii）、零向量的表示法唯一；
iii）、；
iv）、。
4.2.5直和因子的基与直和的基命题 设，则的基的并集为V的一组基。
证明 设是的一组基，则V中任一向量可被线性表出。又，由命题,它们线性无关，于是它们是V的一组基。 证毕。
4.2.6补空间的定义及存在性定义 设为V的子空间，若子空间满足，则称为的补空间。
命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间。
证明 设为K上的n为线性空间V的非平凡子空间，取的一组基，将其扩为V的一组基取，则有
，且，
于是，即是的补空间。证毕。
4.2.4子空间的直和与直和的四个等价定义定义 设V是数域K上的线性空间，是V的有限为子空间。若对于中任一向量，表达式
是唯一的，则称为直和，记为
或。
定理 设为数域K上的线性空间V上的有限为子空间，则下述四条等价：
1）、是直和；
2）、零向量表示法唯一；
3）、；
4）、。
证明 显然。 设则
。
由2）知，零向量的表示法唯一，于是
，
即的表示法唯一。由直和的定义可知，是直和。 假若存在某个，使得，则存在向量且，于是存在，使得
。
由线性空间的定义，
，
则，与零向量的表示法唯一矛盾，于是
。
若2）不真，则有
，
其中且。于是
，
与3）矛盾，于是2）成立。 对m作归纳。m=2时，由维数公式得到
。
设已证，
而，都有；
用归纳假设，可以得到；
，都有
，
于是。证毕。
推论 设为V的有限维子空间，则下述四条等价：
i）、是直和；
ii）、零向量的表示法唯一；
iii）、；
iv）、。
4.2.5直和因子的基与直和的基命题 设，则的基的并集为V的一组基。
证明 设是的一组基，则V中任一向量可被线性表出。又，由命题,它们线性无关，于是它们是V的一组基。 证毕。
4.2.6补空间的定义及存在性定义 设为V的子空间，若子空间满足，则称为的补空间。
命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间。
证明 设为K上的n为线性空间V的非平凡子空间，取的一组基，将其扩为V的一组基取，则有
，且，
于是，即是的补空间。证毕。
