第一学期第三十次课
5.1.3线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义定义 若为上的双线性函数且，则称为上的对称双线性函数。
命题 为对称双线性函数，当且仅当在任意一组基下的矩阵为对称矩阵，当且仅当在某一组基下的矩阵为对称矩阵。
证明 任取的一组基，任取，设它们在此组基下的坐标所构成的列向量分别为和，在此组基下的矩阵记为，若为对称双线性函数，则由定义，，于是，即有，双线性，则；反过来，若在任意一组基下的矩阵为对称矩阵，则，第一个充要性得证。
若在某组基下的矩阵为对称矩阵，记为，任取的另一组基，设从到的过渡矩阵为，则在下的矩阵为，且，第二个充分必要性得证。证毕。
定理 数域上的维线性空间上的对称双线性函数的矩阵必合同于对角阵。
证明 对作归纳。时命题成立。假设时成立，对于维线性空间，若对称双线性函数恒等于零，则命题成立。若不恒等于零，则存在，使得。否则若，均有，则，,对称，则，与非零矛盾。取该，即满足。将其扩充为的一组基，记为。，则，于是在下的矩阵为
，
取子空间，将视为其上的对称线性函数，则由归纳假设，存在一组基使得在此组基上的矩阵成对角形，于是易知在下的矩阵成对角形。证毕。
定义 设是内的一个对称双线性函数，我们定义，称为决定的二次型函数。如果在内取定一组基，又令，，于是
（）
上式称为二次型函数在下的解析表达式。由定义可见，对称双线性函数与二次型函数一一对应。
第五章 §2 二次型
5.2.1数域上的二次型的定义，二次型对应的二次型函数的定义；二次型的矩阵和秩的定义定义 设是数域上的对称双线性函数，其中和分别为和在某组基下的坐标，。取，则，称为上的一个元二次型（即是一个二次齐次函数），其系数矩阵

称为此二次型的矩阵，的秩称为此二次型的秩。而称为二次型函数。
定理 数域上的元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形。
5.2.2二次型化为标准形的计算方法（配方法）
分两种情况进行讨论。
（1）、二次型种由某个变量平方项的系数不为零，例如，此时把二次型对进行配方得

作变数替换

反解为

写成矩阵形式
。
经过变数替换，二次型化作
，
然后再对上式右边的个变量继续进行计算。如果，而某个，则对配方。
（2）、所有（），而有一个（），则作变数替换

这就可以把二次型化为第一种情况。