北京大学：高等代数：2-08

第二学期第八次课
设A是n维酉空间V内的线性变换,如果V内的线性变换A
满足

,

V,有
(A
,
)=(
,A

)
则称A
是A的共轭变换,A
为A的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置.
共轭变换的五条性质:
1)E
=E
2)(A
)
= A
3)(kA)
=
A

4)(A+B)
=A
+B

5)(AB)
=B
A

如果A
= A,则称A是一个厄米特变换.
设A是n阶复矩阵,如果
=A,则称A是一个厄米特矩阵.
n个复变量
的二次齐次函数

(
)
称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。
（酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.）
如果A
A= A A
,则称A为一个正规变换.
（将酉变换的性质推广，有一般的结果：）
命题 酉空间V上的线性变换A的不变子空间M的正交补
是共轭变换A
的不变子空间.
证明


M,


,有
(
,A

)=(A
,
)=0
这表明A



.
命题 酉空间上的正规变换A的属于特征值
的特征向量
的是共轭变换A
的属于特征值
的特征向量.
证明 按假设,有A
=

则
(A

-

,A

-

)=((A-
E)

,A

-

)
=(
,(A-
E)(A-
E)

)
=(
,(A-
E)
(A-
E)
)
=(
,0)=0
从而A

=

.
命题 酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交.
证明 设A
=

,A
=

则

(
,
)=(A
,
)=(
,A

)=(
,

)=
(
,
)
必有(
,
)=0.
定理
维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
证明 对维数n做数学归纳法.
推论
维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
命题 厄米特变换的特征值都是实数.
证明 若A
=

,则

=A

=A
=



=


是实数.
推论
维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵.
定理 厄米特二次型
在适当的酉变数替换下可以化为标准形


其中
都是实数.
证明 f的矩阵A是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使


为实对角矩阵.令X=UY,即可.
（推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换）
数域
上的
维线性空间
的任一满秩双线性函数
都可以定义
上的度量（以及一组基的度量矩阵
）；在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正交变换:
设A是V上线性变换,如果存在线性变换A
,使
f(A
,
)=f(
,A

)

,

V
则称A
是A的(关于f的)共轭变换.
如果线性变换A满足
f(A
,A
)=f(
,
)

,

V
则称A为(关于f的)正交变换.
在给定的基（度量矩阵为
）下一个线性变换A（矩阵为
）的共轭变换的矩阵
，（这是因为f(A
,
)=f(
,A

)

,从而
）
如果A是正交变换，A的共轭变换等于A
。(因为f(
,
)=f(A
,A
)=f(
,A
A
)
故f(
,(A
A-E)
)=0,由f非退化知A
A= E.).