第二学期第十次课第七章 线性变换的Jordan标准型
§1幂零线性变换的Jordan标准型
A是数域K上n维线性空间V上的线性变换,如果存在正整数m,使A=0,则称A是一个幂零线性变换.
对数域K上n阶方阵A,如果存在正整数m,使=0,则称A为幂零矩阵.
命题 幂零线性变换的特征值等于0.
证明 设是V上幂零线性变换A的特征值,则存在V中非零向量,使得
A=
假设=0,则
A==0
从而=0,=0.
设A是数域K上n维线性空间V上的一个幂零线性变换.取V中任意非零向量,则存在最小的正整数k,使得A0,但A=0.可以证明:向量组,A,…,A是线性无关的.令I()=L(,A,…,A),则I()为A的一个不变子空间,且dim I()=k.称I()为A的循环不变子空间.A限制在I()中,在基A,…,A,下的矩阵为

定义 形如
,
的准对角矩阵称为Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵称为Jordan块.
命题 数域上的维线性空间V上的幂零线性变换A在某组基下的矩阵可以成为Jordan形的充分必要条件是可以分解为A的循环不变子空间的直和.
证明 必要性 设A在某组基下的矩阵可以成为Jordan形,则V可分解为A的不变子空间的直和:

且在内存在一组基,使A限制在内在此基下的矩阵为

这表明=I(),即为A的循环不变子空间.
充分性 若 ,在每个I()内选取基A,…，A,.则它们合并为V的一组基,在此组基下A的矩阵即为Jordan形矩阵.
定理 数域上的维线性空间V上的幂零线性变换A在某组基下的矩阵可以成为Jordan形。
证明 只用证V可以分解为A的循环不变子空间的直和.对n作数学归纳法.