第二学期第五次课第六章 §2欧氏空间中特殊的线性变换(续)
命题 正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1.
证明 设C是正交矩阵A的特征多项式的根,则0.齐次线性方程组(E-A)X=0
在C内有非零解向量
=
显然A==1从而||=1.
推论 正交矩阵的特征值只能是1.
命题 设A是维欧氏空间上的正交变换，若A的特征多项式有一个根e，则在内存在互相正交的单位向量，使得
A 
A 
证明见课本22-23页.
命题 维欧氏空间V上的正交变换A的不变子空间M的正交补仍是不变子空间.
证明 取V的一组标准正交基,使是M的标准正交基,而是的标准正交基.由A,…，A仍是V的标准正交基,及A(i=1,2,…r) 可知A(j=r+1,…,n).于是仍是不变子空间.
定理 设A是维欧氏空间上的正交变换，则A在的某组标准正交基下的矩阵呈准对角形，其主对角线由和如下的二阶子阵组成：

证明 对n做数学归纳法.