第二学期第十一次课第七章 §2一般线性变换的Jordan标准型
定义 形如
,
的准对角矩阵称为Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵称为Jordan块.
定理 设A是数域上的维线性空间上的线性变换,如果A的特征值全属于，则A在的某组基下的矩阵为Jordan形，并且在不计Jordan块的意义下Jordan形是唯一的.
证明:对n作数学归纳法.
定理 设是数域上的阶方阵,如果的特征值全属于，则在上相似于Jordan形矩阵，并且在不计Jordan块顺序的意义下Jordan形是唯一的.
证明:此定理就是上一定理用矩阵的语言叙述出来.
Jordan 标准形的计算方法:
设A是数域上的维线性空间上的线性变换,为求出A的Jordan标准型(假设存在),可按如下步骤进行:
先求A在的一组基下的矩阵A;
求出A的全部不同特征值(假设都属于数域K);
对每个,令,由公式

计算出以为特征值,阶为l的Jordan块个数.从A的Jordan形J的特征多项式容易看出:以为特征值的Jordan块的阶数之和等于特征值的重数,由此可知是否已找出全部特征值为的Jordan块;或者从等于J中以为特征值而阶l+1的Jordan块的个数这一点作出判断;
4)将所获得的Jordan块按任意次序排列成准对角形J,即为所求.