第二学期第二十次课
§2 上多项式的因式分解
9.2.1 复数域、实数域上多项式的因式分解定理（高等代数基本定理） 复数域上任意一个次数的多项式在内必有一个根。
这个定理的证明是放在复变函数课程中完成的。
由高等代数基本定理，我们得到内多项式的因式分解的重要结论：
命题 内一个次数的多项式是不可约多项式的充分必要条件为它是一次多项式。
证明 在任一数域上的一次多项式都是内的不可约多项式（因为）。现在假设是内的一个不可约多项式，如果，则根据高等代数基本定理，它必有一个复根，于是。设，其中，这与是不可约多项式矛盾。故必定有。
由这个命题，我们得到下面的重要定理：
定理 内任一非零多项式可唯一的分解成

其中为的首项系数，为在内两两不同的根，它们的重数分别是，显然。
下面我们来研究内多项式的因式分解命题 内的首一不可约多项式仅有以下两类：
一次多项式；
二次多项式。
证明 首先说明：上述两类多项式在内都不可约。
的不可约性是显然的。现设。如果在内可约，它在内应有一个一次因子，于是又一个实根，这与它的判别式矛盾。故在内不可约。
现设是内任一首一不可约多项式。如果，则。
下面设，此时没有实根。设是它的一个复根。于是，在内有，于是有

但，故，从而由上式推出，于是有

而因，由此，。但另一方面，是内任一首一不可约多项式，故。于是

因无实根，故。这就证明了原命题。
由这个命题，我们得到下面的重要定理：
定理 内一个非零多项式可唯一的分解成

其中，为的互不相同的全部实根，重数分别为；而。