第二学期第二十二次课
§3 实系数多项式根的分布
9.3.1 复系数多项式的根的绝对值的上界命题 设，其中而。令
则对的任一复根，有。
证明 如果，则，命题成立。下面设。
如果，那么，因为，故有
现在，故从上式立刻得到
两边消去，得，矛盾。
由该命题，我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为：。
斯图姆定理名词 给定实数序列
将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察，如果相邻两数异号，则成为一个变号；变号的总数称为该序列的变号数。
又给定实系数多项式的序列
（1）
对，实系数序列的变号数称为多项式序列（1）在处的变号数，记作。相应地，我们把称为多项式序列（1）的变号数函数。
定义9.14 （斯图姆序列） 现设是一个次数的无重根的实系数多项式。 实系数多项式序列
（2）
如果满足下列条件：
相邻两个多项式没有公共根；
最后一个多项式没有实根；
如果某个相邻中间多项式有一个实根，则；
如果是的实根，则在的一个充分小的邻域内为递增函数，
则称序列（2）为的一个斯图姆序列。
定理（斯图姆定理）设是一个无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（2）。以表（2）的变号数函数。设是两个实数，它们不是的根，且，则在区间内实根的个数等于。
证明 将斯图姆序列（2）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如下：。
因为在区间内（2）中任一多项式都无实根，因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内，为常数。下面我们只要证明：
如果不是的根，则在左右两边的函数值相等；
如果是的根，则在左端的函数值比右端的函数值大1。
对每个，我们来考察斯图姆序列（2）中如下两种类型的小段：
（a）不是（2）中个连续多项式
（3）
的根，由于实系数多项式为数轴上的连续函数，按连续函数的性质知，在的一个邻域内（3）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（3）的变号数函数为常数。
（b）是（3）中间某个多项式的根，考察（3）的小段
（4）
按斯图姆序列的条件（i）和（iii），此时不是的根，且
有连续函数的性质知，在的一个邻域内恒有，于是在此邻域内（4）的变号函数恒等于1，也是常数。
现设不是的根。这时序列（2）中任意两个相邻多项式或属于类型（3）的小段，或属于类型（4）的小段，又由斯图姆序列的条件（i）知这两类型的小段无重迭（但左端或右端的多项式可以相同），根据上面（a）、（b）的讨论在每个小段变号数函数在邻域内都是常数，（2）的变号数函数为每个小段变号数函数之和，从而在的邻域内为常数，即左端与右端的函数值相等。
如果为的根。这时序列（2）中仅有不属于上述（3）（4）类型，故只需考察序列的变号数在左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件（iv），乘积在的某邻域内为增函数。我们已知，故在左端异号，即有一个变号，而在的右端同号，即无变号。现在不管是不是（2）中某个多项式的根，根据上一段的讨论，它们对邻域内的值没有影响。由此知此时左端的值比右端的大1。
现在让从向运动，每经过的一个实根时，的函数值减1，在其他情况下的值不变。故在内的实根个数为。
9.3.3 斯图姆序列的构造方法设是一个无重根的实系数多项式，取。以除，得
如，过程到此结束。否则，取，再用去除，得
如，过程到此结束。否则，取，再用去除，，经过若干步后，我们有
我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是的一个斯图姆序列。
如果是一个有重根的实系数多项式序列，设其素因式标准分解式为
这时我们仅需研究的实根分布就可以了。
§3 实系数多项式根的分布
9.3.1 复系数多项式的根的绝对值的上界命题 设，其中而。令
则对的任一复根，有。
证明 如果，则，命题成立。下面设。
如果，那么，因为，故有
现在，故从上式立刻得到
两边消去，得，矛盾。
由该命题，我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为：。
斯图姆定理名词 给定实数序列
将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察，如果相邻两数异号，则成为一个变号；变号的总数称为该序列的变号数。
又给定实系数多项式的序列
（1）
对，实系数序列的变号数称为多项式序列（1）在处的变号数，记作。相应地，我们把称为多项式序列（1）的变号数函数。
定义9.14 （斯图姆序列） 现设是一个次数的无重根的实系数多项式。 实系数多项式序列
（2）
如果满足下列条件：
相邻两个多项式没有公共根；
最后一个多项式没有实根；
如果某个相邻中间多项式有一个实根，则；
如果是的实根，则在的一个充分小的邻域内为递增函数，
则称序列（2）为的一个斯图姆序列。
定理（斯图姆定理）设是一个无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（2）。以表（2）的变号数函数。设是两个实数，它们不是的根，且，则在区间内实根的个数等于。
证明 将斯图姆序列（2）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如下：。
因为在区间内（2）中任一多项式都无实根，因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内，为常数。下面我们只要证明：
如果不是的根，则在左右两边的函数值相等；
如果是的根，则在左端的函数值比右端的函数值大1。
对每个，我们来考察斯图姆序列（2）中如下两种类型的小段：
（a）不是（2）中个连续多项式
（3）
的根，由于实系数多项式为数轴上的连续函数，按连续函数的性质知，在的一个邻域内（3）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（3）的变号数函数为常数。
（b）是（3）中间某个多项式的根，考察（3）的小段
（4）
按斯图姆序列的条件（i）和（iii），此时不是的根，且
有连续函数的性质知，在的一个邻域内恒有，于是在此邻域内（4）的变号函数恒等于1，也是常数。
现设不是的根。这时序列（2）中任意两个相邻多项式或属于类型（3）的小段，或属于类型（4）的小段，又由斯图姆序列的条件（i）知这两类型的小段无重迭（但左端或右端的多项式可以相同），根据上面（a）、（b）的讨论在每个小段变号数函数在邻域内都是常数，（2）的变号数函数为每个小段变号数函数之和，从而在的邻域内为常数，即左端与右端的函数值相等。
如果为的根。这时序列（2）中仅有不属于上述（3）（4）类型，故只需考察序列的变号数在左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件（iv），乘积在的某邻域内为增函数。我们已知，故在左端异号，即有一个变号，而在的右端同号，即无变号。现在不管是不是（2）中某个多项式的根，根据上一段的讨论，它们对邻域内的值没有影响。由此知此时左端的值比右端的大1。
现在让从向运动，每经过的一个实根时，的函数值减1，在其他情况下的值不变。故在内的实根个数为。
9.3.3 斯图姆序列的构造方法设是一个无重根的实系数多项式，取。以除，得
如，过程到此结束。否则，取，再用去除，得
如，过程到此结束。否则，取，再用去除，，经过若干步后，我们有
我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是的一个斯图姆序列。
如果是一个有重根的实系数多项式序列，设其素因式标准分解式为
这时我们仅需研究的实根分布就可以了。
