第二学期第二十六次课
12.3.2 用一个多项式的根和另一个多项式计算结式的公式命题 设

如果在中的分解式为
 （1）
那么
 （*）
证明 在数域上的元多项式环中，令

把按的降幂排列，则的系数为，得系数为：

同理，把按的降幂排列，则的系数为，的系数为：

于是有

显然，。下面我们来说明下式成立：

首先，是中的次齐次多项式。
把（4）右端的行列式的第一行乘以，第二行乘以，，第行乘以，第行乘以，第行乘以，，第行乘以，得到一个行列式。容易看出，的第一列元素都是1次齐次多项式或0；第二列元素都是2次齐次多项式或0；；第列元素都是次齐次多项式或0。由于的每一项是从的第1，2，，列中各取一个元素做成乘积，因此的每一个非零项的次数为

又由行列式的性质得

从而的每一个非零项的次数是

这表明，是中的次齐次多项式。
其次证明：对每个，有

注意到

我们把的第1列乘以，第2列乘以，，第列乘以，并且把它们都加到第列上，得到一个行列式。于是，利用（6）和（7）可得的第列为

从的第列提出公因子，由此可得

由于

因此当时，与没有次数大于零的公因子。从而

由于与都是次多项式，所以可设
 （8）
将用0,…,0,1,…,1代入（8）和（4）得

由上式得：。反代回（8）得

现在将不定元用代入，从上式就得到

又由行列式的性质容易推出

这样就证明了（*）式。
12.3.3 用一个多项式与它的微商的结式表达该多项式的判别式现在设

根据前面对其判别式的定义，我们有

因为
，
故

以代入上式，得
，

从而有

这就是的判别式与之间的关系式。