第二学期第三十次课
§4 外代数
12.4.1 域上的线性空间的到域上的线性空间的重交错映射的定义定义12.9 设是数域上的维线性空间，又设也是上的一个线性空间。从
到的一个多线性映射如果满足如下条件
（即第两个变元取内同一个向量），则称为一个重交错映射。
12.3.2 重交错映射的三条性质性质1 ,即交换中两变元的位置时应改变符号。
证明 首先证明相邻两个变元时函数值反号。按交错映射的定义，有
移项后即得
对于交换（设）两个变元的情况，可由逐次交换相邻两变元位置次来实现。每次交换函数值都变号，共变号奇数次，故最后两个函数值反号。
性质2 如果中两个变元取中同一向量，则其函数值为零。
证明 设中，则交换，位置时函数值应反号，但此时函数值实际上未变化，故必为零。
性质3 当时，重交错映射
证明时，取中一组基，运用性质2即可得证。
用坐标计算重交错映射的像的公式约定 命，以表示的一个包含个元素的子集。对每一个子集，我们约定按自然数的大小排列其次序：。对上的一个矩阵，取得第列所组成的矩阵记作，又用表示其行列式。
按照这个约定，根据多线性映射和交错线性映射的性质、行列式的性质，我们可以得到下面这个命题：
命题 设是数域上的维线性空间，是它的一组基。又设是到上线性空间的一个重交错映射。对于内任意个向量，设
，
而。则
，
其中和号是对所有可能的个子集求和。
12.3.4 外积的定义现在我们来指出，对每个正整数，重交错映射都存在。为此，取一个上的维线性空间，记为。在内取定一组基，并且把每个子集对应于一个基向量。对于内任意个向量，设
我们定义到的映射如下：
（*）
可以验证（*）式所定义的映射是到的重交错映射。
定义12.10 对任意，由（*）式定义的称为这个向量的外积，记作。
12.3.5 外积的泛性质（与张量积的定义性质类似）
命题 设是内任一组基，则让取遍的所有个元素的子集时，集合组成的一组基。
证明 设，则
由于是的一组基，而中向量个数为故它是的一组基。
外积具有一个类似与张量积的重要性质。
定理 设是从到上线性空间的一个交错映射，则存在到的唯一线性映射，使下图交换：
证明 若，则={0}，又为零映射，故结论显然成立。
下面设。对于内取定的一组基。已知组成的一组基，且。所以我们只要定义在这组基下的像就可以了。命
（*）
对任意，设
我们有
这说明，即命题中的图可交换。
反之，任何满足命题要求的映射在的基处的作用要满足（*），而线性映射有它在一组基处的作用为一决定，故是唯一的。
12.3.6 外代数中乘法的定义定义12.11
此乘法定义的合理性可见书上的命题4.5。
§4 外代数
12.4.1 域上的线性空间的到域上的线性空间的重交错映射的定义定义12.9 设是数域上的维线性空间，又设也是上的一个线性空间。从
到的一个多线性映射如果满足如下条件
（即第两个变元取内同一个向量），则称为一个重交错映射。
12.3.2 重交错映射的三条性质性质1 ,即交换中两变元的位置时应改变符号。
证明 首先证明相邻两个变元时函数值反号。按交错映射的定义，有
移项后即得
对于交换（设）两个变元的情况，可由逐次交换相邻两变元位置次来实现。每次交换函数值都变号，共变号奇数次，故最后两个函数值反号。
性质2 如果中两个变元取中同一向量，则其函数值为零。
证明 设中，则交换，位置时函数值应反号，但此时函数值实际上未变化，故必为零。
性质3 当时，重交错映射
证明时，取中一组基，运用性质2即可得证。
用坐标计算重交错映射的像的公式约定 命，以表示的一个包含个元素的子集。对每一个子集，我们约定按自然数的大小排列其次序：。对上的一个矩阵，取得第列所组成的矩阵记作，又用表示其行列式。
按照这个约定，根据多线性映射和交错线性映射的性质、行列式的性质，我们可以得到下面这个命题：
命题 设是数域上的维线性空间，是它的一组基。又设是到上线性空间的一个重交错映射。对于内任意个向量，设
，
而。则
，
其中和号是对所有可能的个子集求和。
12.3.4 外积的定义现在我们来指出，对每个正整数，重交错映射都存在。为此，取一个上的维线性空间，记为。在内取定一组基，并且把每个子集对应于一个基向量。对于内任意个向量，设
我们定义到的映射如下：
（*）
可以验证（*）式所定义的映射是到的重交错映射。
定义12.10 对任意，由（*）式定义的称为这个向量的外积，记作。
12.3.5 外积的泛性质（与张量积的定义性质类似）
命题 设是内任一组基，则让取遍的所有个元素的子集时，集合组成的一组基。
证明 设，则
由于是的一组基，而中向量个数为故它是的一组基。
外积具有一个类似与张量积的重要性质。
定理 设是从到上线性空间的一个交错映射，则存在到的唯一线性映射，使下图交换：
证明 若，则={0}，又为零映射，故结论显然成立。
下面设。对于内取定的一组基。已知组成的一组基，且。所以我们只要定义在这组基下的像就可以了。命
（*）
对任意，设
我们有
这说明，即命题中的图可交换。
反之，任何满足命题要求的映射在的基处的作用要满足（*），而线性映射有它在一组基处的作用为一决定，故是唯一的。
12.3.6 外代数中乘法的定义定义12.11
此乘法定义的合理性可见书上的命题4.5。
