第二学期第二十一次课
9.2.2 内多项式的因式分解定义9.12 定义。
假设。如果，使得，且，则称在内可约，否则称在内不可约。
定义9.13 设
，
这里。如果，则称是一个本原多项式。
命题 内一个非零多项式可以表成一个有理数和一个本原多项式的乘积：，而且除了差一个因子外，是被唯一决定的。
证明是很简单的，可取，其中为系数的最大公因子，而为系数的分母的一个公倍数。
定理（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式。
证明 设
是两个本原多项式。为方便记，下面设。又设
，
如果不是本原多项式，令素数是其系数的一个公因子。
设。而另一方面，，而。该式两个括号内均含有因子，故必有。因为是素数，，此时应有，与假设矛盾。这个矛盾表明乘积是本原多项式。
由高斯定理，我们容易得到命题 设。命，其中是一个本原多项式。则在内可约的充分必要条件是在内可约。
证明 充分性是显然的。下面来证必要性。
设，其中。命，其中，而为本原多项式。此时。根据高斯引理，为本原多项式，在由前面的命题，有，这样必要性得证。
作为高斯引理的又一应用，我们可得下面的重要结论（实际的证明过程与证明“因式唯一分解定理”相似，都是运用数学归纳法，详细书写见课本）
定理（内多项式的因式分解）设是内一个首项系数为正数的多项式且，则在内可分解为
其中为两两不同的素数，为内两两不同，次数且首项系数为正的不可约多项式。上述分解式除了因子的排列次序外，是唯一的。
这个定理从抽象的观点可以拓展为：
推论 唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环。
9.2.3 爱森斯坦判别法爱森斯坦判别法是目前为止用来判断内一个多项式可约与否的最好结果。
爱森斯坦判别法 设给定次本原多项式
如果存在一个素数，使，但，则在内不可约。
证明：用反证法。设在内可约，即
，
其中
这里。为方便计，下面式子中多项式的系数的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。
因为，而，故。
另一方面，，而，故或；不妨设，此时因，故。
设，但。此时，而
上式括号中各项均含有因子，故。但，为素数，矛盾。由此，在内不可约。
§3 实系数多项式根的分布
9.3.1 复系数多项式的根的绝对值的上界命题 设，其中而。令
则对的任一复根，有。
证明 如果，则，命题成立。下面设。
如果，那么，因为，故有
现在，故从上式立刻得到
两边消去，得，矛盾。
由该命题，我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为：。
斯图姆定理名词 给定实数序列
将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察，如果相邻两数异号，则成为一个变号；变号的总数称为该序列的变号数。
又给定实系数多项式的序列
（1）
对，实系数序列的变号数称为多项式序列（1）在处的变号数，记作。相应地，我们把称为多项式序列（1）的变号数函数。
定义9.14 （斯图姆序列） 现设是一个次数的无重根的实系数多项式。 实系数多项式序列
（2）
如果满足下列条件：
相邻两个多项式没有公共根；
最后一个多项式没有实根；
如果某个相邻中间多项式有一个实根，则；
如果是的实根，则在的一个充分小的邻域内为递增函数，
则称序列（2）为的一个斯图姆序列。
定理（斯图姆定理）设是一个无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（2）。以表（2）的变号数函数。设是两个实数，它们不是的根，且，则在区间内实根的个数等于。
证明 将斯图姆序列（2）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如下：。
因为在区间内（2）中任一多项式都无实根，因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内，为常数。下面我们只要证明：
如果不是的根，则在左右两边的函数值相等；
如果是的根，则在左端的函数值比右端的函数值大1。
对每个，我们来考察斯图姆序列（2）中如下两种类型的小段：
（a）不是（2）中个连续多项式
（3）
的根，由于实系数多项式为数轴上的连续函数，按连续函数的性质知，在的一个邻域内（3）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（3）的变号数函数为常数。
（b）是（3）中间某个多项式的根，考察（3）的小段
（4）
按斯图姆序列的条件（i）和（iii），此时不是的根，且
有连续函数的性质知，在的一个邻域内恒有，于是在此邻域内（4）的变号函数恒等于1，也是常数。
现设不是的根。这时序列（2）中任意两个相邻多项式或属于类型（3）的小段，或属于类型（4）的小段，又由斯图姆序列的条件（i）知这两类型的小段无重迭（但左端或右端的多项式可以相同），根据上面（a）、（b）的讨论在每个小段变号数函数在邻域内都是常数，（2）的变号数函数为每个小段变号数函数之和，从而在的邻域内为常数，即左端与右端的函数值相等。
如果为的根。这时序列（2）中仅有不属于上述（3）（4）类型，故只需考察序列的变号数在左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件（iv），乘积在的某邻域内为增函数。我们已知，故在左端异号，即有一个变号，而在的右端同号，即无变号。现在不管是不是（2）中某个多项式的根，根据上一段的讨论，它们对邻域内的值没有影响。由此知此时左端的值比右端的大1。
现在让从向运动，每经过的一个实根时，的函数值减1，在其他情况下的值不变。故在内的实根个数为。
9.3.3 斯图姆序列的构造方法设是一个无重根的实系数多项式，取。以除，得
如，过程到此结束。否则，取，再用去除，得
如，过程到此结束。否则，取，再用去除，，经过若干步后，我们有
我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是的一个斯图姆序列。
如果是一个有重根的实系数多项式序列，设其素因式标准分解式为
这时我们仅需研究的实根分布就可以了。
§4 单变量有理函数域
9.4.1 域上的一元有理分式域的定义设为一整环，命。现在中规定为
逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知为一等价关系。用表示与等价的元素的全体。现记关于的等价类的集合为，则是中的元素。下面在上定义二元运算：
可以验证：
（1）是良定义的，即与等价类代表元的选择无关；
（2）对加法构成交换群，对乘法也构成交换群，且加法和乘法满足分配律。
于是，构成域，称之为的分式域或商域，将中的元素记为，则中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。
定义9.15 （域上的一元有理分式域） 若，则记为，并将其称之为域上的一元有理分式域，其元素形如。
9.4.2 有理分式的准素分解式定义9.16 （准素分式）在内的一个分式，如果其中是首一不可约多项式，而，则称之为准素分式。
定理 内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和。
证明：设，且不妨设。设的素因子标准分解式为：
则存在，使得
于是
将表成的方幂的线性组合：
将其带入即得的准素分解式。
注：1）内的准素分式应为，又上面的定理，可知内任一真分式可分解为：
2）内的准素分式有下列两种类型：
其中，且。
9.2.2 内多项式的因式分解定义9.12 定义。
假设。如果，使得，且，则称在内可约，否则称在内不可约。
定义9.13 设
，
这里。如果，则称是一个本原多项式。
命题 内一个非零多项式可以表成一个有理数和一个本原多项式的乘积：，而且除了差一个因子外，是被唯一决定的。
证明是很简单的，可取，其中为系数的最大公因子，而为系数的分母的一个公倍数。
定理（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式。
证明 设
是两个本原多项式。为方便记，下面设。又设
，
如果不是本原多项式，令素数是其系数的一个公因子。
设。而另一方面，，而。该式两个括号内均含有因子，故必有。因为是素数，，此时应有，与假设矛盾。这个矛盾表明乘积是本原多项式。
由高斯定理，我们容易得到命题 设。命，其中是一个本原多项式。则在内可约的充分必要条件是在内可约。
证明 充分性是显然的。下面来证必要性。
设，其中。命，其中，而为本原多项式。此时。根据高斯引理，为本原多项式，在由前面的命题，有，这样必要性得证。
作为高斯引理的又一应用，我们可得下面的重要结论（实际的证明过程与证明“因式唯一分解定理”相似，都是运用数学归纳法，详细书写见课本）
定理（内多项式的因式分解）设是内一个首项系数为正数的多项式且，则在内可分解为
其中为两两不同的素数，为内两两不同，次数且首项系数为正的不可约多项式。上述分解式除了因子的排列次序外，是唯一的。
这个定理从抽象的观点可以拓展为：
推论 唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环。
9.2.3 爱森斯坦判别法爱森斯坦判别法是目前为止用来判断内一个多项式可约与否的最好结果。
爱森斯坦判别法 设给定次本原多项式
如果存在一个素数，使，但，则在内不可约。
证明：用反证法。设在内可约，即
，
其中
这里。为方便计，下面式子中多项式的系数的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。
因为，而，故。
另一方面，，而，故或；不妨设，此时因，故。
设，但。此时，而
上式括号中各项均含有因子，故。但，为素数，矛盾。由此，在内不可约。
§3 实系数多项式根的分布
9.3.1 复系数多项式的根的绝对值的上界命题 设，其中而。令
则对的任一复根，有。
证明 如果，则，命题成立。下面设。
如果，那么，因为，故有
现在，故从上式立刻得到
两边消去，得，矛盾。
由该命题，我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为：。
斯图姆定理名词 给定实数序列
将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察，如果相邻两数异号，则成为一个变号；变号的总数称为该序列的变号数。
又给定实系数多项式的序列
（1）
对，实系数序列的变号数称为多项式序列（1）在处的变号数，记作。相应地，我们把称为多项式序列（1）的变号数函数。
定义9.14 （斯图姆序列） 现设是一个次数的无重根的实系数多项式。 实系数多项式序列
（2）
如果满足下列条件：
相邻两个多项式没有公共根；
最后一个多项式没有实根；
如果某个相邻中间多项式有一个实根，则；
如果是的实根，则在的一个充分小的邻域内为递增函数，
则称序列（2）为的一个斯图姆序列。
定理（斯图姆定理）设是一个无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（2）。以表（2）的变号数函数。设是两个实数，它们不是的根，且，则在区间内实根的个数等于。
证明 将斯图姆序列（2）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如下：。
因为在区间内（2）中任一多项式都无实根，因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内，为常数。下面我们只要证明：
如果不是的根，则在左右两边的函数值相等；
如果是的根，则在左端的函数值比右端的函数值大1。
对每个，我们来考察斯图姆序列（2）中如下两种类型的小段：
（a）不是（2）中个连续多项式
（3）
的根，由于实系数多项式为数轴上的连续函数，按连续函数的性质知，在的一个邻域内（3）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（3）的变号数函数为常数。
（b）是（3）中间某个多项式的根，考察（3）的小段
（4）
按斯图姆序列的条件（i）和（iii），此时不是的根，且
有连续函数的性质知，在的一个邻域内恒有，于是在此邻域内（4）的变号函数恒等于1，也是常数。
现设不是的根。这时序列（2）中任意两个相邻多项式或属于类型（3）的小段，或属于类型（4）的小段，又由斯图姆序列的条件（i）知这两类型的小段无重迭（但左端或右端的多项式可以相同），根据上面（a）、（b）的讨论在每个小段变号数函数在邻域内都是常数，（2）的变号数函数为每个小段变号数函数之和，从而在的邻域内为常数，即左端与右端的函数值相等。
如果为的根。这时序列（2）中仅有不属于上述（3）（4）类型，故只需考察序列的变号数在左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件（iv），乘积在的某邻域内为增函数。我们已知，故在左端异号，即有一个变号，而在的右端同号，即无变号。现在不管是不是（2）中某个多项式的根，根据上一段的讨论，它们对邻域内的值没有影响。由此知此时左端的值比右端的大1。
现在让从向运动，每经过的一个实根时，的函数值减1，在其他情况下的值不变。故在内的实根个数为。
9.3.3 斯图姆序列的构造方法设是一个无重根的实系数多项式，取。以除，得
如，过程到此结束。否则，取，再用去除，得
如，过程到此结束。否则，取，再用去除，，经过若干步后，我们有
我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是的一个斯图姆序列。
如果是一个有重根的实系数多项式序列，设其素因式标准分解式为
这时我们仅需研究的实根分布就可以了。
§4 单变量有理函数域
9.4.1 域上的一元有理分式域的定义设为一整环，命。现在中规定为
逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知为一等价关系。用表示与等价的元素的全体。现记关于的等价类的集合为，则是中的元素。下面在上定义二元运算：
可以验证：
（1）是良定义的，即与等价类代表元的选择无关；
（2）对加法构成交换群，对乘法也构成交换群，且加法和乘法满足分配律。
于是，构成域，称之为的分式域或商域，将中的元素记为，则中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。
定义9.15 （域上的一元有理分式域） 若，则记为，并将其称之为域上的一元有理分式域，其元素形如。
9.4.2 有理分式的准素分解式定义9.16 （准素分式）在内的一个分式，如果其中是首一不可约多项式，而，则称之为准素分式。
定理 内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和。
证明：设，且不妨设。设的素因子标准分解式为：
则存在，使得
于是
将表成的方幂的线性组合：
将其带入即得的准素分解式。
注：1）内的准素分式应为，又上面的定理，可知内任一真分式可分解为：
2）内的准素分式有下列两种类型：
其中，且。
