第二学期第二十四次课
10．2．2 定理2.1 域上的对称多项式能唯一地表为初等对称多项式的多项式引理1 将展开成的多项式后，其按字典排列法的首项是

该命题易证。
引理2 给定的两个不同的单项式，则对任意
证 设

若按内两个多项式相等的要求可知应有与假设矛盾。该引理告诉我们，对任意，因为为对的每个单项式用作变换、，此时中的不同单项式变为种不同单项式，互相之间不会抵消。
引理3 给定正整数，定以集合

则是一个有限集合。事实上，容易说明最多含个元素。
引理4 设是一个对称多项式，它按字典排列法的首项是，则有
证 如若不然，设但令

即为互换内与两个元素，其他保持不变的变换。是将中个单项式中与互换位置所得出的多项式。的首项经这样的变换后变为因是对称多项式，，故也是中的一个单项式（引理2），但，按字典排列法它应先于与假设矛盾。
下面我们可以来证明定理2.1：
存在性 设的首项为令

从引理1知和首相相同，因而上式两端相减后恰把的首项消去。若，命题已成立。若，设其首项为。这个首项是从和的单项式中产生出来的，因为和的首项已相消，故的首项在字典排列法中应后于的首项，即序列中第一个不为零的数为正。特别地，我们有现在用取代重复上述步骤得。这样下去，我们得到一串对称多项式它们具有下列性质：
（i）的首项按字典排列法应后于的首项；
（ii）若设的首项为则

又因为对称多项式，根据引理4，有

由于是首项的不定元的方幂，是给定的，按引理3，满足条件（ii）的整数组只有有限多个。于是必有某个。再根据性质（i）逐步上推，即知可表为初等对称多项式得多项式。
唯一性 设我们来证明：若，则必有。有反证法，设，那么对于中任意两个单项式

若以初等对称多项式代入，从引理1可知其首项分别为

当时，上面两个多项式的首项中不定元的方幂不能都相同，因而不能相互抵消。既然代入的各单项式后展开所得的首项各不相同，不能抵消，从这些首项中按字典排列法又可选出一个非零的单项式先于其他首项，它即是的首项，故。
现在设存在使
，
令，则有于是，即。这样唯一性得证。
10．2．2 牛顿公式

证明 设，考虑有理函数域上的一元多项式
 （*）
在有理函数域上，对任意正整数，有

于是

两边同乘，求和，因，有
 （**）
其中另一方面，从（*）可得（设）

取定正整数，令则比较上是与（**）右端中的系数（因为，此系数与无关），有
 （***）
注意上面两个和式中，第一个和式展开后为

以代入，移项后，得

这就是牛顿公式中第一个公式。（***）中第二个和式即为牛顿公式中的第二个公式。