第二学期第十七次课一元多项式环
§1一元多项式环的基本理论
9.1.1 域上的一元多项式环的定义定义9.1 设是一个数域，是一个不定元。下面的形式表达式
（其中属于，且仅有有限个不是0）称为数域上的一个不定元的一元多项式。数域上一个不定元的多项式的全体记作。
下面定义内加法、乘法如下：
加法 设
则定义
为和的和。
乘法 设
令
定义
为和的乘积。
容易验证，上面定义的加法、乘法满足如下运算法则：
加法有结合律；
称为零多项式，满足
都有逆元使得；
加法有交换律；
乘法有结合律；
称为（乘法的）幺元，使得有；
乘法有交换律；
加法与乘法有分配律：
定义9.2 连同上面定义的加法与乘法，称为数域 上的一元多项式环。
相应的系数，次数等概念在中学已教授。
9.1.2 整除、因式、重因式、最大公因式、不可约多项式的定义定义9.3 给定。若存在一，使，则称整除，记作，称为的因式，称为的倍式。若不能整除，则记作。
定义9.4 如果，不全为零多项式，设，若，则称为，的一个公因式。如果还满足：（i）是首一多项式；（ii）对，的任意公因式，都有，则称为，的最大公因式，记作。如果=1，则称，互素。
定义9.5 设是内一多项式，，如果在内的因式仅有零次多项式及，这里，则称是内的一个不可约多项式，否则称其为可约多项式。
定义9.6 对于内的一个多项式，如果满足：
则称是的重因式。
9.1.3 带余除法设，则存在唯一的，使
其中或。我们称和分别称为用去除所得的商和余式。
证明 存在性 设
如果，则取即可。下面假定。对的次数做数学归纳法：如果=0或，则令即满足要求。设，命题正确，则当时，有
（这里），令
若，则取。否则，因，按归纳假设，存在，使得
这里或。现令
则显然有
唯一性 设也满足命题要求，那么
比较两边的次数，即可知。
9.1.4 用辗转相除法求二多项式的最大公因子给定，做带余除法：
不难得。现在做辗转相除法如下：
因，故必有而，即，于是=
=（使为首一多项式）。这就把求出来了。
一元多项式环的理想、主理想的定义定义9.7 设为的一个非空子集。如果下面条件满足：
若，则；
若，则对任意，有。
则称为的一个理想。
{0}和显然都是理想，称为平凡理想，其他理想称为非平凡理想。{0}又称为零理想。
定义9.8 对任意，定义
则成为由生成的主理想。
主理想的简单性质：
1）
2）
命题 域上的一元多项式环是主理想整环，即设是的一个非零理想，则存在内的首一多项式，使。
证明 在中选一个次数最低的多项式，因对任意的，故可设为首一多项式。按理想的定义中的条件（ii）即知。现设为中任意元素，按带余除法，有，使得
其中，但仍属于，由的选法可知必定有，于是，即，从而，由此。
定义9.9 理想的交与和的定义
1)仍为的理想，称为与的交；
2）令，则也是的一个理想，称为与的和。
我们很容易验证，若是与的最小公倍式，则。
命题 域上的一元多项式环中二理想与的和等于由与的最大公因子生成的理想.
证明 不妨设，不全为零，则+，故可设，为首一多项式。因，故，同理，即为，的一个公因式。若为，的任一公因式，由推知，同理，于是,而这表示，所以。
这个命题的直接推论如下：
推论 设与是域上的一元多项式环中二多项式，与的最大公因子为，则存在、，使得。
基于这个推论，我们可以得到两个重要的结论：
结论1 设，是内两个不全为零的多项式，则下列命题等价：
（i）与互素；
（ii）存在，使；
.
结论2 设并且，如果且，则。
9.1.6 域上的一元多项式环是唯一分解整环根据上面结论2，的下面的引理：
设为内不可约多项式，由设。若，则整除某个。
定理（因式分解为一定理）设是一个数域，给定多项式
则可以分解为
其中是内首相系数为1且两两不同的不可约多项式。而且，除了不可约多项式的排列次序外，上面的分解式是由唯一决定的。
证明 存在性 对做数学归纳法。当时，命题显然成立。
设命题对小于的多项式成立。下面考察时的情况。
如果本身是不可约的，则仍为不可约多项式，而，故命题成立。
如果可约，那么它有一个非平凡因式，故又分解式：，这里，按照归纳假设，与均可分解为互不相同的不可约多项式的方幂的乘积，这样,显然也有这样的分解式。
唯一性 对的次数做数学归纳法。是命题显然成立。
设命题对次数小于的多项式成立。现考察为次多项式的情形。设其有两个分解是：
因为，约去后得到
（*）
从上式知，因为是不可约多项式，由引理，整除某个，不妨设。但也是不可约多项式，故只能有。又因为与首相系数都是1，故，即=，从（*）两边消去，得
现在，按照归纳法，应有，切适当排列不可约多项式次序后，有。由此可知，的分解式是唯一的。
§1一元多项式环的基本理论
9.1.1 域上的一元多项式环的定义定义9.1 设是一个数域，是一个不定元。下面的形式表达式
（其中属于，且仅有有限个不是0）称为数域上的一个不定元的一元多项式。数域上一个不定元的多项式的全体记作。
下面定义内加法、乘法如下：
加法 设
则定义
为和的和。
乘法 设
令
定义
为和的乘积。
容易验证，上面定义的加法、乘法满足如下运算法则：
加法有结合律；
称为零多项式，满足
都有逆元使得；
加法有交换律；
乘法有结合律；
称为（乘法的）幺元，使得有；
乘法有交换律；
加法与乘法有分配律：
定义9.2 连同上面定义的加法与乘法，称为数域 上的一元多项式环。
相应的系数，次数等概念在中学已教授。
9.1.2 整除、因式、重因式、最大公因式、不可约多项式的定义定义9.3 给定。若存在一，使，则称整除，记作，称为的因式，称为的倍式。若不能整除，则记作。
定义9.4 如果，不全为零多项式，设，若，则称为，的一个公因式。如果还满足：（i）是首一多项式；（ii）对，的任意公因式，都有，则称为，的最大公因式，记作。如果=1，则称，互素。
定义9.5 设是内一多项式，，如果在内的因式仅有零次多项式及，这里，则称是内的一个不可约多项式，否则称其为可约多项式。
定义9.6 对于内的一个多项式，如果满足：
则称是的重因式。
9.1.3 带余除法设，则存在唯一的，使
其中或。我们称和分别称为用去除所得的商和余式。
证明 存在性 设
如果，则取即可。下面假定。对的次数做数学归纳法：如果=0或，则令即满足要求。设，命题正确，则当时，有
（这里），令
若，则取。否则，因，按归纳假设，存在，使得
这里或。现令
则显然有
唯一性 设也满足命题要求，那么
比较两边的次数，即可知。
9.1.4 用辗转相除法求二多项式的最大公因子给定，做带余除法：
不难得。现在做辗转相除法如下：
因，故必有而，即，于是=
=（使为首一多项式）。这就把求出来了。
一元多项式环的理想、主理想的定义定义9.7 设为的一个非空子集。如果下面条件满足：
若，则；
若，则对任意，有。
则称为的一个理想。
{0}和显然都是理想，称为平凡理想，其他理想称为非平凡理想。{0}又称为零理想。
定义9.8 对任意，定义
则成为由生成的主理想。
主理想的简单性质：
1）
2）
命题 域上的一元多项式环是主理想整环，即设是的一个非零理想，则存在内的首一多项式，使。
证明 在中选一个次数最低的多项式，因对任意的，故可设为首一多项式。按理想的定义中的条件（ii）即知。现设为中任意元素，按带余除法，有，使得
其中，但仍属于，由的选法可知必定有，于是，即，从而，由此。
定义9.9 理想的交与和的定义
1)仍为的理想，称为与的交；
2）令，则也是的一个理想，称为与的和。
我们很容易验证，若是与的最小公倍式，则。
命题 域上的一元多项式环中二理想与的和等于由与的最大公因子生成的理想.
证明 不妨设，不全为零，则+，故可设，为首一多项式。因，故，同理，即为，的一个公因式。若为，的任一公因式，由推知，同理，于是,而这表示，所以。
这个命题的直接推论如下：
推论 设与是域上的一元多项式环中二多项式，与的最大公因子为，则存在、，使得。
基于这个推论，我们可以得到两个重要的结论：
结论1 设，是内两个不全为零的多项式，则下列命题等价：
（i）与互素；
（ii）存在，使；
.
结论2 设并且，如果且，则。
9.1.6 域上的一元多项式环是唯一分解整环根据上面结论2，的下面的引理：
设为内不可约多项式，由设。若，则整除某个。
定理（因式分解为一定理）设是一个数域，给定多项式
则可以分解为
其中是内首相系数为1且两两不同的不可约多项式。而且，除了不可约多项式的排列次序外，上面的分解式是由唯一决定的。
证明 存在性 对做数学归纳法。当时，命题显然成立。
设命题对小于的多项式成立。下面考察时的情况。
如果本身是不可约的，则仍为不可约多项式，而，故命题成立。
如果可约，那么它有一个非平凡因式，故又分解式：，这里，按照归纳假设，与均可分解为互不相同的不可约多项式的方幂的乘积，这样,显然也有这样的分解式。
唯一性 对的次数做数学归纳法。是命题显然成立。
设命题对次数小于的多项式成立。现考察为次多项式的情形。设其有两个分解是：
因为，约去后得到
（*）
从上式知，因为是不可约多项式，由引理，整除某个，不妨设。但也是不可约多项式，故只能有。又因为与首相系数都是1，故，即=，从（*）两边消去，得
现在，按照归纳法，应有，切适当排列不可约多项式次序后，有。由此可知，的分解式是唯一的。
