第二学期第二十五次课
12.2.3 一元多项式的判别式的定义给定内一个次多项式

设是它的个根，令

称其为的判别式。显然，有重根，其充分必要条件是。
现在考察元式

对于任意，有

故是一个对称多项式。按照对称多项式的基本定理，存在，使
由Viéta定理：
于是

§3 结式
12.3.1 两个一元多项式的结式的定义考虑域上的多项式

由给定上多项式

这里系数是待定的。那么，的充分必要条件是下面等式成立：
 （1）
令

称为多项式的结式。
命题 两个一元多项式的结式等于0当且仅当此二多项式不互素或首相系数都为零。
证明 设两个一元多项式为

充分性 若，则显见有。今设不全为零，不妨设，且与不互素，即有公因式，。于是。因，故，且。若，则；若，则令。易知此时，且，故齐次线性方程组（1）有非零解，于是=0。
必要性 若=0，而不全为零，我们来证明与不互素。因为此时齐次线性方程组（1）有非零解。故存在不全为零的，使，而且当（或）不为零时，其次数小于（小于）。不妨设，即。若，则显见不互素。今设。因，若，则有，与矛盾。证毕。