第二学期第二十三次课
§4 单变量有理函数域
9.4.1 域上的一元有理分式域的定义设为一整环，命。现在中规定为

逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知为一等价关系。用表示与等价的元素的全体。现记关于的等价类的集合为，则是中的元素。下面在上定义二元运算：


可以验证：
（1）是良定义的，即与等价类代表元的选择无关；
（2）对加法构成交换群，对乘法也构成交换群，且加法和乘法满足分配律。
于是，构成域，称之为的分式域或商域，将中的元素记为，则中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。
定义9.15 （域上的一元有理分式域） 若，则记为，并将其称之为域上的一元有理分式域，其元素形如。
9.4.2 有理分式的准素分解式定义9.16 （准素分式）在内的一个分式，如果其中是首一不可约多项式，而，则称之为准素分式。
定理 内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和。
证明：设，且不妨设。设的素因子标准分解式为：

则存在，使得

于是

将表成的方幂的线性组合：

将其带入即得的准素分解式。
注：1）内的准素分式应为，又上面的定理，可知内任一真分式可分解为：

2）内的准素分式有下列两种类型：

其中，且。
多元多项式环
§2对称多项式
10．2．1 对称多项式、初等对称多项式的定义名词 阶置换考察前个自然数组成的集合到自身的一个一一对应称为一个阶置换。以记的所有置换组成的集合（不难知它有个元素），若，则可由下面的表来描述：

其含义是：把变为。若，定义和的乘法为连续作用，则易验证构成群。
定义10.1 对称多项式现设定义

这样定义了内的一个变换。
如果对一切，，则称是内的一个对称多项式。
定义10.2 初等对称多项式现考虑个不定元的多项式：

其中，

易知即都是内的对称多项式。我们把这个特殊的对称多项式称为初等对称多项式。