第二学期第十四次课有理整数环
§1 有理整数环的基本概念
8.1.1 有理整数环的基本概念全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：
加法满足结合律；
加法满足加换律；
有一个数0，是对任意整数，；
对任意整数，存在整数，使；
乘法满足结合律；
有一个数1，是对任意整数，
加法与乘法满足分配律：；
乘法满足加换律；
无零因子：如果，则。
我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用代表它。
“整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。
现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。
设是一个非空集合。如果在的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对中任意两元素，都按某法则对应于内的一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法则：
结合律：；
中有一元素0，是对一切；
对中任一元素，有；
交换律：。
又设内另有一种运算称作乘法，即对中任意两个元素，都按某个法则对应于内一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法则：
结合律：；
加法与乘法有两方面的分配律：
则成为一个环。
如果一个环的乘法也满足交换律，则称为交换环；
如果环内存在一个元素，使，则称为的单位元素，称为有幺元的环；
如果环内存在两个非零元，使，则（）称为左（右）零因子，这时称为有零因子环；
如果环至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称为一个整环；
如果是一个整环，且对内任一非零元素都有逆元，则称为一个域。
8.1.2 整除性理论命题（带余除法） 对任意，唯一的存在两个整数，满足：
证明 存在性 如果，考虑整数序列
则必落在该序列中的某两项之间，从而必存在，使得。令，则有
如果，我们有
唯一性 设另外有使，则
进而得到|。如果，则等式的左端，但另一方面，即可知等式的右端。这个矛盾说明，从而。定理得证。
用辗转相除法求二整数的最大公因子给定整数且，则由得。所以。同理可证，故。
给定整数，做带余除法，。若，则。若，则再做带余除法
因为，所以经有限步后必有。这时，
这种算法叫Euclid算法，也叫辗转相除法。
8.1.3 有理整数环的理想定义8.1（理想的定义） 设是的一个非空子集，且满足下列条件：
若，则；
若，则对任意有，
则称为的一个理想。
显然，单由0组成的子集{0}及自身都是理想，这两个理想称作平凡理想，{0}称为零理想。的其他理想称为非平凡理想。
定义8.2（主理想的定义） 任给，定义
则称为由生成的主理想。
显然，(0)={0},(1)= 为平凡理想，其他理想均为非平凡主理想。关于理想，我们有以下简单的性质：
1）且；
2）。
命题 有理整数环的理想都是主理想，即设是的一个理想，则存在非负整数，使。
证明 若是零理想{0}，取=0即可。现设，于是中必有非零之整数，现令为中的最小正整数，他显然存在且唯一。此时对任意都有，于是。反之，设为中任意整数，按带余除法，存在，使。又因，由的最小性知。故，即。于是。
定义8.3（主理想整环（PID）的定义） 设为一交换环，如果中的理想皆为主理想，则称为主理想环。如果同时又为整环（即环至少包含两个元素，交换，有幺元，无零因子），则称为主理想整环。
现在我们来看一下理想的性质：
给定的两个理想，则它们的交集也是的理想，称为此两理想的交；
定义
则也是的理想，称为的和。
我们不难得到关于理想的两个重要结论：
结论1 设是两个非零整数，是的最小公倍数，则。
结论2 设是两个不全为零的整数，则，其中。
作为结论2的推论，我们有一个重要的结果：
命题 设是两个不全为零的整数，则下面命题互相等价：
（i）互素，即；
（ii）有，使；
(iii).
8.1.4 因子唯一分解定理定义8.4（唯一分解整环的定义）设为一整环（即环至少包含两个元素，交换，有幺元，无零因子）。如果满足下列两条件，则叫做一个唯一（因子）分解整环（也叫高斯整环）：
1）的每个非零非单位的元素恒可以写成有限多个不可约元素的积
；
2）上述分解在相伴意义下是唯一的，即若元素有两种分解。则而且适当改变的角标可使
（或在抽象意义下） 。
在抽象代数课程中，我们将用（1）因子链条件（参见习题一第7题）和（2）整环中的不可约元即为素元素（即下面的引理）来证明 定理 主理想整环是唯一分解整环。在这里，我们仅就有理整数环这一特殊情形给出证明，即有下面的定理：
定理（算术基本定理） 任一正整数都能表成若干素数的乘积
，为素数并且若不计的排列次序，上述表法唯一。
先证明引理（有理整数环中的素因子即为不可约因子）设是素数，且。若，则或。事实上，因只有两个正因子1和，故或1。若，则；而若，即有使得，另一方面可设，，于是
故。
运用数学归纳法，就有若素数整除，则整除某个因子。
现在可以来证明定理本身了。
存在性 对用数学归纳法。当时，结论显然成立。
故可设，并设结论对的正整数已经成立。
若是素数，则即为所求的分解式；若为合数，则。又归纳假设，均可表成若干素数的乘积，当然也有这样的分解式。
唯一性 若又有
，为素数由引理可知必整除某个，不失普遍性，可设。因都是素数，故得。于是
又归纳假设，对成立分解式的唯一性，从而得到的分解式的唯一性。又算术基本定理，每个的正整数都可以唯一的表成
的形状，其中是素数，而是正整数，这叫做的素因子标准分解式。上面的定理又称为因子分解为一定理。
§1 有理整数环的基本概念
8.1.1 有理整数环的基本概念全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：
加法满足结合律；
加法满足加换律；
有一个数0，是对任意整数，；
对任意整数，存在整数，使；
乘法满足结合律；
有一个数1，是对任意整数，
加法与乘法满足分配律：；
乘法满足加换律；
无零因子：如果，则。
我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用代表它。
“整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。
现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。
设是一个非空集合。如果在的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对中任意两元素，都按某法则对应于内的一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法则：
结合律：；
中有一元素0，是对一切；
对中任一元素，有；
交换律：。
又设内另有一种运算称作乘法，即对中任意两个元素，都按某个法则对应于内一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法则：
结合律：；
加法与乘法有两方面的分配律：
则成为一个环。
如果一个环的乘法也满足交换律，则称为交换环；
如果环内存在一个元素，使，则称为的单位元素，称为有幺元的环；
如果环内存在两个非零元，使，则（）称为左（右）零因子，这时称为有零因子环；
如果环至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称为一个整环；
如果是一个整环，且对内任一非零元素都有逆元，则称为一个域。
8.1.2 整除性理论命题（带余除法） 对任意，唯一的存在两个整数，满足：
证明 存在性 如果，考虑整数序列
则必落在该序列中的某两项之间，从而必存在，使得。令，则有
如果，我们有
唯一性 设另外有使，则
进而得到|。如果，则等式的左端，但另一方面，即可知等式的右端。这个矛盾说明，从而。定理得证。
用辗转相除法求二整数的最大公因子给定整数且，则由得。所以。同理可证，故。
给定整数，做带余除法，。若，则。若，则再做带余除法
因为，所以经有限步后必有。这时，
这种算法叫Euclid算法，也叫辗转相除法。
8.1.3 有理整数环的理想定义8.1（理想的定义） 设是的一个非空子集，且满足下列条件：
若，则；
若，则对任意有，
则称为的一个理想。
显然，单由0组成的子集{0}及自身都是理想，这两个理想称作平凡理想，{0}称为零理想。的其他理想称为非平凡理想。
定义8.2（主理想的定义） 任给，定义
则称为由生成的主理想。
显然，(0)={0},(1)= 为平凡理想，其他理想均为非平凡主理想。关于理想，我们有以下简单的性质：
1）且；
2）。
命题 有理整数环的理想都是主理想，即设是的一个理想，则存在非负整数，使。
证明 若是零理想{0}，取=0即可。现设，于是中必有非零之整数，现令为中的最小正整数，他显然存在且唯一。此时对任意都有，于是。反之，设为中任意整数，按带余除法，存在，使。又因，由的最小性知。故，即。于是。
定义8.3（主理想整环（PID）的定义） 设为一交换环，如果中的理想皆为主理想，则称为主理想环。如果同时又为整环（即环至少包含两个元素，交换，有幺元，无零因子），则称为主理想整环。
现在我们来看一下理想的性质：
给定的两个理想，则它们的交集也是的理想，称为此两理想的交；
定义
则也是的理想，称为的和。
我们不难得到关于理想的两个重要结论：
结论1 设是两个非零整数，是的最小公倍数，则。
结论2 设是两个不全为零的整数，则，其中。
作为结论2的推论，我们有一个重要的结果：
命题 设是两个不全为零的整数，则下面命题互相等价：
（i）互素，即；
（ii）有，使；
(iii).
8.1.4 因子唯一分解定理定义8.4（唯一分解整环的定义）设为一整环（即环至少包含两个元素，交换，有幺元，无零因子）。如果满足下列两条件，则叫做一个唯一（因子）分解整环（也叫高斯整环）：
1）的每个非零非单位的元素恒可以写成有限多个不可约元素的积
；
2）上述分解在相伴意义下是唯一的，即若元素有两种分解。则而且适当改变的角标可使
（或在抽象意义下） 。
在抽象代数课程中，我们将用（1）因子链条件（参见习题一第7题）和（2）整环中的不可约元即为素元素（即下面的引理）来证明 定理 主理想整环是唯一分解整环。在这里，我们仅就有理整数环这一特殊情形给出证明，即有下面的定理：
定理（算术基本定理） 任一正整数都能表成若干素数的乘积
，为素数并且若不计的排列次序，上述表法唯一。
先证明引理（有理整数环中的素因子即为不可约因子）设是素数，且。若，则或。事实上，因只有两个正因子1和，故或1。若，则；而若，即有使得，另一方面可设，，于是
故。
运用数学归纳法，就有若素数整除，则整除某个因子。
现在可以来证明定理本身了。
存在性 对用数学归纳法。当时，结论显然成立。
故可设，并设结论对的正整数已经成立。
若是素数，则即为所求的分解式；若为合数，则。又归纳假设，均可表成若干素数的乘积，当然也有这样的分解式。
唯一性 若又有
，为素数由引理可知必整除某个，不失普遍性，可设。因都是素数，故得。于是
又归纳假设，对成立分解式的唯一性，从而得到的分解式的唯一性。又算术基本定理，每个的正整数都可以唯一的表成
的形状，其中是素数，而是正整数，这叫做的素因子标准分解式。上面的定理又称为因子分解为一定理。
