第二学期第二次课
2．正定二次型：
正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型；
正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵；
设A＝（）为n阶实对称矩阵，称A的r阶子式

为方阵的顺序主子式。
定理 设是实二次型，则下述四条等价：
（i） 正定；
（ii） 的矩阵，其中为可逆阵；
（iii） 对应的二次型函数R;
（iv） 的矩阵的所有顺序主子式都大于0.
证明 由命题2.2知（i）与（ii）等价。（i）与（ii）等价有一个很有用的推论：正定矩阵的行列式大于零。
（i）（iii）：在V的某一组基下的解析表达式为：若，

显然有R。
（iii）（i）：设的规范型为

则上式为在V的某一组基下的解析表达式。若r<n,则＝0，与假设矛盾。故r＝n。而若p<r=n,则＝－1，与假设矛盾。于是p=r=n,即f正定。
（i）（iv）：设f在基下矩阵为A。令M＝L（）。把f限制在M内，在M的基下它的矩阵为

因。由（i）与（ii）的等价性的推论知
>0.
(iv):对n做数学归纳法。n=1时结论是显然的.现设对n-1个变元的实二次型命题成立.考察V的子空间M=L(),f限制在M内,在基下的矩阵为

其各阶顺序主子式>0.按归纳假设,.于是,.于是M内存在一组基,使f在此基下的矩阵为.将添加成为V的一组基.令

则与等价,也是V的一组基.且.故f在下的矩阵为

B与A合同,有 于是

令则为V的一组基,且在此基下,f的矩阵为,即A合同于,从而f正定.
最后，我们指出，n元实二次型可分为如下5类：
正定二次型：正惯性指数＝秩＝n；
半正定二次型：正惯性指数＝秩；
负定二次型：负惯性指数＝秩＝n；
半负定二次型：负惯性指数＝秩；
不定二次型：其他。