第一章 典型例题与综合练习第一节 典型例题一、函数的概念例1求函数的定义域．
解：要使函数有意义，必须
，即
故定义域
例2求函数?的定义域．
解：分段函数的定义域是自变量x取值的各个区间的并集，即，亦即．
例3已知函数f (x＋1)＝x2＋4x－3，求f (x)，，f(0)，f(1)．
解方法一：
f(x)＝f((x－1)＋1)＝(x－1)2＋4(x－1)－3＝x2－2x＋1＋4x－4－3＝x2＋2x－6；
＝＋2－6==；
f(0)=02＋2?0－6=－6；f(x)=12＋2?1－6=－3
方法二：将x＋1看作一个变量，得f(x)=x2＋2x－6，后面的作法同方法一，分别得出，
例4判断函数f(x)＝log0.5(x2＋1)的单调性．
解:易知函数f(x)＝log0.5(x2＋1)为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称，故只需讨论x＞0时函数的单调性．
对任意x1＞x2＞0，有x12＋1＞x22＋1
因为对数之底0.5＜1，此时对数函数单调减少，故
log0.5(x12＋1)＜log0.5(x22＋1),即f(x1)＜f(x2)
由单调性定义可知当x＞0时，f(x)＝log0.5(x2＋1)是单调减函数．再由偶函数的性质可知当x＜0时，f (x)＝log0.5(x2＋1)是单调增函数．
因此函数f (x)＝log0.5(x2＋1)在(－∞,0)上单调增加，在(0,＋∞)上单调减少．
例5设函数f (x)和g(x)都是奇函数，试证f (x)·g(x)是偶函数．
证明：已知f(x)和g(x)都是奇函数，由定义可知，对任意x，有
f (－x)＝－f (x)；g(－x)＝－g(x)，上两个等式的左右端分别相乘得
f(－x)·g(－x)＝(－f(x))·(－g(x))＝f(x)·g(x)
即对任意x有f(－x)·g(－x)＝f(x)·g(x)
由定义可知f (x)·g(x)是偶函数．
二、函数的运算例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：
(1)y＝ln(tan)；(2)y＝cos2x
解：(1)y＝lnu，u＝tanv，v＝，w＝x2＋1
其中y，u，v作为中间变量u，v，w的函数都是基本初等函数，而w是幂函数x2与常数函数1的和．
(2) y＝eu v2，u＝x2，v＝cosx
y是指数函数eu和幂函数v2的乘积，u，v为中间变量．
三、经济分析中的常见函数例1某种产品的需求函数为qd＝100－2 p,供给函数为qs＝10p－8,求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．
解：由100－2p＝10p－8；移项整理得12p＝108，故p0＝9
因q0＝100－2p0，故q0＝82
即该产品的市场均衡价格为9，市场均衡数量为82．
例2已知生产某种产品的成本函数为C(q)＝80＋2q，试求生产该产品的固定成本，并求当产量q为50时的平均成本．
解：固定成本就是当产量为零时的总成本，设为c0，有c0＝C(0)＝80
因为平均成本为＝
所以(50)＝＝＝3.6
即生产该产品的固定成本为80，产量q为50时的平均成本为3.6．
例3已知某厂生产某种产品的成本函数为C(q)＝500＋2q (元)，其中q为该产品的产量，如果该产品的售价定为每件6元，试求：(1)生产200件该产品时的利润和平均利润；(2)求生产该产品的盈亏平衡点．
解(1)已知C(q)＝500＋2q(元)
又由题意知收入函数为R(q)＝6q
因此，利润函数为L(q)＝R(q)－C(q)＝6q－(500＋2q)＝4q－500 (元)
又因该产品的平均利润函数为＝＝4－?(元?件)
生产200件该产品时的利润为L(200)＝4×200－500＝300(元)
而此时平均利润为＝4－＝1.5(元?件)
即生产200件该产品时的利润为300元，平均利润为每件1.5元．
(2)利用L(q)＝0得4q－500＝0
解得q0＝125,(件)，即盈亏平衡点为125件.
第一节 典型例题一、填空题
1,函数y＝的定义域是,
2,函数f (x＋1) = x2＋2x－5，则f (x) =,
3,函数y＝ x2－6x＋10的单调区间是,
4,设f(u)=u2＋1，g(x)=，则f (g (2)) =,
5,如果某商品的需求函数是qd＝25－2 p，供给函数是qs＝3p－12，那么该商品的市场均衡价格是,
6,已知某产品的成本函数为C(q)＝0.2q2＋4q＋294，该产品的需求函数为
q＝180－4 p，该产品的利润函数为,
7,厂家生产某种产品的固定成本是18000元，而可变成本是总收入的40?，若厂家以每件30元的价格出售该产品，则生产该产品的盈亏平衡点是,
1．(1，2)∪(2，4]； 2．x2－6； 3．(－?，3)和(3，＋?)；4．；5．7.4；6．L(q)＝41q－0.45q2－294；7．1000件二、单选题
1.设f(x)=loga x，则（ ）成立．
(A)f(x)·f(y)＝f(x＋y)；(B)f(x)＋f(y)＝f(x＋y)
(C)f(x·y)＝f(x)·f(y)；(D)f(x·y)＝f(x)＋f(y)
2.下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．
(A)f(x)＝sin2x＋cos2x，g(x)=1；(B)f(x)=lgx2，g(x)=2lgx；
(C)f(x)＝()2，g(x)=x；(D)f(x)＝，g(x)=x＋1
3.下列函数中，（ ）是奇函数．
(A)y＝x3＋1；(B)y＝；(C)y＝；(D)?y＝
4.下列函数中，（ ）不是基本初等函数．
(A)y＝；(B)y＝lg(1－x)；(C)y＝；(D)y＝
5.设f(x)＝，则f(f(x))＝（ ）．
(A)；(B)；(C)x；(D)?x2
1.D；2．A；3．C；4．B；5．C
三、多选题
1.设f (x)＝则（ ）成立．
(A)f(－1)＝f(0)；(B)f(0)＝f(1)；(C)f(－1)＝f(3)；(D)f(－3)＝f(3)
2.设f(x)＝ax(a?0，a?1），则等式（ ）成立．
(A)f(x)＋f(y)＝f(x＋y)；(B)f(x)·f(y)＝f(x＋y)；
(C)；(D)
3.下列函数中（ ）是偶函数．
(A)y＝x3sinx；(B)y＝；(C)y＝；(D)y＝5＋cosx
4.下列结论中（ ）是正确的．
(A)基本初等函数都是单调函数；(B)偶函数的图形关于y轴对称
(C)奇函数的图形关于坐标原点对称；(D)?周期函数都是有界函数
5.指数函数y＝ax(a?0，a?1)满足（ ）．
(A)图形过点(0，1)；(B)是单调函数；(C)是有界函数；(D)函数值都大于零
6.设C(q)是成本函数，R(q)是收入函数，L(q)是利润函数，则盈亏平衡点是方程（ ）的解．
(A)C(q)＋R(q)＝0；(B)L(q)＝0；(C)?R(q)－C(q)＝0；(D)L(q)－C(q)＝0
1.AC；2．BD；3．ABCD；4．BC；5．ABD；6．BC
四、配伍题
1.(A)函数f(x)＝esinx；①在区间(－?，1)内是单调减少的
(B)函数f(x)＝x2－2x＋5；②是偶函数
(C)函数f(x)＝x3sinx＋6；③是有界函数
2.(A)函数f(x)＝2tanx；①是奇函数
(B)函数f(x)＝；②是以?为周期的函数
(C)函数f(x)＝ax－a－x；③满足f(0)＝2
1．A③；B①；C②；2．A②；B③；C①；
五、是非题
1.函数y＝lnx3与函数y＝3lnx是相同的．（ ）
2.设a?b?c，若函数f(x)在(a，b]和(b，c)上都是单调增加的，则f(x)在(a，c)上也是单调增加的．（ ）
3.若函数f (x)是定义在(－l，l)(l?0)上的函数，则有
(1)f(x)＋f(－x)是偶函数（ ）；(2)f(x)－f(－x)是奇函数（ ）.
4.初等函数是由基本初等函数经复合而得到的．（ ）
5,分段函数不一定是初等函数．（ ）
6,利润函数L(q)是销售量q的单调增加函数．（ ）
1．√ ；? 2．× ；? 3．(1) √；(2) √ ；? 4．× ； 5．√ ； 6．×
六、计算题1.求函数y＝的定义域．
2.设函数f(x)＝
求f(－1)，f()，f(1)和f(2)．
3.求函数y＝ln(4＋3x－x2)的定义域．
4.设函数f(u)的定义域为[0，1]，求f(lnx)的定义域．
5.将下列函数写成较简单函数的复合形式
(1)y＝；(2)y＝cossin2x3
6.已知某产品的需求函数是qd＝50－10 p，供给函数是qs＝10p－10，求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．
7.已知厂家生产某种产品的成本函数为C(q)＝50＋3q，收入函数为R(q)＝5q，(1)求该产品的平均利润；(2)求该产品的盈亏平衡点．
8.某商品的成本函数为C(q)＝2q2－4q＋27，供给函数为q＝p－8，(1)求该商品的利润函数；(2)说明该商品的盈亏情况．
1．函数的定义域为；
2．f(-1)=1；f()=；f(1)=3；f(2)=0；
3．(－?，4)；
4．[1，e]；
5．(1)y＝eu；u＝；v＝x2＋1；(其中y，u作为中间变量u，v的函数都是基本初等函数，而v是幂函数x2与常数函数1的和．)；
(2)y＝cosu；u＝v2；v＝sinw；w＝x3；(其中y，u，v，w分别作为中间变量和自变量u，v，w，x的函数都是基本初等函数．)；
6．市场均衡价格为p0＝3，市场均衡数量为q0＝20；
7．(1)＝；(2)q0＝25.
8．(1)L(q)＝12q－q2－27；(2)由L(q)＝(q－3)(9－q)可以分析出，当3<q<9时盈利，当q<3或q>9时亏损，当q＝3或q＝9时盈亏平衡．
七、证明题
1.试证：两个单调增函数之和仍是单调增函数．
2.试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数．
3.试证：若奇函数f (x)在原点有定义，则f (0)＝0．
1．证明：设f1(x),f2(x)都是单调增函数．令h(x)＝f1(x)+f2(x)，
对任意x1<x2有f1(x1)<?f1(x2)，f2(x1)<f2(x2)
故h(x1)＝f1(x1)+f2(x1)<f1(x2)+f2(x2)＝h(x2)
即h(x1)<h(x2)，由此可知h(x)是单调增函数．
2．证明：设f1(x)是奇函数，f2(x)是偶函数．令h(x)＝f1(x)·f2(x)，
对任意x有f1(－x)=－f1(x)，f2(－x)=f2(x)
故h(－x)＝f1(－x)·f2(－x)＝－f1(x)·f2(x)＝－h(x)
即h(－x)＝－h(x)，由此可知h(x) 是奇函数．
3．证明：已知f (x)是奇函数，对任意x有f(－x)=－f(x)
令x=0代入上式得f(－0)=－f(0)
即f(0)=－f(0)，由此得出f(0)=0．
解：要使函数有意义，必须
，即
故定义域
例2求函数?的定义域．
解：分段函数的定义域是自变量x取值的各个区间的并集，即，亦即．
例3已知函数f (x＋1)＝x2＋4x－3，求f (x)，，f(0)，f(1)．
解方法一：
f(x)＝f((x－1)＋1)＝(x－1)2＋4(x－1)－3＝x2－2x＋1＋4x－4－3＝x2＋2x－6；
＝＋2－6==；
f(0)=02＋2?0－6=－6；f(x)=12＋2?1－6=－3
方法二：将x＋1看作一个变量，得f(x)=x2＋2x－6，后面的作法同方法一，分别得出，
例4判断函数f(x)＝log0.5(x2＋1)的单调性．
解:易知函数f(x)＝log0.5(x2＋1)为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称，故只需讨论x＞0时函数的单调性．
对任意x1＞x2＞0，有x12＋1＞x22＋1
因为对数之底0.5＜1，此时对数函数单调减少，故
log0.5(x12＋1)＜log0.5(x22＋1),即f(x1)＜f(x2)
由单调性定义可知当x＞0时，f(x)＝log0.5(x2＋1)是单调减函数．再由偶函数的性质可知当x＜0时，f (x)＝log0.5(x2＋1)是单调增函数．
因此函数f (x)＝log0.5(x2＋1)在(－∞,0)上单调增加，在(0,＋∞)上单调减少．
例5设函数f (x)和g(x)都是奇函数，试证f (x)·g(x)是偶函数．
证明：已知f(x)和g(x)都是奇函数，由定义可知，对任意x，有
f (－x)＝－f (x)；g(－x)＝－g(x)，上两个等式的左右端分别相乘得
f(－x)·g(－x)＝(－f(x))·(－g(x))＝f(x)·g(x)
即对任意x有f(－x)·g(－x)＝f(x)·g(x)
由定义可知f (x)·g(x)是偶函数．
二、函数的运算例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：
(1)y＝ln(tan)；(2)y＝cos2x
解：(1)y＝lnu，u＝tanv，v＝，w＝x2＋1
其中y，u，v作为中间变量u，v，w的函数都是基本初等函数，而w是幂函数x2与常数函数1的和．
(2) y＝eu v2，u＝x2，v＝cosx
y是指数函数eu和幂函数v2的乘积，u，v为中间变量．
三、经济分析中的常见函数例1某种产品的需求函数为qd＝100－2 p,供给函数为qs＝10p－8,求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．
解：由100－2p＝10p－8；移项整理得12p＝108，故p0＝9
因q0＝100－2p0，故q0＝82
即该产品的市场均衡价格为9，市场均衡数量为82．
例2已知生产某种产品的成本函数为C(q)＝80＋2q，试求生产该产品的固定成本，并求当产量q为50时的平均成本．
解：固定成本就是当产量为零时的总成本，设为c0，有c0＝C(0)＝80
因为平均成本为＝
所以(50)＝＝＝3.6
即生产该产品的固定成本为80，产量q为50时的平均成本为3.6．
例3已知某厂生产某种产品的成本函数为C(q)＝500＋2q (元)，其中q为该产品的产量，如果该产品的售价定为每件6元，试求：(1)生产200件该产品时的利润和平均利润；(2)求生产该产品的盈亏平衡点．
解(1)已知C(q)＝500＋2q(元)
又由题意知收入函数为R(q)＝6q
因此，利润函数为L(q)＝R(q)－C(q)＝6q－(500＋2q)＝4q－500 (元)
又因该产品的平均利润函数为＝＝4－?(元?件)
生产200件该产品时的利润为L(200)＝4×200－500＝300(元)
而此时平均利润为＝4－＝1.5(元?件)
即生产200件该产品时的利润为300元，平均利润为每件1.5元．
(2)利用L(q)＝0得4q－500＝0
解得q0＝125,(件)，即盈亏平衡点为125件.
第一节 典型例题一、填空题
1,函数y＝的定义域是,
2,函数f (x＋1) = x2＋2x－5，则f (x) =,
3,函数y＝ x2－6x＋10的单调区间是,
4,设f(u)=u2＋1，g(x)=，则f (g (2)) =,
5,如果某商品的需求函数是qd＝25－2 p，供给函数是qs＝3p－12，那么该商品的市场均衡价格是,
6,已知某产品的成本函数为C(q)＝0.2q2＋4q＋294，该产品的需求函数为
q＝180－4 p，该产品的利润函数为,
7,厂家生产某种产品的固定成本是18000元，而可变成本是总收入的40?，若厂家以每件30元的价格出售该产品，则生产该产品的盈亏平衡点是,
1．(1，2)∪(2，4]； 2．x2－6； 3．(－?，3)和(3，＋?)；4．；5．7.4；6．L(q)＝41q－0.45q2－294；7．1000件二、单选题
1.设f(x)=loga x，则（ ）成立．
(A)f(x)·f(y)＝f(x＋y)；(B)f(x)＋f(y)＝f(x＋y)
(C)f(x·y)＝f(x)·f(y)；(D)f(x·y)＝f(x)＋f(y)
2.下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．
(A)f(x)＝sin2x＋cos2x，g(x)=1；(B)f(x)=lgx2，g(x)=2lgx；
(C)f(x)＝()2，g(x)=x；(D)f(x)＝，g(x)=x＋1
3.下列函数中，（ ）是奇函数．
(A)y＝x3＋1；(B)y＝；(C)y＝；(D)?y＝
4.下列函数中，（ ）不是基本初等函数．
(A)y＝；(B)y＝lg(1－x)；(C)y＝；(D)y＝
5.设f(x)＝，则f(f(x))＝（ ）．
(A)；(B)；(C)x；(D)?x2
1.D；2．A；3．C；4．B；5．C
三、多选题
1.设f (x)＝则（ ）成立．
(A)f(－1)＝f(0)；(B)f(0)＝f(1)；(C)f(－1)＝f(3)；(D)f(－3)＝f(3)
2.设f(x)＝ax(a?0，a?1），则等式（ ）成立．
(A)f(x)＋f(y)＝f(x＋y)；(B)f(x)·f(y)＝f(x＋y)；
(C)；(D)
3.下列函数中（ ）是偶函数．
(A)y＝x3sinx；(B)y＝；(C)y＝；(D)y＝5＋cosx
4.下列结论中（ ）是正确的．
(A)基本初等函数都是单调函数；(B)偶函数的图形关于y轴对称
(C)奇函数的图形关于坐标原点对称；(D)?周期函数都是有界函数
5.指数函数y＝ax(a?0，a?1)满足（ ）．
(A)图形过点(0，1)；(B)是单调函数；(C)是有界函数；(D)函数值都大于零
6.设C(q)是成本函数，R(q)是收入函数，L(q)是利润函数，则盈亏平衡点是方程（ ）的解．
(A)C(q)＋R(q)＝0；(B)L(q)＝0；(C)?R(q)－C(q)＝0；(D)L(q)－C(q)＝0
1.AC；2．BD；3．ABCD；4．BC；5．ABD；6．BC
四、配伍题
1.(A)函数f(x)＝esinx；①在区间(－?，1)内是单调减少的
(B)函数f(x)＝x2－2x＋5；②是偶函数
(C)函数f(x)＝x3sinx＋6；③是有界函数
2.(A)函数f(x)＝2tanx；①是奇函数
(B)函数f(x)＝；②是以?为周期的函数
(C)函数f(x)＝ax－a－x；③满足f(0)＝2
1．A③；B①；C②；2．A②；B③；C①；
五、是非题
1.函数y＝lnx3与函数y＝3lnx是相同的．（ ）
2.设a?b?c，若函数f(x)在(a，b]和(b，c)上都是单调增加的，则f(x)在(a，c)上也是单调增加的．（ ）
3.若函数f (x)是定义在(－l，l)(l?0)上的函数，则有
(1)f(x)＋f(－x)是偶函数（ ）；(2)f(x)－f(－x)是奇函数（ ）.
4.初等函数是由基本初等函数经复合而得到的．（ ）
5,分段函数不一定是初等函数．（ ）
6,利润函数L(q)是销售量q的单调增加函数．（ ）
1．√ ；? 2．× ；? 3．(1) √；(2) √ ；? 4．× ； 5．√ ； 6．×
六、计算题1.求函数y＝的定义域．
2.设函数f(x)＝
求f(－1)，f()，f(1)和f(2)．
3.求函数y＝ln(4＋3x－x2)的定义域．
4.设函数f(u)的定义域为[0，1]，求f(lnx)的定义域．
5.将下列函数写成较简单函数的复合形式
(1)y＝；(2)y＝cossin2x3
6.已知某产品的需求函数是qd＝50－10 p，供给函数是qs＝10p－10，求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．
7.已知厂家生产某种产品的成本函数为C(q)＝50＋3q，收入函数为R(q)＝5q，(1)求该产品的平均利润；(2)求该产品的盈亏平衡点．
8.某商品的成本函数为C(q)＝2q2－4q＋27，供给函数为q＝p－8，(1)求该商品的利润函数；(2)说明该商品的盈亏情况．
1．函数的定义域为；
2．f(-1)=1；f()=；f(1)=3；f(2)=0；
3．(－?，4)；
4．[1，e]；
5．(1)y＝eu；u＝；v＝x2＋1；(其中y，u作为中间变量u，v的函数都是基本初等函数，而v是幂函数x2与常数函数1的和．)；
(2)y＝cosu；u＝v2；v＝sinw；w＝x3；(其中y，u，v，w分别作为中间变量和自变量u，v，w，x的函数都是基本初等函数．)；
6．市场均衡价格为p0＝3，市场均衡数量为q0＝20；
7．(1)＝；(2)q0＝25.
8．(1)L(q)＝12q－q2－27；(2)由L(q)＝(q－3)(9－q)可以分析出，当3<q<9时盈利，当q<3或q>9时亏损，当q＝3或q＝9时盈亏平衡．
七、证明题
1.试证：两个单调增函数之和仍是单调增函数．
2.试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数．
3.试证：若奇函数f (x)在原点有定义，则f (0)＝0．
1．证明：设f1(x),f2(x)都是单调增函数．令h(x)＝f1(x)+f2(x)，
对任意x1<x2有f1(x1)<?f1(x2)，f2(x1)<f2(x2)
故h(x1)＝f1(x1)+f2(x1)<f1(x2)+f2(x2)＝h(x2)
即h(x1)<h(x2)，由此可知h(x)是单调增函数．
2．证明：设f1(x)是奇函数，f2(x)是偶函数．令h(x)＝f1(x)·f2(x)，
对任意x有f1(－x)=－f1(x)，f2(－x)=f2(x)
故h(－x)＝f1(－x)·f2(－x)＝－f1(x)·f2(x)＝－h(x)
即h(－x)＝－h(x)，由此可知h(x) 是奇函数．
3．证明：已知f (x)是奇函数，对任意x有f(－x)=－f(x)
令x=0代入上式得f(－0)=－f(0)
即f(0)=－f(0)，由此得出f(0)=0．
