第一章 典型例题与综合练习第一节 典型例题一、极限计算例1求极限
解：原式
例2求极限
解：
例3求极限?
解：=
=×==
例4求极限
解：
二、函数的连续性例1讨论函数在x=0处的连续性，并求函数的连续区间.
解：因为，所以
当时，，即极限值不等于函数值，所以x=0是函数的一个间断点，且当时，函数的连续区间是.
当时，，即极限值等于函数值，所以x=0是函数的一个连续点，且当时，函数的连续区间是.
三、函数的可导性例1设函数
若函数在点处连续且可导，应如何选取系数
解：因为
所以当时函数在点处连续.
又因为
所以当，时函数在点处可导.
例2求曲线在处的切线方程．
解：，，且当时，，即切点为（1，1）．所求切线方程为：或
四、导数（微分）的计算例1求下列函数的导数或微分
(1)设,求；(2)?设,求.
解(1)先用加法法则，再用基本公式
(2)因为
所以，
例2求下列函数的导数或微分：(1)设,求；
(2)设,求；(3),求.
解(1)设，由复合函数求导法则求导数，
(2)设，由复合函数求导法则求导数
(3)方法一：由导数求得微分：即：
移项得：
解出：
于是=
方法二：方程两边对变量求微分，这时变量和的地位都是相同的.
；
；于是=
五、高阶导数例1求函数的二阶导数.
解：因为所以，
第二节 典型例题一、填空题
1.,
2.设，在处连续，则,
3.函数的连续区间为,间断点是,
4.若，则,
5.曲线在（1，1）处的切线方程是,
6.已知是可导函数，则=,
7.设，则在处的弹性为,
8.设，则=.
1．1；2．1；3．和；4．；
5．； 6．；7．3；8．?
二、单选题
1.函数的连续区间是（ ）
(A)；(B)
(C)；(D)或
2.下列极限计算正确的是( )
(A)；(B)；(C)?；(D)
3.当时，，又在处连续，则( )
(A)－1；(B)2；(C)1；(D)－2.
4.设，则( )
(A)2；(B)2；(C)1；(D)4
5.若，则（ ）.
(A)；(B)－；(C)；(D)－
1.C；2．B；3．A；4．D；5．B
三、多选题
1.当时，下列变量中（ ）为无穷小量.
(A)；(B)；(C)?
2,下列极限值正确的是（ ）.
(A)；(B)；(C)；(D)?
3.函数在处可导，则（ ）.
(A)函数在处有定义；(B)
(C)函数在处连续；(D)函数在处可微
4.下列导数计算正确的是（ ）.
(A)；(B)(e
(C)；(D)
5.下列函数在处不连续的是（ ）．
(A)；(B)
(C)；(D)
1.BD ；?2．BD ；?3．ACD ；?4．ACD ；?5．BC
四、配伍题
1.下列数列收敛于
(A)1，0，，0，，0，，；①1；(B)1，，，，，；②0
(C)0，，，，，…，；③
2.下面极限式的值为：
(A)；①0；(B)；②－；
(C)；③2
3.讨论函数在处的性质
(A)；①可导；(B)；②有极限存在但不连续；(C)；③连续但不可导.
4.下列可导函数所对应的导函数是：
(A)；①；(B)；②(C)；③
5.求函数在处的弹性值
(A)的弹性为；①－1；(B)的弹性为；②
(C)的弹性为；③
1．A②；B①；C③；2．A②；B③；C①；3．A②；B①；C③；4．A③；B②；C①；
5．A②；B①；C③；
五、是非题
1.函数在处有极限，则在点处有定义.（ ）
2.若在点处可微，则当时,有极限存在.（ ）
3.在点处不可导，则在此点处不连续.（ ）
4.因为是连续函数，所以有.（ ）
5.曲线在点（）处有不垂直轴的的切线，则一定有（ ）
1．× ；? 2．√ ；? 3．× ；? 4．√ ； 5．√ ；
六、计算题1.计算下列极限
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
（7）；（8）
2.讨论函数,在处的连续性.
3.求函数的连续区间.
4.求下列函数的导数
（1）；（2）（3）；（4）
（5）；（6）求由方程确定的对的函数的导数.
5.求下列函数的微分
（1）；（2）；（3）；（4）
6.求下列函数的二阶导数：
（1）求；（2），求.
7.求曲线在（1，1）点处的切线方程.
8.试求曲线在哪一点处的切线斜率为16.
1．(1)1；(2)1；(3)x；(4)2；(5)1；(6)2；(7)1；(8)e-2；
2．因为，所以，函数在处是连续的.
3．函数的连续区间为.
4．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；
5．(1)；(2) ；
(3) ；(4)；
6．(1) ；；
(2)；0；
7．y =1；8．在点处切线的斜率为16.
七、证明题
1.已知，证明：.
1．证明:
由已知代入中，即为
左边=右边，证毕.
解：原式
例2求极限
解：
例3求极限?
解：=
=×==
例4求极限
解：
二、函数的连续性例1讨论函数在x=0处的连续性，并求函数的连续区间.
解：因为，所以
当时，，即极限值不等于函数值，所以x=0是函数的一个间断点，且当时，函数的连续区间是.
当时，，即极限值等于函数值，所以x=0是函数的一个连续点，且当时，函数的连续区间是.
三、函数的可导性例1设函数
若函数在点处连续且可导，应如何选取系数
解：因为
所以当时函数在点处连续.
又因为
所以当，时函数在点处可导.
例2求曲线在处的切线方程．
解：，，且当时，，即切点为（1，1）．所求切线方程为：或
四、导数（微分）的计算例1求下列函数的导数或微分
(1)设,求；(2)?设,求.
解(1)先用加法法则，再用基本公式
(2)因为
所以，
例2求下列函数的导数或微分：(1)设,求；
(2)设,求；(3),求.
解(1)设，由复合函数求导法则求导数，
(2)设，由复合函数求导法则求导数
(3)方法一：由导数求得微分：即：
移项得：
解出：
于是=
方法二：方程两边对变量求微分，这时变量和的地位都是相同的.
；
；于是=
五、高阶导数例1求函数的二阶导数.
解：因为所以，
第二节 典型例题一、填空题
1.,
2.设，在处连续，则,
3.函数的连续区间为,间断点是,
4.若，则,
5.曲线在（1，1）处的切线方程是,
6.已知是可导函数，则=,
7.设，则在处的弹性为,
8.设，则=.
1．1；2．1；3．和；4．；
5．； 6．；7．3；8．?
二、单选题
1.函数的连续区间是（ ）
(A)；(B)
(C)；(D)或
2.下列极限计算正确的是( )
(A)；(B)；(C)?；(D)
3.当时，，又在处连续，则( )
(A)－1；(B)2；(C)1；(D)－2.
4.设，则( )
(A)2；(B)2；(C)1；(D)4
5.若，则（ ）.
(A)；(B)－；(C)；(D)－
1.C；2．B；3．A；4．D；5．B
三、多选题
1.当时，下列变量中（ ）为无穷小量.
(A)；(B)；(C)?
2,下列极限值正确的是（ ）.
(A)；(B)；(C)；(D)?
3.函数在处可导，则（ ）.
(A)函数在处有定义；(B)
(C)函数在处连续；(D)函数在处可微
4.下列导数计算正确的是（ ）.
(A)；(B)(e
(C)；(D)
5.下列函数在处不连续的是（ ）．
(A)；(B)
(C)；(D)
1.BD ；?2．BD ；?3．ACD ；?4．ACD ；?5．BC
四、配伍题
1.下列数列收敛于
(A)1，0，，0，，0，，；①1；(B)1，，，，，；②0
(C)0，，，，，…，；③
2.下面极限式的值为：
(A)；①0；(B)；②－；
(C)；③2
3.讨论函数在处的性质
(A)；①可导；(B)；②有极限存在但不连续；(C)；③连续但不可导.
4.下列可导函数所对应的导函数是：
(A)；①；(B)；②(C)；③
5.求函数在处的弹性值
(A)的弹性为；①－1；(B)的弹性为；②
(C)的弹性为；③
1．A②；B①；C③；2．A②；B③；C①；3．A②；B①；C③；4．A③；B②；C①；
5．A②；B①；C③；
五、是非题
1.函数在处有极限，则在点处有定义.（ ）
2.若在点处可微，则当时,有极限存在.（ ）
3.在点处不可导，则在此点处不连续.（ ）
4.因为是连续函数，所以有.（ ）
5.曲线在点（）处有不垂直轴的的切线，则一定有（ ）
1．× ；? 2．√ ；? 3．× ；? 4．√ ； 5．√ ；
六、计算题1.计算下列极限
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
（7）；（8）
2.讨论函数,在处的连续性.
3.求函数的连续区间.
4.求下列函数的导数
（1）；（2）（3）；（4）
（5）；（6）求由方程确定的对的函数的导数.
5.求下列函数的微分
（1）；（2）；（3）；（4）
6.求下列函数的二阶导数：
（1）求；（2），求.
7.求曲线在（1，1）点处的切线方程.
8.试求曲线在哪一点处的切线斜率为16.
1．(1)1；(2)1；(3)x；(4)2；(5)1；(6)2；(7)1；(8)e-2；
2．因为，所以，函数在处是连续的.
3．函数的连续区间为.
4．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；
5．(1)；(2) ；
(3) ；(4)；
6．(1) ；；
(2)；0；
7．y =1；8．在点处切线的斜率为16.
七、证明题
1.已知，证明：.
1．证明:
由已知代入中，即为
左边=右边，证毕.
