第四单元 复合函数求导与高阶导数第一节 复合函数与隐函数求导法则一、学习目标在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法，学习之后我们要能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或微分.
二、内容讲解
（一）复合函数求导
1.复合函数求导问题：
（1），求；（2），则
解：第一个问题，求导数没有直接公式可用.
方法1：将函数展开，利用加法法则有
方法2：将函数写成两个因式乘积的形式，利用四则运算法则求导数.
第二个问题，展开？共101项，求导很麻烦.
写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.
在这节课我们将介绍复合函数求导法则.
讨论，引进中间变量
2.复合函数求导法则定理 设y=f(u),u=?(x),且u=?(x)在点x处可导，y=f(u)在点u=x)处可导，则复合函数y=f(?(x))在点x处可导，且或
3.复合函数求导步骤
（1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；
（2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.
4.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若，
则? 或
注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.
（二）隐函数求导
1.隐函数求导问题,
求由方程所确定的隐函数的导数？
解：先将从方程中解出来，得到和
分别求导和，将和分别代入，得，（1）
由（1）解得，（2）
在（2）中隐含
2.隐函数求导方法步骤
（1）方程两边求导，；（2）整理方程，求出.
问题思考：设，则
错误.正确求解过程为：，。注意：.
三、例题讲解例1 求下列函数的导数或微分
（1），求
解：方法一:由，
方法二,利用复合函数求导法则，设，
（2），求
解：利用复合函数求导法则，设，.
（3），求.
解：利用复合函数求导法则，设，，
例2设，求
解：先求一般点上函数的导数，再将代入求得结果.
设，利用复合函数求导法则，
，
例3?设函数，求.
解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）
，
例4 求函数，求.
解：
例5?设函数，求.
解
，[]
例6 求由方程所确定的隐函数的导数.
解：方程两边对自变量求导数，此时是中间变量.
，解出（与前面的结果相同）.
例7? 求由方程所确定的隐函数的导数？
解：方程两边对自变量求导数，此时是中间变量.
解得 （注意：在隐函数的导数结果中常常含有）.
例8 求双曲线在点（1，1）处的切线斜率.
分析：此题是求隐函数在某点处的导数.
解：因为，所以，且在点（1，1）处的切线斜率
四、课堂练习练习1设，求.?
练习2 设，求.
练习3 设，求？
练习4 求曲线在处的切线方程？
五、课后作业
1.计算下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）；（10）
2.计算下列函数的微分：
（1）；（2）；（3）；（4）
3,下列各方程中是的隐函数，试求或：
（1），求；（2），求；
（3），求；（4），求.
1.（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）；
（10）
2.（1）；（2）
（3）；（4）
3.（1）；（2）；
（3）；（4）
第二节 高阶导数一、学习目标了解高阶导数的概念，掌握函数二阶导数的计算方法，会计算一些简单函数高阶导数二、内容讲解
的高阶导数：，
；.
一般地，函数的阶导数记为
问题：求的10阶导数.
=0。因为，，，，，，由此可以得出结论，次多项式的阶导数必为0
三、例题讲解例1求函数的二、三阶导数.
解：，，。
例2 求的二阶导数 至导数.
解：，
四、课堂练习
1设函数，求；2设函数，求；3求，求.
五、课后作业
1.求下列函数的二阶导数：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
2.求下列各函数在指定点的高阶导数值：
（1），求；（2），求
（3），求；（4），求
3.求函数的阶导数.
1.（1）；（2）；（3）；（4）18；?（5）；（6）
2.（1）；（2）；；（4）6；3.
二、内容讲解
（一）复合函数求导
1.复合函数求导问题：
（1），求；（2），则
解：第一个问题，求导数没有直接公式可用.
方法1：将函数展开，利用加法法则有
方法2：将函数写成两个因式乘积的形式，利用四则运算法则求导数.
第二个问题，展开？共101项，求导很麻烦.
写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.
在这节课我们将介绍复合函数求导法则.
讨论，引进中间变量
2.复合函数求导法则定理 设y=f(u),u=?(x),且u=?(x)在点x处可导，y=f(u)在点u=x)处可导，则复合函数y=f(?(x))在点x处可导，且或
3.复合函数求导步骤
（1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；
（2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.
4.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若，
则? 或
注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.
（二）隐函数求导
1.隐函数求导问题,
求由方程所确定的隐函数的导数？
解：先将从方程中解出来，得到和
分别求导和，将和分别代入，得，（1）
由（1）解得，（2）
在（2）中隐含
2.隐函数求导方法步骤
（1）方程两边求导，；（2）整理方程，求出.
问题思考：设，则
错误.正确求解过程为：，。注意：.
三、例题讲解例1 求下列函数的导数或微分
（1），求
解：方法一:由，
方法二,利用复合函数求导法则，设，
（2），求
解：利用复合函数求导法则，设，.
（3），求.
解：利用复合函数求导法则，设，，
例2设，求
解：先求一般点上函数的导数，再将代入求得结果.
设，利用复合函数求导法则，
，
例3?设函数，求.
解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）
，
例4 求函数，求.
解：
例5?设函数，求.
解
，[]
例6 求由方程所确定的隐函数的导数.
解：方程两边对自变量求导数，此时是中间变量.
，解出（与前面的结果相同）.
例7? 求由方程所确定的隐函数的导数？
解：方程两边对自变量求导数，此时是中间变量.
解得 （注意：在隐函数的导数结果中常常含有）.
例8 求双曲线在点（1，1）处的切线斜率.
分析：此题是求隐函数在某点处的导数.
解：因为，所以，且在点（1，1）处的切线斜率
四、课堂练习练习1设，求.?
练习2 设，求.
练习3 设，求？
练习4 求曲线在处的切线方程？
五、课后作业
1.计算下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）；（10）
2.计算下列函数的微分：
（1）；（2）；（3）；（4）
3,下列各方程中是的隐函数，试求或：
（1），求；（2），求；
（3），求；（4），求.
1.（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）；
（10）
2.（1）；（2）
（3）；（4）
3.（1）；（2）；
（3）；（4）
第二节 高阶导数一、学习目标了解高阶导数的概念，掌握函数二阶导数的计算方法，会计算一些简单函数高阶导数二、内容讲解
的高阶导数：，
；.
一般地，函数的阶导数记为
问题：求的10阶导数.
=0。因为，，，，，，由此可以得出结论，次多项式的阶导数必为0
三、例题讲解例1求函数的二、三阶导数.
解：，，。
例2 求的二阶导数 至导数.
解：，
四、课堂练习
1设函数，求；2设函数，求；3求，求.
五、课后作业
1.求下列函数的二阶导数：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
2.求下列各函数在指定点的高阶导数值：
（1），求；（2），求
（3），求；（4），求
3.求函数的阶导数.
1.（1）；（2）；（3）；（4）18；?（5）；（6）
2.（1）；（2）；；（4）6；3.
