第二单元 函数极值第一节 函数极值及存在条件一、学习目标通过本节课学习，理解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值的判别方法和极值的求法．
二、内容讲解
（1）极值概念定义3.2——极值概念设函数f (x)在点x0的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点x (xx0)，恒有f(x)f(x0)，则称f (x0)为函数的极大(小)值，称x0为函数的极大(小)值点．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
大家看下面这个图形：
在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点x1，x2，x3，x4，x5和两个端点．
哪些点是极大值点呢？ 可以看到x1是极大值点，x4也是极大值点．
端点b是不是极大值点呢？ 极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，而端点b的右边是没有函数值，所以它不是极大值点,
再找一找哪些是极小值点？ x2是一个极小值点，x5也是一个极小值点．
x3是极大值点还是极小值点呢？不是，它不是极值点，因为找不到一个小范围，使它的函数值成为最大或最小．
（2）极值求法下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法．
分析函数在极值点处具有什么特征．
x1是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一条水平线；x5是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也是一条水平线．由此可得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点，那么它的切线一定是水平的，即它的导数为0．
定理3.2——极值点必要条件如果点是函数f (x)的极值点，且(x0)存在，则(x0)=0使(x0)=0的点，称为函数f(x)的驻点．
定理3.2表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻点．
这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到．
说明：?.若(x0)不存在，则x0不是f(x)的驻点．
.定理3.2是极值存在的必要条件．
根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点．但是，驻点并不一定是极值点．例如：函数y=x3在x0=0
处，(x0)=0，由图可知，x0=0不是极值点．
因此，请大家想一想：
极值存在的充分条件是什么？
回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析．
从这个图形中很容易的看出，函数f(x)在点x0处达到极大，x0是极大值点．当然，函数在这一点处切线是存在的，函数在这一点是可导的，而且满足极值的必要条件(x0)=0．
特征：点x0的左边曲线是上升的，即导数值大于0；右边曲线是下降的，即斜率小于0．
由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的．
从图形上显然看出x0也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点是不可导点．
特征：在点x0的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点x0是极大值点，则它左边的导数大于0，右边的导数小于0．
由这两个图可知，若x0是函数f(x)的驻点或不可导点，且在点x0的左、右两边的导数由正变负，则x0是极值点，而且是极大值点．这一结论具有一般性，它是充分条件的一部分．
再看极小值点．从图中很容易发现x0是极小值点．由于x0是f(x)的可导点，所以满足极值的必要条件(x0)=0．
若x0是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于0，即导数值大于0；而在左边，它的斜率小于0，即导数值小于0．所以，一个驻点是极小值点时，它的左、右两边的导数符号也是不一样的．
x0是这个函数极小值点，但是不可导点．它所具有的特征是：在可导的条件下，x0右边的导数大于0，x0左边的导数小于0．
归纳：只要x0满足极小值点的必要条件，那么在x0左右两边函数可导的条件下，左右两边的导数符号是不一样的，而且从左到右，导数的符号从负的变为正的．
在这种情况下，x0不是极值点．在x0左右两边函数可导的条件下，两边的切线方向是一致的．也就是说，尽管x0满足了极值点的必要条件 (x0) = 0，但在x0的左右两边，导数不变号，因此可以肯定x0不是极值点．x0也不是函数的极值点，且在x0左右两边，导数的符号是一样的．
由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件．
定理3.3——极值点的充分条件设函数f(x)在点x0的邻域内连续并且可导(f(x0)可以不存在)．如果在点x0的左邻域内(x)>(<)0，在点x0的右邻域内(x)<(>)0，那么x0是f(x)的极大(小)值点，且f(x0)是f(x)的极大(小)值．
如果在点x0的邻域内，(x)不变号，那么x0不是f(x)的极值点．
问题思考：若x0是f(x)的极值点，则一定有(x0)=0吗？举例说明．不一定．例如，，那么，x=0是f (x)的极值点．但在x=0处，(x)不存在．
三、例题讲解例1 设函数y=ex-x+1，求驻点．
[分析]驻点就是使导数等于0的点．
解：=ex-1，由=ex–1=0，得x=0
注意：这里求出的x=0不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻点．可导函数(x0)=0是点x0为极值点的必要条件，但不是充分条件．
例2 设y=x–ln(1+x)，求极值点．
[分析]首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．
解：定义域，，解得x =0(驻点)
在x=0的左右两边，的符号由负变正，故x=0是极小值点．
例3设求极值点,[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．
解：定义域；，x=0处导数不存在，x=1是驻点.
在x = 0的左右两边，的符号由负变正，故x = 0是极小值点；
在x = 1的左右两边，的符号由正变负，故x = 1是极大值点．
例4 设，求极值．
[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点，最后写出极值．
解：定义域，在x=0的左右两边同号，故x=0不是极值点；
在x=1的左右两边，的符号由正变负，故x=1是极大值点．
求函数极值的步骤,
（1）确定函数f (x)的定义域，并求其导数(x)；
（2）解方程(x) = 0，求出f (x) 在定义域内的所有的驻点；
（3）找出所有在定义域内连续但导数不存在的点；
（4）讨论(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，确定函数f(x)的极值点；
（5）写出函数f (x)的极值点和极值．
四、课后作业
1．求下列函数的极值：
（1）f(x)=；（2）f(x)=；（3）f(x)=x2–ln(1+x)；（4）f(x)=x2e-x
1.（1）极小值；（2）极小值；
（3）极小值；（4）
第二节 函数最值一、学习目标通过本节课学习，了解最大值、最小值的概念，知道极值与最值之间的关系，掌握最大值、最小值问题的处理方法，熟练掌握解决一些应用问题的方法，尤其是求解经济应用问题最值的方法．
二、内容讲解
1.最大值、最小值及其求法
（1）极值与最值的区别：
极值是在其左右小范围内比较；最值是在指定的范围内比较所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值．
这个函数在区间[a，b]内的极大值点是x1，x4；极小值点是x2，x5．现在要问这个函数在闭区间[a，b]上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点．从图中可以看出，端点b处的函数值最大，所以点b就是该函数在区间[a，b]上的最大值点．
同样，从图中可以看出x2是区间[a，b]上最小值点．
若将点往左移至，从图中可以看出，最大值点是x4，而最小值点仍然是x2.
若将区间改为，则最大值点仍然是x4，最小值点仍然是x2．
明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了．
函数f(x)在[a，b]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中．
（1）端点：a，b；（2）驻点：使(x)=0的点；（3）不可导点：(x)不存在的点.
2.函数的最值概念（定义3.3）
最值的求法：①极值是在局部范围内比较；②最值是在指定的范围内比较.
求函数最值的步骤：
①求导数(x)；
②解(x) = 0，求出f (x)的驻点；
③找出f (x)连续但(x)不存在的点；
④比较f (x)在驻点、导数不存在点和端点处的值，确定最大值和最小值．
问题思考：函数最值一定是函数极值吗？何时极值一定是最值？
极大（小）值只是在极值点附近的局部最大（小）值，而最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，它可能在区间的端点处达到．因此，最大（小）值不一定是极大（小）值．
若在区间上连续，在内可导，且在上有唯一极大（小）值点，则在上的极大（小）值就是最大（小）值．
三、例题讲解例1求y=x3-3x2–9x+5在[-4，4]上的最大值和最小值．
[分析]可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点．因此，先求驻点和不可导点，再比较这些点和端点处的函数值的大小，确定最大值和最小值．
解：= 3x2 – 6x - 9 = 3(x2 – 2x – 3)= 3(x + 1)(x – 3) = 0x1 = -1，x2 = 3
-4
-1
3
4
-71
10
-22
-15
所以，最大值为y(-1)=10，最小值为y(-4)=-71．
说明：不用判别-1，3是否为极值点，只要计算-4，-1，3，4处的函数值，确定最大值和最小值．
例2 求y=x(x-1)在上的最值点．
解：?= 0，(驻点)，且x=1处导数不存在，所以，最小值点为x=，最大值点为x=-2．
-2
1
2
-2
0
2
例3将边长为30cm的一块正方形铁皮的四角截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．问截掉的小正方形边长为多少时，所得方盒的容积最大？
解：设小正方形边长为cm，则盒底边长为30-2，
容积为V= (30-2x)2x，x(0，15)
因为=-4(30-2x)x+(30-2x)2=(30-2x)(30-6x)
令=0，得x1=5，x2=15(舍弃)，且x1=5是V在定义域内唯一驻点．
所以x1=5是V的极大值点，也是的最大值点．即截掉的小正方形边长5cm时，所得方盒的容积最大，最大容积为V=5(30-10)2=2000cm3
说明：
1．解应用问题，首先要建立数学模型，建立模型的第一步是设变量，再用这个变量把问题用数学语言描述出来．
2．如果f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，而且是f(x)在(a，b)内的唯一驻点，那么当x0是f (x)的极值点时，x0一定是f(x)在[a，b]上的最值点．
四、课堂练习
1.求下列函数的最大值和最小值：
（1）f(x)=x+，[-5，1]；（2）f(x)=
2．求200m长的篱笆所围成的面积最大的矩形尺寸．
3．在半径为R的半圆内，内接一矩形，问①矩形的边长为何值时，矩形的面积最大？②矩形的周长最大？
1.（1）最大，最小；（2）最大，最小.
2．当矩形的长和宽都是50m时，围成的面积最大.
3．①当矩形的长和宽分别是和时，矩形的面积最大；
②当矩形的长和宽分别是时，矩形的周长最大.
二、内容讲解
（1）极值概念定义3.2——极值概念设函数f (x)在点x0的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点x (xx0)，恒有f(x)f(x0)，则称f (x0)为函数的极大(小)值，称x0为函数的极大(小)值点．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
大家看下面这个图形：
在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点x1，x2，x3，x4，x5和两个端点．
哪些点是极大值点呢？ 可以看到x1是极大值点，x4也是极大值点．
端点b是不是极大值点呢？ 极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，而端点b的右边是没有函数值，所以它不是极大值点,
再找一找哪些是极小值点？ x2是一个极小值点，x5也是一个极小值点．
x3是极大值点还是极小值点呢？不是，它不是极值点，因为找不到一个小范围，使它的函数值成为最大或最小．
（2）极值求法下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法．
分析函数在极值点处具有什么特征．
x1是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一条水平线；x5是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也是一条水平线．由此可得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点，那么它的切线一定是水平的，即它的导数为0．
定理3.2——极值点必要条件如果点是函数f (x)的极值点，且(x0)存在，则(x0)=0使(x0)=0的点，称为函数f(x)的驻点．
定理3.2表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻点．
这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到．
说明：?.若(x0)不存在，则x0不是f(x)的驻点．
.定理3.2是极值存在的必要条件．
根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点．但是，驻点并不一定是极值点．例如：函数y=x3在x0=0
处，(x0)=0，由图可知，x0=0不是极值点．
因此，请大家想一想：
极值存在的充分条件是什么？
回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析．
从这个图形中很容易的看出，函数f(x)在点x0处达到极大，x0是极大值点．当然，函数在这一点处切线是存在的，函数在这一点是可导的，而且满足极值的必要条件(x0)=0．
特征：点x0的左边曲线是上升的，即导数值大于0；右边曲线是下降的，即斜率小于0．
由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的．
从图形上显然看出x0也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点是不可导点．
特征：在点x0的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点x0是极大值点，则它左边的导数大于0，右边的导数小于0．
由这两个图可知，若x0是函数f(x)的驻点或不可导点，且在点x0的左、右两边的导数由正变负，则x0是极值点，而且是极大值点．这一结论具有一般性，它是充分条件的一部分．
再看极小值点．从图中很容易发现x0是极小值点．由于x0是f(x)的可导点，所以满足极值的必要条件(x0)=0．
若x0是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于0，即导数值大于0；而在左边，它的斜率小于0，即导数值小于0．所以，一个驻点是极小值点时，它的左、右两边的导数符号也是不一样的．
x0是这个函数极小值点，但是不可导点．它所具有的特征是：在可导的条件下，x0右边的导数大于0，x0左边的导数小于0．
归纳：只要x0满足极小值点的必要条件，那么在x0左右两边函数可导的条件下，左右两边的导数符号是不一样的，而且从左到右，导数的符号从负的变为正的．
在这种情况下，x0不是极值点．在x0左右两边函数可导的条件下，两边的切线方向是一致的．也就是说，尽管x0满足了极值点的必要条件 (x0) = 0，但在x0的左右两边，导数不变号，因此可以肯定x0不是极值点．x0也不是函数的极值点，且在x0左右两边，导数的符号是一样的．
由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件．
定理3.3——极值点的充分条件设函数f(x)在点x0的邻域内连续并且可导(f(x0)可以不存在)．如果在点x0的左邻域内(x)>(<)0，在点x0的右邻域内(x)<(>)0，那么x0是f(x)的极大(小)值点，且f(x0)是f(x)的极大(小)值．
如果在点x0的邻域内，(x)不变号，那么x0不是f(x)的极值点．
问题思考：若x0是f(x)的极值点，则一定有(x0)=0吗？举例说明．不一定．例如，，那么，x=0是f (x)的极值点．但在x=0处，(x)不存在．
三、例题讲解例1 设函数y=ex-x+1，求驻点．
[分析]驻点就是使导数等于0的点．
解：=ex-1，由=ex–1=0，得x=0
注意：这里求出的x=0不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻点．可导函数(x0)=0是点x0为极值点的必要条件，但不是充分条件．
例2 设y=x–ln(1+x)，求极值点．
[分析]首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．
解：定义域，，解得x =0(驻点)
在x=0的左右两边，的符号由负变正，故x=0是极小值点．
例3设求极值点,[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．
解：定义域；，x=0处导数不存在，x=1是驻点.
在x = 0的左右两边，的符号由负变正，故x = 0是极小值点；
在x = 1的左右两边，的符号由正变负，故x = 1是极大值点．
例4 设，求极值．
[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点，最后写出极值．
解：定义域，在x=0的左右两边同号，故x=0不是极值点；
在x=1的左右两边，的符号由正变负，故x=1是极大值点．
求函数极值的步骤,
（1）确定函数f (x)的定义域，并求其导数(x)；
（2）解方程(x) = 0，求出f (x) 在定义域内的所有的驻点；
（3）找出所有在定义域内连续但导数不存在的点；
（4）讨论(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，确定函数f(x)的极值点；
（5）写出函数f (x)的极值点和极值．
四、课后作业
1．求下列函数的极值：
（1）f(x)=；（2）f(x)=；（3）f(x)=x2–ln(1+x)；（4）f(x)=x2e-x
1.（1）极小值；（2）极小值；
（3）极小值；（4）
第二节 函数最值一、学习目标通过本节课学习，了解最大值、最小值的概念，知道极值与最值之间的关系，掌握最大值、最小值问题的处理方法，熟练掌握解决一些应用问题的方法，尤其是求解经济应用问题最值的方法．
二、内容讲解
1.最大值、最小值及其求法
（1）极值与最值的区别：
极值是在其左右小范围内比较；最值是在指定的范围内比较所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值．
这个函数在区间[a，b]内的极大值点是x1，x4；极小值点是x2，x5．现在要问这个函数在闭区间[a，b]上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点．从图中可以看出，端点b处的函数值最大，所以点b就是该函数在区间[a，b]上的最大值点．
同样，从图中可以看出x2是区间[a，b]上最小值点．
若将点往左移至，从图中可以看出，最大值点是x4，而最小值点仍然是x2.
若将区间改为，则最大值点仍然是x4，最小值点仍然是x2．
明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了．
函数f(x)在[a，b]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中．
（1）端点：a，b；（2）驻点：使(x)=0的点；（3）不可导点：(x)不存在的点.
2.函数的最值概念（定义3.3）
最值的求法：①极值是在局部范围内比较；②最值是在指定的范围内比较.
求函数最值的步骤：
①求导数(x)；
②解(x) = 0，求出f (x)的驻点；
③找出f (x)连续但(x)不存在的点；
④比较f (x)在驻点、导数不存在点和端点处的值，确定最大值和最小值．
问题思考：函数最值一定是函数极值吗？何时极值一定是最值？
极大（小）值只是在极值点附近的局部最大（小）值，而最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，它可能在区间的端点处达到．因此，最大（小）值不一定是极大（小）值．
若在区间上连续，在内可导，且在上有唯一极大（小）值点，则在上的极大（小）值就是最大（小）值．
三、例题讲解例1求y=x3-3x2–9x+5在[-4，4]上的最大值和最小值．
[分析]可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点．因此，先求驻点和不可导点，再比较这些点和端点处的函数值的大小，确定最大值和最小值．
解：= 3x2 – 6x - 9 = 3(x2 – 2x – 3)= 3(x + 1)(x – 3) = 0x1 = -1，x2 = 3
-4
-1
3
4
-71
10
-22
-15
所以，最大值为y(-1)=10，最小值为y(-4)=-71．
说明：不用判别-1，3是否为极值点，只要计算-4，-1，3，4处的函数值，确定最大值和最小值．
例2 求y=x(x-1)在上的最值点．
解：?= 0，(驻点)，且x=1处导数不存在，所以，最小值点为x=，最大值点为x=-2．
-2
1
2
-2
0
2
例3将边长为30cm的一块正方形铁皮的四角截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．问截掉的小正方形边长为多少时，所得方盒的容积最大？
解：设小正方形边长为cm，则盒底边长为30-2，
容积为V= (30-2x)2x，x(0，15)
因为=-4(30-2x)x+(30-2x)2=(30-2x)(30-6x)
令=0，得x1=5，x2=15(舍弃)，且x1=5是V在定义域内唯一驻点．
所以x1=5是V的极大值点，也是的最大值点．即截掉的小正方形边长5cm时，所得方盒的容积最大，最大容积为V=5(30-10)2=2000cm3
说明：
1．解应用问题，首先要建立数学模型，建立模型的第一步是设变量，再用这个变量把问题用数学语言描述出来．
2．如果f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，而且是f(x)在(a，b)内的唯一驻点，那么当x0是f (x)的极值点时，x0一定是f(x)在[a，b]上的最值点．
四、课堂练习
1.求下列函数的最大值和最小值：
（1）f(x)=x+，[-5，1]；（2）f(x)=
2．求200m长的篱笆所围成的面积最大的矩形尺寸．
3．在半径为R的半圆内，内接一矩形，问①矩形的边长为何值时，矩形的面积最大？②矩形的周长最大？
1.（1）最大，最小；（2）最大，最小.
2．当矩形的长和宽都是50m时，围成的面积最大.
3．①当矩形的长和宽分别是和时，矩形的面积最大；
②当矩形的长和宽分别是时，矩形的周长最大.
