第三单元 导数、微分的概念及四则运算第一节 导数和微分的概念一、学习目标本节课主要讨论导数和微分的概念，通过学习应明确导数与微分的定义，了解导数的几何意义和经济意义，会求曲线的切线方程；了解导数、微分与连续之间的关系并熟练背住导数和微分的基本公式.
二、内容讲解本节的主要内容是导数与微分的概念.
1.导数概念三个引例：边际成本问题；瞬时速率问题；曲线切线问题.
引例1,边际成本问题
C—总成本，—总产量，
已知（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）
，（成本平均变化率）（边际成本）
引例2:瞬时速率问题路程是时间的函数
当从时，从
（平均速率）
? （在时刻的瞬时速率）
引例3：曲线切线问题考虑曲线在处的切线斜率.
当时，对应的曲线上和两点间割线的斜率为.
（当时）
?称为切线的斜率.
关于函数，，
考虑极限
定义2.5——导数设函数在点的邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量：
若当时，两个改变量之比的极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为 在点处的导数，
记为或或或 ，即=
若极限不存在，则称函数在点处不可导.
在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的.
2.导数定义的意义数量意义：变化率经济意义：边际成本几何意义：切线的斜率
3.微分的概念设，导数两边同乘，得到函数的微分，微分
4.导数公式
5.微分公式由导数公式可以得到微分公式
；
；
；
问题思考：设则
证明如下：因为?，；于是
三、例题讲解例1，求
思路：先求，再求.
解：因为
所以，
例2 ，求
解,因为
，所以
导数公式：
求导步骤：1、求；；2、求.
注意：是的导函数，函数在处的导数值
四、课堂练习练习1 设，且存在，求.
利用已知条件对进行适当的变形，再用导数定义求极限.
.由导数定义，上式极限存在且就是函数在处的导数，即为
练习2 设函数在?处可微，求.
利用已知条件，函数可微一定连续.可以证明函数可导与可微是等价的，可导一定连续，反之则不然.因为函数可微一定连续，所以
五、课后作业
1.根据导数定义，求下列函数的导数：
（1）；（2）
2.求下列函数在指定点处的导数：
（1）；（2）；（3）；（4）
3.求下列函数的导数和微分：
（1）；（2）；（3）；（4）
4.求曲线在（1，0）点处的切线方程.
5.在抛物线上求一点，使得该点处的切线平行于直线
1．（1）；（2）；
2．（1）27；（2）；（3）ln2；（4）。
3．（1）0；? （2）； （3）；? （4）.
4．?；5．
第二节 导数的四则运算法则一、学习目标通过本课程的学习，我们要熟练掌握导数的四则运算法则，并且能够熟练运用四则运算法则计算函数的导数与微分.
1.导数的加法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且，（为常数）
2.加法公式证明求证导数的加法法则?
证：设，则，；
由已知条件，均可导.
3.导数的乘法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且，
4.导数除法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且（）
问题思考：设在点处可导且，则
.解：由导数的除法法则
三、例题讲解例1 设函数，求
分析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数.
解：（利用加法法则）
?（利用导数公式）
例2 设，求.
解：
（提示）
例3? 设，求.
解：（提示）
例4 ，
解：因为（由对数的性质：）
所以（其中常数的导数为0）
例5?设，求
解：利用导数的乘法法则，（利用导数公式）
例6 ，求.
解：<方法1>?由导数基本公式
<方法2> 利用导数的乘法法则
说明无论用哪种方法其结果是唯一的.
例7 ，求.
解：<方法1> 将函数看成，利用乘法法则求导.
<方法2> 利用导数的除法法则求导
，其中两个结果是完全一样的.
例8 求
解：
（利用三角公式）同理可求.
四、课堂练习练习1 设，求
练习2 设，求.
练习3 设，求.?求下列函数的导数或微分：
五、课后作业
1.，求；2.,求；3. 求；4.，求；5.，求；6.，求；
7.，求；8.，求；9.，求；
10.，求.
1.；2.；3.；4.；5.；
6.；7.；8.；9.；10.
二、内容讲解本节的主要内容是导数与微分的概念.
1.导数概念三个引例：边际成本问题；瞬时速率问题；曲线切线问题.
引例1,边际成本问题
C—总成本，—总产量，
已知（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）
，（成本平均变化率）（边际成本）
引例2:瞬时速率问题路程是时间的函数
当从时，从
（平均速率）
? （在时刻的瞬时速率）
引例3：曲线切线问题考虑曲线在处的切线斜率.
当时，对应的曲线上和两点间割线的斜率为.
（当时）
?称为切线的斜率.
关于函数，，
考虑极限
定义2.5——导数设函数在点的邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量：
若当时，两个改变量之比的极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为 在点处的导数，
记为或或或 ，即=
若极限不存在，则称函数在点处不可导.
在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的.
2.导数定义的意义数量意义：变化率经济意义：边际成本几何意义：切线的斜率
3.微分的概念设，导数两边同乘，得到函数的微分，微分
4.导数公式
5.微分公式由导数公式可以得到微分公式
；
；
；
问题思考：设则
证明如下：因为?，；于是
三、例题讲解例1，求
思路：先求，再求.
解：因为
所以，
例2 ，求
解,因为
，所以
导数公式：
求导步骤：1、求；；2、求.
注意：是的导函数，函数在处的导数值
四、课堂练习练习1 设，且存在，求.
利用已知条件对进行适当的变形，再用导数定义求极限.
.由导数定义，上式极限存在且就是函数在处的导数，即为
练习2 设函数在?处可微，求.
利用已知条件，函数可微一定连续.可以证明函数可导与可微是等价的，可导一定连续，反之则不然.因为函数可微一定连续，所以
五、课后作业
1.根据导数定义，求下列函数的导数：
（1）；（2）
2.求下列函数在指定点处的导数：
（1）；（2）；（3）；（4）
3.求下列函数的导数和微分：
（1）；（2）；（3）；（4）
4.求曲线在（1，0）点处的切线方程.
5.在抛物线上求一点，使得该点处的切线平行于直线
1．（1）；（2）；
2．（1）27；（2）；（3）ln2；（4）。
3．（1）0；? （2）； （3）；? （4）.
4．?；5．
第二节 导数的四则运算法则一、学习目标通过本课程的学习，我们要熟练掌握导数的四则运算法则，并且能够熟练运用四则运算法则计算函数的导数与微分.
1.导数的加法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且，（为常数）
2.加法公式证明求证导数的加法法则?
证：设，则，；
由已知条件，均可导.
3.导数的乘法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且，
4.导数除法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且（）
问题思考：设在点处可导且，则
.解：由导数的除法法则
三、例题讲解例1 设函数，求
分析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数.
解：（利用加法法则）
?（利用导数公式）
例2 设，求.
解：
（提示）
例3? 设，求.
解：（提示）
例4 ，
解：因为（由对数的性质：）
所以（其中常数的导数为0）
例5?设，求
解：利用导数的乘法法则，（利用导数公式）
例6 ，求.
解：<方法1>?由导数基本公式
<方法2> 利用导数的乘法法则
说明无论用哪种方法其结果是唯一的.
例7 ，求.
解：<方法1> 将函数看成，利用乘法法则求导.
<方法2> 利用导数的除法法则求导
，其中两个结果是完全一样的.
例8 求
解：
（利用三角公式）同理可求.
四、课堂练习练习1 设，求
练习2 设，求.
练习3 设，求.?求下列函数的导数或微分：
五、课后作业
1.，求；2.,求；3. 求；4.，求；5.，求；6.，求；
7.，求；8.，求；9.，求；
10.，求.
1.；2.；3.；4.；5.；
6.；7.；8.；9.；10.
